第08讲 完全平方公式与平方差公式（5个知识清单+8类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪科版2024）

第08讲 完全平方公式与平方差公式 课程标准 学习目标 1 完全平方公式 2完全平方公式的几何背景 3 完全平方式 4 平方差公式 5平方差公式的几何背景 1、推导公式,并能用该公式进行计算。 2、经历探索平方差公式的过程，培养观察、交流、归纳、猜想、验证等能力，领悟数形结合、从一般到特殊数学思想方法。 3、培养创新意识和合作精神，树立实事求是的科学态度。 【学习重点】平方差公式的应用 【学习难点】对公式的理解及灵活应用 知识点01 完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 【即学即练1】 1．（2023春•青阳县期末）已知，，则　　，　　． 【即学即练2】 2．（2023春•定远县校级期中）已知，，请比较和的大小． 以下是小明的解答： ，， ． 小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答． 知识点02完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 【即学即练1】 3．（2023春•宿州月考）如图，长为，宽为的长方形的周长为16，面积为12，则的值为　　 A．88 B．70 C．64 D．40 【即学即练2】 4．（2023春•霍邱县期末）阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：就可以用图①的面积来表示． （1）请写出图②所表示的代数恒等式． （2）请画图，用平面几何图形的面积来表示代数恒等式． 知识点03 完全平方式 完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式． a2±2ab+b2＝（a±b）2 完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）” 【即学即练1】 5．（2023春•肥西县期末）下列多项式，为完全平方式的是　　 A． B． C． D． 【即学即练2】 6．（2023春•合肥月考）已知：是完全平方式，则　　． 知识点04 平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 【即学即练1】 7．（2023春•庐阳区校级期中）下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 【即学即练2】 8．（2023春•庐阳区校级期中）观察下列等式：；；，，小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子“”的值，这个值为　　 A． B． C． D． 知识点05平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 【即学即练1】 9．（2023春•包河区期中）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式　　 A． B． C． D． 【即学即练2】 10．（2023春•涡阳县期中）如图所示由图1到图2的变换． （1）根据图中的阴影部分的面积关系直接写出等式是：　　； （2）根据（1）的等式计算： ①已知，，则　　 ②计算：． 题型01 运用平方差公式进行运算 1．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·安徽宿州·期末）计算： ． 3．（23-24七年级下·安徽池州·期末）观察下列等式： ①；②；③；… (1)写出第个等式，并说明等式的正确性； (2)上述等式左边都可以用前后两个差为4的整数的平方差表示，问2024是否可以写成两个差为4的整数的平方差？如果能，请写出这两个整数；如果不能，请说明理由． 题型02运用完全平方公式进行运算 4．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）已知三个实数，，满足，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）已知，则 ． 6．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）我们容易发现：． (1)观察以上各式，请判断与之间的大小关系，并说明理由； (2)利用（1）中的结论，当，时，求的最小值； (3)根据（1）中的结论猜想与之间的大小关系，并说明理由． 题型03 通过对完全平方公式变形求值 7．（23-24七年级下·安徽六安·期中）已知，则的值是（    ） A．1 B． C．3 D．4 8．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知实数a满足，则的值是 ． 9．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． (1)若，，求的值． (2)若，求的值． (3)根据上面的解题思路与方法解决下列题：如图，是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和为20，求的面积．      题型04 求完全平方式中的字母系数 10．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）若使是一个完全平方式，那么整数m值为（    ） A． B． C．18 D． 11．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）若可以用完全平方公式来分解因式，则m的值为 ． 12．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）利用乘法公式，解答下列问题： (1)填空：若多项式是一个完全平方式，则______； (2)已知，，且，求的值； (3)已知，求的值． 题型05平方差公式与几何图形 13．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图①，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两部分阴影面积相等可以验证的数学公式为（    ） A． B． C． D． 14．（21-22七年级下·安徽合肥·期末）长方形的面积是，如果它的一边长为，则它的周长是 ． 15．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）小玲是某校七年级的学生，她家有一块正方形的菜地，因为修高铁，把这块菜地的东边缩短了．老村长建议在这块菜地（缩短后）的南边加长，小玲的父母认为得到了合理的补偿，于是就同意了，而小玲却提出了反对意见，认为这样她家这块菜地的面积减少了．你认为小玲的说法正确吗？为什么？ 题型06完全平方公式在几何图形中的应用 16．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，点B是线段上一点，以、为边向外做正方形，面积分别为、，若，，三角形的面积是（    ）    A．6 B．7 C．8 D．5 17．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）如图1，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得到图2，图2中阴影部分的面积为4．将图1中的两个正方形A，B并排放置后构造新的正方形得到图3，图3中阴影部分的面积为30，则图1中两个正方形A与B的面积之和为 ． 18．（23-24七年级下·安徽六安·期末）（1）如图，对一个正方形进行了分割，可得到我们学习过的一个乘法公式，其为_______； （2）利用（）中等量关系解决下面的问题： ，，求的值； 如图，点是线段上的一点，分别以，为边向线段两侧作正方形，正方形，设，两正方形的面积和为，求的面积． 题型07 完全平方式在几何图形中的应用 19．（20-21七年级下·安徽合肥·期末）如图，长方形的周长为16，以这个长方形的四条边为边分别向外作四个正方形，若四个正方形的面积和等于68，则长方形的面积为（    ） A．20 B．18 C．15 D．12 20．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，请直接写出之间的等量关系 ．    23．（七年级下·安徽合肥·期中）如图，将一张矩形大铁皮切割成九块，切痕如下图虚线所示，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长宽分别是、的全等小矩形，且． (1)用含的代数式表示切痕的总长为 ; (2)若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求该矩形大铁皮的周长． 题型08整式的混合运算 22．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 23．（20-21七年级下·安徽合肥·期末）计算： 24．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）先化简，再求值，其中． 一、单选题 1．若9a2＋24ab＋k是一个完全平方式，则k的值可能为(　　) A．2b2 B．4b2 C．8b2 D．16b2 2．运用乘法公式计算的结果是（  ） A． B． C． D． 3．下列能用平方差公式计算的是(　　) A． B． C． D． 4．下列能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 5．已知（a+b）2=7，（a﹣b）2=4，则a2+b2的值为（ ） A．11 B．3 C． D． 6．下列运算中，计算正确的是（ ） A．2a•3a=6a B．（2a2）3=8a6 C．a8÷a4=a2 D．（a+b）2=a2+b2 7．化简(m＋1)2－(1－m)(1＋m)的正确结果是( 　 ) A．2m2 B．2m＋2 C．2m2＋2m D．0 8．计算（x2＋1）（x＋1）（x－1）的结果是（　  ） A．x4＋１ B．x4－１ C．( x＋１)4 D．( x－１)4 9．计算的值为（   ） A．5048 B．50 C．4950 D．5050 10．对于任何实数，我们规定符号的意义是：．按照这个规定请你计算：当时，的值为（    ） A． B． C．0 D．1 二、填空题 11．把写成公式的形式： ． 12．若是完全平方式，则 ． 13．如图，，为线段上一点（），分别以、为边向上作正方形和正方形，，则 ． 14．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，如：；此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期 ． 三、解答题 15．先化简再求值：，其中， x ，y25. 16．已知，求代数式的值． 17．计算：（1） （2）(2x＋y)(2x－y)＋(x＋y)2－2(2x2－xy) 18．已知a+b=3，ab=﹣1．求代数式下列代数式的值 ① ②． 19．计算． (1) (2) 20．已知：x+y=3,xy=1,试求： (1)x+y的值； (2)(x-y)的值. 21．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中， 22．计算 (1)； (2)； (3)先化简，再求值：，其中，． 23．计算： （1）；            （2）；            （3）； （4）；            （5）；          （6）． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 完全平方公式与平方差公式 课程标准 学习目标 1 完全平方公式 2完全平方公式的几何背景 3 完全平方式 4 平方差公式 5平方差公式的几何背景 1、推导公式,并能用该公式进行计算。 2、经历探索平方差公式的过程，培养观察、交流、归纳、猜想、验证等能力，领悟数形结合、从一般到特殊数学思想方法。 3、培养创新意识和合作精神，树立实事求是的科学态度。 【学习重点】平方差公式的应用 【学习难点】对公式的理解及灵活应用 知识点01 完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 【即学即练1】 1．（2023春•青阳县期末）已知，，则　　，　　． 【分析】先根据完全平方公式展开，再相加、相减，即可求出答案． 【解答】解：，， ①，②， ①②得：， 即， ①②得：， 即， 故答案为：6，． 【点评】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式的内容是解此题的关键，注意：，． 【即学即练2】 2．（2023春•定远县校级期中）已知，，请比较和的大小． 以下是小明的解答： ，， ． 小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答． 【分析】小明的解答过程有误，利用作差法判断大小即可． 【解答】解：小明的解答过程有误， 正确解答为： ，， ， 当时，，即，此时； 当时，，即，此时． 【点评】此题考查了完全平方公式，以及整式的加减，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键． 知识点02完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 【即学即练1】 3．（2023春•宿州月考）如图，长为，宽为的长方形的周长为16，面积为12，则的值为　　 A．88 B．70 C．64 D．40 【分析】由题意知，，，再把变形为，然后再整体代入求解即可． 【解答】解：由题意知，，． ． ． 故选：． 【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法进行因式分解是解决本题的关键． 【即学即练2】 4．（2023春•霍邱县期末）阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：就可以用图①的面积来表示． （1）请写出图②所表示的代数恒等式． （2）请画图，用平面几何图形的面积来表示代数恒等式． 【分析】（1）根据“大长方形的面积两个小正方形（面积为两个小正方形（面积为个长方形（面积为”即可得出代数恒等式； （2）设计一个两条邻边分别为，的长方形即可． 【解答】解：（1）大长方形是由两个面积为的正方形、两个面积为的正方形及5个面积为的长方形组成， 大长方形的面积为：， 又大长方形两邻边的长分别为：，， 大长方形的面积为：， 图②所表示的代数恒等式为：． （2）如图为所求： 理由如下： 大长方形由两个面积为的正方形，一个面积为的正方形及三个面积为的长方形组成，而大长方形的两条邻边长分别为：，， ． 【点评】此题主要考查了几何背景下的多项式乘多项式，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握多项式乘多项式的计算法则． 知识点03 完全平方式 完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式． a2±2ab+b2＝（a±b）2 完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）” 【即学即练1】 5．（2023春•肥西县期末）下列多项式，为完全平方式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据完全平方式对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：、没有乘积二倍项，故本选项错误； 、，平方项不符合，故本选项错误； 、是完全平方式，故本选项正确； 、，乘积二倍项不符合，故本选项错误． 故选：． 【点评】此题主要考查了完全平方公式，注意两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式． 【即学即练2】 6．（2023春•合肥月考）已知：是完全平方式，则　　． 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【解答】解：是完全平方公式， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是关键． 知识点04 平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 【即学即练1】 7．（2023春•庐阳区校级期中）下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 【分析】平方差公式的使用条件：两个代数式相乘，其中两项相同，两项互为相反数即可判断． 【解答】解：．两个多项式与，其中相同的两项是与，互为相反数的两项是与，符合平方差公式的使用条件， 故此选项不符合题意； ．两个多项式与，其中相同的两项是与，互为相反数的两项是与，符合平方差公式的使用条件， 故此选项不符合题意； ．两个多项式与，其中相同的两项是与，互为相反数的两项是与，符合平方差公式的使用条件， 故此选项不符合题意； ．两个多项式与，其中没有相同的项，互为相反数的项是与，与，不符合平方差公式的使用条件， 故此选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查平方差公式的使用条件，理解使用条件是解题的关键． 【即学即练2】 8．（2023春•庐阳区校级期中）观察下列等式：；；，，小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子“”的值，这个值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据上面的规律，可知，进一步求解即可． 【解答】解：根据上面的规律，可知， ， 故选：． 【点评】本题考查了平方差公式，规律型，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 知识点05平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 【即学即练1】 9．（2023春•包河区期中）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式　　 A． B． C． D． 【分析】图甲中阴影的面积等于边长为的正方形面积减去边长为的正方形面积，即，图乙中平行四边形底边为，高为，即面积，两面积相等所以等式成立． 【解答】解：两个图中的阴影部分的面积相等， 即甲的面积，乙的面积． ． 所以验证成立的公式为：． 故选：． 【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键． 【即学即练2】 10．（2023春•涡阳县期中）如图所示由图1到图2的变换． （1）根据图中的阴影部分的面积关系直接写出等式是：　　； （2）根据（1）的等式计算： ①已知，，则　　 ②计算：． 【分析】（1）根据正方形和长方形的面积公式解答即可； （2）①根据平方差公式因式分解可得答案； （3）利用平方差公式计算即可． 【解答】解：（1）由题意可知，所求等式为：， 故答案为：； （2）①， ， 故答案为：5； （3） ． 【点评】本题考查了平方差公式的几何背景及平方差公式的应用，解题的关键熟练掌握平方差公式，并进行灵活运用． 题型01 运用平方差公式进行运算 1．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式的结构特征进行判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式，故该选项不正确，不符合题意； B、 ，不能用平方差公式，故该选项不正确，不符合题意； C、，不能用平方差公式，故该选项不正确，不符合题意； D、，能用平方差公式，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（21-22七年级下·安徽宿州·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的特点是解决问题的关键．利用平方差公式进行计算，即可得出答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·安徽池州·期末）观察下列等式： ①；②；③；… (1)写出第个等式，并说明等式的正确性； (2)上述等式左边都可以用前后两个差为4的整数的平方差表示，问2024是否可以写成两个差为4的整数的平方差？如果能，请写出这两个整数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，说明见解析； (2)能，255，251． 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据规律即可得出答案； （2）将2024除以8，看结果是否整除进行判断即可． 【详解】（1）解：第个等式为：， 证明：左边， 右边， 左边右边， 即； （2）解：，即， ，， ， 因此2024能写成两个差为4的整数的平方差，即， 这两个整数为：255，251． 题型02运用完全平方公式进行运算 4．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）已知三个实数，，满足，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算、不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，等式的性质以及完全平方公式的应用；将得到，根据得出，将，代入即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 综上：，， 故选：B． 5．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）已知，则 ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式运算和代数式的知识，设，则；根据题意，得；再将代入到代数式中计算，即可得到答案． 【详解】∵ ∴ 设，则 ∴，即 ∴ 故答案为：． 6．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）我们容易发现：． (1)观察以上各式，请判断与之间的大小关系，并说明理由； (2)利用（1）中的结论，当，时，求的最小值； (3)根据（1）中的结论猜想与之间的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)2 (3)，见解析 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了完全平方公式以及变形应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）根据以上各式的规律求解即可； （2）根据（1）中的结论求解即可； （3）根据完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵ ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∴取得最小值2； （3），理由如下： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 题型03 通过对完全平方公式变形求值 7．（23-24七年级下·安徽六安·期中）已知，则的值是（    ） A．1 B． C．3 D．4 【答案】B 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练应用完全平方公式进行求解是解题的关键．根据题意原式可化为，再运用完全平方公式计算，应用整体思想合并同类项，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知实数a满足，则的值是 ． 【答案】7 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，根据已知条件设元求解是关键．设，，得，，利用完全平方公式变形得，代入计算即可得答案． 【详解】解：设，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：7． 9．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． (1)若，，求的值． (2)若，求的值． (3)根据上面的解题思路与方法解决下列题：如图，是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和为20，求的面积．      【答案】(1)7 (2)7 (3)4 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键． （1）利用完全平方公式变形求值即可得； （2）先求出，再利用完全平方公式变形求值即可得； （3）设，则，再利用完全平方公式变形求值即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴ ． （3）解：设， ∵，两正方形的面积和为20， ∴，， 由上面的解题思路与方法可知，， ∴， ∴， ∴的面积为． 题型04 求完全平方式中的字母系数 10．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）若使是一个完全平方式，那么整数m值为（    ） A． B． C．18 D． 【答案】B 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值； 此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【详解】是一个完全平方式 故选：B． 11．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）若可以用完全平方公式来分解因式，则m的值为 ． 【答案】25 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：25． 12．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）利用乘法公式，解答下列问题： (1)填空：若多项式是一个完全平方式，则______； (2)已知，，且，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)49 【知识点】求完全平方式中的字母系数、通过对完全平方公式变形求值、求一个数的算术平方根 【分析】此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用． （1）根据完全平方公式的结构特征求解即可； （2）根据完全平方公式的变形求解即可； （3）设，得到，，得到，然后求解即可． 【详解】（1）∵多项式是一个完全平方式， ∴ ∴； （2）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，且， ∴ ∴ ∴． （3）设， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 题型05平方差公式与几何图形 13．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图①，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两部分阴影面积相等可以验证的数学公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查几何图形验证平方差公式，分别表示出图①和图②中阴影面积，即可解答． 【详解】解：图①中阴影面积为， 图②中阴影面积为， 根据根据两部分阴影面积相等可以得到． 故选：B 14．（21-22七年级下·安徽合肥·期末）长方形的面积是，如果它的一边长为，则它的周长是 ． 【答案】6x﹣2y 【知识点】平方差公式与几何图形、多项式除以单项式、整式加减的应用 【分析】利用长方形的面积先求另一边的长，再根据周长公式求解． 【详解】解：∵2（x2﹣y2）÷（x+y）=2（x+y）（x﹣y）÷（x+y）=2（x﹣y）， ∴长方形的另一边的长为2（x-y）， ∴长方形的周长=2[2（x﹣y）+（x+y）]=2（2x﹣2y+x+y）=2（3x﹣y）=6x﹣2y． 所以它的周长是：6x﹣2y． 故答案为6x﹣2y． 【点睛】本题考查了整式的除法运算和加减运算，要注意平方差公式的运用． 15．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）小玲是某校七年级的学生，她家有一块正方形的菜地，因为修高铁，把这块菜地的东边缩短了．老村长建议在这块菜地（缩短后）的南边加长，小玲的父母认为得到了合理的补偿，于是就同意了，而小玲却提出了反对意见，认为这样她家这块菜地的面积减少了．你认为小玲的说法正确吗？为什么？ 【答案】小玲的说法正确，理由见解析 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式的应用；设正方形的菜地的边长为，根据正方形的菜地面积减去长方形的菜地面积，即可求解． 【详解】解：小玲的说法正确，理由如下： 设正方形的菜地的边长为，依题意， ∴小玲的说法正确，她家这块菜地的面积减少了． 题型06完全平方公式在几何图形中的应用 16．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，点B是线段上一点，以、为边向外做正方形，面积分别为、，若，，三角形的面积是（    ）    A．6 B．7 C．8 D．5 【答案】A 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式在面积问题中在应用，设小正方形的边长为，大正方形的边长为，由正方形的面积得，将此式化为，即可求解；掌握、、之间的关系是解题的关键． 【详解】解：设小正方形的边长为，大正方形的边长为， ，， ， ， ， ， ， ； 故答案：A． 17．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）如图1，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得到图2，图2中阴影部分的面积为4．将图1中的两个正方形A，B并排放置后构造新的正方形得到图3，图3中阴影部分的面积为30，则图1中两个正方形A与B的面积之和为 ． 【答案】34 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．设正方形，的边长分别为a，b，根据图形得出，，然后得出，的面积之和即可． 【详解】解：设正方形，的边长分别为a，b， 由题意知，，， 即，， ， 故答案为：． 18．（23-24七年级下·安徽六安·期末）（1）如图，对一个正方形进行了分割，可得到我们学习过的一个乘法公式，其为_______； （2）利用（）中等量关系解决下面的问题： ，，求的值； 如图，点是线段上的一点，分别以，为边向线段两侧作正方形，正方形，设，两正方形的面积和为，求的面积． 【答案】（）；（）；． 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式及其在几何图形中的应用，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （）用两种计算方法表示大正方形的面积即可； （） 利用即可求解；设，，则，，再利用完全平方公式的变形即可求解． 【详解】解：（）大正方形的面积方法一：，方法二：， ∴， 故答案为：， （）当，时， ∴；           设，，则，， ∴， ∴． 题型07 完全平方式在几何图形中的应用 19．（20-21七年级下·安徽合肥·期末）如图，长方形的周长为16，以这个长方形的四条边为边分别向外作四个正方形，若四个正方形的面积和等于68，则长方形的面积为（    ） A．20 B．18 C．15 D．12 【答案】C 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用 【分析】设长方形的长为x，宽为y．依据长方形的周长为16，四个正方形的面积之和为68可得到2x+2y=16，2x2+2y2=68，最后依据完全平方公式进行变形可求得xy的值． 【详解】解：设长方形的长为x，宽为y． 根据题意可知：2x+2y=16，2x2+2y2=68， 所以x+y=8，x2+y2=34． 所以64-2xy=34． 解得：xy=15． 所以长方形ABCD的面积为15． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是完全平方公式的应用，依据完全平方公式得到64-2xy=34是解题的关键． 20．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，请直接写出之间的等量关系 ．    【答案】 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用 【分析】分别求出图2中大正方形，阴影及小长方形的面积，即可得到等式． 【详解】解：图2中大正方形的面积为，阴影图形的面积为，四个小长方形的面积为， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方公式与几何图形，正确理解图形的构成及计算每部分的面积是解题的关键． 23．（七年级下·安徽合肥·期中）如图，将一张矩形大铁皮切割成九块，切痕如下图虚线所示，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长宽分别是、的全等小矩形，且． (1)用含的代数式表示切痕的总长为 ; (2)若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求该矩形大铁皮的周长． 【答案】（1）；（2）84 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用 【分析】（1）根据切痕长有两横两纵列出算式，再根据合并同类项法则整理即可； （2）根据小矩形的面积和正方形的面积列出算式，再利用完全平方公式整理求出m+n的值，然后根据矩形的周长公式整理求解即可． 【详解】解：（1）切痕总长=2[（m+2n）+（2m+n）]， =2（m+2n+2m+n）， =6m+6n； 故答案为：6m+6n； （2）由题意得：mn=48，2m2+2n2=200， ∴m2+n2=100， ∴（m+n）2=m2+n2+2mn=196， ∵m+n＞0， ∴m+n=14， ∴周长=2（m+2n+2m+n）=6m+6n=6（m+n）=84（cm）． 【点睛】本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形周长和面积展开分析． 题型08整式的混合运算 22．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【知识点】整式的混合运算 【分析】根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案. 【详解】解：由题意，得 ． 因为，，，，，， 所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环． 因为，所以的末位数字为6，所以的末位数字为5， 即的计算结果的末位数字为5． 【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的运用，主要考查学生阅读理解能力，题目比较好，但有一定的难度. 23．（20-21七年级下·安徽合肥·期末）计算： 【答案】 【知识点】整式的混合运算 【分析】先根据平方差公式和完全平方公式计算，再去括号合并同类项即可求解． 【详解】解：原式 = = 故答案为 【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式，平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．完全平方公式： ． 24．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）先化简，再求值，其中． 【答案】， 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先利用完全平方公式，多项式乘多项式计算括号里，再算括号外，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式 ． 一、单选题 1．若9a2＋24ab＋k是一个完全平方式，则k的值可能为(　　) A．2b2 B．4b2 C．8b2 D．16b2 【答案】D 【分析】先根据平方项与乘积二倍项确定出这两个数,再根据完全平方公式即可确定k的值. 【详解】解: 9a2＋24ab＋k =(3a) 2+23a4b+k, k=(4b) 2=16 b2. 所以D选项是正确的. 【点睛】本题主要考查了完全平方式,根据平方项与乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键,也是难点,熟记完全平方公式对解题非常重要. 2．运用乘法公式计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了运用平方差公式进行计算，解题的关键是熟练掌握平方差公式，，根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 3．下列能用平方差公式计算的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方差公式的特点直接可得到答案． 【详解】解：； 选项A符合题意； ， 选项B不符合题意； ， 选项C不符合题意； 不是的形式， ∴选项D不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了平方差公式，平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有，熟记公式结构是解题的关键． 4．下列能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式的结构特点，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A. (−x+y)(x−y)=−(x−y)(x−y)=−(x−y)，故本选项错误； B. (x−1)(−1−x)=−(x−1)(x+1)=−(x−1)，正确； C. (2x+y)(2y−x)=−(2x+y)(x−2y)，故本选项错误； D. (x−2)(x+1)=x−x−2，故本选项错误. 故选B. 【点睛】此题考查平方差公式，解题关键在于掌握运算法则. 5．已知（a+b）2=7，（a﹣b）2=4，则a2+b2的值为（ ） A．11 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】直接利用完全平方公式把两个等式展开，然后相加化简求出答案即可 【详解】∵（a+b）2=7，（a﹣b）2=4，   ∴a2+2ab+b2=7，a2﹣2ab+b2=4， ∴2（a2+b2）=11， ∴a2+b2= ． 故选D． 【点睛】此题考查了完全平方式，牢记公式是解题的关键. 6．下列运算中，计算正确的是（ ） A．2a•3a=6a B．（2a2）3=8a6 C．a8÷a4=a2 D．（a+b）2=a2+b2 【答案】B 【分析】根据单项式与单项式相乘,把它们的系数,相同字母分别相乘计算可得A错误;根据同底数幂的除法法则:底数不变,指数相减可得C错误;根据积的乘方法则:把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘可得B正确;根据完全平方公式: 可得D错误. 【详解】A、2a•3a＝6a2,故原题计算错误; B、（2a2）3＝8a6,故原题计算正确; C、a8÷a4＝a4,故原题计算错误; D、（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2,故原题计算错误; 所以B选项是正确的. 【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法、积的乘方、单项式乘法,以及完全平方公式,关键是熟练掌握各计算公式. 7．化简(m＋1)2－(1－m)(1＋m)的正确结果是( 　 ) A．2m2 B．2m＋2 C．2m2＋2m D．0 【答案】C 【详解】解：（m+1） 2 -（1-m）（1+m）=m2+2m+1-1+m2=2m2+2m．故选C． 点睛：本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，能正确运用公式展开是解此题的关键． 8．计算（x2＋1）（x＋1）（x－1）的结果是（　  ） A．x4＋１ B．x4－１ C．( x＋１)4 D．( x－１)4 【答案】B 【分析】利用平方差公式进行计算即可. 【详解】（x2＋1）（x＋1）（x－1） =（x2＋1）（x2-1） =x4-1. 故选B. 【点睛】本题考查了平方差公式，熟练运用平方差公式是解题的关键． 9．计算的值为（   ） A．5048 B．50 C．4950 D．5050 【答案】D 【分析】把所求的式子的第一项与最后一项结合，第二项与倒数第二项结合，依次结合了50组，把结合后的偶次项提取-1，然后分别运用平方差公式变形，提取101后得到25个2相加，从而计算出结果． 【详解】解：1002-992+982-972+…+22-12 =（1002-12）-（992-22）+（982-32）-…+（522-492）-（512-502） =（100+1）（100-1）-（99+2）（99-2）+（98+3）（98-3）-…+（52+49）（52-49）-（51+50）（51-50） =101×99-101×97+101×95-…+101×3-101×1 =101×（99-97+95-…+3-1） =101×（2+2+…+2） =101×25×2 =5050． 故答案为：D. 【点睛】此题考查了平方差公式的运用，技巧性比较强，要求学生多观察式子的特点，注意结合的方法，找到第一项与最后一项结合，第二项与倒数第二项结合，依此类推的结合方法是解本题的关键． 10．对于任何实数，我们规定符号的意义是：．按照这个规定请你计算：当时，的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】应先根据所给的运算方式列式，再根据平方差公式运算，把已知条件整体代入求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴原式=， 故选：A． 【点睛】本题考查了平方差公式等知识，弄清楚规定运算的运算方法是解题的关键． 二、填空题 11．把写成公式的形式： ． 【答案】 【分析】利用平方差公式变形即可，平方差公式是． 【详解】解：=， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平方差公式的应用，熟知平方差公式是解题的关键． 12．若是完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】对比完全平方公式：即可求出的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴相当于完全平方公式中的，相当于完全平方公式中的，相当于完全平方公式中的 ∴， 故答案为：±1． 【点睛】此题考查的是完全平方式，掌握完全平方式的两种形式是解决此题的关键． 13．如图，，为线段上一点（），分别以、为边向上作正方形和正方形，，则 ． 【答案】3 【分析】设正方形BCFG的边长为a，正方形ACDE的边长为b，S△BEF=S四边形BAEF-S△ABE=S△DEF+S正方形DEAC+S△CBF-S△ABE，代入可得到S△BEF =a2，再根据已知条件列式可求得a、b的值，即可求解． 【详解】解：设正方形BCFG的边长为a，正方形ACDE的边长为b， S△BEF=S四边形BAEF-S△ABE=S△DEF+S正方形DEAC+S△CBF-S△ABE ， S△ACE， ∵，AB=5，即a+b=5， ∴， ∴， ∴，， 即BC，AE， ∴S△BECBCAE． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，运用几何直观理解，熟练掌握平方差公式的变形是解题的关键． 14．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，如：；此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期 ． 【答案】三 【分析】根据814＝（7＋1）14＝714＋14×713＋91×712＋…＋14×7＋1可知814除以7的余数为1，从而可得答案． 【详解】∵814＝（7＋1）14＝714＋14×713＋91×712＋…＋14×7＋1， ∴814除以7的余数为1， ∴假如今天是星期二，那么再过814天是星期三， 故答案为：三． 【点睛】本题考查了完全平方公式，能发现（a＋b）n展开后，各项是按a的降幂排列的，系数依次是从左到右（a＋b）n−1系数之和．它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和． 三、解答题 15．先化简再求值：，其中， x ，y25. 【答案】xy ，原式=1 【分析】运用平方差公式将化简，再合并同类项约分，最后代入求值即可. 【详解】解： 当 x ，y25时，原式 【点睛】本题考查了整式的化简，熟练掌握平方差公式是解题的关键. 16．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先把所求式子变形为，再根据进行求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，正确将所求式子变形为是解题的关键． 17．计算：（1） （2）(2x＋y)(2x－y)＋(x＋y)2－2(2x2－xy) 【答案】（1）（2）x2+4xy． 【分析】（1）根据单项式乘多项式的运算法则即可求解； （2）根据乘法公式即可化简求解． 【详解】（1） = （2）(2x＋y)(2x－y)＋(x＋y)2－2(2x2－xy) =4x2-y2+x2+2xy+y2-4x2+2xy = x2+4xy． 【点睛】此题主要考查整式的乘法运算，解题的关键是熟知其运算法则及公式． 18．已知a+b=3，ab=﹣1．求代数式下列代数式的值 ① ②． 【答案】①11；②13． 【分析】根据完全平方公式的特点进行变形，再代入求值即可解答． 【详解】 ① ② 【点睛】本题考查了代数式求值和完全平方公式的变形，解决本题的关键是熟记完全平方公式及变形：，． 19．计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式利用同底数幂的乘法，以及幂的乘方运算法则计算，合并即可得到结果； （2）原式利用多项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．已知：x+y=3,xy=1,试求： (1)x+y的值； (2)(x-y)的值. 【答案】(1)7(2)5 【详解】试题分析：（1）根据，变形即可； （2）根据 ，整体代入即可． 试题解析：解：（1） x2+y2=（x+y） 2 -2xy=9-2=7； （2）（x-y）2==9-4=5． 点睛：本题考查了完全平方公式的变形运用．熟练掌握公式及其变形的方法是解题的关键． 21．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中， 【答案】(1)，7 (2)， 【分析】本题考查整式的混合运算．熟记运算法则和乘法公式是解题关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则、完全平方公式即可求解 ； （2）根据单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解： = =， 当时，原式=； （2）解： = =， 当，时，原式=． 22．计算 (1)； (2)； (3)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）根据多项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项即可求解； （2）根据完全平方公因式与平方差公式进行计算，然后合并同类项即可求解； （3）先根据单项式乘以多项式，以及完全平方公式进行计算，最后根据多项式除以单项式进行化简，最后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ; （2）解： ； （3）解： ； 当，时，原式 【点睛】本题考查了整式的混合运算以及化简求值，掌握整式的混合运算法则以及乘法公式是解题的关键． 23．计算： （1）；            （2）；            （3）； （4）；            （5）；          （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】（1）根据完全平方公式： 进行求解即可； （2）根据完全平方公式： 进行求解即可； （3）根据完全平方公式： 进行求解即可； （4）根据完全平方公式： 进行求解即可； （5）根据完全平方公式： 进行求解即可； （6）根据完全平方公式： 和平方差公式进行求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4）， ；        （5） ；   （6）． ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式和平方差公式． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$