福建省福州市2024-2025学年高三下学期2月质量检测押题预测模拟数学试题

2025年福建省福州市高考数学模拟试卷（2月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设全集，集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知复数z满足，则(    ) A. B. C. D. 3.《数术记遗》记述了积算即筹算、珠算、计数等共14种算法，某研究学习小组共10人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间单位：分别为68，58，38，41，47，63，82，48，32，31，则这组数据的(    ) A. 众数是31 B. 20百分位数是 C. 极差是38 D. 中位数是 4.若双曲线E：的左右焦点分别为，，点P在双曲线E上，且，则等于(    ) A. 1 B. 13 C. 1或13 D. 15 5.有5项不同的任务安排给甲，乙，丙三人完成，每人至少完成一项且每项任务只安排一人完成，则分配给甲的任务不超过两项的安排方法有(    ) A. 260种 B. 220种 C. 160种 D. 130种 6.若，且，则的最小值为(    ) A. 3 B. C. D. 7.记是等差数列的前n项和，则“是递增数列”是“是递增数列”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点若圆C与圆D相外切，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知函数，下列结论中正确的是(    ) A. 是的极小值点 B. 有三个零点 C. 有两个零点 D. 函数为奇函数 10.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是(    ) A. B. 四边形ABCD的周长为 C. D. 四边形ABCD的面积为 11.如图所示，棱长为2的正方体中，点E是棱的中点，则下列结论中正确的是(    ) A. 点到平面BDE的距离是A到平面BDE的距离的2倍 B. 若点平面ABCD，且与AB所成角是，则点M的轨迹是双曲线的一支 C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. 若线段BE，则的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 13.记数列的前n项和为，且满足，则______. 14.已知扇形AOB半径为1，，弧上的点P满足，则的最大值是      ；最小值是      . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知数列满足， 证明：数列是等比数列； 求数列的前n项和 16.本小题15分 某校食堂为了解学生对牛奶豆浆的喜欢情况是否存在性别差异，从而更有针对性的为广大学子准备营养早餐，于是随机抽取了200名学生进行问卷调查，得到了如表的统计结果： 喜欢牛奶 喜欢豆浆 合计 男生 45 55 100 女生 65 35 100 合计 110 90 200 根据的独立性检验，能否认为该校学生对牛奶豆浆的喜欢情况与性别有关？ 小红每天都会在牛奶与豆浆中选择一种当早餐，若前一天选择牛奶，则她后一天继续选择牛奶的概率为；若前一天选择豆浆，则她后一天继续选择豆浆的概率为已知小红第一天选择了牛奶，求她第三天选择牛奶的概率. 附：，其中 17.本小题15分 如图，三棱柱中，平面ABC，为正三角形，D是BC边的中点， 求证：平面平面； 求二面角的余弦值． 18.本小题17分 已知函数 若，求曲线在点处的切线方程； 若对任意的恒成立，求a的取值范围； 证明： 19.本小题17分 阅读材料：极点与极线，是法国数学家吉拉德笛沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征.已知圆锥曲线C：，则称点和直线l：是圆锥曲线C的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换另一变量y也是如此，即可得到点对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. 其中，极点与极线有以下基本性质和定理： ①当P在圆锥曲线C上时，其极线l是曲线C在点P处的切线； ②当P在C外时，其极线l是曲线C从点P所引两条切线的切点所确定的直线即切点弦所在直线； ③当P在C内时，其极线l是曲线C过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹. 根据上述材料回答下面问题：已知椭圆过点，离心率为，其左右顶点分别为P、已知点G是直线上的一个动点，点G对应的极线与椭圆交于点A，B， 若，，，证明：极线AB恒过定点； 在的条件下，若该定点为极线AB的中点，求出此时的极线方程； 若，，，极线AB交C的椭圆于A，B两点，点A在x轴上方，直线AQ，直线BP分别交y轴于M，N两点，点O为坐标原点，求的值. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了集合的基本运算、解不含参的一元二次不等式，属于基础题． 先求出集合M，然后结合集合的基本运算即可求解． 【解答】 解：因为，， 则 故选： 2.【答案】C  【解析】解：由，得， 所以 故选： 根据复数的除法运算化简复数，再根据模长公式求解． 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题． 3.【答案】D  【解析】解：根据题意，10个数据从小到大排列为：31，32，38，41，47，48，58，63，68，82， 依次分析选项： 对于A，10个数据都不一样，其众数不存在，A错误； 对于B，由于，则其20百分位数是，B错误； 对于C，其极差为，C错误； 对于D，其中位数为，D正确． 故选： 根据题意，将10个数据从小到大排列，由众数、百分位数、极差和中位数的定义依次分析选项，综合可得答案． 本题考查数据众数、中位数、极差的计算，涉及百分位数的计算，属于基础题． 4.【答案】B  【解析】解：双曲线E：的左右焦点分别为，， 点P在双曲线E上，且，，，点P在双曲线E左支上． 则 故选： 利用双曲线的定义真假求解即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，判断点的位置是解题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：根据题意，分2种情况讨论： ①若甲只安排一项任务，则有种； ②若甲只安排两项任务，则有种； 故分配给甲的任务不超过两项的安排方法共有种． 故选： 根据题意，分甲只安排一项任务与甲只安排两项任务讨论，结合排列数与组合数代入计算，即可得到结果． 本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题． 6.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题. 由题得，由，利用乘1法可得最小值. 【解答】 解：由，且满足得， 则 当且仅当，即，时取等号； 所以的最小值为 故选： 7.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据数列前n项和与数列通项的关系是解决本题的关键． 根据数列前n项和与数列通项的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】 解：是等差数列，设等差数列的首项为，公差为d， 则， 所以是等差数列，公差为， 若是递增数列，则， 则是递增数列，充分性成立， 反之若是递增数列， 则，，则是递增数列， 所以必要性成立， 所以“是递增数列”是“是递增数列”的充要条件. 故选 8.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查圆与圆的位置关系的应用，考查了两角差的正切公式，属于较难题. 由题意得圆D半径为r，，圆C的半径为3，再把A，B的坐标用a，r表示，进一步得到MA、MB的斜率，然后利用两角差的正切公式得到，根据r的范围求得的范围． 【解答】 解：由题意，圆D半径为r，，圆C的半径为3，如图所示， 因为圆C与圆D相外切，则两圆圆心的距离等于半径之和，即，①， 易得，即， 因为圆D与x轴交于A、B两点， 不妨令A，B坐标分别为，， 设MA、MB的斜率分别为，， 又，则， 所以，② 联立①②得：， 因为 所以 故最大值为 故选： 9.【答案】AB  【解析】解：，令，解得或1，可得下表： x 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 则是的极小值点，故A正确； ，， 又，， 显然函数在，，分别存在一个零点，即函数存在三个零点，故B正确，C错误； 令，，故D错误． 故选： 对于A，利用导数，结合极小值点的定义，可得答案；对于B、C，利用导数研究函数的单调性，结合零点的存在性定理，可得答案；对于D，整理函数解析式，利用奇函数的定义，可得答案． 本题主要考查利用导数研究函数的极值、零点个数问题，函数奇偶性的判断，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题． 10.【答案】AD  【解析】解：根据斜二测画法的直观图，知，选项A正确； ，，， 所以四边形ABCD的周长为，选项B错误； ，选项C错误； 四边形ABCD的面积为，选项D正确． 故选： 根据斜二测画法的直观图，判断选项中的命题是否正确即可． 本题考查了斜二测画法的直观图应用问题，是基础题． 11.【答案】ACD  【解析】解：对于A选项，以点D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 设平面BDE的法向量为，，， 则，则， 取，则，， 所以，点到平面BDE的距离为， 点A到平面BDE的距离为， 所以，，故A正确； 对于B选项，设点，，， 若与AB所成角是， 则， 整理为，为双曲线方程， 所以点M的轨迹是双曲线，故B错误； 对于C选项，、、、， 设三棱锥的外接球的球心坐标为，半径为R， 则， 方程组中前2个式子和后2个式子相减， 得，得， 再回代方程组得，， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故C正确； 对于D选项，由，可设点， 即，， ， ， 上式的意义可以理解为平面直角坐标系中， 动点到定点和的距离和的倍， 显然，动点到定点和的距离和的最小值是两定点和间的距离， 距离为， 所以的最小值是，故D正确． 故选： 建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A； 利用坐标法，列出关于异面直线所成角的余弦值的式子，即可判断B； 利用坐标法，求三棱锥的外接球的球心坐标和半径，即可判断C； 利用坐标法，表示两点间的距离，转化为平面几何问题，即可求最值． 本题考查向量的综合应用，属于难题． 12.【答案】  【解析】解：因为的定义域为， 则，即， 所以的定义域为， 又， 所以函数的定义域为 故答案为： 根据的定义域为，得到的定义域为，再由求解． 本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：因为，所以， 两式作差可得：， 即，所以， 当时，，解得， 所以数列是以2为首项，为公比的等比数列， 所以 故答案为： 根据题中递推公式，得到，与原式作差整理，得到数列是等比数列，根据等比数列求和公式，即可求出结果． 本题考查由数列的递推式求数列的前n项和，属于基础题． 14.【答案】 ；   【解析】解：以O为原点，以OB为x轴建立平面直角坐标系， 设，则，，， ， ，即 ， 在上，， 当时，取得最大值 ，， ， 当时，取得最小值 故答案为：， 建立坐标系，设，用表示出P点坐标，得出及关于的表达式，根据的范围和三角函数的性质得出答案． 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题． 15.【答案】解：证明：数列满足，， 可得，且， 即有数列是以3为首项，3为公比的等比数列． 由得，， ，   【解析】由题意得，即可证明结论； 由计算数列的通项公式，分组求和即可得到结果． 本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式和求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 16.【答案】解：设零假设：该校学生对牛奶豆浆的喜欢情况与性别无关， 则， 根据的独立性检验，零假设不成立， 即可以认为该校学生对牛奶豆浆的喜欢情况与性别有关； 设“小红第二天选择牛奶”为事件A，则事件表示“小红第二天选择豆浆”， 设“小红第三天选择牛奶”为事件B， 由题意可知，，，，， 所以， 所以小红第三天选择牛奶的概率为  【解析】计算的值，再与临界值比较即可； 利用全概率公式求解． 本题主要考查了独立性检验的应用，考查了全概率公式的应用，属于中档题． 17.【答案】证明：三棱柱中，平面ABC，为正三角形，D是BC边的中点， ，平面ABC，， ， 平面， 平面，平面平面 解：以A为原点，AB为x轴，在平面ABC内过A作AB的垂线为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， ，，，，， ，， 设平面的法向量， 则， 取，得， 平面的法向量， 设二面角的平面角为， 则 二面角的余弦值为  【解析】推导出，，从而平面，由此能证明平面平面 以A为原点，AB为x轴，在平面ABC内过A作AB的垂线为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值． 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 18.【答案】解：，，， 所以，， 所以切线方程为 解：， 因为，对任意的恒成立， 所以，即， 所以 下证：当时，对任意的恒成立． 因为所以 所以， 令，，令得， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以，即 令， 因为，， 所以在上单调递增，所以， 从而当时，对任意的恒成立． 综上， 解：令，， 所以在上单调递增，上单调递减， 所以，即， 因为，所以， 所以， 所以， 又令，， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以，即， 因为，所以所以， 所以 综上，，，得证．  【解析】求导后求出切点坐标和斜率； 必要性探路求解本题； 通过的提示证明不等式． 本题考查函数与导数的综合应用，属于较难题． 19.【答案】解：证明：椭圆过点，离心率为， 由题意得，解得， 椭圆C的方程为 点G在直线上， 设，则极线AB为，即 则，，极线AB恒过定点； 定点为AB的中点，设，， ，B两点均在椭圆上，， 两式相减得， ，，得方程， 经检验，，极线AB方程； 设，此时极线AB的方程为， 联立，得， 设，，由韦达定理得，，， 直线AQ：，解得， 直线，解得 ， ， 的值为  【解析】先根据点在椭圆上和离心率列方程求解椭圆方程，然后求出极线AB方程，即可求解直线恒过定点； 设，，利用点差法求得，即可求出极线AB方程； 联立极线AB与椭圆方程，韦达定理，进而求出M，N的坐标，结合题意有化简整理即可求解． 本题考查利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$