微专题5-6 三次函数的图象和性质7种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-6 三次函数的图象和性质7种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 三次函数的单调性问题 题型2 三次函数的零点问题 题型3 三次函数的极值问题 题型4 三次函数的最值问题 题型5 三次函数的切线问题 题型6 三次函数的对称问题 题型7 三次函数根与系数的关系 一、三次函数概念 定义：形如叫做三次函敞 ，把叫做三次函数导函数的判别式 当时，令，记两根为 二、对三次函数的单调性、图像中心对称性的探析 形如的函数称为三次函数.高考数学多次考查了三次函数,主要涉及三次函数的图像特征及其单调性、极值(最值)、对称性等,引起广大教师的关注. 1.三次函数的单调性、极值(最值)及其图像特征探求 三次函数的导函数为,它是二次函数,导函数的判别式为. 当时,导函数的图像开口向上,位于轴上方或与轴相切,所以,因此函数为定义域上的增函数. 当且时,导函数对应的方程有两个不相等的实根.当或时,,函数在区间和区间,内是递增的;当时,,函数在区间内是递减的. 同理当时,函数为定义域上的减函数.当时,其单调递减区间是和,单调递增区间是.根据以上分析,我们不难得到以下结论: 对于三次函数,其导函数为,导函数的判别式为. 当时,函数在定义域上单调递增无极值. 当时,函数在区间和区间内单调递增,在区间内单调递减;函数在处取得极大值,在处取得极小值. 当时,函数在定义域上单调递减无极值. 当时,函数在区间和区间内单调递减,在区间内单调递增;函数在处取得极小值,在处取得极大值. 根据和的不同情况,的特征图像如下(图1): 图1 示例1当为何值时,的图像与轴仅有一个交点? 解法1:因为,所以. 令,解得或. 因为与轴仅有一个交点,所以函数的极大值与极小值同号,即. 因而,则或. 所以当或时,与轴仅有一个交点. 解法2:因为,所以. 令,解得或. 因为与轴仅有一个交点,所以函数的极大值与极小值同号. 所以或解得 或. 2.三次函数图像中心对称性探求 我们知道,二次函数是偶函数,其图像关于轴对称;三次函数是奇函数,其图像关于点对称,三次函数的图像就是将的图像向上或向下平移个单位(当时下移,当时上移).因此,三次函数的图像关于点对称. 由三次函数的图像特征我们知道,三次函数图像不会是轴对称图形.那么三次函数图像会不会是中心对称呢?通过观察三次函数图像的特征,猜想三次函数图像中心对称.这种猜想是否正确?我们通过严格的数学方法证明如下: 证明:假设三次函数的图像中心对称,其对称中心为. 按向量将函数的图像平移,则平移后的图像对应的函数解析式为,它是奇函数,所以,化简得,上式对恒成立,故,得 所以,三次函数的图像中心对称,其对称中心的坐标为,. 三、三次函数的图像及单调性 注：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！ 系数关系式 的图像 的图像 的性质 恒成立 在上递增 无极值点 恒成立 在上递减 无极值 增区间 减区间 有两个极值点 极大值，极小值 增区间 减区间 有两个极值点 极大值，极小值 四、三次函数的零点个数 若三次函数存在极值时，其图像、零点、极值的关系如下： 性质 三次函数图像 说明 零点个数 三个 两个极值异与 图像与轴有三个交点 两个 有一个极值为0 图像与轴有两个交点 存在极值时 一个 不存在极值时， 函数单调，与轴有一个交点 五、三次函数的对称性 结论1 三次函数的图象关于点中心对称 结论2 已知三次函数中心对称点的横坐标为，两个极值点分别为，则 结论3 若图像关于点对称，则图像关于轴对称 点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数 六、三次函数的韦达定理 设的三个零点分别为，则 (1) (2) (3) (4) 七、三次函数问题的求解策略 在历年高考中, 三次函数问题作为考查导数及其应用的载体,一直是命题的热点. 那么求解三次函数问题我们应该有哪些意识呢? 1数形结合：利用导数可以得出三次函数的大致图像,通过图像可以直观看出三次函数的性质,为解题指明方向. 2分类讨论：求解这类问题要有分类讨论意识,分类标准要合理,从而做到不重不漏. 3构造函数：在函数问题的应用中,时常要构造函数,通过研究所构函数的性质来研究原函数的性质,三次函数问题也是如此. 4等价转化：三次函数的导数是二次函数,二次函数的导数是一次函数.三次函数问题可通过求导转化为二次函数问题,或结合题目条件将其合理转化为一次函数问题. 题型1 三次函数的单调性问题 【例1】三次函数在上是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对函数求导，得 因为函数在上是减函数，则在上恒成立， 即恒成立， 当，即时，恒成立； 当，即时，，则，即， 因为，所以，即； 又因为当时，不是三次函数，不满足题意， 所以. 故选：A． 【变式1】已知函数．讨论的单调性； 【解析】, 令,解得或, ①当,即时, 由得或；由得, 所以在和上单调递增；在上单调递减； ②当,即时, 恒成立,所以在上单调递增； ③当,即时, 由得或；由得, 所以在和上单调递增；在上单调递减； 综上, 当时,在和上单调递增；在上单调递减； 当时,在上单调递增； 当时,在和上单调递增；在上单调递减. 题型2 三次函数的零点问题 【例2】若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数说明函数的单调性，依题意可得，解得即可. 【详解】因为，所以当或时， 即在，上单调递增， 当时，即在上单调递减， 根据题意可得，即，解得. 故选：A 【变式1】函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可. 【详解】，则， 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，， 当，， 故的极大值为，极小值为 若要存在3个零点，则，即，解得 【变式2】已知三次函数有三个零点，，，且在点处切线的斜率为，则 . 【答案】0 【解析】令，其中，，，互不相等. 则. . 【变式3】关于函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数在上单调递减 B．当时，函数在上恒成立 C．当或时，函数有2个零点 D．当时，函数有3个零点，记为，则 【答案】D 【分析】利用导数求出函数单调性可得A错误；画出函数的图象可求得BC错误，根据零点个数可求得，令再利用三角函数值域以及倍角公式即可求得D正确. 【详解】对于A，因为函数，令，则； 当或时，，此时函数单调递增， 当时，；此时函数单调递减， 作出函数的大致图象如图，故A错； 对于B，由A选项可知，易知， 又易知时，函数单调递减，时，函数单调递增； 当时，若，不一定成立，例如当时，， 所以当，不一定成立，故B错； 对于C，方程的根即为与函数的交点横坐标， 由A可知，函数在时取得极大值1，在时取得极小值； 作出函数的图象如图， 当或时，函数有1个零点，故C错； 对于D，函数有3个零点，则可得，且； 记， 令，则，所以， 于是 ， 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将函数有3个零点的范围限定在上，再利用倍角公式即可得出结论. 【变式4】已知三次函数有三个不同的零点，函数也有三个零点，则（    ） A． B．若成等差数列，则 C． D． 【答案】ABD 【分析】求导根据两个极值点即可求解A，根据关于对称，结合等差中项即可求解B，根据图象即可求解C，利用因式分解可得，即可利用三元平方关系求解D. 【详解】由可得， 要使有三个不同的零点， 则有两个不相等的实数根，故， 即，A正确， 由于为二次函数，关于对称，因此 ， 故关于对称， 因此成等差数列，故是的对称中心，则，故B正确， 当时，作出的图象，则的图象与的图象交点如图所示， 由于，故，故C错误，    对于D，根据， 展开可得， 故， 同理可得的三个实数根为， 则， 故， 因此， 故， 即得，故D正确， 故选：ABD 关键点点睛：根据因式分解可得，进而根据求解. 【变式5】已知三次函数有两个零点，若方程有四个实数根，则实数a的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】一定有两零点与，所以只需或共有四个根即可．结合有两个零点，所以必有或．然后分两种情况结合函数图象讨论即可.由，则得或 三次函数有两个零点，且程有四个实数根， 所以只需或共有四个根即可， 所以或. 又方程有四个实数根，则或共有四个根. 在,上单调递增，在单调递减. 当时，，要满足条件，作出函数的大致图像.(如图①) 则，即，解得. 当，得，要满足条件，作出函数的大致图像.(如图②) 则，即，解得. 综上所述，当时，方程有四个实数根. 故选：C 题型3 三次函数的极值问题 【例3】已知，是函数两个极值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数导数，解方程得出极值点，计算可判断选项. 【详解】，令，解得， 所以，故AB不正确； ，故C正确D错误. 故选：C 【变式1】已知函数在处取得极大值，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据极值点求参数，再由所得参数验证在处是否取得极大值，即可得答案. 【详解】由题设，则，可得或， 当时， 当或时，则在和上递增， 当时，则在上递减， 此时在处取得极小值，不符； 当时， 当或时，则在和上递增， 当时，则在上递减， 此时在处取得极大值，符合； 综上，. 故选：C 【变式2】若是函数的极小值点，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得，即可得到的值，然后代入检验，再由函数极值的求解，代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 又是函数的极小值点，所以，解得或， 当时，， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 即是的极大值点，不符合题意，故舍去； 当时，， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 即是的极大值点，是的极小值点，符合题意， 此时， 所以的极大值为. 故选：D 【变式3】设是函数的两个极值点，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先求导，再结合已知条件与韦达定理即可求出结果. 【详解】由题意得，又是函数的两个极值点， 则是方程的两个根， 故， 又，则，即，则， 则，所以，解得， 此时. 故选：C． 【变式4】已知函数的导函数，若函数有一极大值点为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令且恒成立，根据的极值点得到矛盾，有两个不同的零点，利用三次函数性质判断单调性，进而求参数范围. 【详解】由题意，令， 若恒成立，易知：当时，当时， 所以是的极小值点，不合题意，故有两个不同零点． 设的两个零点分别为，则， 结合三次函数的图象与性质知： ， 在、上，单调递减，在、上，单调递增，是的极大值点，符合题意， 此时需，得，所以实数的取值范围为． 故选：D. 【变式5】【多选】已知三次函数，则（   ） A．函数一定有两个极值点 B．当时， C．当时，的极小值为0 D．在区间上的值域为 【答案】BCD 【分析】对于AD，利用特例法可判断其正误，对于B，利用作差法可判断其正误，对于C，判断导数的符号可判断其正误. 【详解】对于A，当时，，该函数在上为增函数，无极值点，故A 错误； 对于B，， 而，故，故，所以， 故B正确； 对于C，， 若，则，此时当或时，， 当时，，故在处取极小值； 若，则，此时当或时，， 当时，，故在处取极小值； 故C正确； 对于D，当，时， 则当或时，，当时，， 故在为减函数，在上为增函数， 取，则， 考虑方程在上是否有解， 设，则， ， 由零点存在定理可得在上存在零点，设该零点为，则, 则在上的值域为， 故D成立， 故选：BCD. 题型4 三次函数的最值问题 【例4】已知三次函数在上单调递增，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在上单调递增，恒成立， ，，，， ， 令，设， 则， ，，（当且仅当，即时取等号）， ，即的最小值为. 故选：. 【变式1】已知三次函数的导函数，，为实数. (1)若曲线在点处切线的斜率为12，求的值； (2)若在区间上的最小值，最大值分别为 ，1，且，求函数的解析式. 【解析】（1）由已知，三次函数的导函数， 曲线在点处切线的斜率为12， 由导数的几何意义=12，∴   ∴,∴. （2）∵, ∴， 由 得,, ∵，， ∴当时，，递增； 当时，，递减． ∴在区间上的最大值为， ∵，∴ ， ∵，， ∴,∴是函数的最小值， ∴,∴， ∴. 【变式2】设三次函数(b，c为实数)的导数为，设，若在R上是增函数，则的最大值为 . 【答案】 【解析】 , ， ， 恒成立 ， 故， ， 令， ， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 题型5 三次函数的切线问题 【例5】已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 首先由奇偶性求得时的解析式，再结合导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】因为，，， 又由是偶函数，， 令，则， 根据是偶函数，， 得到时，， 所以，时，，， 故曲线在处的切线方程为， 即. 故选：C. 【变式1】已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线和曲线相切得到，结合导数及函数零点的个数可得答案. 【详解】点不在函数的图象上， 则，即， 设过点的直线与的图象相切于， 则切线的斜率，整理可得， 则问题可转化为只有一个零点，且， 令，可得或， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 即当时，有极大值，当时，有极小值， 要使仅有一个零点， 或 故选：B 【变式2】若过点可作曲线三条切线，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】设出切点，求导，得到切线方程，将代入切线方程，得到，故有三个实数根，令，求导，得到其单调性和极值点情况，从而得到不等式，求出答案. 【详解】设切点为，则， ，故，且切线方程为， 因为在切线上，故， 整理得， 因为过点可作曲线三条切线， 故有三个实数根， 设，则， 由得，或， 因为，由得或，此时单调递增， 由得，此时单调递减， 所以的极大值点为，极小值点为， 故要有三个实数根的充要条件为， 即，解得. 故选：D 【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面： (1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数； (2) 已知斜率求切点即解方程； (3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. 【变式3】已知函数． (1)当时,若直线与曲线相切,求； (2)若直线与曲线恰有两个公共点,求． 【解析】（1）当时,,, 因为直线与曲线相切, 设切点为,则切线斜率, 可得,解得或, 所以或． （2）因为直线与曲线恰有两个公共点, 所以方程, 即方程有两个不等实根, 因为是方程的一个根； 当时,方程可化为（*）, 依题意,方程（*）有不等于的唯一根, 因为,若,则（*）即,,满足条件； 若,则由,解得：． 综上所述,或． 【变式4】已知函数在点处的切线方程为．若经过点可以作出曲线的三条切线，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】∵，∴， 根据题意得，解得， ∴函数的解析式为， 设切点为，则，，故切线的斜率为， 由题意得，即， ∵过点可作曲线的三条切线， ∴方程有三个不同的实数解， ∴函数有三个不同的零点． 由于， ∴当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增． ∴当时，有极大值，且极大值为； 当时，有极小值，且极小值为． ∵函数有3个零点，∴，解得． ∴实数的取值范围是． 故答案为： 题型6 三次函数的对称问题 【例6】设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则 . 【答案】 【解析】由题意，，，令解得，又，故的对称中心为.故当时，. 故答案为： 【变式1】函数图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的对称中心为，利用对任意恒成立，即可求出和. 【详解】设的对称中心为，则对任意恒成立， 代入解析式，有， 即对任意恒成立， 所以，解得，故对称中心为. 故答案为：B. 【变式2】已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据对称性可得，由此可构造方程求得结果. 【详解】图象关于点对称，， 又 ， ， ，解得：，. 故选：D. 【变式3】【多选】已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】AC 【分析】求出导函数，利用导函数的符号及极值的概念判断A，根据单调性及极值的符号判断B，先利用奇函数定义求得的对称中心，进而利用平移法求得的对称中心判断C，根据导数的几何意义求得切点坐标，进而求解切线方程判断D. 【详解】由题意，，令，得， 令，得或，令，得； 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以是极值点，故A正确； 因为，， 所以函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为R，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位长度得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又，当切点为时， 切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误． 故选：AC 【变式4】已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．若，则（    ） A．0 B．4 C． D． 【答案】B 【解析】二级结论：三次函数对称中心的横坐标是其二阶导数的零点。由题，，故二阶导函数的零点为，即对称中心的横坐标为1， 设对称中心为，则，可解得， 由，故 题型7 三次函数根与系数的关系 【例7】【多选】已知三次函数有三个不同的零点，若函数也有三个不同的零点，则下列等式或不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A，由题意可得有两个不同的实根，则，从而可进行判断，对于B，根据图象分析判断，对于CD，由零点的定义结合方程化简变形进行判断. 【详解】，因为原函数有三个不同的零点，则有两个不同的实根， 即，则，即，所以A错误； 因为三次函数有三个不同的零点， 所以， 所以， 同理， 所以，故C正确，D错误； 由的图象与直线的交点可知，B正确． 故选：BC．    【变式1】【多选】已知函数，若，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】 根据函数，求导后可判断原函数的单调性，根据数形结合思想，令，则，可判断出，，，由三次方程的韦达定理为，，，凑出选项，利用不等式的性质或者函数的单调性求出范围即可. 【详解】因为，， 所以， 所以当时，，当时，或， 所以当时，单调递减， 当或时，单调递增， 且当时，， 当时，， 且时，或， ， ， 整理得：， 所以的对称中心为， 如图所示：    令，则由图可知： ，，，所以A错误； B选项中，， 又因为，所以，且， 所以， 所以， 因为在上单调递减，故，所以，B正确； C选项中，根据三次方程的韦达定理知，， 所以，所以C正确； D选项中，因为，，， 所以，由，知，， 由B知，，所以， 故，又，所以，所以D正确. 【变式2】【多选】已知三次函数有三个不同的零点，函数.则（    ） A． B．若成等差数列，则 C．若恰有两个不同的零点，则 D．若有三个不同的零点，则 【答案】ABD 【解析】，，，对称中心为，对A：因为有三个零点，所以必有两个极值点，所以，，A正确； 对B，由成等差数列，及三次函数的中心对称性可知， 所以， 又，故，所以，所以，故B正确； 对C：，即， 若恰有两个零点，则或必为极值点； 若为极值点，则该方程的三个根为，，，由一元三次方程的韦达定理可知：； 若为极值点，同理可得，故C错； 对D：由韦达定理， 得， 即，故D正确. 故选：ABD. $$2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-6 三次函数的图象和性质7种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 三次函数的单调性问题 题型2 三次函数的零点问题 题型3 三次函数的极值问题 题型4 三次函数的最值问题 题型5 三次函数的切线问题 题型6 三次函数的对称问题 题型7 三次函数根与系数的关系 一、三次函数概念 定义：形如叫做三次函敞 ，把叫做三次函数导函数的判别式 当时，令，记两根为 二、对三次函数的单调性、图像中心对称性的探析 形如的函数称为三次函数.高考数学多次考查了三次函数,主要涉及三次函数的图像特征及其单调性、极值(最值)、对称性等,引起广大教师的关注. 1.三次函数的单调性、极值(最值)及其图像特征探求 三次函数的导函数为,它是二次函数,导函数的判别式为. 当时,导函数的图像开口向上,位于轴上方或与轴相切,所以,因此函数为定义域上的增函数. 当且时,导函数对应的方程有两个不相等的实根.当或时,,函数在区间和区间,内是递增的;当时,,函数在区间内是递减的. 同理当时,函数为定义域上的减函数.当时,其单调递减区间是和,单调递增区间是.根据以上分析,我们不难得到以下结论: 对于三次函数,其导函数为,导函数的判别式为. 当时,函数在定义域上单调递增无极值. 当时,函数在区间和区间内单调递增,在区间内单调递减;函数在处取得极大值,在处取得极小值. 当时,函数在定义域上单调递减无极值. 当时,函数在区间和区间内单调递减,在区间内单调递增;函数在处取得极小值,在处取得极大值. 根据和的不同情况,的特征图像如下(图1): 图1 示例1当为何值时,的图像与轴仅有一个交点? 解法1:因为,所以. 令,解得或. 因为与轴仅有一个交点,所以函数的极大值与极小值同号,即. 因而,则或. 所以当或时,与轴仅有一个交点. 解法2:因为,所以. 令,解得或. 因为与轴仅有一个交点,所以函数的极大值与极小值同号. 所以或解得 或. 2.三次函数图像中心对称性探求 我们知道,二次函数是偶函数,其图像关于轴对称;三次函数是奇函数,其图像关于点对称,三次函数的图像就是将的图像向上或向下平移个单位(当时下移,当时上移).因此,三次函数的图像关于点对称. 由三次函数的图像特征我们知道,三次函数图像不会是轴对称图形.那么三次函数图像会不会是中心对称呢?通过观察三次函数图像的特征,猜想三次函数图像中心对称.这种猜想是否正确?我们通过严格的数学方法证明如下: 证明:假设三次函数的图像中心对称,其对称中心为. 按向量将函数的图像平移,则平移后的图像对应的函数解析式为,它是奇函数,所以,化简得,上式对恒成立,故,得 所以,三次函数的图像中心对称,其对称中心的坐标为,. 三、三次函数的图像及单调性 注：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！ 系数关系式 的图像 的图像 的性质 恒成立 在上递增 无极值点 恒成立 在上递减 无极值 增区间 减区间 有两个极值点 极大值，极小值 增区间 减区间 有两个极值点 极大值，极小值 四、三次函数的零点个数 若三次函数存在极值时，其图像、零点、极值的关系如下： 性质 三次函数图像 说明 零点个数 三个 两个极值异与 图像与轴有三个交点 两个 有一个极值为0 图像与轴有两个交点 存在极值时 一个 不存在极值时， 函数单调，与轴有一个交点 五、三次函数的对称性 结论1 三次函数的图象关于点中心对称 结论2 已知三次函数中心对称点的横坐标为，两个极值点分别为，则 结论3 若图像关于点对称，则图像关于轴对称 点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数 六、三次函数的韦达定理 设的三个零点分别为，则 (1) (2) (3) (4) 七、三次函数问题的求解策略 在历年高考中, 三次函数问题作为考查导数及其应用的载体,一直是命题的热点. 那么求解三次函数问题我们应该有哪些意识呢? 1数形结合：利用导数可以得出三次函数的大致图像,通过图像可以直观看出三次函数的性质,为解题指明方向. 2分类讨论：求解这类问题要有分类讨论意识,分类标准要合理,从而做到不重不漏. 3构造函数：在函数问题的应用中,时常要构造函数,通过研究所构函数的性质来研究原函数的性质,三次函数问题也是如此. 4等价转化：三次函数的导数是二次函数,二次函数的导数是一次函数.三次函数问题可通过求导转化为二次函数问题,或结合题目条件将其合理转化为一次函数问题. 题型1 三次函数的单调性问题 【例1】三次函数在上是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数．讨论的单调性； 题型2 三次函数的零点问题 【例2】若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知三次函数有三个零点，，，且在点处切线的斜率为，则 . 【变式3】关于函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数在上单调递减 B．当时，函数在上恒成立 C．当或时，函数有2个零点 D．当时，函数有3个零点，记为，则 【变式4】已知三次函数有三个不同的零点，函数也有三个零点，则（    ） A． B．若成等差数列，则 C． D． 【变式5】已知三次函数有两个零点，若方程有四个实数根，则实数a的范围为（    ） A． B． C． D． 题型3 三次函数的极值问题 【例3】已知，是函数两个极值点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数在处取得极大值，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】若是函数的极小值点，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】设是函数的两个极值点，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4】已知函数的导函数，若函数有一极大值点为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5】【多选】已知三次函数，则（   ） A．函数一定有两个极值点 B．当时， C．当时，的极小值为0 D．在区间上的值域为 题型4 三次函数的最值问题 【例4】已知三次函数在上单调递增，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知三次函数的导函数，，为实数. (1)若曲线在点处切线的斜率为12，求的值； (2)若在区间上的最小值，最大值分别为 ，1，且，求函数的解析式. 【变式2】设三次函数(b，c为实数)的导数为，设，若在R上是增函数，则的最大值为 . 题型5 三次函数的切线问题 【例5】已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若过点可作曲线三条切线，则（    ） A． B． C．或 D． 【变式3】已知函数． (1)当时,若直线与曲线相切,求； (2)若直线与曲线恰有两个公共点,求． 【变式4】已知函数在点处的切线方程为．若经过点可以作出曲线的三条切线，则实数的取值范围为 ． 题型6 三次函数的对称问题 【例6】设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则 . 【变式1】函数图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式3】【多选】已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【变式4】已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．若，则（    ） A．0 B．4 C． D． 题型7 三次函数根与系数的关系 【例7】【多选】已知三次函数有三个不同的零点，若函数也有三个不同的零点，则下列等式或不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【变式1】【多选】已知函数，若，其中，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】【多选】已知三次函数有三个不同的零点，函数.则（    ） A． B．若成等差数列，则 C．若恰有两个不同的零点，则 D．若有三个不同的零点，则 $$