微专题5.7 利用导数研究曲线的切线问题13种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-7 利用导数研究曲线的切线问题13种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 求曲线切线的斜率 题型2 求切线倾斜角的取值范围 题型3 曲线在某点处的切线问题 题型4 已知曲线和切线斜率求切点坐标 题型5 已知切点和切线斜率求参数 题型6 过某点的曲线的切线问题 题型7 过点切线条数问题 题型8 根据切线条数求参数 题型9 切线平行、垂直问题 题型10 两曲线的公切线问题 题型11 公切线的条数问题 题型12 公切线求参 题型13 与切线相关的最值问题 用导数研究曲线的切线是高考一个主要考点，常与解析几何知识交汇命题，旨在考查同学们对导数的几何意义的正确理解。主要涉及求曲线切线的斜率与方程、曲线切线的条数、曲线的公切线、满足条件的切线是否存在及满足条件的切线的参数范围等问题。 1、 导数的几何意义： 函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(即（为切线的倾斜角）)．相应地，切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 注：曲线在点处的切线是指P为切点，斜率为的切线，是唯一的一条切线。但曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点。 2、求曲线y＝f(x)的切线方程的类型及方法 （1） 已知切点，求y＝f (x)过点P的切线方程 注：求曲线在处切线的步骤： 先求，即曲线在处切线的斜率． 再求，则切线过点； 最后由点斜式写出直线方程：． 特别的，如果在点处的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义知：切线方程为：． （2）已知切线的斜率为k，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k＝f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程； （3）已知切线上一点(非切点)，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程． （4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k＝f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程． （5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上． (6)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况． 3、切线条数问题 求曲线的切线条数一般是设出切点，由已知条件整理出关于的方程，把切线问条数问题转化为关于的方程的实根个数问题。 4、公切线问题 研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使用这两个方程表示同一条直线，但要注意以下两个方面： （1）两个曲线有公切线，且切点是同一点； （2）两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。 注：公切线问题一般思路:两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数： ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 具体做法为: 设公切线在上的切点, 在上的切点,则. （1）求两函数的公切线：求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． （2）与公切线有关的求值问题：利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程 （3）判断公切线条数：运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况． 题型1 求曲线切线的斜率 【例1】曲线在点处的切线的斜率为____________． 【变式1】函数在处切线的斜率为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】如图，直线是曲线在点处的切线，则的值等于______ ． 题型2 求切线倾斜角的取值范围 【例2】线，在点处的切线的倾斜角为____________. 【变式1】函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D．. 【变式2】设P是曲线上任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角α的取值范围是 __． 【变式3】已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，求的取值范围． 题型3 曲线在某点处的切线问题 【例3】函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数在点处的切线方程为 . 【变式2】已知函数，则函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3】【多选】下列函数的图象可能与直线相切的是（ ） A． B． C． D． 【变式4】设函数，若为奇函数，则曲线在点（0，0）处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 题型4 已知曲线和切线斜率求切点坐标 【例4】已知曲线上过切点的一条切线的斜率为1，则___________. 【变式1】已知函数的图像在点处的切线与y轴交于点，则切点的纵坐标为（    ） A．7 B． C． D．4 【变式2】线与曲线相切，则切点的横坐标为_________． 题型5 已知切点和切线斜率求参数 【例5】设曲线在点处的切线方程为，则___________. 【变式1】已知函数的图象在点处的切线斜率为，则______. 【变式2】已知函数的图象在点处的切线方程是，则等于（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣2 【变式3】已知直线与曲线相切，则_________. 【变式4】直线与曲线相切于点，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式5】若直线是曲线的一条切线，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式6】已知直线与曲线相切，则的最小值为________. 题型6 过某点的曲线的切线问题 【例6】过点作曲线的切线l，则l的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【变式1】过点且与曲线相切的直线的方程为 ． 【变式2】过坐标原点且与曲线相切的直线斜率为（ ） A．1 B． C． D． 【变式3】已知过点的直线与曲线的相切于点，则切点坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式4】过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______. 题型7 “过点”切线条数问题 【例7】已知函数，则过点可作曲线的切线的条数最多为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】已知函数，则曲线过点的切线条数为（       ） A． B． C． D． 【变式3】过点作曲线的切线，当时，切线的条数是（    ） A． B． C． D． 题型8 根据切线条数求参数 【例8】若曲线只有一条过坐标原点的切线，则=______. 【变式1】已知，过点可作曲线的三条切线，则的范围是________． 【变式2】过点可以作两条直线与曲线相切，则实数a的取值范围是______． 【变式3】已知函数，过点作曲线的切线，下列说法正确的是（    ） A．当时，可作两条切线，则b的值为 B．当，时，可作两条切线 C．当，时，有且仅有一条切线 D．当时，可作三条切线，则 【变式4】已知函数，若过点能作三条直线与的图像相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型9 切线平行、垂直问题 【例9】若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【变式2】【多选】若曲线在处的切线与直线互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】曲线在点P处的切线平行于，则点P的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数为偶函数，若曲线的一条切线与直线垂直，则切点的横坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式5】函数特性：“函数的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直”，则下列函数中满足特性的函数为（    ） A． B． C． D． 题型10 两曲线的公切线问题 【例10】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则直线的方程为 ． 【变式1】若直线与曲线和均相切，则直线的方程为_______. 【变式2】已知曲线与曲线有相同的切线，则这条切线的斜率为___________. 题型11 公切线的条数问题 【例11】已知函数，则和的公切线的条数为 A．三条 B．二条 C．一条 D．0条 【变式1】若直线与曲线和都相切，则直线的条数有（    ） A． B． C． D．无数条 【变式2】【多选】已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．曲线的切线斜率可以是1 B．曲线的切线斜率可以是 C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条 D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条 【变式3】曲线：与曲线：公切线的条数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型12 公切线求参 【例12】【变式1】若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C．26 D．28 【变式1】若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若函数与函数有公共点，且在该公共点处的切线相同，则实数__________． 【变式3】设函数的图象与的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则实数b的最大值为______. 题型13 与切线相关的最值问题 【例13】若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ） A． B． C．2 D． 【变式1】已知点P（x,y）是曲线上的一动点，则点P（x,y）到直线的距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知点在函数的图象上，点在直线上，则，两点之间距离的最小值是（ ） A． B．4 C． D．8 【变式3】已知直线与曲线，分别交于点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．e $$2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-7 利用导数研究曲线的切线问题13种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 求曲线切线的斜率 题型2 求切线倾斜角的取值范围 题型3 曲线在某点处的切线问题 题型4 已知曲线和切线斜率求切点坐标 题型5 已知切点和切线斜率求参数 题型6 过某点的曲线的切线问题 题型7 过点切线条数问题 题型8 根据切线条数求参数 题型9 切线平行、垂直问题 题型10 两曲线的公切线问题 题型11 公切线的条数问题 题型12 公切线求参 题型13 与切线相关的最值问题 用导数研究曲线的切线是高考一个主要考点，常与解析几何知识交汇命题，旨在考查同学们对导数的几何意义的正确理解。主要涉及求曲线切线的斜率与方程、曲线切线的条数、曲线的公切线、满足条件的切线是否存在及满足条件的切线的参数范围等问题。 1、 导数的几何意义： 函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(即（为切线的倾斜角）)．相应地，切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 注：曲线在点处的切线是指P为切点，斜率为的切线，是唯一的一条切线。但曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点。 2、求曲线y＝f(x)的切线方程的类型及方法 （1） 已知切点，求y＝f (x)过点P的切线方程 注：求曲线在处切线的步骤： 先求，即曲线在处切线的斜率． 再求，则切线过点； 最后由点斜式写出直线方程：． 特别的，如果在点处的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义知：切线方程为：． （2）已知切线的斜率为k，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k＝f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程； （3）已知切线上一点(非切点)，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程． （4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k＝f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程． （5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上． (6)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况． 3、切线条数问题 求曲线的切线条数一般是设出切点，由已知条件整理出关于的方程，把切线问条数问题转化为关于的方程的实根个数问题。 4、公切线问题 研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使用这两个方程表示同一条直线，但要注意以下两个方面： （1）两个曲线有公切线，且切点是同一点； （2）两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。 注：公切线问题一般思路:两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数： ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 具体做法为: 设公切线在上的切点, 在上的切点,则. （1）求两函数的公切线：求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． （2）与公切线有关的求值问题：利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程 （3）判断公切线条数：运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况． 题型1 求曲线切线的斜率 【例1】曲线在点处的切线的斜率为____________． 【答案】2 【分析】由导数几何意义即可求. 【详解】，∴所求切线斜率为2. 故答案为：2 【变式1】函数在处切线的斜率为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义，求出导函数在该点处的值即可求解. 【详解】因为函数， 则， 所以，也即函数在处切线的斜率， 故选：. 【变式2】如图，直线是曲线在点处的切线，则的值等于______ ． 【答案】 【分析】由函数的图像可得，以及直线过点和，由直线的斜率公式可得直线的斜率，进而由导数的几何意义可得的值，将求得的与的值相加即可. 【详解】由函数的图像可得，直线过点和，则直线的斜率， 又由直线是曲线在点处的切线，则， 所以． 故答案为： 题型2 求切线倾斜角的取值范围 【例2】线，在点处的切线的倾斜角为____________. 【答案】 【分析】对所给曲线求导代入，得到在处的导数值，进而得到斜率，得倾斜角的正切值，得答案. 【详解】对求导得，， 当时，， 由导数的几何意义，在点处的切线的斜率为， 即，所以. 故答案为：. 【变式1】函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D．. 【答案】D 【分析】先求导，通过导数的几何意义得到函数在处的切线斜率，再利用二倍角公式和平方关系式得到的值． 【详解】因为， 所以， 当时，，此时， ∴． 故选：D. 【变式2】设P是曲线上任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角α的取值范围是 __． 【答案】 【分析】求出导函数的值域，再结合正切函数的单调性求解． 【详解】由已知得， 由得． 故答案为：． 【变式3】已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，求的取值范围． 【答案】 【分析】由题，，求出，结合均值不等式讨论的值域，即可求得的范围，即可进一步求得的取值范围 【详解】函数的导数为． 因为，所以， 所以，即；因为，所以，即． 题型3 曲线在某点处的切线问题 【例3】函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，， 因为， 所以，所以切线方程为， 即， 故选：D. 【变式1】函数在点处的切线方程为 . 【答案】 【详解】由题意可知，，则切点为，因为，则， 所以在点处的切线斜率为，则切线方程为，即 故答案为： 【变式2】已知函数，则函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，令，可得， ， 所以在处的切线方程为. 故选：B 【变式3】【多选】下列函数的图象可能与直线相切的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为直线的斜率为， 所以有解，则直线就可以为该函数图象的切线． 对于A，令，解得，满足条件； 对于B，因为恒成立，不满足条件； 对于C，令，解得，满足条件； 对于D，恒成立，不满足条件．故选：AC. 【变式4】设函数，若为奇函数，则曲线在点（0，0）处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据该函数为奇函数，求出a的值，然后求出得所求切线斜率，最后利用点斜式求出切线的方程 【详解】，函数为奇函数，有，即， 故，即， 所以，所以，，， 所以曲线在点（0，0）处的切线斜率为，切线方程为：. 故选：A. 题型4 已知曲线和切线斜率求切点坐标 【例4】已知曲线上过切点的一条切线的斜率为1，则___________. 【答案】 【分析】根据导数的几何意义，由即可解出． 【详解】因为，所以，由题意可知，，解得或（舍去）． 故答案为：． 【变式1】已知函数的图像在点处的切线与y轴交于点，则切点的纵坐标为（    ） A．7 B． C． D．4 【答案】C 【解析】求出导函数代入-1可得切线的斜率，计算出可得切点，从而得到切线方程，利用切线与y轴的交点可得可得答案. 【详解】因为，所以， ，所以切点为， 切线方程为，令，则， 所以，解得，所以切点的纵坐标为. 故选：C. 【变式2】线与曲线相切，则切点的横坐标为_________． 【答案】 【分析】设切点为，利用导数的几何意义求解即可. 【详解】设切点为，， 又， ，解得： 故答案为： 题型5 已知切点和切线斜率求参数 【例5】设曲线在点处的切线方程为，则___________. 【答案】 【分析】求导，根据导数几何意义求出函数在处的导函数值为切线的斜率. 【详解】 所以函数在处的导函数值为，根据导数几何意义可得 故答案为： 【变式1】已知函数的图象在点处的切线斜率为，则______. 【答案】3 【分析】求出，根据即可求解. 【详解】由已知得， 因为，所以. 故答案为：3. 【变式2】已知函数的图象在点处的切线方程是，则等于（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣2 【答案】C 【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由切线的方程求得切线的斜率和切点，解方程可得a，b，即可得到所求结论. 【详解】解：函数的导数为， 可得在点处的切线斜率为， 因为在点处的切线方程是， 所以，， 解得，， 所以 故选：C. 【变式3】已知直线与曲线相切，则_________. 【答案】 【分析】已知曲线的切线过某定点，根据导数的几何意义求直线的斜率. 【详解】设切点为，∵，∴，∴， ∵，∴，解得，∴. 故答案为：. 【变式4】直线与曲线相切于点，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】直线与曲线相切于点, 可得求得的导数,可得,即可求得答案. 【详解】直线与曲线相切于点 将代入可得: 解得: 由,解得:. 可得, 根据在上 ,解得: 故选:. 【变式5】若直线是曲线的一条切线，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数，根据斜率求得切点坐标，进而求得. 【详解】因为，所以，令，即， 得或（舍去），所以切点是，代入， 得，. 故选：D 【变式6】已知直线与曲线相切，则的最小值为________. 【答案】2 【分析】设切点为，曲线求导得到切线斜率，利用斜率相等求得切点坐标，代入直线方程后得，利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】设切点为，由求导得， 因直线与曲线相切, 则， 解得，则， 而切点在直线上，即，于是得， 因此，，当且仅当时取“”， 所以当时，取最小值2 . 故答案为：2. 题型6 过某点的曲线的切线问题 【例6】过点作曲线的切线l，则l的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】设切点为，切线斜率为，曲线为， 由导数的几何意义得， 故切线方程为，将代入方程， 得到，解得，则，故C正确. 故选：C. 【变式1】过点且与曲线相切的直线的方程为 ． 【答案】或 【详解】设切点坐标为，则有． 因为，所以切线方程为， 将点的坐标代入，得， 所以，解得或． 当时，，故切线方程为； 当时，，故切线方程为． 所以所求直线的方程为或． 故答案为：或． 【变式2】过坐标原点且与曲线相切的直线斜率为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，设切点为，所以 ， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得， 所以切线方程的斜率为.故选：B 【变式3】已知过点的直线与曲线的相切于点，则切点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设切点坐标为，由，得，则过切点的切线方程为， 把点代入切线方程得，，即， 又，所以，则， 则切点坐标为.故选：A 【变式4】过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______. 【答案】 【分析】考虑与时，设出切点坐标，求出相应的切线方程，将代入，得到相应的斜率，相加得到答案. 【详解】时，，设切点， 则， 切线过， ， ， 时，，切点， ， 切线过， ， ， 故. 故答案为：. 题型7 “过点”切线条数问题 【例7】已知函数，则过点可作曲线的切线的条数最多为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设出切线的切点坐标，利用导数的几何意义，求出关于切点坐标的方程，方程解的个数也即切线的条数，进而求解即可. 【详解】因为函数，所以， 设过点作曲线的切线，切点为， 则有，也即， 又因为，所以 令，， 当时，，函数单调递减， 当或时，，函数单调递增， 综上：函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 又因为，， 所以函数有三个零点，分别在区间上， 也即方程有三个不同的根， 所以过点作曲线的切线，有三个不同的切点， 也即过点可作曲线的切线的条数最多为， 故选：. 【变式1】已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设切点为，根据导数的几何意义求得在切点处的切线方程，再将代入，求得的值，即可得解. 【详解】解：因为，所以， 设切点为， 所以在切点处的切线方程为， 又在切线上，所以， 即， 整理得，解得或， 所以过点可作曲线的切线的条数为2. 故选：C． 【变式2】已知函数，则曲线过点的切线条数为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设出切点坐标 ,利用导数求出过切点的切线方程，代入点，再利用导数求解关于的方程的解的个数，即可求解. 【详解】设切点坐标 ,由，得，切线斜率， 所以过的切线方程为，即，切线过点， 故，令,则，由，解得或， 当时，，当时，，所以的极大值极小值分别为，，故其图像与x轴交点2个，也就是切线条数为2.故选：B 【变式3】过点作曲线的切线，当时，切线的条数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点，由导数几何意义可表示出切线方程，代入可将问题转化为方程的解的个数的求解；令，利用导数可得图象，根据与图象交点个数可确定方程解的个数，进而得到切线条数. 【详解】设切点为， ，切线斜率， 切线方程为：； 又切线过，； 设，则， 当时，；当时，； 在，上单调递减，在上单调递增， 又，，恒成立，可得图象如下图所示， 则当时，与有三个不同的交点， 即当时，方程有三个不同的解，切线的条数为条.故选：D. 题型8 根据切线条数求参数 【例8】若曲线只有一条过坐标原点的切线，则=______. 【答案】或##或 【分析】设切点为，再根据导数的几何意义求得切线方程，并结合题意得方程有且只有一个实数根，再结合判别式求解即可. 【详解】解：∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, ∴切线方程为：, ∵切线过原点， ∴,整理得：, ∵曲线只有一条过坐标原点的切线切， ∴,解得或,∴或,故答案为：或 【变式1】已知，过点可作曲线的三条切线，则的范围是________． 【答案】 【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义可得方程有3个解，利用导数研究函数的图像，观察图像确定的范围. 【详解】设切点坐标为，由，得，所以切线方程为，将代入切线方程，得，即为方程的解，设，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，函数取极小值，极小值为，当时，函数取极大值，极大值为，因为过点可作曲线的三条切线，所以方程有三个不同的解， 与的图像有三个不同的交点， 所以，即的范围是. 故答案为：. 【变式2】过点可以作两条直线与曲线相切，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】设出切点的坐标，利用导数研究切点和斜率，根据切线有条，通过构造函数法，结合导数求得的取值范围. 【详解】设切点坐标为， ，故斜率为， 切线方程为，代入得， 整理得， 构造函数，， 所以在区间递减；在区间递增. 所以在时取得极小值也即是最小值， 当时，，当时，， 要使过点可以作两条直线与曲线相切， 则， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式3】已知函数，过点作曲线的切线，下列说法正确的是（    ） A．当时，可作两条切线，则b的值为 B．当，时，可作两条切线 C．当，时，有且仅有一条切线 D．当时，可作三条切线，则 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义，结合函数单调性的判断方法，对参数值进行分类讨论，即可判断和选择. 【详解】设过点的切线与曲线的切点为，又，故过点的切线方程为： ，则，整理得：； 令，则，且当时，，当时，； 对A：当时，显然在单调递减，在单调递增，在单调递减，又， 若过点可作两条切线，则或，故错误； 对：当， 恒成立且不恒为零，故在上单调递减， 则当时，有且仅有一条切线，故错误； 对：时，，在单调递减，在单调递增，在单调递减，且， 故当时，有两个根，可做两条切线，故错误； 对：当时，由可知，若要做三条切线，则有三个根，则， 即，故D正确. 故选：D. 【变式4】已知函数，若过点能作三条直线与的图像相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件有三条直线相切，得两函数图像有三个交点，利用函数的单调性求得函数的极值，即可得到的取值范围. 【详解】由已知：，故，设切点为 根据导数的几何意义，知切线斜率为，切线方程为, 将点坐标代入切线方程可得 化简可得 即函数与函数有三个不同的交点. 故， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 则当时，有极小值， 当时，有极大值. 所以的取值范围为. 故选：D. 题型9 切线平行、垂直问题 【例9】若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设切点为，， 切线与直线垂直， 切线的斜率为， 又，所以，，解得， ，即切点， 由点斜式可得，切线方程为：，即． 故选：． 【变式1】已知曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【详解】解：由题意可知：函数的导函数为 过P点的切线与直线平行 ，解得 当时，，此时切线方程为，即； 当时，，此时切线方程为，即. 所以点P的坐标是（2，14）或（-2，-14） 故选:C 【变式2】【多选】若曲线在处的切线与直线互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】选项A，已知曲线，所以，故该选项错误； 选项B，已知曲线，所以，故该选项正确； 选项C，因为，所以，故该选项正确； 选项D，直线的斜率为，而，由已知，曲线在处的切线与直线互相垂直，所以，所以，该选项正确； 故选：BCD. 【变式3】曲线在点P处的切线平行于，则点P的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因，令，故或，所以或， 经检验，点，均不在直线上，故选：AB 【变式4】已知函数为偶函数，若曲线的一条切线与直线垂直，则切点的横坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先根据偶函数求参数，再求导数，根据导数几何意义得斜率，最后根据直线垂直关系得结果. 【详解】 为偶函数，则，，设切点得横坐标为，则解得，（负值舍去）所以.故选：D 【变式5】函数特性：“函数的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直”，则下列函数中满足特性的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若满足特性，即在两点处切线斜率乘积为，利用导数的几何意义即可判断选项. 【详解】设函数的图像上存在两点，，若，则图像在这两点处的切线互相垂直， 对A，，则，故A不正确； 对B，，则，因为，所以存在，满足，故B正确； 对C，，则，故C不正确； 对D，，则，故D不正确， 故选：B 题型10 两曲线的公切线问题 【例10】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则直线的方程为 ． 【答案】或 【解析】设与和的切点分别为， 由导数的几何意义可得， 曲线在在点处的切线方程为，即， 曲线在点处的切线方程为， 即，则，解得，或，所以或． 代入得或. 【变式1】若直线与曲线和均相切，则直线的方程为_______. 【答案】 【分析】利用导数的几何意义及点在曲线上，结合直线的点斜式方程即可求解. 【详解】设，上的切点分别为，， 由，，可得， 故在处的切线方程为， 在处的切线方程为， 由已知, 所以， 故或，而，不合题意舍去，故，此时直线的方程为. 故答案为：. 【变式2】已知曲线与曲线有相同的切线，则这条切线的斜率为___________. 【答案】 【分析】由题可设两曲线的切点，然后根据导数的几何意义可得切线方程，进而即得. 【详解】设曲线与曲线的切点分别为，， 又，， 所以，， 所以切线为，即， ，即， 所以， 所以，，即这条切线的斜率为. 故答案为：. 题型11 公切线的条数问题 【例11】已知函数，则和的公切线的条数为 A．三条 B．二条 C．一条 D．0条 【答案】A 【分析】分别设出两条曲线的切点坐标，根据斜率相等得到方程，构造函数，研究方程的根的个数，即可得到切线的条数. 【详解】设公切线与和分别相切于点，，解得，代入化简得，构造函数，原函数在，极大值 故函数和x轴有交3个点，方程有三解，故切线有3条. 故选A. 【变式1】若直线与曲线和都相切，则直线的条数有（    ） A． B． C． D．无数条 【答案】C 【分析】先设出所求直线l，再通过设出的直线斜率得到切点，运用切点和斜率构造方程，再通过构造新的函数求解方程解的情况 【详解】设直线因为直线与曲线和都相切。所以对于曲线，，，切点 对于曲线，，，切点 因为公切线过A、B两点 所以。进而可得。令 。因为，均为增函数，又因为， 所以存在使得即。所以在时单调递减，在单调递增， 又因为。所以 当时， 因为，所以所以在内存在使得直线与曲线和都相切 当时， 因为，所以所以在内存在使得直线与曲线和都相切 所以综上所述，存在两条斜率分别为的两条直线与曲线和都相切。故选：C 【变式2】【多选】已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．曲线的切线斜率可以是1 B．曲线的切线斜率可以是 C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条 D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条 【答案】AC 【详解】因为函数，所以 A.令，得 ，所以曲线的切线斜率可以是1，故正确； B.令无解，所以曲线的切线斜率不可以是，故错误； C. 因为在曲线上，所以点是切点，则， 所以切线方程为，即，所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故正确； D.设切点，则切线方程为，因为点在切线上，所以，解得，所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故错误； 故选：AC 【变式3】曲线：与曲线：公切线的条数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】设公切线与的切点为，公切线与的 切点为，利用导数的几何意义分别得出在切点，处的切线方程，由得到，构造函数，利用导数得出方程的根的个数，即可得出结论. 【详解】设公切线与的切点为，公切线与的 切点为 的导数为；的导数为 则在切点处的切线方程为，即 则在切点处的切线方程为，即 ，整理得到令，则 ； 在区间上单调递减，在区间上单调递增 即函数与的图象，如下图所示 由图可知，函数与有两个交点，则方程有两个不等正根，即曲线：与曲线： 题型12 公切线求参 【例12】【变式1】若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C．26 D．28 【答案】C 【分析】设直线与曲线切于点，与曲线切于点，再由切点处的导数值等于斜线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解，即可得出答案. 【详解】设直线与曲线切于点， 与曲线切于点． 对于函数，则， 解得或（舍去）． 所以，即． 对于函数， 则， 整理得，所以，故． 故选：C. 【变式1】若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由导数的几何意义将公共切线的斜率分别由两函数上的切点横坐标表示，并据此建立关系，将a由切点坐标表示，进而将a转化为关于的函数，通过求导求其最大值. 【详解】由题意得，，． 设公切线与的图象切于点， 与的图象切于点， ∴， ∴，∴， ∴，∴． 设，则， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴， ∴实数a的最大值为， 故选：A． 【变式2】若函数与函数有公共点，且在该公共点处的切线相同，则实数__________． 【答案】 【分析】求导后，可知当时，恒成立，由此可得公切点横坐标，根据可化简得到，根据和的单调性可确定是方程在上的唯一解，由此可求得的值. 【详解】由题意得：，； 设与的公切点横坐标为，则； 当时，，，恒成立，； 由得：， ，则； 在上单调递增，在上单调递减，当时，成立， 当时，有唯一解：，. 故答案为：. 【变式3】设函数的图象与的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则实数b的最大值为______. 【答案】 【分析】设出公共点，求导，根据切线重合得到切点横坐标，从而得到关于的关系式，，求导求出的最大值. 【详解】设公共点坐标为，，， 由在公共点处切线相同得，即，解得（舍去）或， 又，即，所以， 设函数，， 令得.当时，，当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，b取最大值，将代入，则得.故答案为：. 题型13 与切线相关的最值问题 【例13】若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】过点作曲线的切线， 当切线与直线平行时，点到直线距离最小. 设切点为， 所以切线斜率为，由题知，解得或（舍）， ，此时点到直线距离.故选：D 【变式1】已知点P（x,y）是曲线上的一动点，则点P（x,y）到直线的距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当曲线在点P处的切线与直线平行时，点P到该直线的距离最小， ，由直线的斜率，则， 得，有，所以， ∴到直线距离.故选：C. 【变式2】已知点在函数的图象上，点在直线上，则，两点之间距离的最小值是（ ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【解析】设，，过点的切线恰好与直线平行， 则，即，所以，则， 即，此时到直线的距离， 所以，两点之间距离的最小值为.故选：A 【变式3】已知直线与曲线，分别交于点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．e 【答案】B 【分析】设与直线垂直，且与相切的直线为，切点为，设与直线垂直，且与相切的直线为，切点为，进而根据导数的几何意义求得坐标得，即可得直线与直线重合时最小，再求距离即可. 【详解】解：设与直线垂直，且与相切的直线为， 设与直线垂直，且与相切的直线为， 所以，， 设直线与的切点为， 因为，所以，解得，，即， 设直线与的切点为， 因为，所以，解得，，即， 此时， 所以，当直线与直线重合时，最小，最小值为. 故选：B 【变式4】 $$