第08讲 多边形内角和（3个知识清单+6类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪科版）

第08讲 多边形内角和 课程标准 学习目标 1 多边形 2 多边形的对角线 3多边形内角与外角 1.了解多边形、凸多边形及多边形的边、顶点、内角、外角、对角线等概念；会用表示顶点的字母表示多边形； 2.知道多边形的内角和的计算公式，能通过不同方法探索任意多边形的内角和公式，体验归纳发现规律的思想方法. 3.会用多边形的内角和的性质进行有关计算，解决简单的几何问题. 学习重点：任意多边形的内角和公式 学习难点：内角和公式的探究 知识点01 多边形 （1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形． （5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心． 常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形． 【即学即练1】 1．（2023春•期末）在平面中，下列说法正确的是　　 A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．四边相等的四边形是正方形 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理，即可解答． 【解答】解：．四个角相等的四边形是矩形，正确； ．对角线垂直的平行四边形是菱形，故错误； ．对角线相等的平行四边形是矩形，故错误； ．四边相等的四边形应是菱形，故错误； 故选：． 【点评】本题考查了矩形、菱形、正方形的判定，解决本题的关键是熟记矩形、菱形、正方形的判定定理． 【即学即练2】 2．（2023•期末）如图1，这是由五根不可伸缩的木棍组成的一个凸五边形，其中边，，，的长分别是，，，．如图2，当点，落在线段上时，点恰好落在线段的延长线上． （1）求线段的长． （2）如图3，当点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上时，组成；如图4，当点，，，在同一条直线上时，组成，请分别求出这两个三角形的面积，并比较它们的大小． 【分析】（1）依题意得，，，，进而得，，再根据可得的长； （2）依题意得，，，，，在图3中，，由勾股定理的逆定理可证为直角三角形，进而可得，在图4中，则为等腰三角形，过点作于点，则，再由勾股定理得，进而得，由此可得出和的大小． 【解答】解：（1）依题意得：，，，， ， ， ， （2）依题意得：，，，， 由（1）可知：， 在图3中，，， ，， ， 为直角三角形，即， ， 在图4中，， ，， 为等腰三角形， 过点作于点，如下图所示： ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， ． 【点评】此题主要考查了多边形，线段的和差，直角三角形和等腰三角形的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积等，准确识图，熟练掌握线段的和差，勾股定理及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 知识点02 多边形的对角线 （1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数） （3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． （4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 【即学即练1】 3．（2021春•当涂县期末）一个多边形从一个顶点可引出7条对角线，那么这个多边形的边数是　　 A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】从边形的一个顶点引对角线条数为条． 【解答】解：从边形的一个顶点引对角线条数为：， 设该多边形为边形，则：， 解得：． 故选：． 【点评】本题考查了多边形的对角线．需要注意的是多边形的对角线是一个顶点和与它不相邻顶点的连线段． 【即学即练2】 4．（2023春•庐阳区校级期末）如果过多边形的一个顶点可以引出3条对角线，那么这个多边形的边数是 　　． 【分析】根据多边形的对角线性质即可求得答案． 【解答】解：多边形中的一个顶点可以引出的对角线条数为（边数条， 已知多边形的一个顶点可以引出3条对角线， 那么这个多边形的边数是（条， 故答案为：6条． 【点评】本题考查多边形的对角线，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 知识点03多边形内角与外角 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 【即学即练1】 5．（2023春•萧县期末）如图，正五边形和正方形的边重合，连接，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】先分别求解正五边形与正方形的每一个内角的大小，再证明，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【解答】解：正五边形， ， 四边形是正方形， ， 正五边形和正方形的边重合， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查的是正多边形的内角和与外角和的综合应用，等腰三角形的性质，熟练的利用正多边形的外角求解正多边形的内角的大小是解本题的关键． 【即学即练2】 6．（2023春•蜀山区期末）如图，四边形中，，，若沿图中虚线剪去，则　　． 【分析】由平行线的性质可得，，再运用三角形内角和定理、邻补角的定义可得． 【解答】解：如图， ，， ， ， ，， ． 故答案为：235． 【点评】本题考查了多边形的内角、平行线的性质及邻补角，熟练掌握多边形的内角和定理及邻补角定义是解题的关键． 题型01 多边形内角和问题 1．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）在六边形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，根据多边形的内角和为即可解题． 【详解】解∶∵六边形的内角和为， ∴． 故选：A． 2．（22-23八年级下·安徽淮北·阶段练习）若n边形的每个内角都是，则边数n为 ． 【答案】5 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、多边形内角和问题 【分析】根据多边形的内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得：． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式并列出方程是解题的关键． 3．（21-22八年级下·安徽滁州·阶段练习）在五边形ABCDE中，∠A=60°，且∠B∶ ∠C∶ ∠D∶ ∠E=4：5：7：8，求∠B，∠C，∠D，∠E的度数． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题 【分析】设，结合多边形内角和公式进行计算即可． 【详解】解：， ∴可设， ∵， ∴， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题考查了多边形内角和公式，解决本题的关键是掌握多边形内角和的公式． 题型02 正多边形的内角问题 4．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）正八边形的每一个内角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正多边形的内角问题 【分析】根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：由题意得，正八边形的每一个内角的度数是， 故选C． 【点睛】本题主要考查了正多边形内角和定理，熟知多边形内角和公式是解题的关键． 5．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则 °．    【答案】117 【知识点】正多边形的内角问题 【分析】根据正八边形的内角和正五边形的内角结合周角的定义可得结论． 【详解】解：由题意得：正八边形的每个内角都为：，正五边形的每个内角都为：， 故， 故答案为：117． 【点睛】本题考查了正多边形的内角与外角，熟练掌握正八边形的各内角度数，正五边形的各内角度数是解题的关键． 6．（22-23八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）（1）正八边形的每个内角是每个外角的倍，求的值； （2）一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数． 【答案】（1）；（2）十四边形 【知识点】正多边形的内角问题、正多边形的外角问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】（1）分别求出正八边形的每个内角和外角的度数，即可求解； （2）设这个多边形的边数为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）∵正八边形的每个内角，正八边形的每个外角， ∴； （2）设这个多边形的边数为，根据题意得：， 解得． ∴这个多边形是十四边形． 【点睛】此题考查多边形内角与外角，正确的列出方程组是解题的关键． 题型03 多边形截角后的内角和问题 7．（22-23八年级下·安徽池州·期末）一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为，则原多边形边数为（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6 【答案】D 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】根据多边形的内角和公式求出n，再根据截去一个角，则会存在以下三种情况，多边形边数不变，增加1或减少1来解答． 【详解】解：设新多边形边数为n， ∵新多边形内角和为， ∴， 解得， 若多边形截去一个角，则会存在以下三种情况，多边形边数不变，增加1或减少1，如下图所示：    ∴原多边形边数为4或5或6， 故选：D． 【点睛】本题主要考查多边形内角和和边数的关系，掌握内角和公式是解题的关键. 8．（八年级·安徽淮南·期中）如图，在正方形中，截去、后，、、、的和为 ． 【答案】 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】根据多边形内角和定理求出截去、后六边形的内角和，再减去∠B和∠D的度数，即可求出、、、的和． 【详解】∵四边形ABCD是正方形 ∴ ∵截去、后，组成的图形是六边形 ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的角度问题，掌握多边形内角和定理和正方形的性质是解题的关键． 9.（22-23八年级下·安徽滁州·阶段练习）（1）如图1，这是一个五角星，则 15 ． （2）如图2，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． （3）如图3，将五角星的每个角都截去，求的度数．    【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】多边形截角后的内角和问题、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）由三角形的外角性质，把五个角转化到一个三角形内部来求解即可； （2）延长与相较于点，由三角形的外角性质，得到，再结合图1的结论内来求解即可； （3）由（2）知，每截去图1中的一个角，剩余角的度数会增加，从而求出截去五个角后的所有的角的度数． 【详解】解：（1）如图，      由三角形的外角性质，得，， ∵ ∴， 故答案为：； （2）如图，延长与相较于点，   和是的两个外角，则，， ， ， 故的度数为． （3）由（2）知，每截去图1中的一个角，剩余角的度数会增加，图1中，， 在题图3中，去掉五个角后， ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和和外角的性质定理，熟练运用三角形的内角和和外角性质进行角度的转化和计算是解题的重点． 题型04 正多边形的外角问题 10．（21-22八年级下·安徽安庆·期末）若一正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】根据正多边形每个外角都相等且外角和为列式解答即可． 【详解】解：∵正多边形每个外角都相等且外角和为， ∴正多边形的边数是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正多边形的外角的性质和外角和，灵活运用正多边形每个外角都相等且外角和为是解答本题的关键． 11．（22-23八年级下·安徽池州·期末）若一个多边形的每个外角都等于它相邻的内角，则这个多边形的每个外角的度数是 ． 【答案】/90度 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】已知多边形的每个外角与其相邻的内角相等，而两者的和为，由此可得，每个外角与内角都是． 【详解】解：∵一个多边形的每个外角都等于与它相邻的内角， ∴它的每个外角是 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，理解邻补角的和为是解题的关键． 12．（23-24八年级下·安徽六安·期末）已知一个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多，求这个多边形的边数． 【答案】12． 【知识点】多边形内角和与外角和综合、正多边形的外角问题 【分析】本题考查了多边形的外角和，内角与外角之间的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 设这个多边形的每个外角为，则每个内角为，依题意得，， 求出每个外角度数，再拿外角和除以每个外角度数即为边数． 【详解】解：设这个多边形的每个外角为，则每个内角为，依题意得，， 解得， ∴， ∴这个多边形的边数为12． 题型05多边形外角和的实际应用 13．（20-21八年级下·安徽亳州·期末）正n边形的一个外角等于30°，则n的值为（      ） A．12 B．16 C．8 D．15 【答案】A 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】利用多边形的外角和即可求出答案． 【详解】解：n=360°÷30°=12． 故选：A． 【点睛】主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数直接让360度除以外角即可． 14．（21-22八年级下·安徽合肥·期末）如图，在六边形ABCDEF中，若∠1+∠2+∠3=140°，则∠4+∠5+∠6= ． 【答案】220° 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】根据任意多边形外角和为360°解答本题． 【详解】解：由任意多边形外角和为360°可得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°， ∵∠1+∠2+∠3=140°， ∴∠4+∠5+∠6=360°－140°=220°． 故答案为：220°． 【点睛】本题考查多边形的外角和，掌握任意多边形外角和为360°是解答本题的关键． 题型06 多边形内角和与外角和综合 15．（23-24八年级下·安徽六安·期末）一个多边形所有内角与外角的和为，则这个多边形的边数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式，和多边形的外角和为．设该多边形的边数为，根据题意列方程即可求解． 【详解】解：设该多边形的边数为， 根据题意可得：， 解得：， 故选：B． 16．（21-22八年级下·期末）如图，将等边三角形、正方形和正五边形按如图所示的位置摆放．，则＝ ． 【答案】/42度 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】利用多边形的外角和定理，即减去等边三角形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，再减去和的度数，最后得出答案． 【详解】等边三角形的内角的度数是，正方形的内角的度数为，正五边形的内角的度数是， 则． 故答案为： 【点睛】此题考查了多边形外角和定理，正多边形内角和公式，熟练掌握相关知识及正确运算是解题关键． 17．（20-21八年级下·安徽阜阳·期中）一个多边形的内角和是外角和的3倍． （1）求这个多边形的边数； （2）这个多边形一共有多少条对角线？ 【答案】（1）8；（2）20 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】（1）根据多边形的内角和公式和外角和是360°列方程求解即可； （2）根据多边形的对角线条数公式计算即可． 【详解】解：（1）设这个多边形的边数是n， 根据题意得，解得， 答：这个多边形的边数是8； （2）这个多边形一共有对角线：（条）． 【点睛】本题考查了多边形的内角和和外角和以及多边形的对角线条数公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 一、单选题 1．一个多边形的内角和比四边形内角和多，则这个多边形是（  ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】B 【分析】先求出多边形的内角和，再根据多边形内角和公式求出多边形的边数． 【详解】四边形内角和为， 则多边形内角和为， 根据多边形内角和公式，有： ， ； 故选B． 【点睛】本题考查多边形内角和的计算，解决本题的关键是熟知多边形内角和计算公式． 2．若正多边形的一个外角等于45°，则这个正多边形的内角和的度数为（    ） A．1080° B．1260° C．1350° D．1440° 【答案】A 【分析】先根据多边形的外角和定理求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出这个正多边形的内角和． 【详解】解：正多边形的边数为：360°÷45°=8，即这个多边形是正八边形， 所以该多边形的内角和为（8-2）×180°=1080°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理及多边形的内角和公式，关键是掌握多边形内角和公式：（n-2）▪180 （n≥3）且n为整数）． 3．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，外角和等于，即可得出答案 【详解】解：∵多边形的外角和等于360°，且这个每个外角都等于72°， ∴它的边数为. 故选A 【点睛】本题考查多边形的外角和，解题的关键是掌握多边形的外角和等于360°. 4．已知一正边形的内角和等于，则这个正多边形的每个外角等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据多边形的内角和求出的值，再根据正多边形的每个外角相等、多边形的外角和等于即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 则这个正多边形的每个外角等于， 故选：A． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的外角和等于是解题关键． 5．如图，小华从操场上点A出发，沿直线前进后向左转，再沿直线前进后，又向左转，照这样走下去，她第一次回到出发地，所走的路程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多边形的外角和为求出多边形的边数，再根据每条边长为即可得到答案 【详解】由题意得，小华走过了一个边长为，外角为的正多边形，设正多边形的边数为n． 由多边形的外角和等于，可得， 解得． ∴． ∴她第一次回到出发地，所走的路程为． 答案：B 【点睛】此题考查了多边形的外角和定理，熟知多边形的外角和为是解题的关键． 6．若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【详解】试题分析：由一个正多边形的每个内角都为156°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则可求得答案． 解：∵一个正多边形的每个内角都为156°， ∴这个正多边形的每个外角都为：180°﹣156°=24°， ∴这个多边形的边数为：360°÷24°=15， 故选C． 考点：多边形内角与外角． 7．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出正六边形的内角和外角，再根据三角形的外角性质以及平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵正六边形的每个内角等于120°，每个外角等于60°， ∴∠FAD=120°-∠1=101°，∠ADB=60°， ∴∠ABD=101°-60°=41° ∵光线是平行的， ∴=∠ABD=， 故选A 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质以及正六边形的性质，掌握三角形的外角性质以及平行线的性质是解题的关键． 8．如图，设三角形纸片ABC的内角和为a，外角和为b，将该纸片剪掉一角得四边形BCDE，设四边形BCDE的内角和为m，外角和为n，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用多边形的外角和都等于，根据三角形及四边形的内角和定理，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：，，，， ，， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形与四边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握和运用多边形的内角和与外角和定理是解决本题的关键． 9．如图，中，，分别为上的点，的平分线分别交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等腰三角形的性质和角平分线的定义可知，，，再利用四边形内角和等于360°可推导，然后由三角形外角的性质可知，进而得到，最后由计算的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵DF、EG为和的平分线， ∴，， 在四边形BCED中，有， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和性质、多边形内角和、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质等知识，理解并灵活运用相关知识是解题关键． 10．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接AD、DB、DF，求出∠AFD=∠ABD=90°，根据HL证两三角形全等得出∠FAD=60°，求出AD∥EF∥GI，过F作FZ⊥GI，过E作EN⊥GI于N，得出平行四边形FZNE得出EF=ZN=a，求出GI的长，求出第一个正六边形的边长是a，是等边三角形QKM的边长的；同理第二个正六边形的边长是等边三角形GHI的边长的；求出第五个等边三角形的边长，乘以即可得出第六个正六边形的边长． 【详解】解：连接AD、DF、DB． ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠ABC=∠BAF=∠AFE=∠FED=∠BCD=120°，AB=AF=EF=DE=BC=CD， ∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°， ∵∠AFE=∠ABC=120°， ∴∠AFD=∠ABD=90°， 在Rt△ABD和RtAFD中 ∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL）， ∴∠BAD=∠FAD=×120°=60°， ∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°， ∴AD∥EF， ∵G、I分别为AF、DE中点， ∴GI∥EF∥AD， ∴∠FGI=∠FAD=60°， ∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形， ∴∠EDM=60°=∠M， ∴ED=EM， 同理AF=QF， 即AF=QF=EF=EM， ∵等边三角形QKM的边长是a， ∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a，即等边三角形QKM的边长的， 过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N， 则FZ∥EN， ∵EF∥GI， ∴四边形FZNE是平行四边形， ∴EF=ZN=a， ∵GF=AF=×a=a，∠FGI=60°（已证）， ∴∠GFZ=30°， ∴GZ=GF=a， 同理IN=a， ∴GI=a+a+a=a，即第二个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是×a； 同理第第三个等边三角形的边长是×a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是××a； 同理第四个等边三角形的边长是××a，第四个正六边形的边长是×××a； 第五个等边三角形的边长是×××a，第五个正六边形的边长是××××a； 第六个等边三角形的边长是××××a，第六个正六边形的边长是×××××a， 即第六个正六边形的边长是×a， 故选：A． 【点睛】本题考查正六边形、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的性质和判定的应用、图形类规律探究，熟练掌握相关知识的联系与运用，正确得出变化规律是解答的关键． 二、填空题 11．一个多边形的一个内角和是，则它是 边形． 【答案】五 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记n边形内角和为，据此求解即可． 【详解】解：设这个多边形边数为n， 故答案为：五 ． 12．n边形有 个顶点， 条边，有 个角，有 个不共顶点外角． 【答案】 n n n n 【解析】略 13．△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它的中心O为顶点的三角形，若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为 ． 【答案】9 【详解】分两种情况讨论：若∠OAB＝∠OBA＝70°，则∠BOA＝40°，边数为：＝9； 若∠BOA＝70°，则边数为：不为整数，故不存在．综上所述，边数为9． 14．如图，正六边形内部有一个正五边形，且，直线经过、，则直线与的夹角 ． 【答案】48 【分析】已知正六边形内部有一个正五形，可得出正多边形的内角度数，根据和四边形内角和定理即可得出的度数． 【详解】∵多边形是正六边形，多边形是正五边形 ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：48 【点睛】本题考查了正多边形内角的求法，正n多边形内角度数为，四边形的内角和为360°，以及平行线的性质定理，两直线平行同位角相等． 三、解答题 15．一个多边形的内角和等于它外角和的2倍，它是几边形？ 【答案】六边形 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，根据n边形的内角和为，外角和为360度列出方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为， 由题意得：， 解得：． ∴这个多边形是六边形． 16．图中的各个图形，是否是多边形？如果是，说出是几边形． 【答案】图①②④是多边形，图③不是多边形．其中图①是四边形，图②是五边形，图④是五边形． 【分析】根据多边形的概念进行判断． 【详解】①是多边形，是四边形； ②是多边形，是五边形； ③不是多边形； ④是多边形，是五边形． 【点睛】本题考查的是多边形的概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的封闭图形叫做多边形． 17．是否存在一个多边形，它的每个外角都等于相邻内角的？简述你的理由． 【答案】存在，理由见解析 【分析】如果存在这样的多边形，设它的一个外角为，则对应的内角为，于是，进而求得，根据多边形的外角和为360°，即可求得多边形的边数． 【详解】存在一个多边形，它的每个外角都等于相邻内角的，理由如下， 多边形相邻的一个内角和一个外角互为邻补角， 多边形相邻的一个内角与其外角的和为180°， 这个多边形的每个外角都等于相邻内角的， 设它的一个外角为，则对应的内角为， 于是，， 这个多边形的边数为． 存在一个十二边形，它的每个外角都等于相邻内角的． 【点睛】本题考查了多边形的外角和性质，理解多边形的外角是360°是解题的关键． 18．如图，求的度数. 【答案】540°． 【分析】首先根据三角形的外角的性质，可得∠10=∠1+∠9，∠11=∠1+∠8，所以∠10+∠11=∠1+∠9+∠1+∠8=180°+∠1；然后求出（∠2+∠3+∠4+∠11）+（∠5+∠6+∠7+∠10）的度数，再用所得的结果减去180°，求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数是多少即可． 【详解】解：如图1， ， ∵∠10=∠1+∠9，∠11=∠1+∠8， ∴∠10+∠11=∠1+∠9+∠1+∠8=180°+∠1， ∴（∠2+∠3+∠4+∠11）+（∠5+∠6+∠7+∠10） =360°+360° =720° ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=720°-180°=540°， 即∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数是540°． 故答案为540°． 【点睛】本题考查多边形的内角和外角，三角形的内角和定理，熟练掌握内角和定理是解题的关键． 19．分别确定一般三角形、四边形、五边形、六边形……的内角和，以及正三角形、正四边形、正五边形、正六边形……内角的度数，并填入下表： 边数 3 4 5 6 … 多边形的内角和 正多边形内角的度数 【答案】见解析 【分析】根据多边形的内角和公式即可求得，根据正多边形的内角等于内角和除以边数即可求得． 【详解】边形的内角和为为正整数 三角形的内角和为：， 四边形的内角和为：， 五边形的内角和为：， 六边形的内角和为：， 正多边形的每一个内角都相等， 正边形的内角等于边形的内角和除以， 正三角形的内角的度数为， 正三角形的内角的度数为， 正三角形的内角的度数为， 正三角形的内角的度数为． 故填表如下， 边数 3 4 5 6 … 多边形的内角和 正多边形内角的度数 【点睛】本题考查了多边形的内角和，正多边形的内角，牢记多边形的内角和公式是解题的关键． 20．请根据对话回答问题： (1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________． (2)求这个多边形的内角和及其对角线条数． 【答案】(1)，13； (2)内角和是，对角线有65条 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和以及多边形的对角线问题． （1）根据多边形的内角和公式可得内角和一定是180的倍数，用2024除以180，得到的余数即为多加的外角，再根据多边形的内角和公式可得边数； （2）用2024减去多加的外角即可得到内角和；根据n边形的对角线条数为求解即可． 【详解】（1）解：∵n边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是180的倍数， ∵， ∴多加的外角是， 这个凸多边形的边数是； （2）这个多边形的内角和为， 对角线条数为（条）， 答：这个多边形的内角和是，对角线有65条． 21．如图，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合的面积． 【答案】1.5π 【详解】分析：根据图中的阴影部分形成的内角和度数为540°，相当于1.5个圆，便不难求出阴影部分的面积. 本题解析： ∵五边形内角和为：(5−2)×180=540°， ∴阴影部分的面积之和是1.5个圆,即π×12=1.5π. 所以圆与五边形重合的阴影部分的面积为1.5π. 点睛：此题考查扇形的面积计算，正确记忆多边形的内角和公式，以及扇形的面积公式是解决本题的关键. 22．中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点．令，，． (1)若点P在线段上，如图1所示，且，求的度数． (2)若点P在边上运动，如图2所示，则，，之间有何关系？猜想并说明理由． (3)若点P运动到边的延长线上，如图3所示，交于点M，，，之间的关系为__________． 【答案】(1)的度数为； (2) (3) 【分析】（1）由题意知，，，由，可得，整理得，，将代入，计算求解即可； （2）由（1）可知，； （3）由题意知，，，由，可得，整理即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∵， ∴，整理得，， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）解：，理由如下： 由（1）可知，； （3）解：由题意知，，， ∵， ∴，整理得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，四边形内角和．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 23．（1）问题发现：小红在数学课上学习了外角的相关知识后，她很容易地证明了三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，于是，爱思考的小红在想，四边形的外角是否也具有类似的性质呢？ 如图①，∠1，∠2是四边形ABCD的两个外角． ∵四边形ABCD的内角和是360°， ∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°， 又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°， 由此可得∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系是_________________； （2）总结归纳：如果我们把∠1，∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式； （3）知识应用：如图②，已知四边形ABCD，AE，DE分别是其外角∠NAD和∠MDA的平分线，若∠B+∠C＝230°，求∠E的度数； （4）拓展提升：如图③，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的两个外角，且∠CDP＝∠CDN，∠CBP＝∠CBM，求∠P的度数． 【答案】（1）∠1+∠2＝∠A+∠D；（2）四边形的相邻的两个外角的和等于和它不相邻的两个内角的和；（3）65°；（4）30° 【分析】（1）根据两个等式，利用等式性质得出∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系； （2）仿照三角形的外角定理求解； （3）根据（1）结论，先确定∠MDA与∠DAN的和，再根据角平分线的性质，可以确定∠EDA与∠DAE的和，从而求∠E的度数； （4）先确定∠CDN与∠CBM之和，再确定∠CDP与∠CBP之和，进而确定∠ADC与∠ABP之和，再根根四边形内角和，从而求∠P的度数． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD的内角和是360°， ∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°， 又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°， ∴∠1+∠2＝∠A+∠D， 故答案为：∠1+∠2＝∠A+∠D； （2）结论为：四边形的相邻的两个外角的和等于和它不相邻的两个内角的和； （3）由（1）知：∠MDA+∠DAN＝∠B+∠C＝230°， ∵AE，DE分别是∠NAD和∠MDA的平分线， ∴2∠EDA+2∠DAE＝230°， ∴∠EDA+∠DAE＝115°， ∴∠E＝180﹣（∠EDA+∠DAE）＝65°； （4）由（1）得：∠CDN+∠CBM＝∠A+∠C， ∵∠A＝∠C＝90°， ∴∠CDN+∠CBM＝180°， ∵∠CDP＝∠CDN，∠CBP＝∠CBM， ∴∠CDP+∠CBP＝（∠CDN+∠CBM）＝60°， ∵∠A＝∠C＝90°， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∴∠CDN+∠CBM+∠CDN+∠CBM＝180°+60°＝240°， 即∠ADP+∠ABP＝240°， ∵∠A＝90°， ∴∠P＝360°﹣（∠ADP+∠ABP）﹣∠A＝30°． 【点睛】本题考查考查了三角形的综合题，阅读题目，理解题意是解题的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 多边形内角和 课程标准 学习目标 1 多边形 2 多边形的对角线 3多边形内角与外角 1.了解多边形、凸多边形及多边形的边、顶点、内角、外角、对角线等概念；会用表示顶点的字母表示多边形； 2.知道多边形的内角和的计算公式，能通过不同方法探索任意多边形的内角和公式，体验归纳发现规律的思想方法. 3.会用多边形的内角和的性质进行有关计算，解决简单的几何问题. 学习重点：任意多边形的内角和公式 学习难点：内角和公式的探究 知识点01 多边形 （1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形． （5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心． 常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形． 【即学即练1】 1．（2023春•期末）在平面中，下列说法正确的是　　 A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．四边相等的四边形是正方形 【即学即练2】 2．（2023•期末）如图1，这是由五根不可伸缩的木棍组成的一个凸五边形，其中边，，，的长分别是，，，．如图2，当点，落在线段上时，点恰好落在线段的延长线上． （1）求线段的长． （2）如图3，当点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上时，组成；如图4，当点，，，在同一条直线上时，组成，请分别求出这两个三角形的面积，并比较它们的大小． 知识点02 多边形的对角线 （1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数） （3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． （4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 【即学即练1】 3．（2021春•当涂县期末）一个多边形从一个顶点可引出7条对角线，那么这个多边形的边数是　　 A．10 B．11 C．12 D．13 【即学即练2】 4．（2023春•庐阳区校级期末）如果过多边形的一个顶点可以引出3条对角线，那么这个多边形的边数是 　　． 知识点03多边形内角与外角 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 【即学即练1】 5．（2023春•萧县期末）如图，正五边形和正方形的边重合，连接，则的度数为　　 A． B． C． D． 【即学即练2】 6．（2023春•蜀山区期末）如图，四边形中，，，若沿图中虚线剪去，则　　． 题型01 多边形内角和问题 1．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）在六边形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·安徽淮北·阶段练习）若n边形的每个内角都是，则边数n为 ． 3．（21-22八年级下·安徽滁州·阶段练习）在五边形ABCDE中，∠A=60°，且∠B∶ ∠C∶ ∠D∶ ∠E=4：5：7：8，求∠B，∠C，∠D，∠E的度数． 题型02 正多边形的内角问题 4．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）正八边形的每一个内角的度数是（　　） A． B． C． D． 5．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则 °．    6．（22-23八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）（1）正八边形的每个内角是每个外角的倍，求的值； （2）一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数． 题型03 多边形截角后的内角和问题 7．（22-23八年级下·安徽池州·期末）一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为，则原多边形边数为（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6 8．（八年级·安徽淮南·期中）如图，在正方形中，截去、后，、、、的和为 ． 9.（22-23八年级下·安徽滁州·阶段练习）（1）如图1，这是一个五角星，则 ． （2）如图2，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． （3）如图3，将五角星的每个角都截去，求的度数．    题型04 正多边形的外角问题 10．（21-22八年级下·安徽安庆·期末）若一正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数为（    ） A． B． C． D． 11．（22-23八年级下·安徽池州·期末）若一个多边形的每个外角都等于它相邻的内角，则这个多边形的每个外角的度数是 ． 12．（23-24八年级下·安徽六安·期末）已知一个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多，求这个多边形的边数． 题型05多边形外角和的实际应用 13．（20-21八年级下·安徽亳州·期末）正n边形的一个外角等于30°，则n的值为（      ） A．12 B．16 C．8 D．15 14．（21-22八年级下·安徽合肥·期末）如图，在六边形ABCDEF中，若∠1+∠2+∠3=140°，则∠4+∠5+∠6= ． 题型06 多边形内角和与外角和综合 15．（23-24八年级下·安徽六安·期末）一个多边形所有内角与外角的和为，则这个多边形的边数是（    ） A． B． C． D． 16．（21-22八年级下·期末）如图，将等边三角形、正方形和正五边形按如图所示的位置摆放．，则＝ ． 17．（20-21八年级下·安徽阜阳·期中）一个多边形的内角和是外角和的3倍． （1）求这个多边形的边数； （2）这个多边形一共有多少条对角线？ 一、单选题 1．一个多边形的内角和比四边形内角和多，则这个多边形是（  ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 2．若正多边形的一个外角等于45°，则这个正多边形的内角和的度数为（    ） A．1080° B．1260° C．1350° D．1440° 3．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．已知一正边形的内角和等于，则这个正多边形的每个外角等于（  ） A． B． C． D． 5．如图，小华从操场上点A出发，沿直线前进后向左转，再沿直线前进后，又向左转，照这样走下去，她第一次回到出发地，所走的路程为（    ）    A． B． C． D． 6．若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 7．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 8．如图，设三角形纸片ABC的内角和为a，外角和为b，将该纸片剪掉一角得四边形BCDE，设四边形BCDE的内角和为m，外角和为n，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 9．如图，中，，分别为上的点，的平分线分别交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．一个多边形的一个内角和是，则它是 边形． 12．n边形有 个顶点， 条边，有 个角，有 个不共顶点外角． 13．△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它的中心O为顶点的三角形，若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为 ． 14．如图，正六边形内部有一个正五边形，且，直线经过、，则直线与的夹角 ． 三、解答题 15．一个多边形的内角和等于它外角和的2倍，它是几边形？ 16．图中的各个图形，是否是多边形？如果是，说出是几边形． 17．是否存在一个多边形，它的每个外角都等于相邻内角的？简述你的理由． 18．如图，求的度数. 19．分别确定一般三角形、四边形、五边形、六边形……的内角和，以及正三角形、正四边形、正五边形、正六边形……内角的度数，并填入下表： 边数 3 4 5 6 … 多边形的内角和 正多边形内角的度数 20．请根据对话回答问题： (1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________． (2)求这个多边形的内角和及其对角线条数． 21．如图，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合的面积． 22．中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点．令，，． (1)若点P在线段上，如图1所示，且，求的度数． (2)若点P在边上运动，如图2所示，则，，之间有何关系？猜想并说明理由． (3)若点P运动到边的延长线上，如图3所示，交于点M，，，之间的关系为__________． 23．（1）问题发现：小红在数学课上学习了外角的相关知识后，她很容易地证明了三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，于是，爱思考的小红在想，四边形的外角是否也具有类似的性质呢？ 如图①，∠1，∠2是四边形ABCD的两个外角． ∵四边形ABCD的内角和是360°， ∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°， 又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°， 由此可得∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系是_________________； （2）总结归纳：如果我们把∠1，∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式； （3）知识应用：如图②，已知四边形ABCD，AE，DE分别是其外角∠NAD和∠MDA的平分线，若∠B+∠C＝230°，求∠E的度数； （4）拓展提升：如图③，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的两个外角，且∠CDP＝∠CDN，∠CBP＝∠CBM，求∠P的度数． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$