练案22 第8章 习题课 向量的数量积与三角恒等变换-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

练案［２２］ 第八章　 向量的数量积与三角恒等变换 习题课　 向量的数量积与三角恒等变换 Ａ组　 基础巩固 一、选择题 １．若α是第三象限角且ｓｉｎ（α ＋ β）ｃｏｓ β － ｓｉｎ βｃｏｓ（α ＋ β）＝ － ５１３，则ｔａｎ α ２等于（Ａ ） Ａ． － ５ Ｂ． － ５１３ Ｃ． ５ １３ Ｄ． ５ ２．已知｜ ａ ｜ ＝ １，｜ ｂ ｜ ＝槡２，且ａ⊥（ａ － ｂ），则向量ａ 与向量ｂ的夹角为 （Ｂ ） Ａ． π６ Ｂ． π ４ Ｃ． π ３ Ｄ． ２π ３ ３．已知ｃｏｓ（α ＋ β）ｃｏｓ（α － β）＝ １３，则ｃｏｓ ２α － ｓｉｎ２β的值为 （Ｄ ） Ａ． － ２３ Ｂ． － １ ３ Ｃ． ２ ３ Ｄ． １ ３ ４．设△ＡＢＣ的三个内角为Ａ，Ｂ，Ｃ，向量ｍ ＝ （槡３ｓｉｎ Ａ，ｓｉｎ Ｂ），ｎ ＝（ｃｏｓ Ｂ，槡３ｃｏｓ Ａ），若ｍ· ｎ ＝ １ ＋ ｃｏｓ（Ａ ＋ Ｂ），则Ｃ ＝ （　 　 ） Ａ． π６ Ｂ． π ３ Ｃ． ２π ３ Ｄ． ５π ６ ５．若函数ｆ（ｘ）＝槡３ｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ ＋ ｃｏｓ２ｘ ＋ ａ在区间 － π６， π[ ]３ 上的最大值与最小值的和为３２，则ａ ＝ （Ｂ ） Ａ． － １ Ｂ． ０ Ｃ． ２ Ｄ． ３ 二、填空题 ６．如图所示，在正方形ＡＢＣＤ 中，已知｜ →ＡＢ ｜ ＝ ２，若点Ｎ为 正方形内（含边界）任意一 点，则→ＡＢ·→ＡＮ的最大值是 　 　 　 　 ． ７．若ｃｏｓ α ＋ π( )１２ ＝ １３，且α为锐角，则ｓｉｎ α － π( )１２ ＝ 　 　 　 　 ． ８．函数ｙ ＝ ｓｉｎ（ｘ ＋ １０°）＋ ｃｏｓ（ｘ ＋ ４０°）的最小值 是　 　 　 　 ，最大值是　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．已知ａ ＝（ｃｏｓ α，ｓｉｎ α），ｂ ＝（ｃｏｓ β，ｓｉｎ β），ａ与 ｂ满足｜ ｋａ ＋ ｂ ｜ ＝槡３ ｜ ａ － ｋｂ ｜，其中ｋ ＞ ０． （１）用ｋ表示ａ·ｂ； （２）求ａ·ｂ的最小值，并求出此时ａ，ｂ的 夹角． １０．已知ｓｉｎ ｘ － π( )４ ＝ ７槡２１０ ，ｘ∈ π２，３π( )４ ． （１）求ｓｉｎ ｘ的值； （２）求ｃｏｓ ２ｘ ＋ π( )６ 的值                                                                 ． —１３７— Ｂ组　 素养提升 一、选择题 １．已知角Ａ是△ＡＢＣ的一个内角，且ｔａｎ Ａ２ ＝ 槡５ ２ ， 则△ＡＢＣ的形状是 （Ｃ ） Ａ．直角三角形 Ｂ．锐角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．无法判断△ＡＢＣ的形状 ２．函数ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎ ｘｓｉｎ ５π２ ＋( )ｘ ＋２ａｃｏｓ２（π － ｘ）（ａ ∈Ｒ），对任意ｘ∈Ｒ，满足ｆ（ｘ）≤ｆ π( )１２ ，则实数ａ ＝ （Ｃ ） Ａ． ２ Ｂ． －槡３ Ｃ．槡３ Ｄ． ２槡３ ３．在△ＡＢＣ中，点Ｄ是边ＢＣ的中点，且ＡＤ ＝槡３， 若点Ｐ为平面ＡＢＣ内一点，则→ＰＡ·（→ＰＢ ＋ →ＰＣ） 的最小值是 （　 　 ） Ａ． － ３２ Ｂ． － 槡３ ２ Ｃ． － 槡３ ４ Ｄ． － ３ ４ 二、填空题 ４．化简１ － ｔａｎ ２１７° ｔａｎ １７° ·ｓｉｎ ３４°的结果为　 　 　 　 ． ５．已知α为第二象限角，且１ － ｔａｎ α１ ＋ ｔａｎ α ＝ ４ ３，则 ｔａｎ α２ ＋ π( )８ ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ６． 已知ｓｉｎ π４ ＋ ２( )α ｓｉｎ π４ － ２( )α ＝ １４，α ∈ π ４， π( )２ ，求２ｓｉｎ２α ＋ ｔａｎ α － １ｔａｎ α － １的值． Ｃ组　 创新拓展 　 如图，以坐标原点Ｏ为圆心 的单位圆与ｘ轴正半轴相交 于点Ａ，点Ｂ，Ｐ在单位圆上， 且Ｂ －槡５５ ， ２槡５( )５ ，∠ＡＯＢ ＝ α． （１）求４ｃｏｓ α － ３ｓｉｎ α５ｃｏｓ α ＋ ３ｓｉｎ α的值； （２）设∠ＡＯＰ ＝ θ π６≤θ≤ ２π( )３ ，→ＯＱ ＝ →ＯＡ ＋ →ＯＰ， 四边形ＯＡＱＰ的面积为Ｓ，ｆ（θ）＝（→ＯＡ·→ＯＱ － １）２ ＋槡２Ｓ － １，求ｆ（θ）的最值及此时θ的值                                                                         ． —１３８— 所以之-m受1+s /3 2.Ba1(a-b) -sin a-sin a .a·(a-b=a2-a…b=0,ab=a2 I cos a V2sin号 lal =1,Ibl =2, a·b cos(a.b》=a1h1a1h12, -2sin a 向量a与向量b的夹角为牙故选B. 因为0<号<7，所以i血号>0 3.D c(a+B)cw(a-B)2)(2cwa- /3 (2n-a-tm受(1+omsa) 1）+1-2i7B]=ema-sn7B= 所以一 4.C因为m·n=3 sin Acos B+sinB·3coeA=5sin(A+B) VI cos a =3sin C=1-cos C. =-20aw号 5号原式=1二受0+1+16@+9m10-号 所以m(C+)宁，又因为0<C<, 2 2 sin 60 所以C+君=无放C= 2 sin 100s 5.B)=5mmsx+x+a=号n2x+s2x+方 =号-号×2m0am0+10 +a=m(2+君)+分+a,因为-君≤≤号.所以-后≤ 2+后≤则-≤m2x+）1.又)的最大值与 4 6.sin A(sin B+cos B)-sin C=0,sin Asin B+sin Acos B- 最小值的和为子所以(++小+(-号+子+小=是 sin(A+B)=0. .'sin Asin B+sin Acos B-sin Acos B-cos Asin B=0. 解得a=0. .'sin B(sin A-cos A)=0, 6.4A店·A市=IA1IA1·cos∠BN,IA·cs∠BAN表示 Be(0,T）.∴sinB≠0，∴.sinA=cosA, 不在A上的投影的数量，又AB1=2,A店·AW的最大值 Ae(0,)A=手从而B+C=平 是4 7.26-1 由inB+m2c=0,得nB+o(经-20）=0， 6 因为a为锐角，所以号<a+号<号 sin B-sin 28=0.sin B-2sin Bcos B=0.cosB= 所以n(a+)=√-(+ B=骨C=语 =-(22 于是4=开B=号.C=语 故m(a-)=[(+)引 C组创新拓展 =ma+}m若-s(a+)n君 不变，因为A,B,C是△ABC的三个内角， 所以4+B+C=,分：受-8生9 2 6 2sin B+C 8.-11y=sin(x+10°)+c0s(x+40°) 所以y=an2+ 2 =sin(x+10°)+c0s[(x+10°)+30°] 608 2 +cos -C B+C 2 nr+10e)++10r)- i(x+10） B C B. 2￥ 2os立+os2sin2 2m(r+10°)+ 2e0s(r+10) B C =sin(x+70°). ymn =1,yain=-1. A B C 9.(1)将1ha+b1=3a-kb1两边平方，得a2+b+2ka·b= 因此，任意交换两个角的位置，y的值不变， 3(2+b2-2ka·b),∴8ha·b=(3-2)a2+(3k2-1)b2, 练案[22] 即a·b=3-)a+(3-1)b 8k A组基础巩固 .'a=(cos a,sin a),b=(cos B,sin B) 1.A sin(a+B)cos B-sin Bcos(a+B)=sin[(a+B)-B] a=1,b2=1, 5 =sin a=- 13 。b3>0 8k 12 :a是第三象限角，∴co5=- (2):+1≥2k(当且仅当k=1时等号成立)， 13' 即+≥张-1」 4k产4k2 sin o 13 tan 1+cos a =-5 六a~b的最小值为分 13 设a,b的夹角为y,则a·b=lal1 lcos y. -199 叉1a1=ib1=l7=1x1xmsy 即.（店+心的最小值为-子 y=60°，即当a·b取最小值时，a与b的夹角为60° 101)因为（受）所以牙<-<受 4.2c0s34° 1-tan'17 tan 17 ·sin349=2· 21an17°·sin34°= 1 1 -tan2170 所以(---(-哥引-语 m3m34=2,msm34e2m34 2· 所以n=m(x-）+引 3子 =m(-ms子+m(x-血 设m(号+骨，则各子 2)四为e(受)由(1)知血= 4 解得x=兮或x=-3. 3 所以cosx=- m(年+>0.a+e(2a+,2r+=）kez. 所以sin2x=2 sin xcosx=- 24 25 a+号e(2m+m,2m+子kez 16 7 c0s2x=1-2sinx=1-2×25=25 六受+号(m+受m+音ez 所以c(2x+君）=ms2xm若-i血2x·n 6 6 m(受+8）-3 6因为得+2m(牙-2刘子 =24-73 所以2in(号+2a小（年+2a）=2 50 B组素养提升 所以sm(受+4所以s4a= 因为ae(任号）所以2ae(受 ,,an4= 2m 所以c%2a=- +m4- 2 2 1-an2 tan 2a -cu84a。3 ,A为钝角， 1+cos 4a 3 ·△ABC是钝角三角形.故选C. 所以2sin2a+tana- 1 :-1=-cos 2a lan'a-1 2.C)=2in sin(+2c()-2in xc tan a tan a 2 2 53 2ace2x=sin2x+acos2x+a=√+1sin(2x+0)+a,其中 =-cos2a+m3/月 2 2 tan 0 a. 3 又对任意xeR,满足)≤小没} C组创新拓展 25 六当x=时x)取得最大值， (1)依题意，an= =-2 即2×号+0=受+2km,ke乙 5 4eosa-3simg.4-3tmc-4-3×(-2=-10. 0=2km+号，6eZ, 六3coma+3in43+3ama5+3×(-2) a=am(2m+号）=5 ! (2)由已知点P的坐标为P(cos8,sin8), 又00=0A+0P.10A1=10P. 3.A因为D为BC的中点， '.四边形OAQP为菱形 所以PB+PC=2PD .S=2SAmp=sin 6, 所以Pi·(P+P心)=2Pi.P A(1,0),P(cos8,sin0), .00=(1+cos0.sin9), 不妨以AD所在直线为x轴，AD的垂直 平分线为y轴建立平面直角坐标系，如 ∴.0A·00=1+os8. 图所示.因为0=5，则D(-0 .f0)=(1+cos0-1)2+2in0-1 =cos0+2sin 0-1 =-sin'0+2sin 0 4停： 设则，币=（停-小(--，-= 7≤in0≤l, 当sin0= 即0=时 所以可（成+P=2可，币≥-多 当sin0=1,即0=受时0)=2-1 -200