数学（河北卷）-学易金卷：2025年中考第一次模拟考试

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第一次模拟考试（河北卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列选项中为负数的是（   ） A．3 B． C． D． 2．将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则（   ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是(    ） A． B． C． D． 4．如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴影的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有（     ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 5．一组数据1， 2， 3， 3， 4，5． 若添加一个数据3， 则下列统计量中，发生变化的是（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 6．如图，A是某公园的进口和出口，B、C、D是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么从A，B，C，D四个出口中恰好在C出口出来的概率为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，在中，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点D，E．其中点B，C，D，E处的读数分别为8、16、10.5、14.5，已知直尺宽为3，则中边上的高为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．如图，直线l：，，点B是l上的整点（横、纵坐标都是整数），设线段所在直线的解析式为，则符合条件的整数k有（    ） A．4个 B．8个 C．7个 D．无数多个 9．已知是方程的两根，求代数式的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是（   ） 淇淇： ①韦达定理求出，的值； ②化简； ③将步骤①中的，的值代入到步骤②化简后的结果中，解得代数式的值为 嘉嘉： ①解方程； ②化简； ③将步骤①中的解，代入到步骤②化简后的结果中，解得代数式的值为 A．嘉嘉，淇淇都对 B．嘉嘉对，淇淇不对 C．嘉嘉不对，淇淇对 D．嘉嘉，淇淇都不对 10．若，互为倒数，且，则分式的值为（    ） A．0 B． C． D．1 11．如图1，，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 12．图1是一组邻边分别为，（），一个内角为的平行四边形，图中的虚线是其对边中点的连线，用剪刀沿虚线把它剪成四个四边形，把这四个四边形按图2拼成一个六边形，则中间空白部分的面积是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．计算： ． 14．如图，在平面直角坐标系中，有一个由四个边长为1的正方形组成的图案，其中点A坐标为，则点B坐标为 ． 15．如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上， 点，分别为两个正六边形的中心． 则的值为 ． 16．如图，在矩形中，，，为边的中点，连接，，点，分别是，边上的两个动点，连接，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）如图所示的是一张白色卡片甲和两张灰色卡片乙、丙，上面分别写有一个整式．现从这三张卡片中进行抽取，规定抽到灰色卡片，就减去上面的整式，抽到白色卡片，就加上上面的整式． (1)已知抽到甲、丙两张卡片，计算结果的值可能是1吗？请判断并说明理由； (2)已知同时抽到甲、乙、丙这三张卡片，若计算结果的值为0，求x的值． 18．（8分）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动减去，同时区就会自动加上，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是4和，如图． 例如：第一次按键后，，两区分别显示： (1)从初始状态按2次后，若区、区的代数式的值相等，求的值； (2)已知，从初始状态按4次后，若把区的代数式作分子，区的代数式作分母得到一个分式，请将这个分式化简． 19．（8分）某校开展主题为“与书为友，悦读人生”的读书活动，以提升青少年的课外阅读兴趣．为了解学生课外阅读时间的情况，从七年级学生中随机抽取一部分学生对他们两周的课外阅读时间进行调查． 信息一：图15是根据学生第一周的课外阅读时间绘制成的统计图表． 第一周阅读时间（h） 7 8 9 10 人数（人） 4 3 a 10    信息二：在第二周调查时，发现第一周课外阅读时间为的四名学生第二周课外阅读时间分别为，其他学生的课外阅读时间不变． 根据上述信息，解答下列问题： (1)本次调查采取的调查方式是____________，a的值为____________； (2)第二周课外阅读时间的平均数比第一周提高了多少？ (3)从第一周课外阅读时间为的四名学生中随机抽取2名学生，求抽取的2人恰好在第二周课外阅读时间为的概率． 20．（8分）已知，对于平面直角坐标系中的点，若点（其中为常数，且，则称点为点的“系好点”．例如：的“系好点”为，即． (1)求点的“系好点”的坐标； (2)若点P在轴的正半轴上，点的“系好点”为点，，求的值； (3)已知点在第二象限，且满足，点为点的“系好点”，求的值． 21．（9分）如图1，扇形纸片，，，P是半径上的一动点，连接，把沿翻折，点O的对称点为Q． (1)当时，求折痕的长； (2)如图2，当点Q恰好落在上， ①求线段和的长，并比较大小；（比较大小时可参考数据，） ②求阴影部分的面积（结果保留根号）． 22．（9分）粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，是粒子真空室，是两个加速电极，高速飞行的粒子在点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过时被加速，达到一定的速度在点引出，粒子注入和引出路径都与相切．已知：，粒子注入路径与夹角，所对的圆心角是． (1)求粒子在环形运动过程中，粒子到的最远距离； (2)比较与的长度哪个更长； (3)若粒子被注入粒子加速器后，三次经过被加速后被引出粒子加速器，求粒子在粒子加速器内飞行距离．（相关数据：） 23．（11分）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． (1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 24．（12分）如图1，在，，点D是射线上一动点，连接，以为边在右侧作正方形，连接． (1)若G为的中点，连接，求的最小值； (2)当点D在线段上运动时． ①求的度数； ②连接交线段于点H，若，求的长； (3)如图2，当点D在线段的延长线上时，延长交于点M，连接．若，直接写出的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（河北卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列选项中为负数的是（   ） A．3 B． C． D． 2．将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则（   ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是(    ） A． B． C． D． 4．如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴影的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有（     ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 5．一组数据1， 2， 3， 3， 4，5． 若添加一个数据3， 则下列统计量中，发生变化的是（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 6．如图，A是某公园的进口和出口，B、C、D是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么从A，B，C，D四个出口中恰好在C出口出来的概率为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，在中，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点D，E．其中点B，C，D，E处的读数分别为8、16、10.5、14.5，已知直尺宽为3，则中边上的高为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．如图，直线l：，，点B是l上的整点（横、纵坐标都是整数），设线段所在直线的解析式为，则符合条件的整数k有（    ） A．4个 B．8个 C．7个 D．无数多个 9．已知是方程的两根，求代数式的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是（   ） 淇淇： ①韦达定理求出，的值； ②化简； ③将步骤①中的，的值代入到步骤②化简后的结果中，解得代数式的值为 嘉嘉： ①解方程； ②化简； ③将步骤①中的解，代入到步骤②化简后的结果中，解得代数式的值为 A．嘉嘉，淇淇都对 B．嘉嘉对，淇淇不对 C．嘉嘉不对，淇淇对 D．嘉嘉，淇淇都不对 10．若，互为倒数，且，则分式的值为（    ） A．0 B． C． D．1 11．如图1，，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 12．图1是一组邻边分别为，（），一个内角为的平行四边形，图中的虚线是其对边中点的连线，用剪刀沿虚线把它剪成四个四边形，把这四个四边形按图2拼成一个六边形，则中间空白部分的面积是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．计算： ． 14．如图，在平面直角坐标系中，有一个由四个边长为1的正方形组成的图案，其中点A坐标为，则点B坐标为 ． 15．如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上， 点，分别为两个正六边形的中心． 则的值为 ． 16．如图，在矩形中，，，为边的中点，连接，，点，分别是，边上的两个动点，连接，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）如图所示的是一张白色卡片甲和两张灰色卡片乙、丙，上面分别写有一个整式．现从这三张卡片中进行抽取，规定抽到灰色卡片，就减去上面的整式，抽到白色卡片，就加上上面的整式． (1)已知抽到甲、丙两张卡片，计算结果的值可能是1吗？请判断并说明理由； (2)已知同时抽到甲、乙、丙这三张卡片，若计算结果的值为0，求x的值． 18．（8分）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动减去，同时区就会自动加上，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是4和，如图． 例如：第一次按键后，，两区分别显示： (1)从初始状态按2次后，若区、区的代数式的值相等，求的值； (2)已知，从初始状态按4次后，若把区的代数式作分子，区的代数式作分母得到一个分式，请将这个分式化简． 19．（8分）某校开展主题为“与书为友，悦读人生”的读书活动，以提升青少年的课外阅读兴趣．为了解学生课外阅读时间的情况，从七年级学生中随机抽取一部分学生对他们两周的课外阅读时间进行调查． 信息一：图15是根据学生第一周的课外阅读时间绘制成的统计图表． 第一周阅读时间（h） 7 8 9 10 人数（人） 4 3 a 10    信息二：在第二周调查时，发现第一周课外阅读时间为的四名学生第二周课外阅读时间分别为，其他学生的课外阅读时间不变． 根据上述信息，解答下列问题： (1)本次调查采取的调查方式是____________，a的值为____________； (2)第二周课外阅读时间的平均数比第一周提高了多少？ (3)从第一周课外阅读时间为的四名学生中随机抽取2名学生，求抽取的2人恰好在第二周课外阅读时间为的概率． 20．（8分）已知，对于平面直角坐标系中的点，若点（其中为常数，且，则称点为点的“系好点”．例如：的“系好点”为，即． (1)求点的“系好点”的坐标； (2)若点P在轴的正半轴上，点的“系好点”为点，，求的值； (3)已知点在第二象限，且满足，点为点的“系好点”，求的值． 21．（9分）如图1，扇形纸片，，，P是半径上的一动点，连接，把沿翻折，点O的对称点为Q． (1)当时，求折痕的长； (2)如图2，当点Q恰好落在上， ①求线段和的长，并比较大小；（比较大小时可参考数据，） ②求阴影部分的面积（结果保留根号）． 22．（9分）粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，是粒子真空室，是两个加速电极，高速飞行的粒子在点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过时被加速，达到一定的速度在点引出，粒子注入和引出路径都与相切．已知：，粒子注入路径与夹角，所对的圆心角是． (1)求粒子在环形运动过程中，粒子到的最远距离； (2)比较与的长度哪个更长； (3)若粒子被注入粒子加速器后，三次经过被加速后被引出粒子加速器，求粒子在粒子加速器内飞行距离．（相关数据：） 23．（11分）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． (1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 24．（12分）如图1，在，，点D是射线上一动点，连接，以为边在右侧作正方形，连接． (1)若G为的中点，连接，求的最小值； (2)当点D在线段上运动时． ①求的度数； ②连接交线段于点H，若，求的长； (3)如图2，当点D在线段的延长线上时，延长交于点M，连接．若，直接写出的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 2025 年中考第一次模拟考试（河北卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3 分，共 12 分） 13．_________________ 14．___________________ 15．__________________ 16．__________________ 一、选择题（每小题 3 分，共 36 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 8 个小题，共 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7 分） 18. （8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （8 分） 20. （8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（9 分） 22.（9 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （11 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12 分） 2025年中考第一次模拟考试（河北卷） 数学·全解全析 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列选项中为负数的是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘方、求一个数的绝对值、负数的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 先将各数化简，再根据负数小于0逐项判断即可． 【详解】解：A、3是正数，不符合题意； B、，为正数，不符合题意； C、，为负数，符合题意； D、为正数，不符合题意； 故选：C． 2．将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．先根据三角板可得，再根据角的和差可得，然后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：如图，由题意可知，， 两个三角板中有刻度的边互相垂直， ， ， 故选：D． 3．下列运算正确的是(    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是合并同类项的法则和幂的运算性质．分别根据合并同类项的法则、幂的乘方运算法则和同底数幂的乘除法法则逐项计算即可． 【详解】解：A、，所以本选项不符合题意； B、，所以本选项符合题意； C、，所以本选项不符合题意； D、，所以本选项不符合题意； 故选：B． 4．如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴影的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有（     ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特征是解题关键．根据正方体展开图的特征，即可获得答案． 【详解】解：取一个小正方形涂上阴影，满足题意的有， 共计4种涂法． 故选：C． 5．一组数据1， 2， 3， 3， 4，5． 若添加一个数据3， 则下列统计量中，发生变化的是（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】D 【分析】分别根据平均数，中位数，众数和方差的定义计算出添加数据前后的平均数，中位数，众数和方差即可得到答案。 【详解】解：A．原平均数是： ， 添加一个数据3后的平均数是： ， ∴平均数不发生变化； B．原众数是 3；添加一个数据3后的众数是：3；∴众数不发生变化； C．原中位数是3，添加一个数据3后的中位数是3；∴中位数不发生变化； D．原方差是： ， 添加一个数据3后的方差是： ， ∴方差发生了变化． 故选 D． 【点睛】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数的，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键． 6．如图，A是某公园的进口和出口，B、C、D是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么从A，B，C，D四个出口中恰好在C出口出来的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列出所有等可能结果，从所有结果中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．本题考查了概率公式，找到所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率． 【详解】解：从口进入，出口有A、、、四种情况，其中从口出的只有1种结果， 从A、、、四个出口中恰好在出口出来的概率为， 故选：B． 7．如图，在中，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点D，E．其中点B，C，D，E处的读数分别为8、16、10.5、14.5，已知直尺宽为3，则中边上的高为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题关键．过点A作于点F，交于点G．根据题意可确定，，，，即易证，得出．结合，求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于点F，交于点G． 由题意可知，，，， ∴，， ∴． ∵， ∴，即， ∴． 故选D． 8．如图，直线l：，，点B是l上的整点（横、纵坐标都是整数），设线段所在直线的解析式为，则符合条件的整数k有（    ） A．4个 B．8个 C．7个 D．无数多个 【答案】B 【分析】先设出点B的坐标，再根据题意，可以用含m的代数式表示出k和b，然后根据m、k均为整数，即可求得k的值，从而可以得到符合条件的整数k的个数． 本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：设点B的坐标为， 点，点在直线上， 解得， ∵m，k均为整数， ∴，此时；，此时；，此时；，此时；，此时；，此时；，此时；，此时； 由上可得，符合条件的整数k有8个， 故选：B． 9．已知是方程的两根，求代数式的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是（   ） 淇淇： ①韦达定理求出，的值； ②化简； ③将步骤①中的，的值代入到步骤②化简后的结果中，解得代数式的值为 嘉嘉： ①解方程； ②化简； ③将步骤①中的解，代入到步骤②化简后的结果中，解得代数式的值为 A．嘉嘉，淇淇都对 B．嘉嘉对，淇淇不对 C．嘉嘉不对，淇淇对 D．嘉嘉，淇淇都不对 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系，若是一元二次方程的两个根，则有，，根据根与系数的关系求解即可得出答案． 【详解】淇淇的解法： 根据韦达定理：，， ； 嘉嘉的解法： ， ， 解得：， ， ，， 原式， 嘉嘉，淇淇都对， 故选：A． 10．若，互为倒数，且，则分式的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了同分母分式的减法，分式的化简求值，倒数的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据分式的减法进行计算，再化简，结合倒数的定义，最后求得答案． 【详解】，互为倒数， 故选：D． 11．如图1，，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键．首先推导出，利用三角形相似求出关于的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解． 【详解】解：，， ． ， ． ， ． ， ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线过点， ， 解得， ， ， ． 故选：A． 12．图1是一组邻边分别为，（），一个内角为的平行四边形，图中的虚线是其对边中点的连线，用剪刀沿虚线把它剪成四个四边形，把这四个四边形按图2拼成一个六边形，则中间空白部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，解直角三角形的应用，根据题意表示出与，作出辅助线，求出的值，根据平行四边形的判定，判断出四边形为平行四边形，进而求出平行四边形的面积，即为中间空白部分的面积． 【详解】解：如图，由题意可知，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，，， 过点K作于T，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．计算： ． 【答案】 【分析】根据乘法公式、实数的运算法则处理． 【详解】原式= = =． 【点睛】本题考查实数的运算；灵活对运算式变形，采用合适的公式巧算是解题的关键． 14．如图，在平面直角坐标系中，有一个由四个边长为1的正方形组成的图案，其中点A坐标为，则点B坐标为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得：向右平移2个单位，再向下平移3个单位可得点B，再利用平移的性质可得答案． 【详解】解：如图， 四个边长为1的正方形组成的图案，点A坐标为， 向右平移2个单位，再向下平移3个单位可得点B， 所以 即 故答案为： 【点睛】本题考查的是正方形的性质，坐标与图形，点的平移的坐标规律，熟练的运用点的平移坐标规律是解本题的关键． 15．如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上， 点，分别为两个正六边形的中心． 则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．连接，过点作，垂足为E， 根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为E， 设正六边形的边长为a，则， 在中，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图，在矩形中，，，为边的中点，连接，，点，分别是，边上的两个动点，连接，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或 【分析】如图1所示，当时，过点H作于M，则，设，则，，利用勾股定理求出，证明，再解直角三角形得到，则，解方程即可得到答案；如图2所示，当时，过点G作于M，则，解，求出，则． 【详解】解：如图1所示，当时，过点H作于M， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 在中，， ∴在中，， ∴， 解得，即， ∴； 如图2所示，当时，过点G作于M， ∴， 由折叠的性质可得， 在中，， ∴， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，解直角三角形，三线合一定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）如图所示的是一张白色卡片甲和两张灰色卡片乙、丙，上面分别写有一个整式．现从这三张卡片中进行抽取，规定抽到灰色卡片，就减去上面的整式，抽到白色卡片，就加上上面的整式． (1)已知抽到甲、丙两张卡片，计算结果的值可能是1吗？请判断并说明理由； (2)已知同时抽到甲、乙、丙这三张卡片，若计算结果的值为0，求x的值． 【分析】本题考查整式的加减运算、一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及一元二次方程的解法，本题属于基础题型． (1) 假设抽到甲、丙两张卡片计算结果的值是1，列出方程，然后将方程整理为一般式，再根据根的判别式即可解答； (2)根据题意列出方程，进而解方程即可求出x的值． 【详解】（1）解：不可能，理由： 假设抽到甲、丙两张卡片计算结果的值是1， 由题意可知：， ， ， ， ， ， 该方程没有实数根， 抽到甲、丙两张卡片的计算结果的值不可能是1； （2）解：由题意可知， ， ， ， ， 解得：或． 18．（8分）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动减去，同时区就会自动加上，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是4和，如图． 例如：第一次按键后，，两区分别显示： (1)从初始状态按2次后，若区、区的代数式的值相等，求的值； (2)已知，从初始状态按4次后，若把区的代数式作分子，区的代数式作分母得到一个分式，请将这个分式化简． 【分析】本题考查了数字类规律问题、分式的化简和解一元二次方程的知识， （1）根据题意列出算式，再进一步得出一元二次方程，解方程即可； （2）根据A区、B区的计算结果列出分式，结合完全平方公式进行化简即可． 【详解】（1）A区显示的结果为：； B区显示的结果为：， 根据区、区的代数式的值相等可得：， 整理得：， 解得：，， 即的值为或者； （2）设从初始状态按4次后， A区显示的结果为：； B区显示的结果为：， 根据题意有分式：， 化简结果为：． 19．（8分）某校开展主题为“与书为友，悦读人生”的读书活动，以提升青少年的课外阅读兴趣．为了解学生课外阅读时间的情况，从七年级学生中随机抽取一部分学生对他们两周的课外阅读时间进行调查． 信息一：图15是根据学生第一周的课外阅读时间绘制成的统计图表． 第一周阅读时间（h） 7 8 9 10 人数（人） 4 3 a 10    信息二：在第二周调查时，发现第一周课外阅读时间为的四名学生第二周课外阅读时间分别为，其他学生的课外阅读时间不变． 根据上述信息，解答下列问题： (1)本次调查采取的调查方式是____________，a的值为____________； (2)第二周课外阅读时间的平均数比第一周提高了多少？ (3)从第一周课外阅读时间为的四名学生中随机抽取2名学生，求抽取的2人恰好在第二周课外阅读时间为的概率． 【分析】本题考查了抽样调查法，求平均数，用列表法求概率． （1）根据题意，本次调查采取了抽样调查的调查方式，由扇形途中第一周课外阅读时间为的人数占，可求出本次抽样的总人数，再根据表格即可求出a的值； （2）由四名课外阅读为的学生第二周阅读时间分别为，可知第二周课外阅读时间为的人数分别为4人，10人，11人，再根据平均数的计算公式分别求出第一周和第二周课外阅读时间的平均数，进而即可得出答案； （3）将四名学生在第二周课外阅读时间为的用A表示，课外阅读时间为的用B表示，课外阅读时间为的用C表示，列表格即可求解． 【详解】（1）根据题意，本次调查采取了抽样调查的调查方式， 总人数是人，则； （2）第一周课外阅读时间为的人数为8人， 第一周课外阅读时间的平均数为， 四名课外阅读为的学生第二周阅读时间分别为， 第二周课外阅读时间为的人数分别为4人，10人，11人， 第二周课外阅读时间的平均数为， ， 答：第二周课外阅读时间的平均数比第一周提高了； （3）将四名学生在第二周课外阅读时间为的用A表示，课外阅读时间为的用B表示，课外阅读时间为的用C表示， 列表如下：    由表格可知，共有12种等可能的结果，抽取的2人恰好在第二周课外阅读时间为的结果有2种， ． 20．（8分）已知，对于平面直角坐标系中的点，若点（其中为常数，且，则称点为点的“系好点”．例如：的“系好点”为，即． (1)求点的“系好点”的坐标； (2)若点P在轴的正半轴上，点的“系好点”为点，，求的值； (3)已知点在第二象限，且满足，点为点的“系好点”，求的值． 【分析】（1）根据“系好点”的定义列式计算即可求解， （2）设，其中，则，得到，即可求解， （3）点为点的“系好点”，可得到A为，由得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵点P＇是点的“－2系好点”， ∴，即； （2）解：设，其中，则， ∴轴，∴， ∵，， ∴，解得； （3）解：∵的“1系好点”A为， ∴，， 又∵，∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴． 【点睛】本题主要考查了考查坐标与图形的性质，熟练掌握新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键． 21．（9分）如图1，扇形纸片，，，P是半径上的一动点，连接，把沿翻折，点O的对称点为Q． (1)当时，求折痕的长； (2)如图2，当点Q恰好落在上， ①求线段和的长，并比较大小；（比较大小时可参考数据，） ②求阴影部分的面积（结果保留根号）． 【分析】本题属于圆的综合题，主要考查了折叠的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，弧长的计算等知识点； （1）当时，平分，此时点与点重合，由勾股定理得； （2）①证得 为等边三角形，进而求得的长为，，，进一步比较即可； ②首先求出的长，然后依据代入数据解答即可． 【详解】（1）当时，平分，此时点与点重合， ， ， ，， ； （2）①当点恰好落在上时，连接，如图2， 把沿翻折，点的对称点为， ， ∴ 为等边三角形， ， 的长为， 平分， ， ， ， ∴； ②，， ， ． 22．（9分）粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，是粒子真空室，是两个加速电极，高速飞行的粒子在点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过时被加速，达到一定的速度在点引出，粒子注入和引出路径都与相切．已知：，粒子注入路径与夹角，所对的圆心角是． (1)求粒子在环形运动过程中，粒子到的最远距离； (2)比较与的长度哪个更长； (3)若粒子被注入粒子加速器后，三次经过被加速后被引出粒子加速器，求粒子在粒子加速器内飞行距离．（相关数据：） 【分析】（1）如图所示，过点作于点，延长交于点，连接，根据切线的性质可得，根据垂径定理可得，，根据正切值的计算可得，根据勾股定理可得，所以，当粒子到达点时，离的距离最远，最远距离为； （2）根据弧长公式计算得的长约为，由此即可求解； （3）由（1）可得，，可求出圆的周长，的长度，的长度，所以粒子三次经过被加速后被引出，粒子在加速器内飞行距离为：倍圆的周长与的长度的和，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，延长交于点，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵是的弦，是弦心距，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当粒子到达点时，离的距离最远，最远距离为； （2）解：的长度更长， 理由：∵所对的圆心角为，且， ∴的长度为：，且， ∵， ∴的长度更长； （3）解：由（1）可得，， ∴圆的周长为：，则绕行两次的周长为：，的长度为：，的长度为：， ∴粒子三次经过被加速后被引出，粒子在加速器内飞行距离为：． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合知识，掌握圆的基础知识，切线的性质，锐角三角函数的计算，弧长公式，垂径定理，合理作出辅助线，图形结合思想是解题的关键． 23．（11分）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． (1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式； （2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可； （3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离． 【详解】（1）解：根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，， 设第一象限内的抛物线解析式为， 将点代入物线解析式， ， 解得， 第一象限内的抛物线解析式为； （2）解：根据题意，令， 即， 解得，， ，抛物线开口向下， 当时，， 的取值范围为； （3）解：作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示， ， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， ， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程只有一个根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， 即， 射灯射出的光线与地面成角， ， ， ， ， 光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解直角三角形，一次函数的平移与性质，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式． 24．（12分）如图1，在，，点D是射线上一动点，连接，以为边在右侧作正方形，连接． (1)若G为的中点，连接，求的最小值； (2)当点D在线段上运动时． ①求的度数； ②连接交线段于点H，若，求的长； (3)如图2，当点D在线段的延长线上时，延长交于点M，连接．若，直接写出的值． 【分析】（1）取的中点，根据正方形的性质，证明，可得，当最小时，最小，而当时，最小，再由三角函数求出即可； （2）①根据正方形的性质，证明，分两种情况讨论，当点E在下方时，证明五点共圆，即可求出答案，同理，当点E在上方时，证明五点共圆，即可求出答案； ②先证明，得，再分别求出，，证明得，证明得，进而可得，可得，再由值代入即可求出； （3）过点C作于点P， 过点E作于点Q，于点T，可证四边形是矩形，再证，进而可证是等腰直角三角形，再依次求出，，，即可求出． 【详解】（1）解：取的中点， G为的中点，是的中点， ，， ，， 四边形是正方形，，， 在， ，， ，， ，， 当最小时，最小， 当时，最小， 在中，， 的最小值为； （2）①解：四边形是正方形，， ，， ，， ，， ， 如图3，当点E在下方时，设交于点K， 交于点L， ， ，四点共圆， 四边形是正方形，四点共圆， 五点共圆，， ； 如图4， 当点E在上方时，设交于点O， ，四点共圆， 四边形是正方形，四点共圆， 五点共圆，， ， 综上所述，当点D在线段上运动时，的度数为或； ② 交线段于点H，点E在下方，如图5， 由①知， ，， ， 在中， ， ， 四边形是正方形， ， ，，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ； （3）如图6，过点C作于点P， 过点E作于点Q，于点T， ， 在中，， ， ，，， ， 由（2）①得，，， 四边形是正方形，， ，，， ， ，四边形是矩形， ， ， ，， ，，， ， ， ， ，是等腰直角三角形， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数，正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 3 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第一次模拟考试（河北卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共36分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共12分） 13．_________________ 14．___________________ 15．__________________ 16．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 18. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （8分） 20. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（9分） 22.（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （11分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（河北卷） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D B C D B D B A D A D 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13． 14． 15． 16．或 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【分析】本题考查整式的加减运算、一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及一元二次方程的解法，本题属于基础题型． (1) 假设抽到甲、丙两张卡片计算结果的值是1，列出方程，然后将方程整理为一般式，再根据根的判别式即可解答； (2)根据题意列出方程，进而解方程即可求出x的值． 【详解】（1）解：不可能，理由： 假设抽到甲、丙两张卡片计算结果的值是1， 由题意可知：， ， ， ，···································1分 ， ， 该方程没有实数根，··································3分 抽到甲、丙两张卡片的计算结果的值不可能是1； （2）解：由题意可知， ， ， ，··································5分 ， 解得：或．··································7分 18．（8分） 【分析】本题考查了数字类规律问题、分式的化简和解一元二次方程的知识， （1）根据题意列出算式，再进一步得出一元二次方程，解方程即可； （2）根据A区、B区的计算结果列出分式，结合完全平方公式进行化简即可． 【详解】（1）A区显示的结果为：； B区显示的结果为：， 根据区、区的代数式的值相等可得：， 整理得：，··································2分 解得：，， 即的值为或者；··································4分 （2）设从初始状态按4次后， A区显示的结果为：； B区显示的结果为：， 根据题意有分式：， 化简结果为：．··································8分 19．（8分） 【分析】本题考查了抽样调查法，求平均数，用列表法求概率． （1）根据题意，本次调查采取了抽样调查的调查方式，由扇形途中第一周课外阅读时间为的人数占，可求出本次抽样的总人数，再根据表格即可求出a的值； （2）由四名课外阅读为的学生第二周阅读时间分别为，可知第二周课外阅读时间为的人数分别为4人，10人，11人，再根据平均数的计算公式分别求出第一周和第二周课外阅读时间的平均数，进而即可得出答案； （3）将四名学生在第二周课外阅读时间为的用A表示，课外阅读时间为的用B表示，课外阅读时间为的用C表示，列表格即可求解． 【详解】（1）根据题意，本次调查采取了抽样调查的调查方式， 总人数是人，则；··································2分 （2）第一周课外阅读时间为的人数为8人， 第一周课外阅读时间的平均数为， 四名课外阅读为的学生第二周阅读时间分别为， 第二周课外阅读时间为的人数分别为4人，10人，11人， 第二周课外阅读时间的平均数为， ，··································4分 答：第二周课外阅读时间的平均数比第一周提高了； （3）将四名学生在第二周课外阅读时间为的用A表示，课外阅读时间为的用B表示，课外阅读时间为的用C表示， 列表如下：    由表格可知，共有12种等可能的结果，抽取的2人恰好在第二周课外阅读时间为的结果有2种， ．··································8分 20．（8分） 【分析】（1）根据“系好点”的定义列式计算即可求解， （2）设，其中，则，得到，即可求解， （3）点为点的“系好点”，可得到A为，由得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵点P＇是点的“－2系好点”， ∴，即；··································2分 （2）解：设，其中，则， ∴轴， ∴， ∵，， ∴，解得；··································5分 （3）解：∵的“1系好点”A为， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴．··································8分 【点睛】本题主要考查了考查坐标与图形的性质，熟练掌握新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键． 21．（9分） 【分析】本题属于圆的综合题，主要考查了折叠的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，弧长的计算等知识点； （1）当时，平分，此时点与点重合，由勾股定理得； （2）①证得 为等边三角形，进而求得的长为，，，进一步比较即可； ②首先求出的长，然后依据代入数据解答即可． 【详解】（1）当时，平分，此时点与点重合， ， ， ，， ；··································2分 （2）①当点恰好落在上时，连接，如图2， 把沿翻折，点的对称点为， ， ∴ 为等边三角形， ， 的长为，··································4分 平分，， ， ， ∴；··································6分 ②，， ， ．······················9分 22．（9分） 【分析】（1）如图所示，过点作于点，延长交于点，连接，根据切线的性质可得，根据垂径定理可得，，根据正切值的计算可得，根据勾股定理可得，所以，当粒子到达点时，离的距离最远，最远距离为； （2）根据弧长公式计算得的长约为，由此即可求解； （3）由（1）可得，，可求出圆的周长，的长度，的长度，所以粒子三次经过被加速后被引出，粒子在加速器内飞行距离为：倍圆的周长与的长度的和，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，延长交于点，连接， ∵是的切线，∴， ∵，∴， ∵是的弦，是弦心距，，， ∴，， ∴，··································1分 ∴， ∴， ∴， ∴，··································3分 当粒子到达点时，离的距离最远，最远距离为； （2）解：的长度更长， 理由：∵所对的圆心角为，且， ∴的长度为：，且，·································5分 ∵， ∴的长度更长；··································6分 （3）解：由（1）可得，， ∴圆的周长为：，则绕行两次的周长为：，的长度为：，的长度为：，···························9分 ∴粒子三次经过被加速后被引出，粒子在加速器内飞行距离为：． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合知识，掌握圆的基础知识，切线的性质，锐角三角函数的计算，弧长公式，垂径定理，合理作出辅助线，图形结合思想是解题的关键． 23．（11分） 【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式； （2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可； （3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离． 【详解】（1）解：根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，， 设第一象限内的抛物线解析式为， 将点代入物线解析式， ， 解得，··································2分 第一象限内的抛物线解析式为；··································3分 （2）解：根据题意，令， 即， 解得，， ，抛物线开口向下， 当时，， 的取值范围为；··································6分 （3）解：作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示， ，， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式，得， 整理得，··································7分 直线与抛物线相切， 方程只有一个根， ， 解得， 直线的解析式为，··································8分 令，则， ， ， 即，··································9分 射灯射出的光线与地面成角， ， ， ， ，··································11分 光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解直角三角形，一次函数的平移与性质，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式． 24．（12分） 【分析】（1）取的中点，根据正方形的性质，证明，可得，当最小时，最小，而当时，最小，再由三角函数求出即可； （2）①根据正方形的性质，证明，分两种情况讨论，当点E在下方时，证明五点共圆，即可求出答案，同理，当点E在上方时，证明五点共圆，即可求出答案； ②先证明，得，再分别求出，，证明得，证明得，进而可得，可得，再由值代入即可求出； （3）过点C作于点P， 过点E作于点Q，于点T，可证四边形是矩形，再证，进而可证是等腰直角三角形，再依次求出，，，即可求出． 【详解】（1）解：取的中点， G为的中点，是的中点， ，， ，， 四边形是正方形， ，， 在， ，， ，， ，， 当最小时，最小， 当时，最小， 在中，， 的最小值为；··································2分 （2）①解：四边形是正方形，， ，， ，， ，，， 如图3，当点E在下方时，设交于点K， 交于点L， ，，四点共圆， 四边形是正方形，四点共圆， 五点共圆，， ；··································4分 如图4， 当点E在上方时，设交于点O， ，四点共圆， 四边形是正方形，四点共圆， 五点共圆，， ，··································5分 综上所述，当点D在线段上运动时，的度数为或； ② 交线段于点H，点E在下方，如图5， 由①知， ，，， 在中， ，， 四边形是正方形，， ，， ，，， ，， ，， ，，， ， ，， ；·································9分 （3）如图6，过点C作于点P， 过点E作于点Q，于点T， ， 在中，， ， ， ，， ， 由（2）①得，，， 四边形是正方形，， ，，， ， ，四边形是矩形， ， ， ，， ，，， ， ， ， ，是等腰直角三角形， ， ， ， ．··································12分 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数，正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$