7.3.3 余弦函数的性质与图像(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

Ａ． ω ＝ π２，φ ＝ π ４ Ｂ． ω ＝ π ３，φ ＝ π ６ Ｃ． ω ＝ π４，φ ＝ π ４ Ｄ． ω ＝ π ４，φ ＝ ５π ４ ５．函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ ｘ ＋ π( )３ 图像的一条对称轴是 　 　 　 　 ．（填序号） ①ｘ ＝ － π２；②ｘ ＝ ０；③ｘ ＝ π ６；④ｘ ＝ － π ６ ． 请同学们认真完成练案［１０         ］ ７． ３． ３　 余弦函数的性质与图像 !"#$%&'( 对应学生用书学案Ｐ００１ 学习目标 核心素养 １．了解余弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小） 值、零点． ２．了解余弦函数的图像，能利用五点法作简单的与余 弦函数有关的函数图像． ３．能利用余弦函数的性质与图像解决简单的问题． 培养逻辑推理、直观想象、数学运算等核 心素养． )*+,%-.+ 对应学生用书学案Ｐ００１ 知识点１　 余弦函数 　 　 对于任意一个角ｘ，都有唯一　 确定的余弦ｃｏｓ ｘ与之对应，所以ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ是一个函数，一般称 为余弦函数　 ． 知识点２　 余弦函数的图像与性质 　 　 正弦函数、余弦函数的图像、性质对比 函数 ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ 图像 定义域 　 　 Ｒ　 　 　 　 Ｒ　 　 值域 ［－ １，１］　 ［－ １，１］　 奇偶性 奇函数　 偶函数　 周期性 最小正周期：２π　 最小正周期：２π　 最值 当　 　 　 　 　 　 时，ｙｍａｘ ＝ １；当　 　 　 　 　 　 　 时，ｙｍｉｎ ＝ － １ 当ｘ ＝２ｋπ（ｋ∈Ｚ）时，ｙｍａｘ ＝ １； 当ｘ ＝ π ＋ ２ｋπ（ｋ∈Ｚ）　 时，ｙｍｉｎ ＝ － １ 单调性 在　 　 　 　 　 　 　 上单调递增；在　 　 　 　 　 　 　 上单调递减 在［－ π ＋ ２ｋπ，２ｋπ］（ｋ∈Ｚ）　 上单调递增； 在［２ｋπ，π ＋ ２ｋπ］（ｋ∈Ｚ）　 上单调递减 零点 ｋπ，ｋ∈Ｚ π２ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ 对称轴 ｘ ＝ π２ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ ｘ ＝ ｋπ，ｋ∈Ｚ 对称中心 （ｋπ，０）（ｋ∈Ｚ） π２ ＋ ｋπ，( )０ （ｋ∈Ｚ） $'( 　 　 提醒：对余弦函数的性质与图像的几点说明： （１） Š‰TUÒ(aAšÁuv ， ô(#šÁuv ． ~* ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ，ｘ∈Ｒ%šÁ#( ｘ ＝ ｋπ，š ÁaA( π ２ ＋ ｋπ，( )０ ，øa ｋ∈Ｚ． （２）ｙ ＝ Ａｃｏｓ（ωｘ ＋ φ）（øa Ａ，ω，φŽÊ*，õ Ａ≠０，ω ＞ ０，ｘ∈Ｒ）%ÑðŽ Ｔ ＝ ２π｜ω ｜ ． （３） K~*%]9.~( Ｒ， ¿m]K=—]-´2Zˆ:õ™ñøŸ.…4Ÿ ． （４） Š‰TU%šÁ#m]z/%4`nÇ4Én ， ݦA%Š‰ŸŽ4QŸÇ4RŸ ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●/012 １．从函数ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ，ｘ∈［０，２π）的图像来看，对应于ｃｏｓ ｘ ＝ １２的ｘ有 （Ｂ ） Ａ． １个值　 　 　 　 　 　 Ｂ． ２个值　 　 　 　 　 　 Ｃ． ３个值　 　 　 　 　 　 Ｄ． ４个值 ２．余弦函数ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ（ｘ∈Ｒ）的图像关于　 　 成中心对称． （Ｂ ） Ａ．（０，１） Ｂ． π２，( )０ Ｃ．（π，０） Ｄ．（２π，０） ３．函数ｙ ＝ ｃｏｓ２ｘ － ３ｃｏｓ ｘ ＋ ２的最小值是 （Ｂ ） Ａ． ２ Ｂ． ０ Ｃ． １４ Ｄ． ６ 3456%789 对应学生用书学案Ｐ００１ ●:;<%e“ŽK¢”´š;op@£¤ １．用“五点法”作函数ｙ ＝ ２ ＋ ｃｏｓ ｘ，ｘ∈［０，２π］的简图． ［归纳提升］ 〉 /KL1 １．作出函数ｆ（ｘ）＝ ２ｃｏｓ １２ ｘ ＋ π( )４ ＋ １在－ π２，７π[ ]２ 内的图像． 归纳提升：１． F$ n ÕG(S”"~*uó %Ê1NÕÄF$nG Ý~*uó4`n#4 Én#… ｘ #%_n ． ２． Í2#5n#µU( F$nÕGSuz{a %””§FGÄ[8 1Ð7%TUµ¶$ ÍÎn ． $') ●:;C%`´šopf3@&qTrT ２．（１）函数ｙ ＝ ｃｏｓ ２ｘ ＋ π( )６ ，ｘ∈ ０，π[ ]２ 的值域是 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ． －槡３２ ， １[ ]２ Ｂ． － １２，槡３[ ]２ Ｃ． － １，槡３[ ]２ Ｄ． －槡３２ ，槡３[ ]２ （２）函数ｙ ＝ ２ｃｏｓ ｘ槡 ＋ １的定义域是　 　 　 　 ． （３）函数ｆ（ｘ）＝ １ － ２ａ － ２ａｃｏｓ ｘ － ２ｓｉｎ２ｘ的最小值为ｇ（ａ），ａ ＞ ０． ①当ａ ＝ ２时，求ｇ（２）； ②若ｇ（ａ）＝ － ７２，求实数ａ． 〉 /KL1 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ２．（１）函数ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ －槡３槡 ２的定义域为 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． － π６， π[ ]６ Ｂ． ｋπ － π６，ｋπ ＋ π[ ]６ （ｋ∈Ｚ） Ｃ． ２ｋπ － π６，２ｋπ ＋ π[ ]６ （ｋ∈Ｚ） Ｄ． Ｒ （２）函数ｙ ＝ ｃｏｓ ２ｘ ＋ π( )３ ，ｘ∈ ０，π[ ]２ 的值域为 （　 　 ） Ａ．［０，１］ Ｂ． － １，１[ ]２ Ｃ． －槡３２ ， １[ ]２ Ｄ． － １２，１[ ]２ （３）函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ２ｘ － ２ｃｏｓ ｘ ＋ １的最小值为 （　 　 ） Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ． ０ Ｄ． － １ ●:;M%´š;op@ ¡ ３．（１）函数ｆ（ｘ）＝ ５ｃｏｓ ３ｘ ＋ ４π( )５ 的一个单调减区间是 （Ｂ ） Ａ． － ４π１５， ２π[ ]１５ Ｂ． － ４π１５，π[ ]１５ Ｃ． － π１５， ２π[ ]１５ Ｄ． － ２π５ ，π[ ]１５ （２）设ａ ＝ ｃｏｓ π１２，ｂ ＝ ｓｉｎ ４１π ６ ，ｃ ＝ ｃｏｓ ７π ４ ，则 （Ａ ） Ａ． ａ ＞ ｃ ＞ ｂ Ｂ． ｃ ＞ ｂ ＞ ａ Ｃ． ｃ ＞ ａ ＞ ｂ Ｄ． ｂ ＞ ｃ ＞ ａ ［归纳提升］ 归纳提升：１．余弦型函 数单调区间的求法 í １ ð‰Š ｘ %€*Ž $Ä¿ä1ЙQê‡ Ž! ． í ２ ðX ωｘ ＋ φ ªSž ¡Äy'+Š‰~*% : õ - ´ ¹ o ｘ % |} ． í ３ ðKñ4¡%Çm |}2%:õ-´Ä ¿— ｋ œŸÄÝ·ño ^ˆrô%:õ-´ ． ２．关于三角函数值比较 大小 ä1ЙQêÄJmt !‰ÇŠ‰~*ÄJm é+m:õ-´2Ä ä1:õ™,ïQR ． $'! 〉 /KL1 ３．求函数ｙ ＝ ｃｏｓ － ２ｘ ＋ π( )６ 的单调递减区间． ●:;R%´šop@›œj /° 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　４．（１）（２０２４·抚顺高一检测）已知函数ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ２ｘ － ５π( )２ （ｘ∈ Ｒ），下面结论错误的是 （　 　 ） Ａ．函数ｆ（ｘ）的最小正周期为π Ｂ．函数ｆ（ｘ）在区间０，π[ ]２ 上单调递增 Ｃ．函数ｆ（ｘ）是奇函数 Ｄ．函数ｆ（ｘ）的图像关于ｙ轴对称 （２）函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ２ｘ － π( )３ ＋ １的图像的一个对称中心为（　 　 ） Ａ． － ５π１２，( )０ 　 　 Ｂ． １１π１２ ，( )０ 　 　 Ｃ． － ５π１２，( )１ 　 　 Ｄ． １１π１２ ，( )１ ［归纳提升］ 〉 /KL1 ４．（１）（２０２４·青岛高一检测）将函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ（２ｘ ＋ φ）的图像向右平移 π １２个单位得到一个奇函数的图像，则φ的取值可以是 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． π６ Ｂ． π ３ Ｃ． π ２ Ｄ． ２π ３ （２）已知函数ｆ（ｘ）＝ ３２ ｃｏｓ ２ｘ ＋ π( )３ ，则下列关于函数ｆ（ｘ）的说法中，正 确的是 （　 　 ） Ａ．将ｆ（ｘ）图像向左平移π１２个单位可得到ｙ ＝ ３ ２ ｓｉｎ ２ｘ的图像 Ｂ．将ｆ（ｘ）图像向右平移π６个单位，所得图像关于（０，０）中心对称 Ｃ． ｘ ＝ ５π６是函数ｆ（ｘ）图像的一条对称轴 Ｄ．最小正周期为π２ 归纳提升：关于余弦型 函数ｙ ＝ Ａｃｏｓ（ωｘ ＋ φ） 的对称问题 （１） ú ωｘ ＋ φ ＝ ｋπ，ｋ∈ Ｚ， ·¹ošÁ# ， ú ωｘ ＋ φ ＝ π２ ＋ ｋπ（ｋ∈Ｚ） ·¹ošÁaA ． （２） Kö÷ ｘ ＝ α(šÁ #Ç （α，０）(šÁaA， ¿ ωα ＋ φ» ｋ]Ç]２ ＋ ｋ ] ，ｋ  Ｚ， · ñ ω Ç φ． （３） —ýþ ， º φ ＝ ｋπ， ｋ∈Ｚ A，~*Žå~ * ； º φ ＝ π２ ＋ ｋπ，ｋ∈ Ｚ A ， ~*Žä~* ． $'* WXYZ%[\] 对应学生用书学案Ｐ００３ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．已知函数ｙ ＝ ３ｃｏｓ（π － ｘ），则当函数取得最大 值时ｘ的值是 （Ｃ ） Ａ． π Ｂ． ２π Ｃ． ２ｋπ ＋ π（ｋ∈Ｚ） Ｄ． ２ｋπ ＋ ２π（ｋ∈Ｚ） ２．函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ２ｘ ＋ π( )４ 的最小正周期是（Ｂ ） Ａ． π２ Ｂ． π Ｃ． ２π Ｄ． ４π ３．函数ｙ ＝ ３ － ２ｃｏｓ ２ｘ － π( )３ 的单调递减区间是 （　 　 ） Ａ． ｋπ ＋ π６，ｋπ ＋ ３π[ ]２ （ｋ∈Ｚ） Ｂ． ｋπ － π３，ｋπ ＋ π[ ]６ （ｋ∈Ｚ） Ｃ． ２ｋπ ＋ π３，２ｋπ ＋ ４π[ ]３ （ｋ∈Ｚ） Ｄ． ２ｋπ － π３，２ｋπ ＋ π[ ]６ （ｋ∈Ｚ） ４．若函数ｙ ＝ ３ｃｏｓ（２ｘ ＋ φ）的图像关于点 ４π ３ ，( )０ 中心对称，那么｜φ ｜的最小值为（Ａ ） Ａ． π６ Ｂ． π ４ Ｃ． π ３ Ｄ． π ２ ５．若函数ｙ ＝ ａｃｏｓ ｘ ＋ ｂ（ａ、ｂ为常数）的最大值为 １，最小值为－ ７，则ｙ ＝ ３ ＋ ａｂｓｉｎ ｘ的最大值为 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１１                        ］ ７． ３． ４　 正切函数的性质与图像 !"#$%&'( 对应学生用书学案Ｐ００１ 学习目标 核心素养 １．能画出ｙ ＝ ｔａｎ ｘ的图像，借助图像理解正切函数在 区间－ π２， π( )２ 上的性质． ２．掌握正切函数的性质，会求正切函数的定义域、值域 及周期，会用函数的图像与性质解决综合问题． 培养直观想象、数学运算、逻辑推理等核 心素养． )*+,%-.+ 对应学生用书学案Ｐ００１ 知识点１　 正切函数 　 　 对于任意一个角ｘ，只要　 　 　 　 ．就有唯一　 确定的正切值ｔａｎ ｘ与之对应，因此ｙ ＝ ｔａｎ ｘ是一 个函数，称为正切函数． 知识点２　 正切函数的图像与性质 　 　 　 解析式 性质　 　 　 ｙ ＝ ｔａｎ ｘ 图像 定义域 ｘ ｘ≠ π２ ＋ ｋπ，ｋ∈{ }Ｚ $'+ 依题意可得g(x)=sin2(x+)=sin2x+4) 例3:D &f(x)的最大值为2+a+1-4,解得a=1 (3)当(x)取最大值时.2r+-+2kr(ke乙)解得x-1 对于A项,最小正周期为2---,故A错误;对于B项,因 +kn(keZ). 为2×→-+k-,kez,所以点(0)不是函数 故当(x)取最大值时,x的取值集合是{ --+hrkez} --5→-.kez.所以直线x-3-不是函数(x)图 1.A 当x-(-+2^rn,+2kn),kez时,函数单调递 像的对称轴,故C错误;对于D项,令X=2x+吾,因为 增,即xe(-+2k2-+2kn)e乙.故A正确. #-,所-<x<,又y-sn在(-,) 过2.C:0<-.0<2x”. 上单调递增,所以g(x)在区间(-3-吾)上单调递道增,故_ <2-<2 <“in2-)<=1. D正确. 对点训练3:AC (x)=4sin(2+)=4o-(2x+)] .-3<2sin(2x-)2. 4oc-(2x-吾)(xeR),A正确:(x)的最小正周期:7=2-- 4.函数/(x)的值域为[-3.2],故选C *.B错误(-)-4in(+)-0.则/()的图像关3.D由题图可知A=(3-0)-设周期为7,则= 于点(-吾0)对称.C正确()-4nin(+)-0.不是 -(-)-,得-5- 最值,D错误 例4:(1)函数f(x)的振幅为,最小正周期r=2-=- -2- 由2-<2r+<2kr+(ke2),得brn-<xsk ·图像在x-1处取得最高点..吾++2k(kez). +(kez), .+2kn(ke乙). 所以/(x)的单调递增区间为*n-.*+(ke乙). :0<2. (2)令2x+吾=-+-(ke 2),则x-+吾(k= 乙). 密5.③ 7.3.3 余弦函数的性质与图像 必备知识 探新知 知识点1:唯一 余弦函数 所以对称中心为(吾)(e乙). 知识点2:B R [-1.1] [-1.1] 奇函数 偶函数 2n 2- x=+2kn(ke 乙)x=-+2knr(ke ) x= (3)sin(2)-1.即2x+吾--+2krn(ke 2), $kn(kez) x=n+2kn(kez) [-+2^--+2^] (k=乙)[+2^k3+2^k|(ke Z)[-+2kn,2h](k 此时x的取值集合是{----+r,f=ez} =乙) [2kn,n+2kn](kez) 对点训练4:(1)由-+2k52x+<+2hr(k 乙)#,解对应练习 得-吾+krnx<吾+kr(kez). 点..方程有2个解. .函数(x)的单调递增区间为[-+h-.吾+h](kez). 由吾+2hr52x+<3-+2kn(k 乙)#解得吾+5< 2+1ao(kez). .函数(x)的单调递减区问间为[+k-r,2-+hal(kez). .-<in(2+)<1. 2.B .cos=0..(0)是函数y=cosx的图像的一个对 称中心. -153- 3.B y=cos*r-3 x 2=(c0--)-. -1eosx1..当cosx=1时,y=0. 4- 关键能力 攻重难 例1:列表: 0<as2. 7解得a=1或a=-5(舍去). ~ n 2n 2 ra2. -。 cosx 由{ 1-4a--7解得a- 2+cosx 2 3 2 描点连线,如图: =.所以 2k-n<1s2k吾be2.故选C. (2)xe0.2x[3] 对点训练1:列表: y=co(2x+)-1.1 ##2# 3 -2 ~ 。 (3)/(x)=-cos*x-2cosx+2 令1=cosxe[-1.1],得g(t)=-- +2 2{ 2n 0 1 因为g(t)在[-1.1]上单调递减,所以g(t)=g(1)=-1. 所以函数/(x)的最小值为-1. f(x) ) 过例3:(1)B(2)A(1)/(x)=5co3x+).由2k53x+4 描点、连线,得函数八(x)=2oo(+)+1在[--7-= <-+26r(6s2)a2-2(s). 内的图像如图所示. [-155]是(1)的一个单调逃减区间,故选B. (2)s41--)-n-n- ,-f) #o7co(2--)=co( -)co. ## .y=cosx在0.-)上是减函数, 例2:(1)C (2)I-2-+2k-2+2kn(ke2z))(3)见解析 .co→co>co,即a>b故选A. 【解析】(1)因为xe[0.].所以2x+吾=[7=] 对点训练3:y=cos -2x+)=cos(2x-) cos(2+)[-1.]. 令2kn=2x--<2kn n,ke2. 所以函数y=eos(2x+)xe0.的值域是-1.] 解得吾+☆,e2. 故函数y=cos-2+)的单调递减区间为[+kal 2kn sis-+2kr(k ez), (kez). 1[-2- 2-2, 例4:(1)C(2)D(1)/()=2sin(2x-)=2sin(2x-)= 因此,函数y=v②cosx+I的定义域是 2h- (kez). -2cos 2x.所以函数f(x)的最小正周期为2---.故A正 (3)①f(x)=1-2a-2acos x-2sinx=1-2a-2acos - 确;当xe[0.]时,2x [0.a],所以y=cos 2x在区间 2(1-0-)2(0-)-20一1- [0.]上单调递减,所以函数/(x)在区间[0.]上单调 若$<<1,即0<a<2时,则当cosx=-时、f(x)有最 递增,故B正确;因为/(-x)=-2cos2x=/(x),所以函数 fx)是偶函数,故C错误;函数/(x)的图像关于y轴对称 故D正确. 若>1,即a>2时,则当cosx=1时f(x)有最小值, (2)令2---+r,ke2,则x-ke2. g(a)=1-4a. 所以函数f(x)-cos(2x--)+1的图像的对称中心为 (5+1).keZ.故A.B不是函数图像的对称中心; 1-4a,a>2. -154- $$-5.,则#乙.故(-1)不是函数 ,对应练习 1.D 由题意得x+-^kn+(kez).x*kn+,he乙 图像的对称中心: 称中心。 又/f-x)=sin(-x)tan(-x)=(-sinx)·(-tanx)= 对点训练4:(1)D(2)C(1)函数y=(-)=co[2(-吾) sin xtan x=f(x), ./f(x)为偶函数. + ]co(2-)为奇数,-+3.<t()--(+--# e乙_→21ke②,取k=0,则-2- tan(-1)-an-an2-_)-a. (2)/(x)=(2x+)向左平移个单位,得ys2^ → .>- n--# ·)-n2x.A错误:(x)向有平移个单位,得y-一选 即tan(-)<(-). 30s 2.(o)-oso0-.不关于(0.0)中心对称,B错误;4 4.(+-).k=z y=tan(-2x+)=-tan(2x-) ##)#-(×)--是数(二)像的K} 出2--,得x-πe. 一条对称轴.C正确:2--n,最小正周期为n.D错误。 关键能力 攻重难 例1:(1)-#k+)(ke乙)(2)[-1.3+2/3] 课堂检测 固双基 (1) 1. C y=3eos(n-x)=-3cos x. [tanx>-1. .当y=3cos(π-x)取最大值时,y=cosx取最小值,此时x= 2kn+n(ke乙).故选C. 〔-<x<krn+(ke乙), .{ {*-<x<kn+(ke乙), 3.B 函数y=3-2cos(2x--)的单调递减区间, .kan-<x<kn+(kez). 即函数y=2cos(2x--)的单调递增区间. .所求函数的定义域为a-+)(ke乙). 令2kn-s2x--<2kr,kez.,解得 kn-<xsk1 (2)因为xe[--.可得tanxe[-5.1]., keZ.所以原函数的单调递减区间为n-k-+-,ke 令t=tanxe[-3,1],可得/(t)=-2t=(t-1)-1. 7.故选B. 当1=1时,函数/f(t)取得最小值,最小值为/(1)=-1. 4.A 由y=3oos(2x+)的图像关于点(.0)中心对称知 当t=-③时,函数f(t)取得最大值,最大值为f-③)=3+23 即函数y=tan'x-2tanx在xe[-.4上的值域为 ()-0.即3co(8+)=0 .8n+(ke2). [-1.3+2. 对点训练1:(1) +1e2} (2)[-3,+) .=-13n( z). 6 (1)要使函数有意义,自变量x的取值应满足3x---k*+ #吾(k ez),得(e2), 当0时,春 .函数的定义域为{ 5,} '.y=3+absinx=3+12sinx, ·其最大值为15. (2)由xe[o.),可得3x-e[-,). 7.3.4 正切函数的性质与图像 根据正切函数的性质,可得un(3x-)=[-3.+), 必备知识 探新知 即函数(x)=tun(3--)在[0)上的值域为[-5.+*). 知识点l:x*-+r,kez唯一 [tanx,xe[-)(kez), 知识点2:R-奇函数(-++*n)(ke) 例2:y=Itanxl= 1-tan ,ie(-{](e2). (o)(kez) 其图像如图所示 -155-