7.3.5 已知三角函数值求角(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

(2)如图所示，在[-， 上宁+=-要或 3亚时， m(宁+》竖 7,3.5已知三角函数值求角 所以宁+号-要+2宁+ 6 _3π+2km,keZ 4 必备知识探新知 知识点：l.arcsiny2.[0,r】arceos y 时宁引号 3(-受别 arctan y 令-要+2km<+<+2ez 对应练习 解得-+4km<x<7+4hm,ke乙， 6 6 1.B“c0sx=0,x的终边在y轴上x=m+受ke乙 所以不等式的解集为长+4m<x<石+4mkeZ 2<0.ae0,2m)u=r+号= m<2x<2T, 对点训练2：B~号<x<, 7我a=2m号受 {os2x=2>0, 3得乳加子9(+》-咖是 r3<2x<2T 2 2 6 2 2x=31 4■ 例3：(1)由正切函数在开区同(-号受）上是增函数可知，符合 sin x=- .且e0,2m1期x=宁得 条件ana=-2的角只有一个，故a=actm(-2) (2)tama=-2<0,a是第二或第四象限角. 关键能力攻重难 例1：)xe[-受]且mx= 又a[0,2m1,由正弦函数在区间（受小（受2 是增函数，知符合tana=-2的角有两个， （2xe[0,2ml.m=5>0.xe[0,m mtam(-2)e(-受.0） 当xe0,][-受引时=am .'a=+aretan(-2)=2+aretan(-2). (3)aER,a=k+arctan(-2)(EZ). 当xe[受，时.0≤m-x≤受， 对点训练3：因为anx=-1,所以满是条件的x的解集为xlx=kπ +amm(-1).keZ={x=km-牙keZ小在x=km- 3 即-e0,][-受引且(-=m= 中，令k=0或-1，得=-牙或x=-子，即在[-2云.0]内正切 ,π-x=aresin 值为-1的角为-号与-要 ,当xe[0,2m]时，x=aresin 课堂检测固双基 1.Bma=7,0<a<180, 对点训练1：(1)arsin子(2)arsin3或石-csin3 a=30°或150°， （3)n了或-ai号(4k+(-ankeZ 2.B sin x 号-号<x<0时x=i(-) 4 a:0<a<号a=an 4 (2:0<a<a=cin兮或m-sim子 又：霜<：<受美的值为和+n于 （3)a=acsin分或m-ann子 1 3.A cos x 县当e0时君当e-,0]时 （4)a=2hm+aes血宁或(2k+1)m-amsi血子 1 即a=km+(-l)arcsin了keZ 4.Bam9=-1,且8e(受》) 例2：(1)D(2)见解析 ÷日=3狂故选B 折148m名-号.又ae(02a.测a号6Cma:-8a(号》 d 咳岩 .'a=aretan 8. 157 章末知识梳理 当0≤a≤2时，-号e[-1,0y=1+6+号=0.① 要点专项突破 -+受+16+号-42 例1：(1)C(2)D()方法-：由m爱=之e君= 6 6 由以上两式①②，得a=2,b=-2,含a=-6(与0≤a≤2 马可知点P的坐标为分，月，故为第四象限角，且m心 矛盾 当a>2时，-号e(-x,-l) -万，所以a=受 =(-1++1+6+号=0.③ 方法二：由三角函数定义知，mc=co君=co(受+号） a2 x=-（1+受）+1+6+年=-4.④ =-血号=m(-罗），与-号有相同正弦值的第四象限的最 由以上两式③④，得a=2,不适合a>2,÷应舍去 小正角是号 绘上知，只有-组解化之2 (2)因为a为第四象限角.所以-号+2k行<a<2km.kE 例6：1 ￥[-1.0](2)见解析 Z,故-r+4kπ<2<4kr.kEZ. 【解析】(1)由函数x)的最小正周期T=2红=.得0=2， 所以2α为第三，四象限角或y轴负半轴上的角. 所以co%2a的正负不确定，sin2a<0,故选D. 所以x)=0s(2x+p),将其图像向右平移石个单位长度 例2：)将血x+m=号两边平方得2ansx: 23 后，得到g)=c(2x-号+9的图像.因为g(x)的图像关于原 .(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=25 49 点对称所以g-号=受+m,keZ所以e=要+mke乙又0 6 -号<<0m<0,em>0 <g<,所以9=要则f()=m(2+)当e .nx-o08x<0 故simx-cosx=-了 7 【-石]时，2x+e[受]所以)的值域是-1o1, (2)sin xcos=sin x(sinxtcosx) （2)0由题图知4=2，T=4×(侣-若)=期w=号=2 I-tanx I-sinx co8x 由2sm(2×石+）=2，即sim(号+9）=1，得号+0=2k知 12.1 -cosxsin (sin x+cosr) -25×5 12 +受keZ,所以p=2hm+石keZ, cosr sinx 7 又pe(0,2）则e=石，放)=2si(2x+石） 例3：设4=2x-石，则函数y=血A的对称中心为(。 令2x+若-受+km(eZ),得=若+(keZ 0),k∈Z 即2-君=m=受+侣e乙，对称销方程为2-君=受 所以)的对称轴方程为x=君+受（后Z) 6 +=号+受keZ ②将八x)图像上各点的横坐标缩短为原来的二，纵坐标不 所以y=(2-君)的对称中心为（受+晋0，后Z,对 变，得到)=2in4+若)）的图像，因为xe0,引则号≤ 称轴为x=号+(keZ), 4+石号，当君≤4+≤受，即0≤≤时g()单调递 例4e[0,引， 增；当穷≤4+君<，即号≤≤行时)单调递增所以 3 8 2x+君e[m2+若）[-小 g)在[0，上的单调递增区间为[0，哥引号剖 高考链接 a+b=1. 1.B由题意可知：，为f(x)的最小值点，3为f(x)的最大 当a>0时， 值点， 则-5l。=子=受即7=，且w>0所以。=号=2 T -a+b=1解得{0三4 T 当a<0时， 16=-1. 故选B. a+b=-5 a,b的取值分别是4、-3或-4、-1. 2.Ax)=in3(or+）=n(3wr+m）=-s血3ar,由T= 例5：原函数变形为y-(血+受+1+6+号 怎得仙=子 3w -158-〉 /KL1 ５．求函数ｙ ＝ ３ｔａｎ ｘ －槡槡 ３的定义域． WXYZ%[\] 对应学生用书学案Ｐ００３ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．函数ｙ ＝ ２ｔａｎ ２ｘ ＋ π( )３ 的定义域为 （Ｄ ） Ａ． ｘ ｘ≠π{ }１２ Ｂ． ｘ ｘ≠ － π{ }１２ Ｃ． ｘ ｘ≠π１２ ＋ ｋπ，ｋ∈{ }Ｚ Ｄ． ｘ ｘ≠π１２ ＋ ｋπ ２ ，ｋ∈{ }Ｚ ２．函数ｆ（ｘ）＝ ｔａｎ ｘ ＋ π( )４ 的单调递增区间是 （Ｃ ） Ａ． ｋπ － π２，ｋπ ＋ π( )２ ，ｋ∈Ｚ Ｂ．（ｋπ，ｋπ ＋ π），ｋ∈Ｚ Ｃ． ｋπ － ３π４ ，ｋπ ＋ π( )４ ，ｋ∈Ｚ Ｄ． ｋπ － π４，ｋπ ＋ ３π( )４ ，ｋ∈Ｚ ３．（２０２４·山西吕梁高一期末）已知函数ｙ ＝ ｔａｎ ２ａｘ － π( )６ （ａ≠０）的最小正周期为π２，则ａ 的值为　 　 　 　 ． ４．比较大小：ｔａｎ １２ 　 　 　 　 ｔａｎ ５ ２ ． ５．求函数ｙ ＝ ｔａｎ ２ｘ的定义域、值域和周期，并作 出它在区间［－ π，π］内的图像． 请同学们认真完成练案［１２                                ］ ７． ３． ５　 已知三角函数值求角 !"#$%&'( 对应学生用书学案Ｐ００１ 学习目标 核心素养 １．掌握利用三角函数线求角的方法，会由已知的三角 函数值求角，并会用符号ａｒｃｓｉｎ ｘ，ａｒｃｃｏｓ ｘ，ａｒｃｔａｎ ｘ 表示角． ２．熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间 ［－ ２π，２π］上对应的角． １．直观想象　 ２．数学抽象 $(& )*+,%-.+ 对应学生用书学案Ｐ００１ 知识点　 ａｒｃｓｉｎ ｘ，ａｒｃｃｏｓ ｘ，ａｒｃｔａｎ ｘ的含义 １．任意给定一个ｙ∈［－ １，１］，当ｓｉｎ ｘ ＝ ｙ且ｘ∈ － π２， π[ ]２ 时，通常记 作ｘ ＝ ａｒｃｓｉｎ ｙ　 ． ２．在区间［０，π］　 内，满足ｃｏｓ ｘ ＝ ｙ，ｙ∈［－ １，１］的ｘ只有一个，记作 ｘ ＝ ａｒｃｃｏｓ ｙ　 ． ３．在区间　 　 　 　 内，满足ｔａｎ ｘ ＝ ｙ，ｙ∈Ｒ的ｘ只有一个，记作ｘ ＝ ａｒｃｔａｎ ｙ　 ． ［思考］ 　 　 提醒：１． 7!‰#7Š‰#7!‹%(Յ®Ÿ|} ÀÁ 7!‰ 7Š‰ 7!‹ (Õ ａｒｃｓｉｎ ａ ａｒｃｃｏｓ ａ ａｒｃｔａｎ ａ ®Ÿ|} －]２ ， ][ ]２ ［０，]］ －]２ ，]( )２ Y ２． ö÷”"~*Ÿñ"%de （１） ]€ ；（２） *À" ；（３） 3 ｘ  ［０，２ ] ］ %" ；（４） —àç ． ●/012 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．若ｃｏｓ ｘ ＝ ０，则角ｘ为 （Ｂ ） Ａ． ｋπ，ｋ∈Ｚ Ｂ． ｋπ ＋ π２，ｋ∈Ｚ Ｃ． ２ｋπ ＋ π２，ｋ∈Ｚ Ｄ． ２ｋπ － π ２，ｋ∈Ｚ ２．在［０，２π）内满足ｓｉｎ α ＝ －槡３２的角α的集合为 （Ｃ ） Ａ． π３， ２π{ }３ Ｂ． π６，５π{ }６ Ｃ． ４π３ ， ５π{ }３ Ｄ． ７π６ ，１１π{ }６ ３．已知ｓｉｎ ｘ ＝ －槡２２ ，且ｘ∈［０，２π］，则ｘ的取值集合为　 　 　 　 ． 思考：已知角ｘ的一个 三角函数值，所求得的 角一定只有一个吗？为 什么？ 提示： ~m]Ä<(„ Ž"%*Kbc"% ®Ÿ|}.M]ĉŠ =—]%|}25ö÷ ”"~*Ÿ%"~0m Ä¿dñ%"à~ 0m ． 3456%789 对应学生用书学案Ｐ００１ ●:;<%µ+™šru? １．已知ｓｉｎ ｘ ＝槡３３ ，根据下列角的范围求角ｘ（用ａｒｃｓｉｎ ｙ表示）． （１）ｘ∈ － π２， π[ ]２ ；（２）ｘ∈［０，２π］． ［归纳提升］ 归纳提升：已知三角函 数值求角的步骤： （１） ]€ ： \ö÷~ *Ÿ%!$M]"d= %€ ． （２） *À" ： K~*Ÿ Ž!Ÿ ， ¿ùñošB %À" α；K~*ŸŽ $Ÿ ， ¿ùño…øî šŸ6šB%À" α． （３） ñ^ˆrô%" ： bc"d=%€ ， ä 1ЙQê3o-´ ［０，２ ] ］ |}2%" （α，π － α，π ＋ α，２π － α）；KKño-´［０， ２ ] ］ |}ž%" ， ¿·ä 1†„6£%"56£ %”"~*Ÿ3oZŠ ． $(' 〉 /KL1 １．若ｓｉｎ α ＝ １３，试根据下列范围，利用符号ａｒｃｓｉｎ ｘ表示角α． （１）若α为锐角，则α ＝ 　 　 　 　 ； （２）若α为三角形内角，则α ＝ 　 　 　 　 ； （３）若α∈［０，２π］，则α ＝ 　 　 　 　 ； （４）若α∈Ｒ，则α ＝ 　 　 　 　 ． ●:;C%µ+´šru?…†‡ˆ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　２．（１）（２０２３·朝阳高一检测）已知α∈（０，２π），且ｃｏｓ α ＝ ｃｏｓ π６，则α ＝ （　 　 ） Ａ． π６ 　 　 　 　 Ｂ． π ６或 ５π ６ 　 　 　 Ｃ． π ６或 ７π ６ 　 　 　 Ｄ． π ６或 １１π ６ （２）求不等式ｃｏｓ １２ ｘ ＋ π( )６ ＞ －槡２２的解集． ［归纳提升］ 〉 /KL1 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　２．若ｃｏｓ ２ｘ ＝ １２，其中 π ２ ＜ ｘ ＜ π，则ｘ的值为 （Ｂ ） Ａ． π６ Ｂ． ５π ６ Ｃ． ２π ３ Ｄ． ５π ３ ●:;M%µ+™Œru? ３．（１）已知ｔａｎ α ＝ － ２，且α∈ － π２， π( )２ ，求α； （２）已知ｔａｎ α ＝ － ２，且α∈［０，２π］，求α； （３）已知ｔａｎ α ＝ － ２，α∈Ｒ，求α． ［归纳提升］ 〉 /KL1 ３．已知ｔａｎ ｘ ＝ － １，求ｘ，并写出在区间［－ ２π，０］内满足条件的ｘ． 归纳提升：利用余弦值 求角、解不等式的思路 X ωｘ ＋ φ ªSž¡，ù ñoD ０，２ ]EÇD － ] ， ]Eh%" ， tzÑ ðyz+ž]9. 2 ， 4{¹o ｘ %ŸÇ |} ． 归纳提升： N{ ｔａｎ ｘ ＝ ａ，ａ  Ｒ %¹8Ž ｛ｘ ｜ ｘ ＝ ｋ ] ＋ ａｒｃｔａｎ ａ，ｋ  Ｚ｝． $(( WXYZ%[\] 对应学生用书学案Ｐ００３ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．若α是三角形的一个内角，且ｓｉｎ α ＝ １２，则α ＝ （Ｂ ） Ａ． ３０° Ｂ． ３０°或１５０° Ｃ． ６０° Ｄ． ６０°或１２０° ２．若ｓｉｎ ｘ ＝ － ４５ π ＜ ｘ ＜ ３π( )２ ，则ｘ的值等于 （Ｂ ） Ａ． － ａｒｃｓｉｎ ４５ Ｂ． π ＋ ａｒｃｓｉｎ ４ ５ Ｃ． ２π － ａｒｃｓｉｎ ４５ Ｄ． ３ ２ π － ａｒｃｓｉｎ ４ ５ ３．在［－ π，π］上，ｃｏｓ ｘ ＝槡３２的角是 （Ａ ） Ａ． ± π６ Ｂ． ± π ３ Ｃ． π６和 ５π ６ Ｄ． π ３和 ２π ３ ４．已知ｔａｎ θ ＝ － １，且θ∈ π２， ３π( )２ ，则θ的大小 是 （　 　 ） Ａ． － π４ Ｂ． ３π ４ Ｃ． ５π４ Ｄ． ３π ４ ， ５π ４ ５．若ｔａｎ α ＝ － ８，且α∈ π２， ３π( )２ ，则α ＝ （Ｃ ） Ａ． ａｒｃｔａｎ ８ Ｂ． ａｒｃｔａｎ ８ － π Ｃ． π － ａｒｃｔａｎ ８ Ｄ． π ＋ ａｒｃｔａｎ ８ 请同学们认真完成练案［１３                         ］ 章末知识梳理 +,¶·¸ 对应学生用书学案Ｐ００１ ¹±+,º» 对应学生用书学案Ｐ００１ 　 　 １．三角函数的概念 重点掌握以下两方面内容： ①理解任意角的概念和弧度的意义，能正确 迅速进行弧度与角度的换算． ②掌握任意角的正弦、余弦和正切的定义， 能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号 解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函 数的值域． ２．同角三角函数的基本关系式 能用同角三角函数的基本关系式进行化简、 求值和三角恒等式的证明；能逆用公式ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １巧妙解题           ． $()