8.1.1 向量数量积的概念(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

即ｆ（ｘ）＝ － ｓｉｎ ２ｘ，当ｘ [∈ － π１２，π ]６ 时，２ｘ∈ － π６ ， π[ ]３ ， 画出ｆ（ｘ）＝ － ｓｉｎ ２ｘ图像，如图， 由图可知，ｆ（ｘ）＝ －ｓｉｎ ２ｘ [在－ π１２，π ]６ 上递减，所以，当ｘ ＝ π６时，ｆ（ｘ）ｍｉｎ ＝ － ｓｉｎ π ３ ＝ － 槡３ ２ ．故选Ａ． ３． Ａ　 令－ π２ ＋ ２ｋπ≤ｘ － π ６ ≤ π ２ ＋ ２ｋπ（ｋ∈Ｚ）， ∴ － π３ ＋ ２ｋπ≤ｘ≤ ２π ３ ＋ ２ｋπ（ｋ∈Ｚ）． 当ｋ ＝ ０时，ｘ∈ － π３ ， ２π[ ]３ ，∵ ０，π( )２  － π３ ，２π[ ]３ ，故选Ａ． ４． Ｂ　 将函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ － π( )４ 向左平移π３个单位长度后，纵坐标 不变，横坐标变为原来的２倍即可得到原函数．故将函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ － π( )４ 向左平移π３个单位长度得ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ ＋ π( )１２ ，纵坐 标不变，横坐标变为原来的２倍可得ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ２ ＋ π( )１２ ． ５． Ａ　 因为２π３ ＜ Ｔ ＜ π，所以 ２π ３ ＜ ２π ω ＜ π，解得２ ＜ ω ＜ ３． 因为ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图像关于点３π２ ，( )２ 中心对称， 所以ｂ ＝ ２，且ｓｉｎ ３π２ ω ＋ π( )４ ＋ ｂ ＝ ２，即ｓｉｎ ３π２ ω ＋ π( )４ ＝ ０，所 以３π２ ω ＋ π ４ ＝ ｋπ（ｋ∈Ｚ）， 又２ ＜ ω ＜ ３，所以１３π４ ＜ ３π ２ ω ＋ π ４ ＜ １９π ４ ， 所以３π２ ω ＋ π ４ ＝ ４π，解得ω ＝ ５ ２ ， 所以ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ ５２ ｘ ＋ π( )４ ＋２，所以ｆ π( )２ (＝ｓｉｎ ５２ × π２ ＋ π )４ ＋ ２ ＝ ｓｉｎ ３π２ ＋ ２ ＝ １．故选Ａ． ６． Ｃ　 因为函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的最小正周期为Ｔ ＝ ２π， 函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ ３ｘ － π( )６ 的 最小正周期为Ｔ ＝ ２π３ ， 所以在ｘ∈ ０，２[ ]π 上函数 ｙ ＝ ２ｓｉｎ ３ｘ － π( )６ 有三个 周期的图像， 在坐标系中结合五点法画出两函数图像，如图所示： 由图可知，两函数图像有６个交点．故选Ｃ． 第八章　 向量的数量积与三角恒等变换 ８． １　 向量的数量积 ８． １． １　 向量数量积的概念 必备知识　 探新知 　 　 知识点１：１．非零　 ∠ＡＯＢ　 （１）［０，π］　 （２）〈ｂ，ａ〉 ２． π２ 　 ａ⊥ｂ　 垂直 对应练习 １． １３５°　 →ＡＣ，→ＣＡ 　 　 知识点２：｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉　 ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ｃｏｓ 〈ａ，ｂ〉　 （２）０ 对应练习 ２． Ｃ　 ａ·ｂ ＝ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝ ２ × １ × ｃｏｓ ６０° ＝ １． ３． Ｂ　 如图，→ＣＢ·→ＡＣ ＝ ｜→ＣＢ ｜·｜→ＡＣ ｜· ｃｏｓ １２０° ＝ ５ × ８ × －( )１２ ＝ － ２０． 　 　 知识点３：１． ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ 　 ２． ｜ ａ ｜ ２ 　 ａ·槡 ａ　 ｜ ａ ｜ ２ 　 ４． ａ·ｂ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ 对应练习 ４． Ｂ　 ｃｏｓ θ ＝ ａ·ｂ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ＝ － ５４ 槡９ × ６ ２ ＝ －槡２２ ， 又∵ ０≤θ≤π，∴ θ ＝ １３５°． ５． 槡２ ３３ 　 因为｜ ｅ１ ｜ ＝ ｜ ｅ２ ｜ ＝ １，且ｅ１·ｅ２ ＝ １ ２ ，所以ｅ１ 与ｅ２ 的夹 角为６０°，又因为ｂ·ｅ１ ＝ ｂ·ｅ２ ＝ １，所以ｂ·ｅ１ － ｂ·ｅ２ ＝ ０，即 ｂ·（ｅ１ － ｅ２）＝ ０，所以ｂ⊥（ｅ１ － ｅ２），所以ｂ与ｅ１ 的夹角为 ３０°，所以ｂ·ｅ１ ＝ ｜ｂ ｜ ｜ ｅ１ ｜ ｃｏｓ ３０° ＝１，∴ ｜ｂ ｜ ＝ 槡２ ３３ ． 　 　 知识点４：１ →． Ａ′Ｂ′　 投影向量　 投影　 ２． ａ在向量ｂ　 →Ａ′Ｂ′ 　 共线　 相同　 相反　 ３． ｜ ａ ｜ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉　 投影的数量　 长度　 非负数　 负数　 模　 （｜ ａ ｜ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉）｜ ｂ ｜ 对应练习 ６． ３　 因为｜ ａ ｜ ＝ ６，向量ｅ为单位向量，〈ａ，ｅ〉＝ π３ ， 所以向量ａ在向量ｅ方向上的投影的数量为 ａ·ｅ ｜ ｅ ｜ ＝ ｜ ａ ｜ ｃｏｓ π ３ ＝ ６ × １ ２ ＝ ３． 关键能力　 攻重难 例１：③④　 ①错，当ａ·ｂ ＝ ０时，有ａ ＝ ０或ｂ ＝ ０或〈ａ，ｂ〉＝ π ２ ；②当〈ａ，ｂ〉＝ π时，有ａ·ｂ ＜ ０，∴ ②错； ③正确，∵当→ＡＢ·→ＢＣ ＝ ０时，〈→ＡＢ，→ＢＣ〉＝ π２ ， ∴ ∠ＡＢＣ ＝ π２ ，∴ △ＡＢＣ为直角三角形； ④正确，∵ ａ，ｂ为单位向量，∴ ａ２ ＝ ｜ ａ ｜ ２ ＝ １，ｂ２ ＝ ｜ ｂ ｜ ２ ＝ １， ∴ ａ２ ＝ ｂ２；⑤错，ａ在ｂ上的投影是一个向量． 对点训练１：①②⑥　 由于ａ２≥０，ｂ２≥０，所以若ａ２ ＋ ｂ２ ＝０，则ａ ＝ ｂ ＝０，故①正确； 若ａ ＋ ｂ ＝ ０，则ａ ＝ － ｂ，又ａ，ｂ，ｃ是三个非零向量，所以ａ·ｃ ＝ － ｂ·ｃ，所以｜ ａ·ｃ ｜ ＝ ｜ ｂ·ｃ ｜，②正确； ａ，ｂ共线ａ·ｂ ＝ ± ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜，所以③不正确； 对于④应有｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜≥ａ·ｂ，所以④不正确； 对于⑤，应该是ａ·ａ·ａ ＝ ｜ ａ ｜ ２ａ，所以⑤不正确； ａ２ ＋ ｂ２≥２ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜≥２ａ·ｂ，故⑥正确； 当ａ与ｂ的夹角为０°时，也有ａ·ｂ ＞０，因此⑦错． 例２：设向量ａ与ｂ的夹角为θ． （１）当ａ∥ｂ时，有两种情况： ①若ａ和ｂ同向，则θ ＝ ０°，ａ·ｂ ＝ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ＝ ２０； ②若ａ与ｂ反向，则θ ＝ １８０°，ａ·ｂ ＝ － ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ＝ － ２０． （２）当ａ⊥ｂ时，θ ＝ ９０°，∴ ａ·ｂ ＝ ０． （３）当ａ与ｂ的夹角为１３５°时，ａ·ｂ ＝ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ｃｏｓ １３５° ＝ 槡－ １０ ２． 对点训练２：（１）由已知及向量的数量积公式可得，若ａ与ｂ的 夹角为３０°，则ａ·ｂ ＝ ｜ ａ ｜·｜ ｂ ｜· 槡ｃｏｓ ３０° ＝ ３． （２）若ａ∥ｂ，则当两向量同向时，其夹角为０°，此时，ａ·ｂ ＝ ｜ ａ ｜ ·｜ ｂ ｜·ｃｏｓ ０° ＝ ２； 当两向量反向时，其夹角为１８０°，此时ａ·ｂ ＝ ｜ａ ｜·｜ｂ ｜·ｃｏｓ １８０° ＝ －２． （３）若ａ⊥ｂ，则其夹角为９０°，则ａ·ｂ ＝ ｜ ａ ｜·｜ ｂ ｜·ｃｏｓ ９０° ＝ ０                                                                       ． —１５９— 例３：（１）Ａ　 （２）－ ２３ 　 － ２　 （１）因为向量ｂ的模为１，且ｂ在 ａ方向上的投影的数量为槡３２ ，则｜ ｂ ｜·ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝槡 ３ ２ ，得 ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝槡３２ ， 因为〈ａ，ｂ〉∈ ［０°，１８０°］，所以〈ａ，ｂ〉＝ π６ ＝ ３０°． （２）因为平面向量｜ ａ ｜ ＝ ２，｜ ｂ ｜ ＝ ６且ａ·ｂ ＝ － ４， 所以｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝ － ４，得ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝ － １３ ． 所以ａ在ｂ上投影的数量为｜ ａ ｜ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝ － ２３ ，ｂ在ａ上 投影的数量为｜ ｂ ｜ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝ － ２． 对点训练３：（１）Ｄ　 （２）８　 （１）如图，取 ＡＢ的中点Ｈ，连接ＣＨ，则向量→ＡＣ在→ＡＢ方 向上的投影的数量为ＡＨ ＝ ｜→ＡＣ ｜ ｃｏｓ ∠ＣＡＢ ＝ １，所以→ＡＢ·→ＡＣ ＝ ｜→ＡＢ ｜ ｜→ＡＣ ｜ ｃｏｓ∠ＣＡＢ ＝ ｜→ＡＢ ｜ ｜→  ＡＨ ｜ ＝２． （２）如图，过点Ａ作ＡＤ⊥ ＢＣ，垂足 为Ｄ． 因为ＡＢ ＝ ＡＣ，所以ＢＤ ＝ １２ ＢＣ ＝ ２， 于是｜→ＢＡ ｜ ｃｏｓ∠ＡＢＣ ＝ ｜→ＢＤ ｜ ＝ １２ ｜ →ＢＣ ｜ ＝ １２ × ４ ＝ ２， 所以→ＢＡ·→ＢＣ ＝ ｜→ＢＡ ｜ ｜→ＢＣ ｜ ｃｏｓ∠ＡＢＣ ＝ ４ × ２ ＝ ８． 例４：（１）Ｃ　 （２）槡２ ２　 （１）因为ａ·ｂ ＝ ｜ ａ ｜，所以｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ｃｏｓ θ ＝ ｜ ａ ｜，所以ｃｏｓ θ ＝ １｜ ｂ ｜ ＝ １ ２ ，又θ∈［０，π］，所以θ ＝ π ３ ． （２）因为｜ａ ｜ ＝ ２，〈ａ，ｂ〉＝ ４５°，所以由ａ２ － ２ａ·ｂ ＋ ｂ２ ＝ ４得 ｜ａ ｜ ２ －２ ｜ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ｃｏｓ ４５° ＋ ｜ ｂ ｜ ２ ＝ ４， 即 槡４ － ２ ２ ｜ ｂ ｜ ＋ ｜ ｂ ｜ ２ ＝ ４，解得｜ ｂ 槡｜ ＝ ２ ２或｜ ｂ ｜ ＝ ０， 因为ｂ是非零向量，所以｜ ｂ 槡｜ ＝ ２ ２． 对点训练４：（１）Ａ　 （２）９０° 　 １５０° 　 （１）因为向量ａ是单位向 量，向量ａ，ｂ的夹角为６０°，且ａ·ｂ ＝ １，所以１·｜ ｂ ｜·１２ ＝ １， 解得｜ ｂ ｜ ＝ ２． （２）在△ＡＢＣ中，因为ＡＢ ＝ ４，ＢＣ ＝ ２，→ＡＢ·→ＢＣ ＝ － ４，所以｜→ＡＢ ｜ ｜→ＢＣ ｜ ｃｏｓ〈→ＡＢ，→ＢＣ〉＝ － ４，得４ × ２ｃｏｓ（π － Ｂ）＝ － ４，所以ｃｏｓ Ｂ ＝ １２ ，得Ｂ ＝ ６０°．如图， 延长ＢＣ到Ｄ，使ＣＤ ＝ ＢＣ，则△ＡＢＤ为等 边三角形， 所以ＡＣ⊥ＢＣ，∠ＢＡＣ ＝ ３０°， 所以→ＢＣ与→ＣＡ的夹角为９０°，→ＡＢ与→ＣＡ的夹角为１５０°． 课堂检测　 固双基 １． Ａ　 因为ａ·ｂ ＝ ３， 所以｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ｃｏｓ ３０° ＝ ３ ｜ ｂ 槡｜ ＝ ３． ２． Ｂ　 ａ·ｂ ＝ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ｃｏｓ θ ＝ ｜ ｂ ｜ ｜ ａ ｜ ｃｏｓ θ ＝ ３ × ３２ ＝ ９ ２ ． ３． Ｂ　 →ＢＡ·→ＢＣ ＝ ｜→ＢＡ ｜·｜→ＢＣ ｜ ｃｏｓ∠ＡＢＣ 槡＝ ２ × ２ × ｃｏｓ ４５° ＝ ２． ４． 槡２ ２３ 　 因为ａ是单位向量，且３ａ·ｂ ＝ ｜ｂ ｜，则３ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉 ＝ ｜ ｂ ｜，得ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝ １３ ， 又ｓｉｎ２〈ａ，ｂ〉＋ ｃｏｓ２〈ａ，ｂ〉＝ １，得 ｓｉｎ２〈ａ，ｂ〉＝ ８９ ． 又０≤〈ａ，ｂ〉≤π，得ｓｉｎ〈ａ，ｂ〉＝ 槡２ ２３ ． ５．（１）因为ａ·ｂ ＝ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉， 所以｜ ａ·ｂ ｜ ＝ ｜ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉｜ ＝ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ｜ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉｜ ＝ ６．又 因为｜ ａ ｜ ＝ ３，｜ ｂ ｜ ＝ ４， 所以｜ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉｜ ＝ ６｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ＝ ６ ３ × ４ ＝ １ ２ ， 所以ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝ ± １２ ． 因为〈ａ，ｂ〉∈［０，π］，所以ａ与ｂ的夹角为π３或 ２π ３ ． （２）如图，在平面内取一点Ｏ，作→ＯＡ ＝ ａ， →ＯＢ ＝ ｂ，以→ＯＡ，→ＯＢ为邻边作ＯＡＣＢ， 因为｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜，即｜→ＯＡ ｜ ＝ ｜→ＯＢ ｜， 所以四边形ＯＡＣＢ为菱形，ＯＣ平分∠ＡＯＢ， 这时→ＯＣ ＝ ａ ＋ ｂ，→ＢＡ ＝ ａ － ｂ，因为｜ａ ｜ ＝ ｜ｂ ｜ ＝ ｜ａ － ｂ ｜，即｜→ＯＡ ｜ ＝ ｜→ＯＢ ｜ ＝ ｜→ＢＡ ｜， 所以∠ＡＯＢ ＝ π３ ，所以∠ＡＯＣ ＝ π ６ ， 即ａ与ａ ＋ ｂ的夹角为π６ ． ８． １． ２　 向量数量积的运算律 必备知识　 探新知 　 　 知识点：１．（１）ｂ·ａ　 （２）λ（ａ·ｂ）　 ａ·（λｂ）　 （３）ａ·ｃ ＋ ｂ·ｃ　 ２．（ａ ＋ ｂ）２ ＝ ａ２ ＋ ２ａ·ｂ ＋ ｂ２ 　 （ａ － ｂ）２ ＝ ａ２ － ２ａ·ｂ ＋ ｂ２ 　 （ａ ＋ ｂ）·（ａ － ｂ）＝ ａ２ － ｂ２ 对应练习 １． Ｂ　 ｜ ａ － ｂ ｜ ２ ＝ ａ２ － ２ａ·ｂ ＋ ｂ２ ＝ １ － ２ × １ × １ × ｃｏｓ １２０° ＋ １ ＝ １ － ２ × １ × １ × －( )１２ ＋ １ ＝ ３， ∴ ｜ ａ － ｂ 槡｜ ＝ ３． ２． Ｂ　 ａ·（２ａ － ｂ）＝ ２ ｜ ａ ｜ ２ － ａ·ｂ ＝ ２ ＋ １ ＝ ３，故选Ｂ． ３． Ａ　 ｜ ａ ＋ ｂ ｜ ２ ＝ ａ２ ＋ ２ａ·ｂ ＋ ｂ２ ＝ １０，｜ ａ － ｂ ｜ ２ ＝ ａ２ － ２ａ·ｂ ＋ ｂ２ ＝ ６，∴ ４ａ·ｂ ＝ ４，∴ ａ·ｂ ＝ １． 关键能力　 攻重难 例１： 槡８ － ４ ２　 ∵ ｜ ａ ｜ ＝ ２ ｜ ｂ ｜ ＝ ４，∴ ｜ ｂ ｜ ＝ ２． ∴ （ａ － ｂ）·（ａ ＋ ２ｂ）＝ ｜ ａ ｜ ２ ＋ ａ·ｂ － ２ ｜ ｂ ｜ ２ ＝ １６ ＋ ４ × ２ × ｃｏｓ １３５° － ８ 槡＝ ８ － ４ ２． 对点训练１：１１　 由题意，ａ·ｂ ＝ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜·ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝ １ × ３ × １３ ＝ １，所以（２ａ ＋ ｂ）·ｂ ＝ ２ａ·ｂ ＋ ｂ·ｂ ＝ ２ × １ ＋ ３ × ３ ＝ １１． 例２：∵ ａ ＋ ３ｂ与７ａ － ５ｂ垂直，∴ （ａ ＋ ３ｂ）·（７ａ － ５ｂ）＝ ０， ∵ ａ －４ｂ与７ａ －２ｂ垂直，∴ （ａ －４ｂ）·（７ａ －２ｂ）＝０． 于是有７ａ ２ ＋ １６ａ·ｂ － １５ｂ２ ＝ ０　 　 　 　 　 　 ① ７ａ２ － ３０ａ·ｂ ＋ ８ｂ２ ＝ ０　 　 　 　 　 　 　{ ② ① －②得２ａ·ｂ ＝ ｂ２，　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ③ 将③代入①得ａ２ ＝ ｂ２， ∴ ｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ ． ∴ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝ ａ·ｂ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ＝ １ ２ ． ∵ ０°≤〈ａ，ｂ〉≤１８０°，向量ａ与ｂ的夹角等于６０°． 对点训练２：Ｄ　 由ａ·（ａ ＋ ｂ）＝ ｜ ａ ｜ ２ ＋ ａ·ｂ ＝ ２５ － ６ ＝ １９， 又｜ ａ ＋ ｂ ｜ ＝ ａ２ ＋ ２ａ·ｂ ＋ ｂ槡 ２ ＝ ７， 所以ｃｏｓ〈ａ，ａ ＋ ｂ〉＝ ａ·（ａ ＋ ｂ）｜ ａ ｜ ｜ ａ ＋ ｂ ｜ ＝ １９ ５ × ７ ＝ １９ ３５ ． 例３：Ｄ　 因为｜ ａ ｜ ＝ １，｜ ｂ ｜ ＝ ２，ａ与ｂ的夹角为π３ ，所以｜ ａ ＋ ｂ ｜ ２ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ ＋ ２ａ·ｂ ＝ １ ＋ ４ ＋ ２ × １ × ２ × １２ ＝ ７，即｜ ａ ＋ ｂ ｜ ＝ 槡７．故选Ｄ                                                                      ． —１６０— 第八章 　 向量的数量积与三角恒等变换 *"# 向量的数量积 ８． １． １　 向量数量积的概念 !"#$%&'( 对应学生用书学案Ｐ００１ 学习目标 核心素养 １．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含 义及其物理意义． ２．体会平面向量的数量积与向量投影的关系． ３．会运用数量积表示两个向量的夹角，会运用数量积 判断两个平面向量的垂直． 培养数学抽象、直观想象、逻辑推理等核 心素养． )*+,%-.+ 对应学生用书学案Ｐ００１ 知识点１　 两个向量的夹角 　 　 １．给定两个非零　 向量ａ，ｂ，在平面内任选一点Ｏ，作→ＯＡ ＝ ａ，→ＯＢ ＝ ｂ， 则称［０，π］内的∠ＡＯＢ　 为向量ａ与ｂ的夹角，记作〈ａ，ｂ〉． （１）〈ａ，ｂ〉的取值范围是［０，π］　 ． （２）〈ａ，ｂ〉＝ 〈ｂ，ａ〉　 ． ２．当〈ａ，ｂ〉＝ 　 　 　 　 时，称向量ａ与向量ｂ垂直，记 作　 　 　 　 ，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量 垂直　 ． ［思考１］ 　 　 提醒：两个向量夹角的理解 （１） qO<%Vn‡ˆÇ†n‡ˆA ， /0%\"](/0%^ " ， j¿ ， º/0%Vn…†n‡ˆA ， /0%\"%ë"](qO<% ^" ； （２） ºO<%^"Ž ０， Ý_ ａ，ｂ ` ＝ ０ A ， qO<£OaU ， ºO<% ^"Ž ] ， Ý_ ａ，ｂ ` ＝ ]A ， qO<7OaU ． ●/012 １．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ ＝ ９０°，ＡＣ ＝ ＢＣ，则〈→ＢＣ，→ＡＢ〉＝ 　 　 　 　 ；与→ＢＣ垂直 的向量有　 　 　 　 ． 思考１：在△ＡＢＣ中，向 量→ＡＢ与向量→ＢＣ的夹角 是角Ｂ吗？为什么？ 提示： ~( ． O< →ＡＢ … O< →ＢＣ %^"(" Ｂ %ë" ． $)# 知识点２　 数量积的定义 　 　 一般地，当ａ与ｂ都是非零向量时，称｜ａ ｜ ｜ｂ ｜ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉　 为向量ａ与ｂ的 数量积（也称内积），记作ａ·ｂ，即ａ·ｂ ＝ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ｃｏｓ 〈ａ，ｂ〉　 ． （１）两个非零向量的数量积ａ·ｂ是一个实数．可以是正数，也可以是 ０，还可以是负数． （２）当ａ与ｂ至少有一个为零向量时，ａ·ｂ ＝ 　 　 ０　 ． ［思考２］ 　 　 提醒：１． O<*<P%ñÕ ñqO<%*<P ， LùM]qO<%bÕO<%^" ， øaˆ MñoqO<%^"(ñ*<P%ÍÎ ． ２． *<P%ÊËB1 （１） qO< ａ，ｂ ŸÏａ·ｂ ＝ ０； （２） O<b%ÊËñÕ =ñO<%bA ， ϶¸1Qê ｜ ａ ｜ ＝ ａ·槡ａ； （３） ñO< ａ，ｂ %^" θ%Úc ñO<%^"%ÍÎ(d¹ ａ·ｂ Õ ｜ ａ ｜，｜ ｂ ｜， =¦”•hZˆ*<P %]9Ǚòd¹ ｃｏｓ θ ＝ ａ·ｂ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜，4{«¬ θ∈［０，π］，ño θ%Ÿ． ●/012 ２．若｜ ａ ｜ ＝ ２，｜ ｂ ｜ ＝ １，ａ与ｂ的夹角为６０°，则ａ·ｂ等于 （Ｃ ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． １２ Ｂ． １ ４ Ｃ． １ Ｄ． ２ ３．在△ＡＢＣ中，若ＢＣ ＝ ５、ＡＣ ＝ ８，Ｃ ＝ ６０°，则→ＣＢ·→ＡＣ的值等于 （Ｂ ） Ａ． ２０ Ｂ． － ２０ Ｃ． ２０槡３ Ｄ． － ２０槡３ 知识点３　 数量积的性质 　 　 １． ｜ ａ·ｂ ｜≤ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜　 ． ２． ａ·ａ ＝ ｜ａ ｜ ２　 ，即｜ａ ｜ ＝ 　 　 　 　 ，ａ２ ＝ ｜ａ ｜ ２　 ． ３． ａ⊥ｂａ·ｂ ＝ ０． ４． ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝ 　 　 　 　 ． ［思考３］ ●/012 ４．已知｜ ａ ｜ ＝ ９，｜ ｂ ｜ ＝ ６槡２，ａ·ｂ ＝ － ５４，则ａ与ｂ的夹角θ为 （Ｂ ） Ａ． ４５° Ｂ． １３５° Ｃ． １２０° Ｄ． １５０° ５．已知ｅ１、ｅ２是平面单位向量，且ｅ１·ｅ２ ＝ １２，若平面向量ｂ满足ｂ·ｅ１ ＝ ｂ·ｅ２ ＝ １，则｜ ｂ ｜ ＝ 　 　 　 　 ． 知识点４　 向量的投影与向量数量积的几何意义 　 　 １．设非零向量→ＡＢ ＝ ａ，过Ａ，Ｂ分别作直线ｌ的垂线，垂 足分别为Ａ′，Ｂ′，则称向量　 　 　 　 为向量ａ在直线ｌ上 的投影向量　 或投影　 ． ２．给定平面上的一个非零向量ｂ，设ｂ所在的直线为 ｌ，则ａ在直线ｌ上的投影称为ａ在向量ｂ　 上的投影， 如图，向量ａ在向量ｂ上的投影为　 　 　 　 ．一个向量 在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线， 它们的方向既有可能相同　 ，也有可能相反　 ． 思考２：若ａ≠０，且ａ·ｂ ＝０，是否能推出ｂ ＝０． 提示： =*<PaÄK ａ ø ０， õ ａ ³ ｂ ＝ ０ Ä~ ‘yo ｂ ＝ ０． „Žøa ａ 5·‘ŸÏ ｂ． 思考３：由ａ·ｂ ＞ ０是 否可以得到向量ａ，ｂ的 夹角θ为锐角？ 提示： „ Ž ａ·ｂ ＝ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ｃｏｓ θÄW\ ａ· ｂ ＞ ０ ·7 ｃｏｓ θ ＞ ０，ô θ∈［０°，１８０°］，W θ∈ ［０°，９０°）， Ý θ ŽÀ" ǃ@" ． $)% 　 　 ３．一般地，如果ａ，ｂ都是非零向量，则称　 　 　 　 　 为向量ａ在向量ｂ上 的投影的数量　 ，投影的数量与投影的长度　 有关，投影的数量既可能是 非负数　 ，也可能是负数　 ． ａ·ｂ等于ａ在ｂ上的投影的数量与ｂ的模　 的乘 积，即ａ·ｂ ＝ （｜ａ ｜ ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉）｜ｂ ｜　 ．特别地ａ·ｅ ＝ ｜ａ ｜ ｃｏｓ〈ａ，ｅ〉，其中ｅ为单位 向量． ［思考４］ 　 　 提醒：向量投影的理解 （１） [8 ：ａ = ｂ NOh%e.O<… ｂ = ａ NOh%e.O<~£ ； （２） º ｅ Ž:XO<A ， „Ž ｜ ｅ ｜ ＝ １， dÅ ａ·ｅ ＝ ｜ ａ ｜ ｃｏｓ〈ａ，ｅ〉， ݏ 8O<…:XO<%*<P ， »<O<=:XO< ｅ h%e.% *< ． ●/012 ６．已知｜ ａ ｜ ＝ ６，向量ｅ为单位向量，〈ａ，ｅ〉＝ π３，则向量ａ在向量ｅ方向上 的投影的数量为　 　 　 　 ． 思考４：ｂ在ａ方向上的 投影数量一定是正数吗？ 提示：ｂ = ａ NOh% e. ｜ ｂ ｜·ｃｏｓ θ (f *Ä·Å(!ŸÄ÷ Å(ƒÇ$ŸÄ„Ž/ ®rqO<^"%Q R ． 3456%789 对应学生用书学案Ｐ００１ ●:;<%`(ÆpÆlf3@AB １．以下五种说法正确的是　 　 　 　 ．（填序号） ①若ａ·ｂ ＝ ０，则ａ ＝ ０或ｂ ＝ ０； ②若向量ａ与ｂ满足ａ·ｂ ＜ ０，则ａ与ｂ的夹角为钝角； ③在△ＡＢＣ中，若→ＡＢ·→ＢＣ ＝ ０，则△ＡＢＣ为直角三角形； ④若向量ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２ ＝ ｂ２； ⑤ａ在ｂ上的投影是一个实数． ［归纳提升］ 〉 /KL1 １．给出下列判断：①若ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ０，则ａ ＝ ｂ ＝ ０；②已知ａ，ｂ，ｃ是三个非零向 量，若ａ ＋ ｂ ＝０，则｜ａ·ｃ ｜ ＝ ｜ｂ·ｃ ｜；③ａ，ｂ共线ａ·ｂ ＝ ｜ａ ｜ ｜ｂ ｜；④ ｜ａ ｜ ｜ｂ ｜ ＜ ａ·ｂ；⑤ａ·ａ·ａ ＝ ｜ ａ ｜ ３；⑥ａ２ ＋ ｂ２≥２ａ·ｂ；⑦向量ａ，ｂ满足：ａ·ｂ ＞ ０，则ａ与ｂ的夹角为锐角．其中正确的是　 　 　 　 ．（填序号） ●:;C%u(Æ@pÆl ２．已知｜ ａ ｜ ＝ ４，｜ ｂ ｜ ＝ ５，当（１）ａ∥ｂ；（２）ａ⊥ｂ；（３）ａ与ｂ的夹角为 １３５°时，分别求ａ与ｂ的数量积． ［归纳提升］ 归纳提升： qO<%* <P(mf* ， /\ ｜ ａ ｜，｜ ｂ ｜，ｃｏｓ _ ａ，ｂ `a £r] ． ａ = ｂ h%e .(mO< ，ａ = ｂ h% e . % * < Ž ｜ ａ ｜ ｃｏｓ _ ａ，ｂ ` ， (m f* ， ¦f*·!#· $ ， ÷Ŏ ０． 归纳提升：１． ñÐOO <*<P%de( ： （１） ñ ａ … ｂ %^" θ， θ∈［０，π］； （２） ÿýñ ｜ ａ ｜ / ｜ ｂ ｜； （３） ñ*<P ， Ý ａ·ｂ ＝ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ｃｏｓ θ． ２． = ａ·ｂ ＝ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜· ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉 a5)< ａ ·ｂ，｜ ａ ｜，｜ ｂ ｜，ｃｏｓ〈ａ， ｂ〉， ÷føa”%Ÿ ， ·Åñ·ž%mŸ ． $)& 〉 /KL1 ２．已知｜ ａ ｜ ＝ １，｜ ｂ ｜ ＝ ２，ａ与ｂ的夹角为θ．满足下列条件时，分别求ａ与ｂ 的数量积． （１）ａ与ｂ的夹角为３０°； （２）ａ∥ｂ； （３）ａ⊥ｂ． ●:;M%©k(ÆpÆl@ÇÈ>q ３．（１）已知向量ｂ的模为１，且ｂ在ａ方向上的投影的数量为槡３２ ，则ａ 与ｂ的夹角为 （Ａ ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ３０°　 　 　 　 Ｂ． ６０°　 　 　 　 Ｃ． １２０°　 　 　 　 Ｄ． １５０° （２）已知平面向量｜ ａ ｜ ＝ ２，｜ ｂ ｜ ＝ ６且ａ·ｂ ＝ － ４，则ａ在ｂ上投影 的数量为　 　 　 　 ，ｂ在ａ上投影的数量为　 　 　 　 ． ［归纳提升］ 〉 /KL1 ３．（１）如图，圆心为Ｃ的圆的半径为ｒ，弦ＡＢ的长度为 ２，则→ＡＢ·→ＡＣ的值为 （Ｄ ） Ａ． ｒ Ｂ． ２ｒ Ｃ． １ Ｄ． ２ （２）已知等腰△ＡＢＣ的底边ＢＣ长为４，则→ＢＡ·→ＢＣ ＝ 　 　 　 　 ． ●:;R%pÆl@ÉHÊ0e ４．（１）（２０２４·沈阳高一检测）已知非零向量ａ，ｂ满足｜ ｂ ｜ ＝ ２，且ａ· ｂ ＝ ｜ ａ ｜，则向量ａ，ｂ夹角θ的大小为 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． π６ Ｂ． π ４ Ｃ． π ３ Ｄ． ２π ３ （２）已知非零向量ａ，ｂ的夹角为４５°，且｜ ａ ｜ ＝ ２，ａ２ － ２ａ·ｂ ＋ ｂ２ ＝ ４，则｜ ｂ ｜ ＝ 　 　 　 　 ． ［归纳提升］ 〉 /KL1 ４．（１）已知向量ａ是单位向量，向量ａ，ｂ的夹角为６０°，且ａ·ｂ ＝ １，则｜ ｂ ｜ ＝ （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ． ２ Ｂ． １２ Ｃ． ２槡３ ３ Ｄ．槡３ （２）已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ ４，ＢＣ ＝ ２，→ＡＢ·→ＢＣ ＝ － ４，则向量→ＢＣ与→ＣＡ的夹 角为　 　 　 　 ，向量→ＡＢ与→ＣＡ的夹角为　 　 　 　 ． 归纳提升：关于平面向 量数量积的几何意义的 两点注意事项 １． O< ａ = ｂ d=ÏU h%e.(mO<Ä O< ａ = ｂ d=ÏUh %e.%*<(m f* ． ２． O< ａ =O< ｂ h% e.%*<( ｜ ａ ｜· ｃｏｓ _ ａ，ｂ ` ， O< ｂ =O < ａ h%e.%*<( ｜ｂ ｜ ｃｏｓ _ ａ，ｂ ` ， H<~‘ EŽmg ． 归纳提升：１． ñO<^ "%”§deÕ[8 hi （１） de ： ２． ñO<b%ÊËÚc $)' WXYZ%[\] 对应学生用书学案Ｐ００３ １．（２０２４·青岛高一检测）若平面向量ａ与ｂ的 夹角为３０°，｜ ａ ｜ ＝ ２，ａ·ｂ ＝ ３，则｜ ｂ ｜ ＝ （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ．槡３ Ｂ． １ Ｃ． ２ Ｄ． ３ ２．已知｜ ｂ ｜ ＝ ３，ａ在ｂ方向上的投影数量是３２，则 ａ·ｂ为 （Ｂ ） Ａ． ３ Ｂ． ９２ Ｃ． ２ Ｄ． １ ２ ３．在等腰直角△ＡＢＣ中，若∠Ｃ ＝ ９０°，ＡＣ ＝槡２， 则→ＢＡ·→ＢＣ的值为 （Ｂ ） Ａ． － ２ Ｂ． ２ Ｃ． － ２槡２ Ｄ． ２槡２ ４．已知ａ是单位向量，且３ａ·ｂ ＝ ｜ ｂ ｜，则ｓｉｎ〈ａ， ｂ〉＝ 　 　 　 　 ． ５．已知ａ，ｂ是两个非零向量． （１）若｜ ａ ｜ ＝ ３，｜ ｂ ｜ ＝ ４，｜ ａ·ｂ ｜ ＝ ６，求ａ与ｂ的 夹角． （２）若｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ ＝ ｜ ａ － ｂ ｜，求ａ与ａ ＋ ｂ的 夹角． 请同学们认真完成练案［１４                          ］ ８． １． ２　 向量数量积的运算律 !"#$%&'( 对应学生用书学案Ｐ００１ 学习目标 核心素养 １．通过平面向量数量积领会向量数量积的运算性质． ２．能利用向量的数量积的运算律及性质进行计算． １．数学抽象　 ２．数学运算 )*+,%-.+ 对应学生用书学案Ｐ００１ 知识点　 向量数量积的运算律 １．向量数量积的运算律 （１）ａ·ｂ ＝ ｂ·ａ　 （交换律）． （２）（λａ）·ｂ ＝ λ（ａ·ｂ）　 ＝ ａ·（λｂ）　 （数乘结合律）． （３）（ａ ＋ ｂ）·ｃ ＝ ａ·ｃ ＋ ｂ·ｃ　 （分配律）． ２．向量数量积的运算性质 多项式乘法 向量数量积 （ａ ＋ ｂ）２ ＝ ａ２ ＋ ２ａｂ ＋ ｂ２ （ａ ＋ ｂ）２ ＝ ａ２ ＋ ２ａ·ｂ ＋ ｂ２　 （ａ － ｂ）２ ＝ ａ２ － ２ａｂ ＋ ｂ２ （ａ － ｂ）２ ＝ ａ２ － ２ａ·ｂ ＋ ｂ２　 （ａ ＋ ｂ）（ａ － ｂ）＝ ａ２ － ｂ２ （ａ ＋ ｂ）·（ａ － ｂ）＝ ａ２ － ｂ２　 　 　 提醒：１． O<*<P¸¹é%[8hi （１） O<%*<P~ª h;é ： K ａ，ｂ，ｃ pŽ$ƒO< ， õ ａ·ｃ ＝ ｂ·ｃ， 7~+ ａ ＝ ｂ． （２）（ａ·ｂ）·ｃ≠ａ·（ｂ·ｃ），„Ž ａ·ｂ，ｂ·ｃ(*<P，(f*，~(O<，dÅ（ａ·ｂ）·ｃ… O< ｃ aU ，ａ·（ｂ·ｃ） …O< ａ aU ， „¦ ，（ａ·ｂ）·ｃ ＝ ａ·（ｂ·ｃ） =m¢‘’\~t† ． （３） øi¸¹é ：ａ·（ｂ ＋ ｃ）＝ ａ·ｂ ＋ ａ·ｃ；（ａ － ｂ）·ｃ ＝ ａ·ｃ － ｂ·ｃ． $)(