第7章 三角函数 章末知识梳理(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

WXYZ%[\] 对应学生用书学案Ｐ００３ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．若α是三角形的一个内角，且ｓｉｎ α ＝ １２，则α ＝ （Ｂ ） Ａ． ３０° Ｂ． ３０°或１５０° Ｃ． ６０° Ｄ． ６０°或１２０° ２．若ｓｉｎ ｘ ＝ － ４５ π ＜ ｘ ＜ ３π( )２ ，则ｘ的值等于 （Ｂ ） Ａ． － ａｒｃｓｉｎ ４５ Ｂ． π ＋ ａｒｃｓｉｎ ４ ５ Ｃ． ２π － ａｒｃｓｉｎ ４５ Ｄ． ３ ２ π － ａｒｃｓｉｎ ４ ５ ３．在［－ π，π］上，ｃｏｓ ｘ ＝槡３２的角是 （Ａ ） Ａ． ± π６ Ｂ． ± π ３ Ｃ． π６和 ５π ６ Ｄ． π ３和 ２π ３ ４．已知ｔａｎ θ ＝ － １，且θ∈ π２， ３π( )２ ，则θ的大小 是 （　 　 ） Ａ． － π４ Ｂ． ３π ４ Ｃ． ５π４ Ｄ． ３π ４ ， ５π ４ ５．若ｔａｎ α ＝ － ８，且α∈ π２， ３π( )２ ，则α ＝ （Ｃ ） Ａ． ａｒｃｔａｎ ８ Ｂ． ａｒｃｔａｎ ８ － π Ｃ． π － ａｒｃｔａｎ ８ Ｄ． π ＋ ａｒｃｔａｎ ８ 请同学们认真完成练案［１３                         ］ 章末知识梳理 +,¶·¸ 对应学生用书学案Ｐ００１ ¹±+,º» 对应学生用书学案Ｐ００１ 　 　 １．三角函数的概念 重点掌握以下两方面内容： ①理解任意角的概念和弧度的意义，能正确 迅速进行弧度与角度的换算． ②掌握任意角的正弦、余弦和正切的定义， 能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号 解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函 数的值域． ２．同角三角函数的基本关系式 能用同角三角函数的基本关系式进行化简、 求值和三角恒等式的证明；能逆用公式ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １巧妙解题           ． $() ３．诱导公式 能用公式一至公式四将任意角的三角函数 化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象 限”牢记所有诱导公式．善于将同角三角函数的 基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些 公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和 逻辑思维能力的目的． ４．三角函数的图像与性质 　 函数 性质　 ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ ｙ ＝ ｔａｎ ｘ 图像 定 义 域 Ｒ { Ｒ ｘ ｘ≠ π２ ＋ ｋπ，ｋ∈ }Ｚ 值域 ［－ １，１］ ［－ １，１］ （－∞，＋∞） 最值 ｘ ＝ ２ｋπ ＋ π２ （ｋ∈ Ｚ）时，ｙｍａｘ ＝ １； ｘ ＝ ２ｋπ － π２ （ｋ∈ Ｚ）时，ｙｍｉｎ ＝ － １ ｘ ＝ ２ｋπ（ｋ ∈ Ｚ）时，ｙｍａｘ ＝ １； ｘ ＝ ２ｋπ ＋ π（ｋ ∈Ｚ）时，ｙｍｉｎ ＝ － １ 无最大、 最小值 周期 性 周期Ｔ ＝ ２ｋπ（ｋ∈ Ｚ） 周期Ｔ ＝ ２ｋπ （ｋ∈Ｚ） 周期Ｔ ＝ ｋπ （ｋ∈Ｚ） 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 在２ｋπ － π２ ，２ｋπ ＋ π[ ]２ （ｋ∈Ｚ）上都是单调递增； 在２ｋπ ＋ π２ ，２ｋπ ＋ ３π[ ]２ （ｋ∈Ｚ ）上都是单调递减 在［２ｋπ － π， ２ｋπ］（ｋ∈Ｚ）上 都是单调递增； 在［２ｋπ，２ｋπ ＋ π］（ｋ∈Ｚ）上都 是单调递减 在每个区间 ｋπ － π２( ， ｋπ ＋ π )２ （ｋ∈Ｚ）上 都是单调递增 对 称 性 轴对称图形，对称 轴方程是ｘ ＝ ｋπ ＋ π ２ ，ｋ∈Ｚ；中心对称 图形，对称中心是 （ｋπ，０）ｋ∈Ｚ 轴对称图形， 对称轴方程是 ｘ ＝ ｋπ，ｋ∈Ｚ； 中心对称图形， 对称中心 是ｋπ ＋ π２ ，( )０ ｋ∈Ｚ 中心对称图 形，对称中 心是ｋπ２ ，( )０ （ｋ∈Ｚ） 　 　 ５．三角函数的图像与性质的应用 （１）重点掌握“五点法”，会进行三角函数图 像的变换，能从图像中获取尽可能多的信息，如 周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、 中心对称等，如最高点、最低点对称中心之间位 置关系等．能从三角函数的图像归纳出函数的 性质． （２）牢固掌握三角函数的定义域、值域、周 期性、单调性、奇偶性和对称性．在运用三角函数 性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨 论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整 准确地进行解答                                            ． ¼K½¾¿À 对应学生用书学案Ｐ００１ ●¼K<%M?op@ABÁ”•–ˆ 　 　 三角函数的定义及诱导公式在中学数学的学习中主要有两方面的作用： 一是考查三角函数值在各象限内的符号、终边相同的角及象限角等基 础知识． 二是考查诱导公式在三角函数求值、化简、证明和三角恒等变换中的应用． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）已知角α终边上一点Ｐ的坐标为ｓｉｎ ５π６ ，ｃｏｓ ５π( )６ ，则角α的最 小正值是 （Ｃ ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ５π６ 　 　 　 　 　 Ｂ． ２π ３ 　 　 　 　 　 Ｃ． ５π ３ 　 　 　 　 　 Ｄ． １１π ６ （２）若α为第四象限角，则 （　 　 ） Ａ． ｃｏｓ ２α ＞ ０ Ｂ． ｃｏｓ ２α ＜ ０ Ｃ． ｓｉｎ ２α ＞ ０ Ｄ． ｓｉｎ ２α ＜ ０ 【分析】　 利用特殊角的三角函数值判断点Ｐ所在的象限，再利用特 殊角的三角函数值求解，也可以利用三角函数定义和诱导公式求解． ［归纳提升］ 归纳提升： \”"~*% ]9·÷Ä:X@h 8mn%'Ž （ｃｏｓ θ， ｓｉｎ θ）Ý ｘ ＝ｃｏｓ θ， ｙ ＝ｓｉｎ θ{ ，θ∈ ［０，２π］． $(! ●¼KC%deM?opH3c}j ‰Šj mn 　 　 三角函数的定义及同角三角函数的基本关系在高考中应用比较多，结 合化简、求值、证明进行考查，注意公式ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １和ｔａｎ α ＝ ｓｉｎ αｃｏｓ α及 变形公式的灵活运用． ２．已知－ π２ ＜ ｘ ＜ ０，ｓｉｎ ｘ ＋ ｃｏｓ ｘ ＝ １ ５ ． （１）求ｓｉｎ ｘ － ｃｏｓ ｘ的值； （２）求ｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ ＋ ｓｉｎ ２ｘ １ － ｔａｎｘ 的值． 【分析】　 由（ｓｉｎ ｘ ＋ ｃｏｓ ｘ）２ ＝１ ＋２ｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ求出ｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ的值，然后根据 （ｓｉｎ ｘ － ｃｏｓ ｘ）２ ＝１ －２ｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ求解（１）题；（２）题先化简再求值． ［归纳提升］ ●¼KM%™šop`´šop@/°‹: 　 　 正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，余弦函数ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ，在教材中已研究了它们的定义 域、值域、单调性、奇偶性、周期性．除了上述有关内容之外，近年来有关正 弦函数、余弦函数等对称性问题在高考中有所出现，有必要对其作进一步 的探讨． 函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈Ｒ的图像是中心对称图形，并且有无穷多个对称中 心，对称中心是图像与ｘ轴的任一交点，坐标为（ｋπ，０）（ｋ∈Ｚ）；函数ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ，ｘ∈Ｒ的对称中心坐标为ｋπ ＋ π２，( )０ （ｋ∈Ｚ），以上两个函数图像，也 是轴对称图形，它们的对称轴分别是ｘ ＝ ｋπ ＋ π２（ｋ∈Ｚ）和ｘ ＝ ｋπ（ｋ∈Ｚ）； 函数ｙ ＝ ｔａｎｘ的对称中心坐标为ｋπ２ ，( )０ （ｋ∈Ｚ），但它不是轴对称图形． ３．求函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ 的对称中心和对称轴方程． 【分析】　 利用三角函数的图像，把２ｘ － π６看作一个变量，用换元的方 法求对称中心或对称轴方程，也可以考虑ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ与ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ 的关 系，利用变换的思想求对称轴与对称中心． ［归纳提升］ 归纳提升：（１）ｓｉｎ α ± ｃｏｓ α，ｓｉｎ αｃｏｓ α …´ ·tz （ｓｉｎ α ± ｃｏｓ α）２ ＝ １ ± ２ｓｉｎ αｃｏｓ α ÷m ñ HÄ 5 Í ｓｉｎ３α ± ｃｏｓ３α，ｓｉｎ４α ± ｃｏｓ４α， ｓｉｎ６α ± ｃｏｓ６α，ｔａｎ α ＋ １ ｔａｎ α»é5>…¦” §‡v5Í ． í ２ ðJm~*ÀÁÄ Jm"ÄJm¸¹Zû (”"~*#ñŸ#‡ v%Ê1NÕ ． 归纳提升： §Üa—o ñ”"~*%šÁ#… šÁaA%qÔNÕÄ <>(¹r”"sã% ”§NÕÄK‹f¸¹ Z ． $(* ●¼KR%M?op@rT`³r‹: 　 　 求三角函数的值域（最值）可分为几类：（１）是ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）＋ ｋ类 型的，应利用其图像与性质、数形结合求解．（２）是可化为以三角函数为元 的二次函数类型，应确定三角函数的范围，再用二次函数求解．（３）利用几 何意义求解等． ４．已知函数ｙ ＝ ａｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )６ ＋ ｂ在ｘ∈ ０，π[ ]２ 上的值域为［－ ５，１］， 求ａ、ｂ的值． 【分析】　 先由ｘ的范围确定ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )６ 的范围，再根据ａ的符号，讨 论ａ、ｂ的值． ［归纳提升］ ５．设ａ≥０，若ｙ ＝ ｃｏｓ２ｘ － ａｓｉｎ ｘ ＋ ｂ的最大值为０，最小值为－ ４，试求 ａ、ｂ的值． 【分析】　 通过换元化为一元二次函数最值问题求解． ［归纳提升］ ●¼KŽ%M?op@£¤«¬ 　 　 １．用“五点法”作ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）（Ａ ＞ ０，ω ＞ ０）的图像时，确定五个 关键点的方法是分别令ωｘ ＋ φ的值为０，π２，π， ３π ２ ，２π． ２．对于ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）＋ ｋ（Ａ ＞ ０，ω ＞ ０），应明确Ａ、ω决定“形变”， φ，ｋ决定“位变”，Ａ影响值域，ω影响周期，Ａ，ω，φ影响单调性．针对ｘ的 变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很容易出错，应注意先“平移” 后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别． ３．由已知函数图像求函数ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）（Ａ ＞ ０，ω ＞ ０）的解析式时 常用的解题方法是待定系数法．由图中的最大值或最小值确定Ａ，由周期 确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ．但由图像求得的ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）（Ａ ＞ ０，ω ＞ ０）的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得 出唯一的解．否则φ的值不确定，解析式也就不唯一． 归纳提升： §ã(ù\ ]9.M]!‰~* ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )６ % Ÿ .ÄϚž~*%4 Ÿ%®7… ａ 5Í€Ä Wš ａ `aÿ+œ ． 归纳提升： mùHx~ *-´4Ÿsã–5Ü *AÄB«[šÁ#… -´ % 6 š X Y ; œ ． $(+ ６．（１）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ（ωｘ ＋ φ）（ω ＞ ０，０ ＜ φ ＜ π）的最小正周期为π，将其图像向右平移π６ 个单位长度后得到的图像关于原点对称，则φ ＝ 　 　 　 　 ；当ｘ∈ － π６， π[ ]６ 时ｆ（ｘ）的值域 是　 　 　 　 ． （２）已知函数ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）其中Ａ ＞ ０，ω ＞ ０，０ ＜ φ ＜ π( )２ 的图像如图所示． ①求函数ｆ（ｘ）的解析式及其对称轴方程； ②将函数ｆ（ｘ）的图像上各点的横坐标缩短为原来的１２，纵坐标不变，得到了函数ｙ ＝ ｇ（ｘ）的图像，求函数ｙ ＝ ｇ（ｘ）在０，３π[ ]８ 上的单调递增区间． ●ÂÃÄÅ １．（２０２４·北京高考真题）设函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ωｘ（ω ＞ ０）．已知ｆ（ｘ１）＝ － １，ｆ（ｘ２）＝ １，且｜ ｘ１ － ｘ２ ｜的最 小值为π２，则ω ＝ （　 　 ） Ａ． １　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ２　 　 　 　 　 　 　 　 Ｃ． ３　 　 　 　 　 　 　 　 Ｄ． ４ ２．（２０２４·天津高考真题）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ３ ωｘ ＋ π( )３ （ω ＞ ０）的最小正周期为π，则ｆ（ｘ）在 － π１２， π[ ]６ 的最小值是 （　 　 ） Ａ． －槡３２ Ｂ． － ３ ２ Ｃ． ０ Ｄ． ３ ２ ３．（２０２１·新高考Ⅰ卷）下列区间中，函数ｆ( )ｘ ＝ ７ｓｉｎ ｘ － π( )６ 单调递增的区间是 （Ａ ） Ａ． ０，π( )２ Ｂ． π２，( )π Ｃ． π，３π( )２ Ｄ． ３π２ ，２( )π ４．（２０２１·全国乙卷理）把函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）图像上所有点的横坐标缩短到原来的１２倍，纵坐标不变，再 把所得曲线向右平移π３个单位长度，得到函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ － π( )４ 的图像，则ｆ（ｘ）＝ （Ｂ ） Ａ． ｓｉｎ ｘ２ － ７π( )１２ Ｂ． ｓｉｎ ｘ２ ＋ π( )１２ Ｃ． ｓｉｎ ２ｘ － ７π( )１２ Ｄ． ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )１２ ５．（２０２２·新高考Ⅰ卷）记函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ωｘ ＋ π( )４ ＋ ｂ（ω ＞ ０）的最小正周期为Ｔ．若２π３ ＜ Ｔ ＜ π，且 ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图像关于点３π２ ，( )２ 中心对称，则ｆ π( )２ ＝ （Ａ ） Ａ． １ Ｂ． ３２ Ｃ． ５ ２ Ｄ． ３ ６．（２０２４·新课标Ⅰ卷）当ｘ∈［０，２π］时，曲线ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ与ｙ ＝ ２ｓｉｎ ３ｘ － π( )６ 的交点个数为（　 　 ） Ａ． ３ Ｂ． ４ Ｃ． ６ Ｄ． ８ 请同学们认真完成考案（一） $)$ 章末知识梳理 要点专项突破 　 　 例１：（１）Ｃ　 （２）Ｄ　 （１）方法一：由ｓｉｎ ５π６ ＝ １ ２ ，ｃｏｓ ５π ６ ＝ －槡３２可知点Ｐ的坐标为 １ ２ ，－槡 ３( )２ ，故为第四象限角，且ｔａｎ α 槡＝ － ３，所以α ＝ ５π３ ． 方法二：由三角函数定义知，ｓｉｎ α ＝ ｃｏｓ ５π６ ＝ ｃｏｓ π ２ ＋ π( )３ ＝ － ｓｉｎ π３ ＝ ｓｉｎ － π( )３ ，与－ π３有相同正弦值的第四象限的最 小正角是５π３ ． （２）因为α为第四象限角，所以－ π２ ＋ ２ｋπ ＜ α ＜ ２ｋπ，ｋ∈ Ｚ，故－ π ＋ ４ｋπ ＜ ２α ＜ ４ｋπ，ｋ∈Ｚ， 所以２α为第三、四象限角或ｙ轴负半轴上的角． 所以ｃｏｓ ２α的正负不确定，ｓｉｎ ２α ＜ ０，故选Ｄ． 　 　 例２：（１）将ｓｉｎ ｘ ＋ ｃｏｓ ｘ ＝ １５两边平方得２ｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ ＝ － ２４ ２５， ∴ （ｓｉｎ ｘ － ｃｏｓ ｘ）２ ＝ １ － ２ｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ ＝ ４９２５ ． ∵ － π２ ＜ ｘ ＜ ０，∴ ｓｉｎ ｘ ＜ ０，ｃｏｓ ｘ ＞ ０， ∴ ｓｉｎ ｘ － ｃｏｓ ｘ ＜ ０． 故ｓｉｎ ｘ － ｃｏｓｘ ＝ － ７５ ． （２）ｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ ＋ ｓｉｎ ２ｘ １ － ｔａｎｘ ＝ ｓｉｎ ｘ（ｓｉｎ ｘ ＋ ｃｏｓｘ） １ － ｓｉｎ ｘｃｏｓｘ ＝ ｃｏｓｘｓｉｎ ｘ（ｓｉｎ ｘ ＋ ｃｏｓｘ）ｃｏｓｘ － ｓｉｎ ｘ ＝ － １２２５ × １ ５ ７ ５ ＝ － １２１７５． 　 　 例３：设Ａ ＝ ２ｘ － π６ ，则函数ｙ ＝ ｓｉｎ Ａ的对称中心为（ｋπ， ０），ｋ∈Ｚ 即２ｘ － π６ ＝ ｋπ，ｘ ＝ ｋπ ２ ＋ π １２，ｋ∈Ｚ，对称轴方程为２ｘ － π ６ ＝ π ２ ＋ ｋπ，ｘ ＝ π３ ＋ ｋπ ２ ，ｋ∈Ｚ． 所以ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ 的对称中心为ｋπ２ ＋ π１２，( )０ ，ｋ∈Ｚ，对 称轴为ｘ ＝ π３ ＋ ｋπ ２ （ｋ∈Ｚ）． 　 　 例４：∵ ｘ∈ ０，π[ ]２ ， ∴ ２ｘ ＋ π６ ∈ π ６ ， ７π[ ]６ ，ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )６ ∈ － １２ ，[ ]１ ． ∴当ａ ＞ ０时， ａ ＋ ｂ ＝ １， － ａ２ ＋ ｂ ＝ － ５{ ，解得ａ ＝ ４，ｂ ＝ － ３{ ； 当ａ ＜ ０时， － １ ２ ａ ＋ ｂ ＝ １， ａ ＋ ｂ ＝ － ５{ ， 解得ａ ＝ － ４，ｂ ＝ － １{ ． ∴ ａ、ｂ的取值分别是４、－ ３或－ ４、－ １． 　 　 例５：原函数变形为ｙ ＝ － ｓｉｎ ｘ ＋ ａ( )２ ２ ＋１ ＋ ｂ ＋ ａ ２ ４ ． 当０≤ａ≤２时，－ ａ２ ∈［－ １，０］，∴ ｙｍａｘ ＝ １ ＋ ｂ ＋ ａ２ ４ ＝ ０．① ｙｍｉｎ ＝ － １ ＋ ａ( )２ ２ ＋ １ ＋ ｂ ＋ ａ ２ ４ ＝ － ４② 由以上两式①②，得ａ ＝ ２，ｂ ＝ － ２，舍ａ ＝ － ６（与０≤ａ≤２ 矛盾）． 当ａ ＞ ２时，－ ａ２ ∈（－ ∞，－ １）， ∴ ｙｍａｘ ＝ － － １ ＋ ａ( )２ ２ ＋ １ ＋ ｂ ＋ ａ ２ ４ ＝ ０．③ ｙｍｉｎ ＝ － １ ＋ ａ( )２ ２ ＋ １ ＋ ｂ ＋ ａ ２ ４ ＝ － ４．④ 由以上两式③④，得ａ ＝ ２，不适合ａ ＞ ２，∴应舍去． 综上知，只有一组解ａ ＝ ２， ｂ ＝ － ２{ ． 　 　 例６：（１）５π６ 　 ［－ １，０］　 （２）见解析 【解析】　 （１）由函数ｆ（ｘ）的最小正周期Ｔ ＝２π ω ＝π，得ω ＝２， 所以ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ（２ｘ ＋ φ），将其图像向右平移π６个单位长度 后，得到ｇ（ｘ）＝ ｃｏｓ ２ｘ － π３ ＋( )φ 的图像，因为ｇ（ｘ）的图像关于原 点对称，所以φ － π３ ＝ π ２ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ，所以φ ＝ ５π ６ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ，又０ ＜ φ ＜ π，所以φ ＝ ５π６ ，则ｆ （ｘ）＝ ｃｏｓ ２ｘ ＋ ５π( )６ ． 当ｘ ∈ － π６ ， π[ ]６ 时，２ｘ ＋５π６ ∈ π２ ，７π[ ]６ ，所以ｆ（ｘ）的值域是［－１，０］． （２）①由题图知，Ａ ＝２，Ｔ ＝４ × ５π１２ － π( )６ ＝π，则ω ＝２πＴ ＝２， 由２ｓｉｎ ２ × π６ ＋( )φ ＝ ２，即ｓｉｎ π３ ＋( )φ ＝ １，得π３ ＋ φ ＝ ２ｋπ ＋ π２ ，ｋ∈Ｚ，所以φ ＝ ２ｋπ ＋ π ６ ，ｋ∈Ｚ， 又φ∈ ０，π( )２ ，则φ ＝ π６ ，故ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )６ ． 令２ｘ ＋ π６ ＝ π ２ ＋ ｋπ（ｋ∈Ｚ），得ｘ ＝ π ６ ＋ ｋπ ２ （ｋ∈Ｚ）， 所以ｆ（ｘ）的对称轴方程为ｘ ＝ π６ ＋ ｋπ ２ （ｋ∈Ｚ）． ②将ｆ（ｘ）图像上各点的横坐标缩短为原来的１２ ，纵坐标不 变，得到ｇ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ４ｘ ＋ π( )６ 的图像，因为ｘ∈ ０，３π[ ]８ ，则π６ ≤ ４ｘ ＋ π６ ≤ ５π ３ ，当 π ６ ≤４ｘ ＋ π ６ ≤ π ２ ，即０≤ｘ≤ π １２时ｇ（ｘ）单调递 增；当３π２ ≤４ｘ ＋ π ６ ≤ ５π ３ ，即 π ３ ≤ｘ≤ ３π ８时ｇ（ｘ）单调递增．所以 ｇ（ｘ）在０，３π[ ]８ 上的单调递增区间为０，π[ ]１２ ， π３ ，３π[ ]８ ． 高考链接 １． Ｂ　 由题意可知：ｘ１ 为ｆ（ｘ）的最小值点，ｘ２ 为ｆ（ｘ）的最大 值点， 则｜ ｘ１ － ｘ２ ｜ ｍｉｎ ＝ Ｔ２ ＝ π ２ ，即Ｔ ＝ π，且ω ＞ ０，所以ω ＝ ２π Ｔ ＝ ２． 故选Ｂ． ２． Ａ　 ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ３ ωｘ ＋ π( )３ ＝ ｓｉｎ（３ωｘ ＋ π）＝ － ｓｉｎ ３ωｘ，由Ｔ ＝ ２π ３ω ＝ π得ω ＝ ２３                                                                       ， —１５８— 即ｆ（ｘ）＝ － ｓｉｎ ２ｘ，当ｘ [∈ － π１２，π ]６ 时，２ｘ∈ － π６ ， π[ ]３ ， 画出ｆ（ｘ）＝ － ｓｉｎ ２ｘ图像，如图， 由图可知，ｆ（ｘ）＝ －ｓｉｎ ２ｘ [在－ π１２，π ]６ 上递减，所以，当ｘ ＝ π６时，ｆ（ｘ）ｍｉｎ ＝ － ｓｉｎ π ３ ＝ － 槡３ ２ ．故选Ａ． ３． Ａ　 令－ π２ ＋ ２ｋπ≤ｘ － π ６ ≤ π ２ ＋ ２ｋπ（ｋ∈Ｚ）， ∴ － π３ ＋ ２ｋπ≤ｘ≤ ２π ３ ＋ ２ｋπ（ｋ∈Ｚ）． 当ｋ ＝ ０时，ｘ∈ － π３ ， ２π[ ]３ ，∵ ０，π( )２  － π３ ，２π[ ]３ ，故选Ａ． ４． Ｂ　 将函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ － π( )４ 向左平移π３个单位长度后，纵坐标 不变，横坐标变为原来的２倍即可得到原函数．故将函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ － π( )４ 向左平移π３个单位长度得ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ ＋ π( )１２ ，纵坐 标不变，横坐标变为原来的２倍可得ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ２ ＋ π( )１２ ． ５． Ａ　 因为２π３ ＜ Ｔ ＜ π，所以 ２π ３ ＜ ２π ω ＜ π，解得２ ＜ ω ＜ ３． 因为ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图像关于点３π２ ，( )２ 中心对称， 所以ｂ ＝ ２，且ｓｉｎ ３π２ ω ＋ π( )４ ＋ ｂ ＝ ２，即ｓｉｎ ３π２ ω ＋ π( )４ ＝ ０，所 以３π２ ω ＋ π ４ ＝ ｋπ（ｋ∈Ｚ）， 又２ ＜ ω ＜ ３，所以１３π４ ＜ ３π ２ ω ＋ π ４ ＜ １９π ４ ， 所以３π２ ω ＋ π ４ ＝ ４π，解得ω ＝ ５ ２ ， 所以ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ ５２ ｘ ＋ π( )４ ＋２，所以ｆ π( )２ (＝ｓｉｎ ５２ × π２ ＋ π )４ ＋ ２ ＝ ｓｉｎ ３π２ ＋ ２ ＝ １．故选Ａ． ６． Ｃ　 因为函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的最小正周期为Ｔ ＝ ２π， 函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ ３ｘ － π( )６ 的 最小正周期为Ｔ ＝ ２π３ ， 所以在ｘ∈ ０，２[ ]π 上函数 ｙ ＝ ２ｓｉｎ ３ｘ － π( )６ 有三个 周期的图像， 在坐标系中结合五点法画出两函数图像，如图所示： 由图可知，两函数图像有６个交点．故选Ｃ． 第八章　 向量的数量积与三角恒等变换 ８． １　 向量的数量积 ８． １． １　 向量数量积的概念 必备知识　 探新知 　 　 知识点１：１．非零　 ∠ＡＯＢ　 （１）［０，π］　 （２）〈ｂ，ａ〉 ２． π２ 　 ａ⊥ｂ　 垂直 对应练习 １． １３５°　 →ＡＣ，→ＣＡ 　 　 知识点２：｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉　 ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ｃｏｓ 〈ａ，ｂ〉　 （２）０ 对应练习 ２． Ｃ　 ａ·ｂ ＝ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝ ２ × １ × ｃｏｓ ６０° ＝ １． ３． Ｂ　 如图，→ＣＢ·→ＡＣ ＝ ｜→ＣＢ ｜·｜→ＡＣ ｜· ｃｏｓ １２０° ＝ ５ × ８ × －( )１２ ＝ － ２０． 　 　 知识点３：１． ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ 　 ２． ｜ ａ ｜ ２ 　 ａ·槡 ａ　 ｜ ａ ｜ ２ 　 ４． ａ·ｂ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ 对应练习 ４． Ｂ　 ｃｏｓ θ ＝ ａ·ｂ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ＝ － ５４ 槡９ × ６ ２ ＝ －槡２２ ， 又∵ ０≤θ≤π，∴ θ ＝ １３５°． ５． 槡２ ３３ 　 因为｜ ｅ１ ｜ ＝ ｜ ｅ２ ｜ ＝ １，且ｅ１·ｅ２ ＝ １ ２ ，所以ｅ１ 与ｅ２ 的夹 角为６０°，又因为ｂ·ｅ１ ＝ ｂ·ｅ２ ＝ １，所以ｂ·ｅ１ － ｂ·ｅ２ ＝ ０，即 ｂ·（ｅ１ － ｅ２）＝ ０，所以ｂ⊥（ｅ１ － ｅ２），所以ｂ与ｅ１ 的夹角为 ３０°，所以ｂ·ｅ１ ＝ ｜ｂ ｜ ｜ ｅ１ ｜ ｃｏｓ ３０° ＝１，∴ ｜ｂ ｜ ＝ 槡２ ３３ ． 　 　 知识点４：１ →． Ａ′Ｂ′　 投影向量　 投影　 ２． ａ在向量ｂ　 →Ａ′Ｂ′ 　 共线　 相同　 相反　 ３． ｜ ａ ｜ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉　 投影的数量　 长度　 非负数　 负数　 模　 （｜ ａ ｜ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉）｜ ｂ ｜ 对应练习 ６． ３　 因为｜ ａ ｜ ＝ ６，向量ｅ为单位向量，〈ａ，ｅ〉＝ π３ ， 所以向量ａ在向量ｅ方向上的投影的数量为 ａ·ｅ ｜ ｅ ｜ ＝ ｜ ａ ｜ ｃｏｓ π ３ ＝ ６ × １ ２ ＝ ３． 关键能力　 攻重难 例１：③④　 ①错，当ａ·ｂ ＝ ０时，有ａ ＝ ０或ｂ ＝ ０或〈ａ，ｂ〉＝ π ２ ；②当〈ａ，ｂ〉＝ π时，有ａ·ｂ ＜ ０，∴ ②错； ③正确，∵当→ＡＢ·→ＢＣ ＝ ０时，〈→ＡＢ，→ＢＣ〉＝ π２ ， ∴ ∠ＡＢＣ ＝ π２ ，∴ △ＡＢＣ为直角三角形； ④正确，∵ ａ，ｂ为单位向量，∴ ａ２ ＝ ｜ ａ ｜ ２ ＝ １，ｂ２ ＝ ｜ ｂ ｜ ２ ＝ １， ∴ ａ２ ＝ ｂ２；⑤错，ａ在ｂ上的投影是一个向量． 对点训练１：①②⑥　 由于ａ２≥０，ｂ２≥０，所以若ａ２ ＋ ｂ２ ＝０，则ａ ＝ ｂ ＝０，故①正确； 若ａ ＋ ｂ ＝ ０，则ａ ＝ － ｂ，又ａ，ｂ，ｃ是三个非零向量，所以ａ·ｃ ＝ － ｂ·ｃ，所以｜ ａ·ｃ ｜ ＝ ｜ ｂ·ｃ ｜，②正确； ａ，ｂ共线ａ·ｂ ＝ ± ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜，所以③不正确； 对于④应有｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜≥ａ·ｂ，所以④不正确； 对于⑤，应该是ａ·ａ·ａ ＝ ｜ ａ ｜ ２ａ，所以⑤不正确； ａ２ ＋ ｂ２≥２ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜≥２ａ·ｂ，故⑥正确； 当ａ与ｂ的夹角为０°时，也有ａ·ｂ ＞０，因此⑦错． 例２：设向量ａ与ｂ的夹角为θ． （１）当ａ∥ｂ时，有两种情况： ①若ａ和ｂ同向，则θ ＝ ０°，ａ·ｂ ＝ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ＝ ２０； ②若ａ与ｂ反向，则θ ＝ １８０°，ａ·ｂ ＝ － ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ＝ － ２０． （２）当ａ⊥ｂ时，θ ＝ ９０°，∴ ａ·ｂ ＝ ０． （３）当ａ与ｂ的夹角为１３５°时，ａ·ｂ ＝ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ｃｏｓ １３５° ＝ 槡－ １０ ２． 对点训练２：（１）由已知及向量的数量积公式可得，若ａ与ｂ的 夹角为３０°，则ａ·ｂ ＝ ｜ ａ ｜·｜ ｂ ｜· 槡ｃｏｓ ３０° ＝ ３． （２）若ａ∥ｂ，则当两向量同向时，其夹角为０°，此时，ａ·ｂ ＝ ｜ ａ ｜ ·｜ ｂ ｜·ｃｏｓ ０° ＝ ２； 当两向量反向时，其夹角为１８０°，此时ａ·ｂ ＝ ｜ａ ｜·｜ｂ ｜·ｃｏｓ １８０° ＝ －２． （３）若ａ⊥ｂ，则其夹角为９０°，则ａ·ｂ ＝ ｜ ａ ｜·｜ ｂ ｜·ｃｏｓ ９０° ＝ ０                                                                       ． —１５９—