精品解析：安徽省蚌埠市蚌山区蚌埠第二中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

蚌埠二中2024-2025学年高一下学期开学考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若关于的不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 某催化剂的活性指标K（单位：kgPP/gCat）与反应温度t（单位：℃）满足函数关系：（其中a，b为常数），若在20℃时的活性指标为13kgPP/gCat，在40℃时的活性指标为85kgPP/gCat，则该催化剂在50℃的活性指标为（ ） A. 252kgPP/gCat B. 247kgPP/gCat C. 227kgPP/gCat D. 127kgPP/gCat 5. 已知函数，，若，则的最小值为（　　） A. 9 B. C. 3 D. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，是函数的两个不同零点，且的最小值是，有以下四个命题正确的是（ ） A. 函数周期是； B. 函数的图象关于直线对称； C. 函数的图象关于点中心对称； D. 函数的图象可由图象向右平移个单位得到． 11. 已知函数的定义域为，对任意，满足，，且对任意，，则下列选项中，正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 对任意， D. 在上为增函数 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则______. 13. 若函数在区间上单调递增，则实数的最大值是______． 14. 已知，若对于任意的，恒成立，则a的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求 （2）若，求实数的取值范围. 16. 为了贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某县抓住机遇，利用得天独厚的绿色资源天然氧吧，大力开发皇家山旅游康养中心游玩项目，助力脱贫.当地某旅游公司计划在2024年全年投入固定成本万元，若该项目在年有游客万人，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为100元．为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动．当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴万元． （1）求年该项目的利润（万元）关于游客人数 （万人）的函数关系式;（利润＝收入－成本）； （2）当年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 17. 已知函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）求不等式的解集； （3）若对于恒成立，求的最小值． 18. 设函数． （1）求函数在上的最小值； （2）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （3）若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围． 19. 若函数的定义域与值域均为，则称为“闭区间同域函数”，称为的“同域闭区间”． （1）若函数的定义域为，证明：是“闭区间同域函数”； （2）若是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，求正实数的值； （3）设，且，若是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蚌埠二中2024-2025学年高一下学期开学考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的运算求解即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：C 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题得解. 【详解】由全称命题的否定可知， 命题“，”的否定是“，”， 故选：D 3. 若关于的不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用韦达定理用表示，代入所求不等式得到关于的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】由不等式的解集为， 则，即， 所以不等式，即为，又， 所以，解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 4. 某催化剂的活性指标K（单位：kgPP/gCat）与反应温度t（单位：℃）满足函数关系：（其中a，b为常数），若在20℃时的活性指标为13kgPP/gCat，在40℃时的活性指标为85kgPP/gCat，则该催化剂在50℃的活性指标为（ ） A. 252kgPP/gCat B. 247kgPP/gCat C. 227kgPP/gCat D. 127kgPP/gCat 【答案】B 【解析】 【分析】由方程，，求得即可求解. 【详解】由题意可得：，， 两式相减可得：， 所以， 所以或（舍去），即，所以， 所以该催化剂在的活性指标为. 故选：B. 5. 已知函数，，若，则的最小值为（　　） A. 9 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对原函数分离常数得出，然后根据条件得出，然后根据基本不等式“1”的代换即可得解． 【详解】由题设，又，得， 整理得，且，则， u所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，通过两角差余弦公式求解即可； 【详解】因为，所以，因为，则角在第四象限， 所以， 则， 故选：C． 7. 已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件求出的范围，结合余弦函数的图象可求的取值范围. 【详解】当时，． 因为在上有且仅有2个零点， 所以，解得． 故选：C． 8. 已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过定义法确定的单调性，然后通过赋值法得到，再由已知等式关系结合函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，解之即可． 【详解】任取，且，则， 所以，且， 因为当时，，所以，所以， 所以，所以在上单调递减； 因为，所以，， 所以， 所以，解得， 因此，不等式的解集为， 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由不等式的性质逐一判断所给命题的真假． 【详解】A中，因为，可得，所以，所以A正确； B中，若，也可以，所以不正确，所以B不正确； C中，， 因为，，而，所以，即，所以C正确； D中，若，当时，则，则错误，所以D不正确． 故选：AC． 10. 已知，是函数的两个不同零点，且的最小值是，有以下四个命题正确的是（ ） A. 函数周期是； B. 函数的图象关于直线对称； C. 函数的图象关于点中心对称； D. 函数的图象可由图象向右平移个单位得到． 【答案】AB 【解析】 【分析】依题意可得的最小正周期，即可求出，从而得到解析式，再根据正弦函数的性质判断ABC，根据三角函数平移变换法则判断D. 【详解】由题意可知，函数的最小正周期，所以，所以， 所以．故选项A正确； 令，解得， 令，得的一条对称轴为，故B正确； 令，解得，即对称中心为， 无论k为何值，x均不等于，所以不是的对称中心，故C错误； 对于D，将的图象向右平移个单位长度得到： ，故D错误． 故选：AB 11. 已知函数的定义域为，对任意，满足，，且对任意，，则下列选项中，正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 对任意， D. 在上为增函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，代入，即可判断A是否正确；令，结合，即可判断B是否正确；将用替换，结合函数为奇函数，即可判断C是否正确；设任意的，且，结合对任意，，对的范围进行分析，即可判断D是否正确. 【详解】令，所以，即，故A正确； 因为函数的定义域为 对任意，满足 令，则， 又， 所以 ，即，所以函数是奇函数，故B错误； 因为函数是奇函数，对任意，则 又，所以，即，故C正确； 设任意的，且，所以 因为，所以，且，即 又，所以 所以，所以 又因为对任意，且函数是奇函数， 所以对任意，，所以， 所以，即，所以函数在上为增函数，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则______. 【答案】6 【解析】 【分析】运用代入法，结合对数的运算性质进行求值即可. 【详解】因为， 所以 故答案为：6 13. 若函数在区间上单调递增，则实数的最大值是______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据对数函数、二次函数的单调性，利用复合函数单调性求解即可. 【详解】因为为上的增函数， 所以由复合函数的单调性可知在区间上单调递增且， 所以，解得， 故答案为： 14. 已知，若对于任意的，恒成立，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据偶函数定义得是偶函数，再根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，从而利用单调性将不等式转化为，根据和分别求解a的范围，最后求交集即可. 【详解】对于函数，因为， 所以恒成立，其定义域为R， 又， 且， 所以为R上的偶函数. 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 所以等价于，即，即. 当时，恒成立，所以； 当时，恒成立，所以. 综上，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求 （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得； （2）依题意可得，分与两种情况讨论. 【小问1详解】 由，解得， 所以， 当时，， 【小问2详解】 ，， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上可得，即实数的取值范围为. 16. 为了贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某县抓住机遇，利用得天独厚的绿色资源天然氧吧，大力开发皇家山旅游康养中心游玩项目，助力脱贫.当地某旅游公司计划在2024年全年投入固定成本万元，若该项目在年有游客万人，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为100元．为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动．当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴万元． （1）求年该项目的利润（万元）关于游客人数 （万人）的函数关系式;（利润＝收入－成本）； （2）当年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）30万，最大利润为205万元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得的解析式. （2）根据二次函数的性质以及基本不等式来求得最大利润. 【小问1详解】 该项目的门票收入为万元，财政补贴收入为万元，共万元收入， 则利润 化简得. 【小问2详解】 ①当时，单调递增， ； ②当时，对应二次函数的图象开口向下，对称轴为， 则； ③当时，， 当且仅当，即时，等号成立， ． 综上，当年的游客人数为万时，利润最大，最大利润为万元． 17. 已知函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）求不等式的解集； （3）若对于恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，，则，函数转化为，，求出二次函数在上的值域，即为函数在上的值域； （2）令，可将所求不等式变形为关于的取值范围，再结合对数函数的单调性可得出的取值范围，即为所求； （3）令，，则，可得出对于恒成立，由参变量分离法可得对于恒成立，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为， 令，，则， 函数转化为，， 则二次函数， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值，即， 由，可知当时，取到最大值，即， 故当时，函数的值域为． 【小问2详解】 由题得， 令，则，即，解得或， 即或，解得或. 故不等式的解集为. 【小问3详解】 由于对于恒成立， 令，，则，即对于恒成立， 即对于恒成立，所以对于恒成立． 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，则时，， 故当时，对于恒成立． 所以，的最小值为． 18. 设函数． （1）求函数在上的最小值； （2）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （3）若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过换元法将函数变形为二次函数，同时利用分类讨论的方法求解最小值； （2）恒成立需要保证即可，对二次函数进行分析，根据取到最大值时的情况得到的范围； （3）通过条件将问题转化为二次函数在给定区间上有两个零点求的范围，这里将所有满足条件的不等式列出来，求解出的范围. 【小问1详解】 令， 则． ①当，即时，． ②当，即时，． ③当，即时，． 综上可知，； 【小问2详解】 令，由题意可知当时，，而的图象是开口向上的抛物线的一部分， 最大值一定在端点处取得，所以有， 解得，故的取值范围是； 【小问3详解】 令.由题意可知，当时， 关于的方程有两个不等实数解， 所以原题可转化为， 即在内有两个不等实数根， 令则有， 解得， 故的取值范围是. 19. 若函数的定义域与值域均为，则称为“闭区间同域函数”，称为的“同域闭区间”． （1）若函数的定义域为，证明：是“闭区间同域函数”； （2）若是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，求正实数的值； （3）设，且，若是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，求实数的值． 【答案】（1）易知函数在上单调递增， 当时，， 即函数的定义域与值域均为， 是“闭区间同域函数”． （2）1． （3），． 【解析】 【分析】（1）根据闭区间同域函数定义判断证明； （2）根据闭区间同域函数定义求解； （3）根据题意可得，分时、讨论，结合闭区间同域函数定义，的单调性判断可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数的图象开口向上，对称轴为直线， 函数在上单调递增， 当时，， 即， 所以，解得或（舍）． 当时，是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，符合题意． 正实数的值为1． 【小问3详解】 由题意得， 所以的图象是开口向上，对称轴为直线的抛物线，且， 当时，在上单调递增， ， 所以是方程的两根， 令，解得或，这与矛盾，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增，， ①当时，，不符合题意； ②当时，，解得． 经检验，是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”， 综上，，． 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是由，分时、讨论，结合闭区间同域函数定义求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $