练案15 8.1.2 向量数量积的运算律-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

练案［１５］ 第八章　 向量的数量积与三角恒等变换 ８． １　 ［８． １． ２　 向量数量积的运算律］ Ａ组　 基础巩固 一、选择题 １．设非零向量ａ，ｂ，ｃ满足｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ ＝ ｜ ｃ ｜，ａ ＋ ｂ ＝ ｃ，则ａ与ｂ的夹角θ为 （Ｂ ） Ａ． １５０° Ｂ． １２０° Ｃ． ６０° Ｄ． ３０° ２．已知菱形ＡＢＣＤ的边长为ａ，∠ＡＢＣ ＝ ６０°，则 →ＢＤ·→ＣＤ ＝ （Ｄ ） Ａ． － ３２ ａ ２ Ｂ． － ３４ ａ ２ Ｃ． ３４ ａ ２ Ｄ． ３２ ａ ２ ３．若向量ａ、ｂ满足｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ ＝ １，且ａ·（ａ － ｂ） ＝ １２，则向量ａ与ｂ的夹角为 （Ｂ ） Ａ． π６ Ｂ． π ３ Ｃ． ２π ３ Ｄ． ５π ６ ４．已知｜ →ＡＣ ｜ ＝ ３，｜ →ＡＢ ｜ ＝ ５，→ＡＢ·→ＡＣ ＝ － １５２ ，则 ｜ →ＢＣ ｜ ＝ （　 　 ） Ａ． ６ Ｂ． ７ Ｃ．槡１９ Ｄ．槡３４ ５．已知△ＡＢＣ为等边三角形，ＡＢ ＝ ２，设点Ｐ，Ｑ满足→ＡＰ ＝ λ →ＡＢ， →ＡＱ ＝（１ － λ）→ＡＣ，λ∈Ｒ．若→ＢＱ ·→ＣＰ ＝ － ３２，则λ ＝ （　 　 ） Ａ． １４ Ｂ． １ ３ Ｃ． １ ２ Ｄ． ３ ４ 二、填空题 ６．若｜ ａ ｜ ＝ ３，｜ ｂ ｜ ＝槡３，且ａ与ｂ的夹角为π６，则 ｜ ａ ＋ ｂ ｜ ＝ 　 　 　 　 ． ７．（２０２４·北京通州期中）已知平面向量ａ，ｂ，ｃ， 正实数ｔ，满足｜ ａ ｜ ＝ ４，ａ与ｂ的夹角为２π３ ，且ａ ＋ ｔｂ ＋ ｃ ＝ ０，则｜ ｃ ｜的最小值为　 　 　 　 ． ８．已知｜ ａ ｜ ＝ ５，｜ ｂ ｜ ＝ ４，ａ与ｂ的夹角为６０°，当 向量ｋａ － ｂ与ａ ＋ ２ｂ垂直时，实数的ｋ值为 　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．已知｜ ａ ｜ ＝ ３，｜ｂ ｜ ＝ ２，ａ与ｂ的夹角为６０°，ｃ ＝ ａ ＋２ｂ，ｄ ＝ｍａ －６ｂ（ｍ∈Ｒ）．若ｃ∥ｄ，求｜ ｃ ＋ ｄ ｜ ． １０．已知｜ ａ ｜ ＝ ２，｜ ｂ ｜ ＝ １，ａ与ｂ的夹角为６０°，求 向量ｍ ＝ ２ａ ＋ ｂ与向量ｎ ＝ ａ － ４ｂ的夹角的 余弦值                                                                 ． —１２３— Ｂ组　 素养提升 一、选择题 １．若向量ａ、ｂ满足：｜ ａ ｜ ＝ １，（ａ ＋ ｂ）⊥ａ，（２ａ ＋ ｂ）⊥ｂ，则｜ ｂ ｜ ＝ （Ｂ ） Ａ． ２ Ｂ．槡２ Ｃ． １ Ｄ．槡２２ ２．已知非零向量ａ，ｂ，ｃ满足〈ａ，ｂ〉＝ π４，｜ ａ ｜ ＝ 槡２，ａ·（ｂ ＋ ｃ）＝ ２，ｂ与ｃ方向相同，则｜ ｃ ｜的 取值范围为 （　 　 ） Ａ．［０，２］ Ｂ．（０，１） Ｃ．（０，２） Ｄ．（１，２） ３． （２０２４·福建福州三校高一期中）若Ｐ是 △ＡＢＣ所在平面内一点，且满足｜ →ＰＢ － →ＰＣ ｜ ＝ ｜ →ＰＢ ＋ →ＰＣ － ２ →ＰＡ ｜，则△ＡＢＣ的形状为（　 　 ） Ａ．等腰直角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．等腰三角形 Ｄ．等边三角形 二、填空题 ４．若｜ａ ｜ ＝１，｜ｂ ｜ ＝２，ｃ ＝ ａ ＋ ｂ且ｃ⊥ａ，则向量ａ与ｂ 的夹角为　 　 　 　 ，（ａ － ｂ）·ｃ ＝ 　 　 　 　 ． ５．已知平面向量ａ，ｂ的夹角为π６，且｜ ａ ｜ ＝槡３， ｜ ｂ ｜ ＝ ２，在△ＡＢＣ中，→ＡＢ ＝ ２ａ ＋ ２ｂ，→ＡＣ ＝ ２ａ － ６ｂ，Ｄ为ＢＣ中点，则｜ →ＡＤ ｜ ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．（２０２４·江苏南京期中）已知向量ａ与ｂ满足 ａ ＝ ２，ｂ ＝ １，ａ与ｂ的夹角为１２０°． （１）当ｋ为何值时，３ａ ＋ ２( )ｂ ⊥ ｋａ －( )ｂ ； （２）求向量ａ ＋ ３ｂ与向量ａ的夹角的余弦值． Ｃ组　 创新拓展 　 已知平面上三个向量ａ，ｂ，ｃ的模均为１，它们 相互之间的夹角均为１２０°． （１）求证：（ａ － ｂ）⊥ｃ； （２）若｜ ｋａ ＋ ｂ ＋ ｃ ｜ ＞ １（ｋ∈Ｒ），求实数ｋ的取 值范围                                                                         ． —１２４— ·aiom 5.C,由题意可知，B0=A0-A房=(1-A)A元-AB,C示=AP AC=AAB-AC. 屁.B励=11cm(成，)=d1·1m行所 又因为△AC为等边三角形，B=2,所以，花=2×2×号 以A.H而≠B武.面，故C错误： =2,所以B戒.C办=[(1-A)Ad-A]·(AA店-AC)=A(1 对于D,因为D证=i,所以向量D正在向量AB上的投影向量即 为在向量上的授影向量…子·叠。一号应， A)x2-4(1-A)-4A+2=-是，解得A=之，故选C 故D正确. 6.万lal=3,b1=E,a与b的夹角为石la+b=a 4手a在b上的投影的数量等于1acma,b),b在a上的投影 +2ab+=9+2x3×5xms君+3=9+2×3x厅x号 的数量等于1 blcos〈b,a), +3=21. A-=68号 ∴.la+b1=2l. 7.25由a+b+c=0,得c=-a-b,而lal=4,a与b的夹 525-4因为市=（店+心）.所 角为5 以点P为C的中点， 所以IP⑦1=PC+CD=4+16= 则1cl=√1a2+r2fb+2a·b 25: =√i6+P+2lal1bl 根据数址积的几何意义可得，P店·P币= -Pi·PC=-4. =16+t1b-4b1=√12+(tb1-2)≥2,5，当且仅当 6方程x+1alx+a·b=0有实根，4=1a2-4a·b≥0. b1=2时取等号， ab≤lal 所以1c的最小值为2. a·b 8 15 (ka-b)⊥(a+2b),(ka-b)·(a+2b)=0,即a cos a,6)=lal 1bi=lal1lal2 +(2k-1)a·b-2h2=0..k×52+(2k-1)×5×4×c0s60° a -2x4=0k=当k=片时，向量a-b与向量a+ 2b垂直. =2 9.c∥d,∴存在唯一实数A使得c=Ad,即a+2h=A(ma- 6b), 又0≤(a,b≤号≤(a,b)≤m 1 【-612解得 「Am=I A=-3 即a与b的夹角的取值范围为[号， m=-3 ∴.d=-3a-6b,.c+d=-2a-4b, 组创新拓展 .1e+d12=1-2a-4b12=l2a+4b12=42+16a·b+16b DA.OP=1AB110示1s(AB.0),即1A正1与O派在向量A =4×9+16×3×2×c0s60°+16×4=148，∴.1c+d=2/37. 方向上的投影的数量的积 10.a·b=2×1×cms60°=1,1ml2=12a+b12=41al2+4a·b 由题图2知，0点在直线AB上的射影是AB的中点，由于AB +1bP=4×2+4×1+1=21,lnP=la-4b=1a户-8a·b =2,圆弧直径是2，半径为1，所以O在向其AB方向上的投影 的数量的最大值是2，最小值是-2，因此4B·0P的最大值是 +61b=22-8×1+16×12=12,.1ml=2T,1n=25, 2×2=4,最小值是2×(-2)=-4，因此其取值范围为[-4， m·n=(2a+b)·(a-4b)=21al-7a+b-41b=2×22 -7×1-4×12=-3. 4]. 设m,n的夹角为8.，m·n=ml1ncos8. 练案[15] -3x2月×m8,即m0=得 A组基础巩固 .B由a=b1=lc且a+b=c,得1a+b1=b1,平方得1aPB组素养提升 +1b12+2a·b=1b2→2a·b=-lal2→21al·1b1·cos0= :1.B本题考查了平面向量的数量积的运算，由已知(2a+b)·b= -lass0=-20=120 0,即2a·b+b·b=0,(a+b)·a=0.所以Ia2+a·b=0.2a· b+1b2=0.又1a|=1所以Ib1=2. 2D在菱形，ABCD中，厨=可.励=瓜+成，所以B励.C⑦=(2.C由题可设b=Ac(A>0),由(a,b〉=可知(a,b+c〉= +BC)·C⑦=B·C⑦+BC·C⑦=a2+a×a×cs60°=a2+ 寻，所以a:(b+e)=a:(Ac+e)=ac+el…号=2，所 3.B设向量a与b的夹角为0， 1 以1c1=2 a·(a-b)=a2-ab= +因为A>0,所以A+1>1,所以0<2 7<2,即 Ic1∈(0,2).故选C. 1 5.1-1×1×0050=- 3.B由1P-P=P+P元-2P,可得C=IP+P元 2PA1,即1CB1=IAB+AC1,则1AB-AC=1AC+AB1,等式两 0≤0≤m,六0=7 边平方化简得AB·AC=0,所以AB⊥AC,因此，△AC是直角 3 三角形.故选B. 4B由题意可知：配=花-A店，则心=（花-店）2=A心-4.120°-3由c1a得，ac=0,所以a·c=a…(a+b)=0. 2AB·AC+AB=49, 所以1BC=7.故选B 即口+a~b=0设向量a与b的夹角为A,则期cm日=日治 190 =1a1b=-2,所以向量a与b的夹角0=120.(a-b)· 分)易知P为E中点，所以（子） c=(a-b)(a+b)=a2-b=1-4=-3 52因为-=2+d)=之(2a+2h+2a-)=2a-2,所 以md=4(a-b)2=4(d-2a·b+b2)=4×（3-2×2×5× 若+4）则1=2 6(1:(3a+2b)1(a-b).ab=2×1×(-2）=-1, B ∴(3a+2b)·(ha-b)=0, 所以网（子）成=（子》 3ka2+(2k-3)a·b-2b=0, 12k-(2k-3)-2=0,解得=-0 当k=-0时.(3a+20)1(a-b). 6.5由题意，向量a∥b,则4-2x=0,解得x=2,所以b=(2, 4),则a-b=(-1,-2),所以1a-b1=/(-1)+(-2) (2)(a+3b)·a=a+3a…b=4-3=1. =5. a+3b|=/a+9b+6a·b=4+9-6=万 4m6品尚吾 .(-号2U(2.+)a与b的夹角为能角。 ! a·b<0,且a与b不共线， C组)证明：因为(a-b)·c=a·c-b·c=1×1×s1200-, C组创新拓展 J-2A-1<0, 1-A≠-2. ×1×cos120°=0， A>-且A≠2 所以(a-b)⊥c. (2)解：1ka+b+c1>1口1a+b+c2>1台a+2+c2+8.2510如图，以A为原点.A为x轴 41 2ha·b+2ha·c+2b·c>1. 正方向建立平面直角坐标系，则A(0, 因为a,b,c的模均为1，且它们相互之间的夹角均为120°，所 0).B(2.0),E(2,1),D(0.2) 以d==C=l,ab=bc=ac=-分 设Px,y),所以A户=(x,y),A正=(2， 1).AD=(0.2). 从而有2+1-2k>1,即2-2k>0, 因为AP=2A正-A⑦， 所以k<0或k>2. 所以(x,y)=2(2,1)-(0,2) 故实数片的取值范围为(-，0)U(2,+) 解得x=4,y=0.所以P(4.0), 所以P币=(-4,2)，所以1P01=25 练案[16] 又P元=(-2.1)，所以P形·P0=(-2)×(-4)+1×2=10. A组基础巩固 9.(1)c=Aa+ub=(A+u,2u). 1.C lal =2,1b1 =2..lallbl; a·b=2×1+0×1=2: 「A+4=0, a-b=(1,-1),(a-b)·b=1×1+(-1)×1=0. 1μ=1. 4=2 ,(a-b)⊥b.故选C. 2Aa=(-3,2),b=(-1,0), (2)AB=(-1,3),AC=(4,-2) AB,A亡 Aa+b=(-3λ-1,2A) .c0s0= -4-6 a-2b=(-3,2)-2(-1,0)=(-1,2), A元/10×2元 由(Aa+b)⊥(a-2b), 1 又0≤0≤m0=要 得4+3入+1=0，，A=-7 3.C设与a垂直的单位向量为(x,y), 0a=(.-b=(m,且a1b, (xy)是单位向量， 2+y=1,即x2+y2=1. ① .a.b= )sinx=0,∴.tmx=3 而且(x,y)表示的向量垂直于a, ,3 2x-3y=0. ② (2)allb,2sinx 2c0sx=0, 3g tan x=-3, 联立①②解得 13 「x=-33 13 2T 21 又（受 13 b=-2⑧ 13 !B组素养提升 4.B本题考查向量的坐标运算及数量积 1.B向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),所以1a2- ab=3+Bm=alb1·cm君 1b2=(a+b)·(a-b)=2×(-2)+3×1=-1.做选B. :2.B方法一：以A店，心为基底向量，可知1A=1Ad1=2,A应 2×V+×号解得，m=瓦 ·市=0，则配=函+武=+动=成+而= 5眼经华男角香年香除公天尚 子访+花 191