1.3 乘法公式（第4课时完全平方公式的应用）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版2024）

北师大版（2024）七年级数学下册 第一章 整式的乘除 1.3 乘法公式 第4课时 完全平方公式的应用 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.进一步熟悉平方差公式和完全平方公式. 2.能准确运用平方差公式、完全平方公式及多项式乘以多项式的法则进行多项式的乘法运算和数的简便计算. 3.理解并掌握完全平方公式的几种变化形式. 情景导入 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 前面我们学习了完全平方公式： 口诀:首平方，尾平方，首尾乘积的2倍放中间。 新知探究 怎样计算下列两式更简单呢？ (1) 1022 (2) 1992 (1) 1022 = (100+2)2 =10 000+400+4 =10 404 (2)1992= (200 –1)2 =40 000 -400+1 =39 601 =1002+2×100×2+22 =2002-2×200×1+12 完全平方公式用于简便运算时，关键是找到与原数接近的类似整十、整百的数，再将原数变形成(a+b)2 或者(a−b)2 的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解． 归纳总结 6 例题讲解 例 计算：(1) (x+3)2 - x2； (2)(a+b+3)(a+b-3) ； (3) (x+5)2–(x-2)(x-3)； (4) [(a+b)(a-b)]2. 解：(1)方法一 (x+3)2-x2 =x2+6x+9-x2 =6x+9. 逆用平方差公式 用完全平方公式 方法二 (x+3)2-x2 =[(x+3)+x][(x+3)-x] =(2x+3)×3 =6x+9． 对于两个三项式相乘的式子，可将相同的项或互为相反数的项添括号视为一个整体，转化成平方差公式的形式，再利用平方差公式和完全平方公式进行计算. 例 计算：(1) (x+3)2 - x2； (2)(a+b+3)(a+b-3) ； (3) (x+5)2–(x-2)(x-3)； (4) [(a+b)(a-b)]2. 8 例 计算：(1) (x+3)2 - x2； (2)(a+b+3)(a+b-3) ； (3) (x+5)2–(x-2)(x-3)； (4) [(a+b)(a-b)]2. 解：(2) (a+b+3)(a+b-3) =[(a+b)+3][(a+b)-3] =(a+b)2 -32 =a2+2ab+b2-9. 9 (4) [(a+b)(a-b)]2 =(a2-b2)2 =a4-2a2b2+b4. 解：(3) (x+5)2-(x-2)(x-3) =(x2+10x+25)-(x2-2x-3x+6) =x2+10x+25-x2+5x-6 =15x+19. 例 计算：(1) (x+3)2 - x2； (2)(a+b+3)(a+b-3) ； (3) (x+5)2–(x-2)(x-3)； (4) [(a+b)(a-b)]2. 10 观察思考 观察下图，你认为(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵的点数之和一样多吗?请用所学的公式解释自己的结论。 … 1×1 2×2 3×3 解:m×m 点阵中的点数:m2； n×n 点阵中的点数:n2； m×m 点阵、n×n 点阵中的点数之和:m2+n2； (m+n)×(m+n)点阵中的点数:(m+n)2。 (m+n)2-(m2+n2)＝m2+2mn+n2-m2-n2＝2mn。 所以(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m 点阵、n×n 点阵中的点数之和不一样多。 … 1×1 2×2 3×3 概念归纳 1. 当两个三项式相乘时，先利用添括号使原式变成符合乘法公式的形式，再运用乘法公式计算. 2. 整式的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减. 特别解读 1. 添括号只是一个变形，不改变式子的值. 2. 添括号是否正确，可利用去括号检验. 随堂练习 利用整式乘法公式计算： (1) 962 (2) (a-b-3) (a-b+3) 解：962 =(100-4)2 =1002-2×100×4+42 =10000-800+16 =9216 解：(a-b-3) (a-b+3) =(a-b)2-32 =a2-2ab+b2-9 分层练习 基础题 1.运用完全平方公式计算 的最佳选择是( ) C A. B. C. D. 2.[2024大同期末] 下列计算正确的是( ) A A. B. C. D. 3.[2024武汉期末] 运用乘法公式计算 的结果 是( ) B A. B. C. D. [解析] 点拨： 。 4.[2024枣庄模拟] 已知代数式 ，其最小值为___。 1 [解析] 点拨：因为 ， 且，所以，所以 的最小值为1。 16 5.用完全平方公式进行计算： （1） ； 解： 。 （2） 。 解： 。 17 6.[2024宝鸡期中] 先化简，再求值： ，其中， . 【解】原式, 当, 时， 原式 . 18 综合应用题 7. 等于( ) C A. B. C. D. 8.[2024北京西城区期中] 已知，，则与 的 大小关系是( ) A A. B. C. D. 9.如果，，那么 ____。 79 10.如图①是由四个相同的白 色长方形和1个灰色的正方形 拼接而成的正方形瓷砖，图② 是由5个白色的长方形 8 （每个长方形大小和图①相同）和1个灰色的不规则图形构 成的长方形瓷砖.已知图①和图②中灰色图形的面积分别为35 和102，则每个白色长方形的面积为___. 20 【点拨】由题图①可得 ,即 ,由题图②可得 ,即 ,由①②得 ,所以 ,所以每个白色长方形的面积为8. 21 11.[2024淄博期中] 张老师在黑板上布置了一道题：计算 ，求当和 时的值.小亮和小新展开了 如图所示的讨论，你认为他们两人谁的说法正确？并说明理由. 22 【解】小亮的说法正确，理由如下： . 当时，原式 , 时，原式 , 所以当和 时的值相同， 所以小亮的说法正确. 23 12.[2024菏泽期中] 完全平方公式： 经过适当的变 形，可以解决很多数学问题.例如： 若，，求 的值. 解：因为， ， 所以， , 所以 ， 所以 . 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： 24 （1）若，，求 的值. 【解】因为,所以 . 所以 . 因为,所以 . 25 （2）如图，点是线段 上的一点，以 ， 为边向两边作正方形，已知 ，两正方形的面积和 ，求图中阴影部分的面积. 【解】因为, , 所以, . 所以 . 所以.易知 , 所以 . 26 创新拓展题 13.【阅读】求 的最小值. 解： . 因为的值为非负数，所以 的最小值为2， 即 的最小值为2. 【问题解决】 （1）对于多项式，当， 取何值时有 最小值？ 【解】 . 因为和 的结果都为非负数， 所以当,时， 的最小值为 3,即 的最小值为3. 28 （2）若多项式，求 的值. 【解】因为 , 所以 , 所以 . 因为与 的值都是非负数， 所以, . 所以,.所以 . 29 （3）多项式 是有最大值还是最小值？若有， 则求出最值；若没有，请说明理由. 【解】有最大值. . 因为 ,所以. 所以 . 所以多项式有最大值，最大值是 . 30 习题 1.计算： （1）(x+7y)(x-7y)； （3）(mn-3n)(mn+3n) ； （5）(-x-2y)(-x+2y) ； （2）(0.2x-0.3)(0.2x+0.3)； （4） (-2x+3y)(-2x-3y) ； （6） (5m-n)(-5m-n) 。 解：（1）原式= x2-49y2； （2）原式= 0.04x2-0.09； （3）原式= m2n2-9n2； （4）原式= 4x2-9y2； （5）原式= x2-4y2； （6）原式= n2-25m2。 2.计算： （1）(2m+3)(2m-3)； （2）x(x+1)+(2-x)(2+x) ； （3）(3x-y)(3x+y)+y(x-y) ； （4）(a+ b)(a-b)-(3a-2b)(3a+2b)。 解：（1） 原式=4m2-9； （2） 原式=x2+x+4-x2=x+4； （3） 原式=9x2-y2+xy+y2=9x2+xy； 2.计算： （1）(2m+3)(2m-3)； （2）x(x+1)+(2-x)(2+x) ； （3）(3x-y)(3x+y)+y(x-y) ； （4）(a+ b)(a-b)-(3a-2b)(3a+2b)。 （4） 原式=a2- b2- (9a2- 4b2)=a2- b2- 9a2+4b2 =-8a2+b2； 3.计算： （1） (2x+5y)2； （4） (x+)2 ； （2）(m-)2； （5）(7ab+2)2 ； （3）(-2t-1)2； （6）(-cd+)2 。 解：（1）原式=4x2+20xy+25y2； （2）原式= m2-m+； （3）原式= 4t2+4t+1； 3.计算： （1） (2x+5y)2； （4） (x+)2 ； （2）(m-)2； （5）(7ab+2)2 ； （3）(-2t-1)2； （6）(-cd+)2 。 （5）原式= 49a2b2+28ab+4 ； （4）原式= x2+y+y2； （6）原式= c2d2-cd+。 4.一个圆的半径为r(r>2)cm，半径减少 2 cm 后，这个圆的面积减少多少? 解：πr2-π(r-2)2=πr2-π(r2-4r+4) =πr2-πr2+4πr-4π =(4πr-4π)cm2。 所以这个圆的面积减少了(4πr-4π)cm2。 5.计算： （1） (2x+y+1)(2x+y-1) ； （3） (ab+1)2-(ab-1)2； （2）(x-2)(x+2)-(x+1) (x-3)； （4）(2x-y)2-4(x-y)(x+2y)。 解：（1）原式=(2x+y)2-12=4x2+4xy+y2-1； （2）原式=x2-4-(x2-3x+x-3)=2x-1； 5.计算： （1） (2x+y+1)(2x+y-1) ； （3） (ab+1)2-(ab-1)2； （2）(x-2)(x+2)-(x+1) (x-3)； （4）(2x-y)2-4(x-y)(x+2y)。 （4）原式=4x2-4xy+y2-4(x2+2xy-xy-2y2) =4x2-4xy+y2-4x2-4xy+8y2 =9y2-8xy。 （3）原式=[(ab+1)+(ab-1)]·[(ab+1)-(ab-1)] =2ab·2=4ab； 6.利用平方差公式计算： （1）1 007×993 ； （2）108×112。 解：（1）1007×993 =(1000+7)(1000-7) =10002-72 =1 000 000-49 =999 951； （2）108×112 =(110-2)(110+2) =1102-22 =12 100-4 =12 096。 7. 一个底面是正方形的长方体，高为6cm，底面正方形边长为5cm。如果它的高不变，底面正方形边长增加a cm，那么它的体积增加多少? 解： (5+a)2×6-52×6 =(25+10a+a2)×6-25×6 =150+60a+6a2-150 =(60a+6a2) cm3 所以它的体积增加了(60a+6a2)cm3。 8.利用完全平方公式计算： （1）632； （2）9982。 解：（1） 632=(60+3)2 =602+2×60×3+32 =3969； （2） 9982=(1000-2)2 =10002-2×1000×2+22 =996004。 9.借助几何图形可以直观解释平方差公式和完全平方公式，其他乘法算式是否也可以用几何图形直观解释呢? 请举例说明你的思考。 解：略。 10.计算： （1） (an+ b)(an-b) ； （2） (a+1)(a-1)(a2+1)。 解：（1） (an+ b)(an-b)=(an)2 - b2 =a2n - b2； （2） (a+1)(a-1)(a2+1)=(a2-1) (a2+1) = a4-1。 11.观察下列各式： 152=225，252=625，352=1225，······ 个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字有什么规律?为什么? 你还能找到哪些类似的规律?试举一例。 解：末尾的两个数都是 25。理由:设个位数字是5 的两位数为 10a+5，则(10a+5)2=(10a)2+2·10a·5+52= 100a2+100a+25。由此可知此数末尾的两个数为25。举例略。 12.计算：(a+b)4。 解：(a+b)4=(a+b)2(a+b)2 =(a2+2ab+b2) (a2+2ab+b2) =a4+2a3b+a2b2+2a3b+4a2b2+2ab3+a2b2+2ab3+b4 =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4。 ※13.计算：(a+b+c)2。 解： (a+b+c)2=[(a+b)+c]2 =(a+b)2+2(a+b)c+c2 =(a2+2ab+b2)+2ac+2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc。 课堂小结 简便运算 混合运算 平方差公式 的应用 实际应用:运用完全平方公式进行推理 $$