8.1.2 向量数量积的运算律(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

WXYZ%[\] 对应学生用书学案Ｐ００３ １．（２０２４·青岛高一检测）若平面向量ａ与ｂ的 夹角为３０°，｜ ａ ｜ ＝ ２，ａ·ｂ ＝ ３，则｜ ｂ ｜ ＝ （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ．槡３ Ｂ． １ Ｃ． ２ Ｄ． ３ ２．已知｜ ｂ ｜ ＝ ３，ａ在ｂ方向上的投影数量是３２，则 ａ·ｂ为 （Ｂ ） Ａ． ３ Ｂ． ９２ Ｃ． ２ Ｄ． １ ２ ３．在等腰直角△ＡＢＣ中，若∠Ｃ ＝ ９０°，ＡＣ ＝槡２， 则→ＢＡ·→ＢＣ的值为 （Ｂ ） Ａ． － ２ Ｂ． ２ Ｃ． － ２槡２ Ｄ． ２槡２ ４．已知ａ是单位向量，且３ａ·ｂ ＝ ｜ ｂ ｜，则ｓｉｎ〈ａ， ｂ〉＝ 　 　 　 　 ． ５．已知ａ，ｂ是两个非零向量． （１）若｜ ａ ｜ ＝ ３，｜ ｂ ｜ ＝ ４，｜ ａ·ｂ ｜ ＝ ６，求ａ与ｂ的 夹角． （２）若｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ ＝ ｜ ａ － ｂ ｜，求ａ与ａ ＋ ｂ的 夹角． 请同学们认真完成练案［１４                          ］ ８． １． ２　 向量数量积的运算律 !"#$%&'( 对应学生用书学案Ｐ００１ 学习目标 核心素养 １．通过平面向量数量积领会向量数量积的运算性质． ２．能利用向量的数量积的运算律及性质进行计算． １．数学抽象　 ２．数学运算 )*+,%-.+ 对应学生用书学案Ｐ００１ 知识点　 向量数量积的运算律 １．向量数量积的运算律 （１）ａ·ｂ ＝ ｂ·ａ　 （交换律）． （２）（λａ）·ｂ ＝ λ（ａ·ｂ）　 ＝ ａ·（λｂ）　 （数乘结合律）． （３）（ａ ＋ ｂ）·ｃ ＝ ａ·ｃ ＋ ｂ·ｃ　 （分配律）． ２．向量数量积的运算性质 多项式乘法 向量数量积 （ａ ＋ ｂ）２ ＝ ａ２ ＋ ２ａｂ ＋ ｂ２ （ａ ＋ ｂ）２ ＝ ａ２ ＋ ２ａ·ｂ ＋ ｂ２　 （ａ － ｂ）２ ＝ ａ２ － ２ａｂ ＋ ｂ２ （ａ － ｂ）２ ＝ ａ２ － ２ａ·ｂ ＋ ｂ２　 （ａ ＋ ｂ）（ａ － ｂ）＝ ａ２ － ｂ２ （ａ ＋ ｂ）·（ａ － ｂ）＝ ａ２ － ｂ２　 　 　 提醒：１． O<*<P¸¹é%[8hi （１） O<%*<P~ª h;é ： K ａ，ｂ，ｃ pŽ$ƒO< ， õ ａ·ｃ ＝ ｂ·ｃ， 7~+ ａ ＝ ｂ． （２）（ａ·ｂ）·ｃ≠ａ·（ｂ·ｃ），„Ž ａ·ｂ，ｂ·ｃ(*<P，(f*，~(O<，dÅ（ａ·ｂ）·ｃ… O< ｃ aU ，ａ·（ｂ·ｃ） …O< ａ aU ， „¦ ，（ａ·ｂ）·ｃ ＝ ａ·（ｂ·ｃ） =m¢‘’\~t† ． （３） øi¸¹é ：ａ·（ｂ ＋ ｃ）＝ ａ·ｂ ＋ ａ·ｃ；（ａ － ｂ）·ｃ ＝ ａ·ｃ － ｂ·ｃ． $)( ２． O<%*<P…f*jP¸¹™ò%,ï f* ａ，ｂ，ｃ O< ａ，ｂ，ｃ ａ≠０，ａ·ｂ ＝ ０ｂ ＝ ０ ａ≠０，ａ·ｂ ＝ ０／ ｂ ＝ ０ ａ·ｂ ＝ ｂ·ｃ（ｂ≠０）ａ ＝ ｃ ａ·ｂ ＝ ｂ·ｃ（ｂ≠０）／ ａ ＝ ｃ ｜ ａ·ｂ ｜ ＝ ｜ ａ ｜·｜ ｂ ｜ ｜ ａ·ｂ ｜≤ ｜ ａ ｜·｜ ｂ ｜ ª jÕZˆé ~ª jÕZˆé Y ３． O<b%ÊËñÕ =ñO<%bA ， d¹qO<%/…½%B@1 ｜ ａ ± ｂ ｜ ＝ （ａ ± ｂ）槡 ２ ＝ ａ２ ± ２ａ·ｂ ＋ ｂ槡 ２ ． ●/012 １．已知向量ａ与ｂ的夹角为１２０°，且｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ ＝ １，则｜ ａ － ｂ ｜等于 （Ｂ ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ３　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ．槡３　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｃ． ２　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｄ． １ ２．已知向量ａ，ｂ满足｜ ａ ｜ ＝ １，ａ·ｂ ＝ － １，则ａ·（２ａ － ｂ）＝ （Ｂ ） Ａ． ４ Ｂ． ３ Ｃ． ２ Ｄ． ０ ３．设向量ａ、ｂ满足｜ ａ ＋ ｂ ｜ ＝槡１０，｜ ａ － ｂ ｜ ＝槡６，则ａ·ｂ ＝ （Ａ ） Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ５ 3456%789 对应学生用书学案Ｐ００１ ●:;<%(ÆpÆl@’nË@0e １．已知｜ ａ ｜ ＝ ２ ｜ ｂ ｜ ＝ ４，向量ａ与ｂ的夹角为１３５°，则（ａ － ｂ）·（ａ ＋ ２ｂ）＝ 　 　 　 　 ． ［归纳提升］ 〉 /KL1 １．设向量ａ，ｂ的夹角的余弦值为１３，且｜ ａ ｜ ＝ １，｜ ｂ ｜ ＝ ３，则（２ａ ＋ ｂ）·ｂ ＝ 　 　 　 　 ． ●:;C%(Æ@Ì? ２．已知ａ、ｂ都是非零向量，且ａ ＋ ３ｂ与７ａ － ５ｂ垂直，ａ － ４ｂ与７ａ － ２ｂ垂直，求向量ａ与ｂ的夹角． ［归纳提升］ 〉 /KL1 ２．已知向量ａ，ｂ满足｜ ａ ｜ ＝ ５，｜ ｂ ｜ ＝ ６，ａ·ｂ ＝ － ６，则ｃｏｓ〈ａ，ａ ＋ ｂ〉＝ （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． － １３３５ Ｂ． － １９ ３５ Ｃ． １７ ３５ Ｄ． １９ ３５ 归纳提升：向量数量积 运算中的常用结论 （１）ａ２ ＝ ｜ ａ ｜ ２ ． （２）（ｘａ ＋ ｙｂ）·（ｍｃ ＋ ｎｄ）＝ ｘｍａ·ｃ ＋ ｘｎａ·ｄ ＋ ｙｍｂ·ｃ ＋ ｙｎｂ·ｄ， ø a ｘ，ｙ，ｍ，ｎ∈Ｒ，+R ›iê%jÕÕ¿ ． （３）（ａ ＋ ｂ）２ ＝ ａ２ ＋ ２ａ ·ｂ ＋ ｂ２ ． （４）（ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）２ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ ＋ ｃ２ ＋ ２ａ·ｂ ＋ ２ｂ·ｃ ＋ ２ａ·ｃ． 归纳提升：１．解决向量 夹角问题一般有两种 思路 í １ ð*<P ａ·ｂ …b P ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ Zñ¹Ä϶ 1‡vQê ｃｏｓ θ ＝ ａ·ｂ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ñŸ]"． í ２ ð ａ ³ ｂ … ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ~ ZñÄ·u1Ýñq< ̀Ä1‡vQê ｃｏｓ θ ＝ ａ·ｂ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ñ Ÿ ]" ． ２．两个向量的夹角与其 数量积的关系 （１） O< ａ，ｂ ^"ŽÀ "%»krô( ａ·ｂ ＞ ０ õ ａ … ｂ ~£O aU ． í ２ ð ａ，ｂ ^"ŽÌ" %»krô( ａ·ｂ ＜ ０ õ ａ … ｂ ~7OaU ． í ３ ð ａ … ｂ ŸÏ%» krô( ａ·ｂ ＝ ０． $)) ●:;M%(Æ@Í ３．已知向量ａ，ｂ满足｜ ａ ｜ ＝ １，｜ ｂ ｜ ＝ ２，若ａ与ｂ的夹角为π３，则｜ ａ ＋ ｂ ｜ ＝ （　 　 ） Ａ． １ Ｂ．槡２ Ｃ．槡５ Ｄ．槡７ ［归纳提升］ 〉 /KL1 ３．若ａ，ｂ满足｜ ａ ｜ ＝ ３，｜ ａ － ｂ ｜ ＝ ５，ａ·ｂ ＝ １，则｜ ｂ ｜ ＝ 　 　 　 　 ． ●:;R%(ÆpÆl@’nËO©kÇÈ~@0e ４．如图所示，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＢＣ 的中点，求证：ＡＦ⊥ＤＥ． 【分析】　 选择基底表示→ＡＦ和→ＤＥ，转化为证明向量 垂直． ［归纳提升］ 〉 /KL1 ４．如图，已知在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ是直角，ＣＡ ＝ ＣＢ，Ｄ是 ＣＢ的中点，Ｅ是ＡＢ上的一点，且ＡＥ ＝ ２ＥＢ．求证：ＡＤ ⊥ＣＥ． 归纳提升：向量模的常 见求法 =ñO<%bA·Ï¶ ¸ 1 Q ê ｜ ａ ｜ ＝ ａ·槡 ａ，Ïd¹qO< %/…½%B@A¿1 ｜ ａ ± ｂ ｜ ＝ （ａ ± ｂ）槡 ２ ＝ ａ２ ± ２ａ·ｂ ＋ ｂ槡 ２ ． 归纳提升：１．向量法证 明两直线垂直的步骤 O<Õ×LÐO¨©a ＡＢ l ＣＤ %de ： （１） }µmsO<S ”U ； （２） 1 ” U 2 3 →ＡＢ / →ＣＤ； （３） ×L →ＡＢ·→ＣＤ %Ÿ Ž ０； （４） —o¨©Z ＡＢ l ＣＤ． ２．利用向量法证明几何 问题的方法技巧 （１） ä1O<23¨© ̀ ， ‰XỲ#B @̀#"@̀ ． （２）̀ aO<d¹ ， ‰ O<%U™¸¹#*< P¸¹ ． （３） XO<sãÆ,t ¨©sã ， ‰O<aU …”naUÇ<ÏUÐ a ， O<%^"…ÏU %^"» ． WXYZ%[\] 对应学生用书学案Ｐ００３ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．已知｜ ａ ｜ ＝ ２，｜ ｂ ｜ ＝ １，向量ａ与ｂ的夹角为２π３ ， 则（ａ ＋ ｂ）·（ａ － ２ｂ）＝ （Ｃ ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ４ ２．若向量ａ与ｂ的夹角为６０°，｜ ｂ ｜ ＝ ４，（ａ ＋ ２ｂ） ·（ａ － ３ｂ）＝ － ７２，则｜ ａ ｜ ＝ （Ｃ ） Ａ． ２ Ｂ． ４ Ｃ． ６ Ｄ． １２ ３．若非零向量ａ、ｂ满足｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜，（２ａ ＋ ｂ）·ｂ ＝ ０，则ａ与ｂ的夹角为 （Ｃ ） Ａ． ３０° Ｂ． ６０° Ｃ． １２０° Ｄ． １５０° ４．（２０２０·全国Ⅰ卷理）设ａ，ｂ为单位向量，且 ｜ ａ ＋ ｂ ｜ ＝ １，则｜ ａ － ｂ ｜ ＝ 　 　 　 　 ． ５．（２０２４·湖北襄阳宜城六校高一期中）已知平 面向量ａ，ｂ满足｜ａ ｜ ＝槡３，｜ｂ ｜ ＝ １，ａ与ｂ的夹角 为３０°，（λｂ － ａ）⊥ａ，则实数λ的值为　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１５                 ］ $)! -2(1)因为向量b的模为1.且b在5.(1)因为a·b=lallblcos(a.b). 所以la·bl=llallblcos a.b)I=lallbllcos a.b)1=6.又 因为lal=3.1b!=4. 60 因为(a,b)e[0”,180”],所以(a,b)-吾-30”。 因为(a,b)e[0.n],所以a与b的夹角为吾或2= (2)因为平面向量lal=2.lbl=6且a·b=-4. (2)如图,在平面内取一点0.作0A=a. 所以lallblcos(a.b)=-4.得cos(a.b)=- ) B=b.以OA.0为邻边作口OACB, -2b在a上 所以a在b上投影的数量为lalcos(a.b)=- 因为la1=1b1.即10A1-10B. 所以四边形0ACB为菱形,0C平分乙AOB. 投影的数量为lblcos(a.b)=-2. 这时OC-a+b.BA=a-b,因为lal=lbl= 对点训练3:(1)D(2)8(1)如图.取 l-b1.即10A1=10B=1BA$. AB的中点HI连接CH,则向量AC在AB方 所以乙AOB-吾,所以乙AOC-吾. 向上的投影的数量为AP=1ACIc0s CAB=1.所以AB·AC=1A 1AC cosCAB-IA11A!-2. 即a与a+b的夹角为吾 (2)如图,过点A作AD1BC,垂足 为D. 8.1.2 向量数量积的运算律 因为AB-AC,所以BD-士BC=2. 必备知识 探新知 于是1可tco AnCc11-1- 知识点:1.(1)b·a(2)A(a·b)a·(Ab)(3)a·c+ $$c 2.(a+b)}=a^}+2a·b+b$}$($a-b)}=a^}-2a·b+b$ B x4-2. C (a+b).(a-b)=a-b 所以BA·BC=1B1BC1eos ABC-4x2=8. 对应练习 例4:(1)C (2)2(1)因为a·=al,所以tlblos1.B la-bl=-2a·b+b=1-2x1x1xcos 120°+1=1 -2x1x1x(-)+1-3. (2)因为lal=2(a.b)=45*,所以由a-2a·b+b=4得 :la-bl=3. lal-2lallblcos 45-+1b1=4. $2. Ba·(2a-b)=2lal$-a·b=2+1=3,故选 B.$$$ 即4-2②1b1+1b$}=4.解得ìb1=2$/②或ìb1=0$ 3.A l+bl$}=a^}+2 a·b+b}=10,la-b$}=a^}-2a·b+$b$$$ 因为b是非零向量,所以!1=2② =6:4a·b=4..a·b=1. 对点训练4:(1)A(2)90* 150(1)因为向量a是单位向 关键能力 攻重难 .(a-b).(a+2b)=lal+a·b-21bl} 解得1b1=2. =16+4x2xcos135*-8 (2)在△ABC中,因为AB-4.BC-2.AB. B=-4.所以1AB|1B1cosAB.B)= =8-4/2. -4.得4x2cos(n-B)=-4.所以cos B 对点训练1:1l 由题意,a·b=lallbl·cos(a.b)=1x3x3 -,得B=60"如图. =$.所以(2a+b)·b=2a·b+b·b=2x1+3x3= $$ 延长BC到D.使CD=BC.则△ABD为等 例2:'a+3b与7a-5b垂直...(a+3b)·(7a-5b)=0. 边三角形, a-4b与7a-2b垂直..(a-4b)·(7a-2b)=0. 7a+16a·b-15b=0 所以AC1BC.乙BAC=30* 于是有 ① 17a*-30a·b+86=0 所以BC与CA的夹角为90*,A6与CA的夹角为150 课堂检测 固双基 ①-②得2a·b=b, 1.A 因为a·b=3. 将③代人①得a=b. 所以lallblcos 30=3→1b1-3 '.laI=Ibl. .B b=1allbleosθ-=1b1lalcos8=3x3-2 3. B B·BC=1BAI·1BC1cos ABC=2xV2cos 45*=2. ·0}<a.b)<180{},向量a与b的夹角等于60。 !对点训练2:D由a·(a+b)=lal^*}+a·b=25-6= 19$$$$$ 4.22 因为a是单位向量,且3a·b=lbl,则3lallblcos(a.b 又la+bl=va+2a·b+b-7. -1b1.得co(an,b)-. 所以co(a.a+b)-.(a+b)1919 lalla+b15x735 ### 又sin}(a.b)+cos}a.b)=1.得 例3:D因为lal=1.lbl=2,a与b的夹角为",所以la+b} 又0<(a.b)<n,得sin(a,b)-22 7.故选D. -160- 对点训练3:3 ②la-bl=5..lal-2a·b+lb1= 关键能力 攻重难 $9-2+lb1=25 1b1*=18 1bl=3. 例1:(1)方法一:a=(1.2).b=(3.4). 例4:【证明】设AD=a,AB=b,则lal=lbl,a·b= '.a·b=1x3+2x4=11. ##-Dd+--,-# ($-b)(2a+3)=2 +a·b-3$=2lal}+a·b-3l$$}$ =2(1+2)+11-3(3+4)=-54. 所以}·D=(6+)·(-“) 方法二::a=(1,2),b=(3,4). .a·b-1x3+2x4-11. -=(12) -(3,4) =(-2.-2)2+3=2(1 + 3(3,4) 故AFD,即AF1DE. =(2x1+3x3.2x2+3x4)=(11.16). 对点调练4:【证明】设此等腰直角三角形的直角边长为a.则 .(a-b)·(2a+3b)=-2x11+(-2)16=-54 A.C-(A+C)·(C+A) (2)如图所示,以A为原点,AB,AD所在 -A.·&+A: 直线分别为x轴,y轴,建立直角坐 标系。 则B(20),E(1,2).C(2.2).,(0.). -#-.故 (-1.)0f-(-2-) 所以ADICE. 2-- 课堂检测 固双基 $.C ($a+b)·$a-2b)=lal$ -a·b-2lb1$}=4-2 x1 $$ c02-24-21x1(-)-2-3- 对点调练1:D a·b=(x.x+2)·(2.3)=2x+3x+6=0.解得$ &。 $.C (a+2b)·(a-3b)=-72.a-a·b-6b=-72$ .lal-1allblcos 60*-61b1=-72. .lal-21al-24-0. 又::lal-0.. lal=6. 且仅当x=v②时等号成立,则a·b的最小值为1+22. 3. C 0=(2a+b)·b=2a·b+b}=2lallblcos(a.b)+lbl}. (1)':a-b=(3.②)..la-b1=5. lal=lb1-0. . la-b1②-lal-2a·b+1b12-5. 1-2a·b+4=5.:a·b=0. .(a.b)=120. :1a-b1=4a-4a·b+1b1-4+4=22. 4.3 因为a.b为单位向量。 (2)·向量a=(1.-③).b=(-3.1). 所以lal =lbl =1,所以la+bl =(a+b)}$ .a与b夹角θ满足cosθ-.b- 23 allb- lal+2a·b+lb1=/2+2a·b=1,解得2a·b=-1. 2x2 所以la-bl-(a-b) =lal -2a·b+lb=3. 对点训练3:(1)由题意得:-x-x(2x+3)=0.解得x=0或 5.2 因为(Ab-a)1a. -2 所以(Ab-a)·a=0. 当x=0时,a-b=(1.0)-(3.0)=(-2.0),所以la-bl 即Aa·b-a=0. =2: 当x=-2时,a-b-(1.-2)-(-1.2)=(2,-4) 所以la-bl=v2+(-4)-25. 8. 1.3 向量数量积的坐标运算 (2)因为a与b的夹角为锐角, 所以a·b=2x+3-x>0,且a与b不同向共线 必备知识 探新知 即-x-x(2x+3)0.解得-1<x<3.且x0. 知识点1:(1)xx:+yy(2)x,x+yy2 综上,x的取值范围是(-1.0)U(0.3). 对应练习 例3:(1)因为EF-EC+C. 1.A 因为四边形ABCD是平行四边形,所以AC-A+A-(1. 点E是BC的中点,点F是CD上靠近C的三等分点 -2)+(2.1)=(3.-1),所以A·AC=2x3+1t(-1)= 所以. 5.故选A. 知识点2: 在矩形ABCD中.可=AC-A 对应练习 所以--1. 2.D 因为a-b=(2.1)-(-2.4)=(4.-3). 所以la-bl=v4+(-3)=5. 所以--寸-.即$,-。 知识点3: (2)如图,以AB.AD分别为x.y轴建 对应练习 3 立平面直角坐标系,则A(0.0). cos(a.b)=11b22x3 .b-6 #(2}) 设F(x.③),则0x2. -161-