考案2 第8章 向量的数量积与三角恒等变换-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

令a)器0心引则 人帮设函x,平行国边形沙中。 由已知可得证：函+赢：话，}而屏=风，不：-话+成， is停a- g')-e-3m+2i un a-sis arte =上 作到r0)。-n024心。20， 所战证，感（德+询（子+向 o.e co0 一号，号亦，号滴，4仙 若V0<发5号气)2，则在0.）上单到递境， =受a-引 生意到x0)-0,新i以(]>(0-0，甲尺)+4和0.端足题意： 2+x25x停+2+6-6 0a心号则-a-好 若0e<是a)<.则'0s0 架得x=3或言=0（名》，放走民 当2a-若·时成·有量大值1 6A时为e,月为授角ma一票一子，衡na…2ma,联立na+ 以在0，引上量靠道x0处存在零盘玉0，引棱得r()0, 4”0 当点A,D位于直线0时，授∠C=a,0≤ 度时g'(x)在(03，》上有g(a》0,所以)在0》上单博遥地，则在 a6是阿，币-可，mm (0,1,)上有》>0)0，围八x)+m10.不满足题意：器上￥60 树为a+a0ma…-一号 =lx2rwm叫a-别 考案（二） 1线=aw8-=m刘语 a是 新似a=a[{g+-a"r+闭ang-e(u+》in =na十i铺aH游红 2D四为(s+)·年=0，设a.b夹角为0。 w2a,2m2如 所以(0+2)金-a+2B~星-2+2×2×2m9-0, 1.Aim0a5约m7 所似m:一琴 三60：nP·4w20时 所以香=35授这 .n2r1m0·1m80 0sa开则好s2n+✉要 sin20° 3,(国为年=（-，小b=,),所以向量a在购量b方询上的段要向量为 ao-a高☆产--l-放进C m40一405 +号时所，最大 in 2ye amow0-是 恤 ⑧上可g,可·万最大植生是故选 像.Ain5元i(6幻+4特◆)=mw45+m0n45 in'0 +oooml. in207 4D山知可得 4 sii 20 n24+n36 厚om =m2n3坊m(24“+6)=m60,3,放B正请 m30“8 h晋-5m晋分h吕-副 解得 &A蟹图所示，14日=，P川=2，期由题意可如 mn是-咖w引 23 ∠A/W0=5. 由匀股定理可得。==1， 2am5-引 当点D位T直线四异等时.投∠a06a≤受 2--2m子-2，放c罐 风币·+到 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令+臣：c2则：一要一经c乙质以两得随擦的对称中必为 设询量：的失角为娟”a·一 2” 10 (2由赠得g-+2m2·引2m2a (盟竖z 因为0≤8%至，敢8平，C止确： 因为亦整20.2在1-42如4)在[一共，上有3个不钢的期。 当：2，一个对移中心为器技选几 所由二箭角公式得A(2mx+1》·(2n年+1)(2-1小在1= b在0方向上的授影有量为一行·品三-信三(-1。-引.D绿误拉 【~是料上有3个不0的解 三A留豫可知丽数=红+小过(-2,0).化人解析式得=号而数 2n(ac+e冲由蹈豫可知=一子=dT=4,w n四=2-看·引-2a2+引A误 国为一时2+1-0，放”一是方壁A2i14月，(2m车+ 资2a-管引-2.州0)的周豫类手直线x…管格. 1)(2in3-1月的-个期. 2问分+，由脑数注(，。 正喻： 质双A2n本+)=(2m+)2an-)在xe(-怎，裙]上有2个 六2名+=0营+==语般这 川-2…（智，2一(-0，则f)约国控关于点 不同的解 此时2dn+10.所以A=2n-1厚A+1= aA以为a(侣一+-号+周+司， (-罗o对移，心正确： 3mx在（一表，]上有2个不国的解了 断议ma+引号 +}=2中+)+引=-22为奇函数，E确数选n 2m年解修樟如右： 所ne+引=le+哥+=a司停◆(+)1.t的2-a mon n nin 所以山三角雨盘图像可物1《入+1<2， 即06A< 音停品放选人 -2sins-sin(I -2sina)-Zin aou's "2in t -sin 42.in't -2in x 42's 做方程)-~42)在：-君若]上有3个不同的解.同工.B由题意，函数)-m(:+w>0)的周期为T2货，引-。一 4sin'r-sin x. 四为A+)=+nr+T}-n时存+可》=-4n年+dn只x),断以■不 实数A的取直他围为[0,1) 豆，故wl,gin+p=is+p 是x》的一个周期，A结灵： 考案（三） 函数图像关于天：骨材称。 由=4-oh4n-》=0.得n=自或有=±行， 1D角：的降边经过应P(区，一下，则P到原点约距两为 放号+ 当e02时，可得=0,8表费2，在02士 V2(-3om-号9 有7个零么，B正确： 解得号+一受+红e, 当in=取得量大值，i加3五取得量小值时，几：)取得量大值， 6 放0=君+5mtcZ),灵0<g<故=0，=是，拉该 图为})=2受-n受=3=2+1，质银月的最大直为3，C正确 =2284 =2264▲ ２０５ ▲ ▲ ２０６ ▲ 考 案 （二） 第八章　 向量的数量积与三角恒等变换 时间：１２０分钟　 满分：１５０分 一、单项选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． １．计算３４ ｃｏｓ ２１５° － ３８等于 （　 　 ） Ａ． － 槡３ ３１６ Ｂ． 槡 ３ ３ １６ Ｃ． ３ １６ Ｄ． － ３ １６ ２．（２０２４·青海西宁高三复习检测）已知平面向量ａ，ｂ满足｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ ＝ ２．若（ａ 槡＋ ２ｂ）·ａ ＝ ０，则向量ａ， ｂ的夹角为 （　 　 ） Ａ． ３０° Ｂ． ４５° Ｃ． ６０° Ｄ． １３５° ３．（２０２４·广西柳州高一联考）已知ａ ＝（－ ３，１），ｂ ＝（１，１），则向量ａ在向量ｂ方向上的投影向量为 （　 　 ） Ａ．（－ ２，－ １） Ｂ．（２，１） Ｃ．（－ １，－ １） Ｄ． １５， １( )１０ ４．（２０２４·山东菏泽高一期末质量检测）已知θ∈ ０，π( )４ ，ｓｉｎ４θ ＋ ｃｏｓ４θ ＝ １７２５，则ｔａｎ θ ＋ π( )４ ＝ （　 　 ） Ａ． １３ Ｂ． １ ２ Ｃ． ２ Ｄ． ３ ５．（２０２４·广东江门第一中学高三考试）如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ 槡＝ ２ ３，ｃｏｓ∠ＢＡＤ ＝槡３２ ，Ｅ是边 ＢＣ的中点，Ｆ是ＣＤ上靠近Ｄ的三等分点，若→ＡＥ·→ＢＦ ＝ ６，则｜ →ＡＢ ｜ ＝ （　 　 ） Ａ． ４ Ｂ． ３ Ｃ． 槡２ ３ Ｄ． 槡３ ２ ６．（２０２４·贵州六盘水高二期末）已知α，β为锐角，若ｔａｎ α ＝ ３４，ｃｏｓ（α ＋ β）＝ － 槡２ ２ ，则ｓｉｎ β ＝ （　 　 ） Ａ． 槡７ ２１０ Ｂ． 槡 ３ ２ ５ Ｃ． 槡３ ２ １０ Ｄ． 槡２ ５ ７． ｓｉｎ １０°ｓｉｎ ５０°ｓｉｎ ７０°的值为 （Ａ ） Ａ． １８ Ｂ． ３槡３ ８ Ｃ． １ ２ Ｄ． 槡３ ２ ８．（２０２３·全国高考真题）已知⊙Ｏ的半径为１，直线ＰＡ与⊙Ｏ相切于点Ａ，直线ＰＢ与⊙Ｏ交于Ｂ，Ｃ两 点，Ｄ为ＢＣ的中点，若ＰＯ ＝槡２，则→ＰＡ·→ＰＤ的最大值为 （Ａ ） Ａ． １ ＋槡２２ Ｂ． １ ＋ ２槡２ ２ Ｃ． １ ＋槡２ Ｄ． ２ ＋槡２ 二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分． ９．（２０２４·内蒙古第十四中学高一期中）下列化简结果正确的是 （　 　 ） Ａ． ｓｉｎ １０５° ＝槡６ ＋槡２４ Ｂ． ｔａｎ ２４° ＋ ｔａｎ ３６° １ － ｔａｎ ２４°ｔａｎ ３６° ＝槡３ Ｃ． ｓｉｎ π１２ －槡３ｃｏｓ π １２ ＝槡２ Ｄ． ｃｏｓ ２２°ｓｉｎ ５２° － ｓｉｎ ２２°ｃｏｓ ５２° ＝ － １ ２ １０．设函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ２ ｘ２ ＋ π( )６ － ｓｉｎ２ ｘ２ ＋ π( )６ ，则下列结论正确的是 （Ａ ） Ａ． ｆ（ｘ）的一个周期为－ ２π Ｂ． ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图像关于直线ｘ ＝ ８π３对称 Ｃ． ｆ（ｘ ＋ π）的一个零点为ｘ ＝ π６ Ｄ． ｆ（ｘ）在 π ２，( )π 内单调递减 １１．如图，正方形ＡＢＣＤ的边长为６，点Ｅ，Ｆ分别在边ＡＤ，ＢＣ上，且ＤＥ ＝ ２ＡＥ，ＣＦ ＝ ２ＢＦ． 若有λ∈（７，１６），则在正方形的四条边上，使得→ＰＥ·→ＰＦ ＝ λ成立的点Ｐ的个数不可 能为 （Ａ ） Ａ． ２ Ｂ． ４ Ｃ． ６ Ｄ． ０ 三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分． １２．（２０２４·陕西渭南蒲城中学高一期中）ｓｉｎ ６３° － ｓｉｎ ３３°ｃｏｓ ３０°ｃｏｓ ３３° ＝ 　 　 　 　 ． １３．（２０２４·云南昆明高二期末）已知ｓｉｎ αｃｏｓ β ＝ １３，ｔａｎ α ＝ ３ｔａｎ β，则ｓｉｎ（α ＋ β）＝ 　 　 　 　 ． １４．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ｂ ＝ ６０°，ＡＢ ＝ ３，ＢＣ ＝ ６，且→ＡＤ ＝ λ →ＢＣ，→ＡＤ·→ＡＢ ＝ － ３２， 则实数λ的值为　 　 　 　 ；若Ｍ，Ｎ是线段ＢＣ上的动点，且｜ →ＭＮ ｜ ＝ １，则→ＤＭ·→ＤＮ 的最小值为　 　 　 　 ． 四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １５．（本小题满分１３分）设在平面上有两个向量ａ ＝（ｃｏｓ ２α，ｓｉｎ ２α）（０≤α ＜ π），ｂ ＝ １ ２， 槡３( )２ ，ａ与ｂ不 共线． （１）求证：向量ａ ＋ ｂ与ａ － ｂ垂直； （２）当向量槡３ａ ＋ ｂ与ａ －槡３ｂ的模相等时，求α的大小                                                                      ． ▲ ２０７ ▲ ▲ ２０８ ▲ １６．（本小题满分１５分）（２０２４·江苏南通高一质量监测）已知ｔａｎ α ＋ π( )４ ＝ － ３，ｃｏｓ β ＝ － 槡７ ２１０ ，且α，β ∈（０，π），求： （１）ｓｉｎ ２α的值； （２）２α － β的值． １７．（本小题满分１５分）（２０２４·北京东直门中学高一期中）设→ＯＡ ＝（２ｓｉｎ ｘ，ｃｏｓ ２ｘ），→ＯＢ ＝（ｃｏｓ ｘ，１），其中 ｘ∈ ０，π[ ]２ ． （１）当→ＯＡ⊥ →ＯＢ时，求ｘ的值； （２）求ｆ（ｘ）＝ →ＯＡ·→ＯＢ的单调递增区间； （３）若关于ｘ的方程→ＯＡ·→ＯＢ － ｍ ＝ ０有两个解，求实数ｍ的取值范围． １８．（本小题满分１７分）已知函数ｆ（ｘ）＝ ４ｃｏｓ ４ｘ － ２ｃｏｓ ２ｘ － １ ｔａｎ π４ ＋( )ｘ ·ｓｉｎ２ π４ －( )ｘ ． （１）求ｆ － １７１２( )π 的值； （２）当ｘ∈ ０，π[ ]２ 时，ｇ（ｘ）＝ １２ ｆ（ｘ）＋ ｓｉｎ ２ｘ的最大值和最小值． １９．（本小题满分１７分）已知向量ｍ ＝（ｓｉｎ ｘ，ｃｏｓ ２ｘ），ｎ ＝（２ｃｏｓ ｘ，槡３），函数ｆ（ｘ）＝ｍ·ｎ． （１）求函数ｆ（ｘ）的解析式和图像的对称中心； （２）若函数ｆ（ｘ）的图像向左平移π１２个单位长度，得到函数ｇ（ｘ）的图像，且关于ｘ的方程ｇ（ｘ）＝ １ － λ（２ｓｉｎ ｘ ＋ １）在ｘ [∈ － π６， ５π ]６ 上有３个不同的解，求实数λ的取值范围                                                                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