7.3.2 第2课时 正弦型函数的性质与图像(二)(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

第２课时　 正弦型函数的性质与图像（二） )*+,%-.+ 对应学生用书学案Ｐ００１ 知识点　 函数ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）（Ａ ＞０，ω ＞０）的有关性质 名称 性质 定义域 Ｒ　 　 　 值域 ［－ Ａ，Ａ］　 周期性 Ｔ ＝ 　 　 　 　 对称中心 ｋπ － φω ，( )０ （ｋ∈Ｚ） 对称轴 ｘ ＝ ｋπω ＋ π － ２φ ２ω （ｋ∈Ｚ） 奇偶性当φ ＝ ｋπ（ｋ∈Ｚ）　 时是奇函数；当φ ＝ 　 　 　 　 　 时是偶函数 单调性 由２ｋπ － π２ ≤ωｘ ＋ φ≤２ｋπ ＋ π ２ ，ｋ∈Ｚ，解得单调递增　 区间； 由２ｋπ ＋ π２ ≤ωｘ ＋ φ≤２ｋπ ＋ ３π ２ ，ｋ∈Ｚ，解得单调递减　 区间 ［思考１］ ●/012 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ ＋ １的一个对称中心为 （Ｄ ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． π６，( )０ Ｂ． π１２，( )０ Ｃ． π６，( )１ Ｄ． π１２，( )１ ２．将函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ的图像向左平移π６个单位长度，所得图像的对称轴中与ｙ 轴距离最近的是 （　 　 ） Ａ． ｘ ＝ － π１２ Ｂ． ｘ ＝ － π ６ Ｃ． ｘ ＝ π６ Ｄ． ｘ ＝ π １２ ３．函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ 的单调递减区间是　 　 　 　 ． 思考１：如何求函数 ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）的 单调区间、最值、对称轴 和对称中心呢？ 提示： m¢X ωｘ ＋ φ ª Smž¡ÄM{«¬ !‰~*%™òñ¹ ． ñ:õ-´AÄK ω ＜ ０， ¿Öä1ЙQêé Ž!ŸÄñ4ŸAÄB ùM ] ωｘ ＋ φ % | }ÄZˆuóñ¹ ． $'# 3456%789 对应学生用书学案Ｐ００１ ●:;<%­£¤uM?op@…®ˆ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．已知函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ (） ｘ∈Ｒ，Ａ ＞ ０， ω ＞ ０，｜ φ ｜ ＜ π )２ 的部分图像如图所示，求ｆ（ｘ）的 最小正周期及解析式； ［归纳提升］ 〉 /KL1 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）（２０２４·湖北恩施高一期末）函数ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ (） Ａ ＞ ０，ω ＞ ０，｜φ ｜ ＜ π )２ 的部分图像如图所示，则 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ｙ ＝ ２ｓｉｎ ４３ ｘ － ７ １８( )π Ｂ． ｙ ＝ ２ｓｉｎ ２３ ｘ ＋ ４ ９( )π Ｃ． ｙ ＝ ２ｓｉｎ ２３ ｘ － ４ ９( )π Ｄ． ｙ ＝ ２ｓｉｎ ４３ ｘ ＋ ７ １８( )π （２）函数ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）（ω ＞ ０，０ ＜ φ ＜ π）的部分图像如图所示，则 ｆ（ｘ）的解析式为 （　 　 ） Ａ． ｙ ＝ ２ｓｉｎ ４ｘ ＋ ２π( )３ Ｂ． ｙ ＝ ４ｓｉｎ ２ｘ ＋ ２π( )３ Ｃ． ｙ ＝ ２ｓｉｎ ４ｘ ＋ π( )６ Ｄ． ｙ ＝ － ２ｓｉｎ ４ｘ ＋ ２π( )３ 归纳提升： \ ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）%uóñ ø¹âê （１）Ａ： m¢·\uó% 4`n/4Én%® '. M ] ｜ Ａ ｜，｜ Ａ ｜ ＝ ｆ（ｘ）ｍａｘ － ｆ（ｘ）ｍｉｎ ２ ． （２）ω：„Ž Ｔ ＝２πω，dÅ ÆÆtzñÑð Ｔ .M ] ω．·tzö÷TUÕ ø… ｘ #%_n.M] Ｔ， [868%4`n… 4Én…´%9Ѝ‚ Ž Ｔ ２，68%q4`n （ 4Én ） …´%9Ѝ ‚Ž Ｔ． （３）φ：ÅF$nSuÕG a%4`nSŽ:;Ó ， ݺ ωｘ ＋ φ ＝ π２ ＋ ２ｋπ， ｋ∈Ｚ A，ｙ 54QŸ，Ç <\F$nSuÕGa% Ámn － φ ω ，( )０ SŽ: ;Ó ， )uó%=ȑ’ *ˆÁmn%XY ． $'% ●:;C% ¡` ¡S¯ ２．已知函数ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ（２ｘ ＋ φ）（Ａ ＞ ０，０ ＜ φ ＜ π）在ｘ ＝ π６时取得最 大值２． （１）求ｆ（ｘ）的解析式； （２）求ｆ（ｘ）的单调递减区间； （３）当ｘ∈ － π２， π[ ]３ 时，求函数的最小值及相应的ｘ值． ［归纳提升］ 〉 /KL1 ２．已知函数ｆ（ｘ）＝ －２ｓｉｎ １２ ｘ － π( )３ ，则函数ｆ（ｘ）的单调递减区间是　 　 　 　 ． ●:;M%/°~±`/°² ３．将函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ的图像向左平移π８个单位长度，得函数ｇ（ｘ） 的图像，则以下结论中正确的是 （　 　 ） Ａ． ｇ（ｘ）的最小正周期为π２ Ｂ． ｇ（ｘ）的图像关于点π４，( )０ 对称 Ｃ． ｇ（ｘ）的图像关于直线ｘ ＝ ３π１６对称 Ｄ． ｇ（ｘ）在区间－ ３π８ ， π( )８ 上单调递增 ［归纳提升］ 〉 /KL1 ３．（多选题）关于函数ｆ（ｘ）＝ ４ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ （ｘ∈Ｒ）有如下结论，其中正确 的有 （　 　 ） Ａ． ｙ ＝ ｆ（ｘ）的解析式可改写为ｆ（ｘ）＝ ４ｃｏｓ ２ｘ － π( )６ （ｘ∈Ｒ） Ｂ． ｙ ＝ ｆ（ｘ）是以２π为最小正周期的周期函数 Ｃ． ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图像关于点－ π６，( )０ 对称 Ｄ． ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图像关于直线ｘ ＝ π３对称 归纳提升：关于正弦型 函数的单调区间 （１） ä1ЙQêX ｘ %€*‡! ； （２） X ωｘ ＋ φ ªSž ¡ ， y'+!‰~*6 B%:õ-´a ， ¹o ｘ %|} ， l3t-´ %vê ； （３） 3:õ-´A~K >? ｋ  Ｚ． o؛@ A （ Ǿ ） -´a´1 F/GÇF ， Gµ¶ ， ~ ‘1FBGµ¶ ． 归纳提升：形如ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）形式的对 称轴及对称中心的求法 （１ ） š Á # ： ｘ ＝ ｋπ ＋ π２ － φ ω ，ｋ∈Ｚ． 4¡ ： ú ωｘ ＋ φ ＝ ｋπ ＋ π ２ ，ｋ∈Ｚ， ¹ 7 š Á # Ž ｘ ＝ ｋπ ＋ π２ － φ ω ，ｋ∈Ｚ． （２ ） š Á a A ： ｋπ － φ ω ，( )０ ，ｋ∈Ｚ． 4¡ ： ú ωｘ ＋ φ ＝ ｋπ， ｋ∈Ｚ， ¹ 7 š Á a A Ž ｋπ － φ ω ，( )０ ，ｋ∈Ｚ． $'& ●:;R%rT`³r ４．已知函数ｆ（ｘ）＝ １２ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )６ ＋ ５４ ． （１）求ｆ（ｘ）的振幅、最小正周期及单调递增区间； （２）求ｆ（ｘ）的图像的对称轴方程和对称中心； （３）求ｆ（ｘ）的最小值及取得最小值时ｘ的取值集合． ［归纳提升］ 〉 /KL1 ４．已知函数ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )６ ＋ ａ ＋ １（其中ａ为常数）． （１）求ｆ（ｘ）的单调区间； （２）当ｘ∈ ０，π[ ]２ 时，ｆ（ｘ）的最大值为４，求ａ的值； （３）求使ｆ（ｘ）取最大值时ｘ的取值集合． 归纳提升：研究ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）的性质的 两种方法 （１） Cëã·1ñ× ÕV ｘ ＝ θ ŽšÁ#Ä ¿ ｆ（θ）＝ ± Ａ；（θ，０）Ž šÁaAÄ¿ ｆ（θ）＝ ０； D ｍ，ｎ EŽ~*:õ -´Ä¿ ［ωｍ ＋ φ，ωｎ ＋ φ］Ž ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ:õ- ´%D-´ ． （２） þëãþKä1ž ¡y²ÕÄú ωｘ ＋ φ ＝ ｔ， ¿,sã;éŽvw ｙ ＝ Ａｓｉｎ ｔ %™ò ． WXYZ%[\] 对应学生用书学案Ｐ００３ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．下列区间中，是函数ｆ（ｘ）＝ ７ｓｉｎ ｘ － π( )６ 单调递 增区间的是 （　 　 ） Ａ． ０，π( )２ Ｂ． π２，( )π Ｃ． π，３π( )２ Ｄ． ３π２ ，２( )π ２．函数ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ２ｘ － π( )３ 在区间０，π[ ]２ 上的值 域为 （Ｃ ） Ａ． －槡３２ ，[ ]１ Ｂ． － １２，[ ]１ Ｃ．［－槡３，２］ Ｄ．［－槡３，槡３］ ３．函数ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ） ＋ ｋ的图像如图所示， 则它的振幅Ａ与最小正 周期Ｔ分别是（Ｄ ） Ａ． Ａ ＝ ３，Ｔ ＝ ５π６ Ｂ． Ａ ＝ ３，Ｔ ＝ ５π ３ Ｃ． Ａ ＝ ３２，Ｔ ＝ ５π ６ Ｄ． Ａ ＝ ３ ２，Ｔ ＝ ５π ３ ４．函数ｙ ＝ ｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）（ｘ∈Ｒ，ω ＞ ０，０≤φ ＜ ２π） 的部分图像如图所示，则 （　 　 ）                        $'' Ａ． ω ＝ π２，φ ＝ π ４ Ｂ． ω ＝ π ３，φ ＝ π ６ Ｃ． ω ＝ π４，φ ＝ π ４ Ｄ． ω ＝ π ４，φ ＝ ５π ４ ５．函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ ｘ ＋ π( )３ 图像的一条对称轴是 　 　 　 　 ．（填序号） ①ｘ ＝ － π２；②ｘ ＝ ０；③ｘ ＝ π ６；④ｘ ＝ － π ６ ． 请同学们认真完成练案［１０         ］ ７． ３． ３　 余弦函数的性质与图像 !"#$%&'( 对应学生用书学案Ｐ００１ 学习目标 核心素养 １．了解余弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小） 值、零点． ２．了解余弦函数的图像，能利用五点法作简单的与余 弦函数有关的函数图像． ３．能利用余弦函数的性质与图像解决简单的问题． 培养逻辑推理、直观想象、数学运算等核 心素养． )*+,%-.+ 对应学生用书学案Ｐ００１ 知识点１　 余弦函数 　 　 对于任意一个角ｘ，都有唯一　 确定的余弦ｃｏｓ ｘ与之对应，所以ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ是一个函数，一般称 为余弦函数　 ． 知识点２　 余弦函数的图像与性质 　 　 正弦函数、余弦函数的图像、性质对比 函数 ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ 图像 定义域 　 　 Ｒ　 　 　 　 Ｒ　 　 值域 ［－ １，１］　 ［－ １，１］　 奇偶性 奇函数　 偶函数　 周期性 最小正周期：２π　 最小正周期：２π　 最值 当　 　 　 　 　 　 时，ｙｍａｘ ＝ １；当　 　 　 　 　 　 　 时，ｙｍｉｎ ＝ － １ 当ｘ ＝２ｋπ（ｋ∈Ｚ）时，ｙｍａｘ ＝ １； 当ｘ ＝ π ＋ ２ｋπ（ｋ∈Ｚ）　 时，ｙｍｉｎ ＝ － １ 单调性 在　 　 　 　 　 　 　 上单调递增；在　 　 　 　 　 　 　 上单调递减 在［－ π ＋ ２ｋπ，２ｋπ］（ｋ∈Ｚ）　 上单调递增； 在［２ｋπ，π ＋ ２ｋπ］（ｋ∈Ｚ）　 上单调递减 零点 ｋπ，ｋ∈Ｚ π２ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ 对称轴 ｘ ＝ π２ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ ｘ ＝ ｋπ，ｋ∈Ｚ 对称中心 （ｋπ，０）（ｋ∈Ｚ） π２ ＋ ｋπ，( )０ （ｋ∈Ｚ） $'( 纵坐标缩短为原来的１２ ，得到函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ 的图 像；最后将所得图像上所有的点向右平移π６个单位（提示： 左右平移只针对于ｘ变化），得到函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ的图像；最 后将所得图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来 的２倍，得到函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图像． 对点训练３：（１）Ｃ　 （２）Ｃ （１）只需将函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ － π( )６ 的图像横坐标变为原来的１３ ， 纵坐标不变，便得到函数ｙ ＝ ｓｉｎ ３ｘ － π( )６ 的图像，故选Ｃ． （２ ） ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ 向左平移π３ → 个单位 ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ ＋ π( )３ 横坐标缩短到原来的１２倍 →纵坐标不变 ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ ，故选Ｃ． 课堂检测　 固双基 １． Ｂ　 将函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图像向右平移１个单位长度得到函数 ｙ ＝ ｓｉｎ（ｘ － １）的图像，故选Ｂ． ２． Ｃ　 为了得到函数ｙ ＝ ｓｉｎ（２ｘ ＋ １）＝ ｓｉｎ ［２（ｘ ＋ １）－ １］的图 像，只需将函数ｙ ＝ ｓｉｎ（２ｘ － １）的图像上所有的点向左平移１ 个单位长度即可． ３． Ｂ　 由题意可知得到图像的解析式为ｙ ＝ ｓｉｎ １２ ｘ，所以ω ＝ １ ２ ． ４．右平移π３ 　 ｙ ＝ ｓｉｎ（－ ｘ →） ｙ ＝ ｓｉｎ － ｘ ＋ π( )３ [ (＝ ｓｉｎ － ｘ － π ) ]３ ，可把ｙ ＝ ｓｉｎ（－ ｘ）的图像向右平移π３个单位． ５．③ 第２课时　 正弦型函数的性质与图像（二） 必备知识　 探新知 　 　 知识点：Ｒ　 ［－ Ａ，Ａ］　 ２π ω 　 ｋπ（ｋ∈Ｚ）　 ｋπ ＋ π２ （ｋ∈Ｚ） 　 单调递增　 单调递减 对应练习 １． Ｄ　 令２ｘ － π６ ＝ ｋπ，ｋ∈Ｚ，解得ｘ ＝ ｋπ ２ ＋ π １２，ｋ∈Ｚ，当ｋ ＝ ０时， ｘ ＝ π１２，故一个对称中心是 π １２，( )１ ，选Ｄ． ２． Ｄ　 将函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ的图像向左平移π６个单位长度，得到 ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ 的图像． 由２ｘ ＋ π３ ＝ π ２ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ可得，函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ 的对称 轴为ｘ ＝ π１２ ＋ ｋ ２ π，ｋ∈Ｚ． 其中与ｙ轴距离最近的是ｘ ＝ π１２ ． ３． π３ ＋ ｋπ， ５π ６ ＋ ｋ[ ]π （ｋ∈Ｚ）　 由π２ ＋ ２ｋπ≤２ｘ － π６ ≤３π２ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ，得２π３ ＋ ２ｋπ≤２ｘ≤ ５π ３ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ， 所以π３ ＋ ｋπ≤ｘ≤ ５π ６ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ，所以函数的单调递减区间为 π ３ ＋ ｋπ， ５π ６ ＋ ｋ[ ]π （ｋ∈Ｚ）． 关键能力　 攻重难 例１：由题图可知ｙ ＝ ｆ（ｘ）的最大值为１，最小值－ １，故Ａ ＝ １；又 Ｔ ４ ＝ ２π ３ － ５π １２ ＝ π ４ ＝ ２π ４ω ，所以ω ＝ ２，Ｔ ＝ π， 将点２π３ ，( )－ １ 代入ｙ ＝ ｆ（ｘ），ｆ ２π( )３ ＝ ｓｉｎ ４π３ ＋( )φ ＝ － １， 所以４π３ ＋ φ ＝ ３π ２ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ，φ ＝ π ６ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ， 因为｜φ ｜ ＜ π２ ，所以φ ＝ π ６ ．所以ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )６ ． 对点训练１：（１）Ｄ　 （２）Ａ　 （１）由图像可知Ａ ＝ ２，Ｔ２ ＝ ５π ６ － π １２ ＝ ３π４ ，所以Ｔ ＝ ３π ２ ＝ ２π ω ，即ω ＝ ４３ ，所以ｙ ＝ ２ｓｉｎ ４ ３ ｘ ＋( )φ ．由 图像可知，当ｘ ＝ π１２时，ｙ ＝ ２ｓｉｎ π ９ ＋( )φ ＝ ２，所以π９ ＋ φ ＝ π２ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ，即φ ＝ ７１８π ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ， 由于｜ φ ｜ ＜ π２ ，所以φ ＝ ７ １８ π，所以ｙ ＝ ２ｓｉｎ ４ ３ ｘ ＋ ７ １８( )π ．故 选Ｄ． （２）由图像可知，Ｔ２ ＝ ５π ２４ － － π( )２４ ＝ π４ ＝ ２π２ω，即ω ＝ ４，所以 ｙ ＝ Ａｓｉｎ（４ｘ ＋ ４）， 由图像可知，当ｘ ＝ ５π２４时，ｙ ＝ Ａｓｉｎ ５π ６ ＋( )φ ＝ － Ａ， 所以ｓｉｎ ５π６ ＋( )φ ＝ － １，５π６ ＋ φ ＝ ３π２ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ，φ ＝ ２π３ ＋ ｋπ， ｋ∈Ｚ． 由于０ ＜ φ ＜ π，∴ φ ＝ ２π３ ，所以ｙ ＝ Ａｓｉｎ ４ｘ ＋ ２π( )３ ， 当ｘ ＝ ０时，ｙ ＝ Ａｓｉｎ ２π( )３ 槡＝ ３，所以Ａ ＝ ２，故选Ａ． 例２：（１）因为ｆ（ｘ）在ｘ ＝ π６时取得最大值２，所以Ａ ＝ ２，且２ × π ６ ＋ φ ＝ π ２ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ， 所以φ ＝ π６ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ．又０ ＜ φ ＜ π，所以φ ＝ π ６ ， 所以ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )６ ． （２）令２ｋπ ＋ π２ ≤２ｘ ＋ π ６ ≤２ｋπ ＋ ３π ２ ，ｋ∈Ｚ，解得ｋπ ＋ π ６ ≤ｘ≤ｋπ ＋ ２π３ ，ｋ∈Ｚ， 所以ｆ（ｘ）的单调递减区间为ｋπ ＋ π６ ，ｋπ ＋ ２π[ ]３ ，ｋ∈Ｚ． （３）因为ｘ∈ － π２ ， π[ ]３ ，所以２ｘ ＋ π６ ∈ － ５π６ ，５π[ ]６ ， 所以２ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )６ ∈［－ ２，２］． 当２ｘ ＋ π６ ＝ － π ２ ，即ｘ ＝ － π ３时，ｆ（ｘ）取得最小值－ ２． 对点训练２： － π３ ＋ ４ｋπ， ５π ３ ＋ ４ｋ[ ]π ，ｋ∈Ｚ　 由函数ｙ ＝ － ｓｉｎ ｘ 的单调递减区间是２ｋπ － π２ ，２ｋπ ＋ π[ ]２ ，ｋ∈Ｚ， 可令２ｋπ － π２ ≤ １ ２ ｘ － π ３ ≤２ｋπ ＋ π ２ ，ｋ∈Ｚ， 解得４ｋπ － π３ ≤ｘ≤４ｋπ ＋ ５ ３ π，ｋ∈Ｚ， ∴ ｆ（ｘ）的单调递减区间是－ π３ ＋ ４ｋπ， ５π ３ ＋ ４ｋ[ ]π ，ｋ∈Ｚ                                                                      ． —１５２— 例３：Ｄ　 依题意可得ｇ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ ｘ ＋ π( )[ ]８ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )４ ． 对于Ａ项，最小正周期为２π２ ＝ π，故Ａ错误；对于Ｂ项，因 为２ × π４ ＋ π ４ ＝ ３π ４ ≠ｋπ，ｋ∈Ｚ，所以点 π ４ ，( )０ 不是函数 ｇ（ｘ）图像的对称中心，故Ｂ错误；对于Ｃ项，因为２ × ３π１６ ＋ π ４ ＝ ５π ８ ≠ π ２ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ，所以直线ｘ ＝ ３π １６不是函数ｇ（ｘ）图 像的对称轴，故Ｃ错误；对于Ｄ项，令Ｘ ＝ ２ｘ ＋ π４ ，因为 －３π８ ＜ｘ ＜ π ８ ，所以－ π ２ ＜Ｘ ＜ π ２ ，又ｙ ＝ ｓｉｎ Ｘ在－ π ２ ， π( )２ 上单调递增，所以ｇ（ｘ）在区间－ ３π８ ， π( )８ 上单调递增，故 Ｄ正确． 对点训练３：ＡＣ　 ｆ（ｘ）＝４ｓｉｎ（２ｘ ＋ π３ ）＝４ｃｏｓ π ２ － ２ｘ ＋ π( )[ ]３ ＝ ４ｃｏｓ ２ｘ － π( )６ （ｘ∈Ｒ），Ａ正确；ｆ（ｘ）的最小正周期：Ｔ ＝ ２π２ ＝ π，Ｂ错误；ｆ － π( )６ ＝ ４ｓｉｎ － π３ ＋ π( )３ ＝ ０，则ｆ（ｘ）的图像关 于点－ π６ ，( )０ 对称，Ｃ正确；ｆ π( )３ ＝ ４ｓｉｎ ２π３ ＋ π( )３ ＝ ０，不是 最值，Ｄ错误． 例４：（１）函数ｆ（ｘ）的振幅为１２ ，最小正周期Ｔ ＝ ２π ２ ＝ π， 由２ｋπ － π２ ≤２ｘ ＋ π ６ ≤２ｋπ ＋ π ２ （ｋ∈Ｚ），得ｋπ － π ３ ≤ｘ≤ｋπ ＋ π６ （ｋ∈Ｚ）， 所以ｆ（ｘ）的单调递增区间为ｋπ － π３ ，ｋπ ＋ π[ ]６ （ｋ∈Ｚ）． （２）令２ｘ ＋ π６ ＝ ｋπ ＋ π ２ （ｋ∈Ｚ），则ｘ ＝ ｋπ ２ ＋ π ６ （ｋ∈Ｚ）， 所以对称轴方程为ｘ ＝ ｋπ２ ＋ π ６ （ｋ∈Ｚ）； 令２ｘ ＋ π６ ＝ ｋπ（ｋ∈Ｚ），则ｘ ＝ ｋπ ２ － π １２（ｋ∈Ｚ）， 所以对称中心为ｋπ２ － π １２，( )５４ （ｋ∈Ｚ）． （３）ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )６ ＝ － １，即２ｘ ＋ π６ ＝ － π２ ＋ ２ｋπ（ｋ∈Ｚ）， ｘ ＝ － π３ ＋ ｋπ（ｋ∈Ｚ）时，ｆ（ｘ）取得最小值为 ３ ４ ， 此时ｘ的取值集合是ｘ ｘ ＝ － π３ ＋ ｋπ，ｋ∈{ }Ｚ ． 对点训练４：（１）由－ π２ ＋ ２ｋπ≤２ｘ ＋ π ６ ≤ π ２ ＋ ２ｋπ（ｋ∈Ｚ），解 得－ π３ ＋ ｋπ≤ｘ≤ π ６ ＋ ｋπ（ｋ∈Ｚ）． ∴函数ｆ（ｘ）的单调递增区间为－ π３ ＋ ｋπ， π ６ ＋ ｋ[ ]π （ｋ∈Ｚ）． 由π２ ＋ ２ｋπ≤２ｘ ＋ π ６ ≤ ３π ２ ＋ ２ｋπ（ｋ∈Ｚ），解得 π ６ ＋ ｋπ≤ｘ≤ ２π ３ ＋ ｋπ（ｋ∈Ｚ）． ∴函数ｆ（ｘ）的单调递减区间为π６ ＋ ｋπ， ２π ３ ＋ ｋ[ ]π （ｋ∈Ｚ）． （２）∵ ０≤ｘ≤ π２ ，∴ ０≤２ｘ≤π，∴ π ６ ≤２ｘ ＋ π ６ ≤ ７π ６ ， ∴ － １２ ≤ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )６ ≤１， ∴ ｆ（ｘ）的最大值为２ ＋ ａ ＋ １ ＝ ４，解得ａ ＝ １． （３）当ｆ（ｘ）取最大值时，２ｘ ＋ π６ ＝ π ２ ＋２ｋπ（ｋ∈Ｚ），解得ｘ ＝ π ６ ＋ ｋπ（ｋ∈Ｚ）． 故当ｆ（ｘ）取最大值时，ｘ的取值集合是ｘ ｘ ＝ π６ ＋ ｋπ，ｋ∈{ }Ｚ ． 课堂检测　 固双基 １． Ａ　 当ｘ － π６ ∈ － π ２ ＋２ｋπ， π ２ ＋２ｋ( )π ，ｋ∈Ｚ时，函数单调递 增，即ｘ (∈ － π３ ＋２ｋπ，２π３ ＋２ｋ )π ，ｋ∈Ｚ，故Ａ正确． ２． Ｃ　 ∵ ０≤ｘ≤ π２ ，∴ ０≤２ｘ≤π， ∴ － π３ ≤２ｘ － π ３ ≤ ２π ３ ， ∴ －槡３２ ≤ｓｉｎ ２ｘ － π( )３ ≤１， 槡∴ － ３≤２ｓｉｎ ２ｘ － π( )３ ≤２， ∴函数ｆ（ｘ）的值域为［ 槡－ ３，２］，故选Ｃ． ３． Ｄ　 由题图可知Ａ ＝ １２ （３ － ０）＝ ３ ２ ，设周期为Ｔ，则 １ ２ Ｔ ＝ π ２ － － π( )３ ＝ ５π６ ，得Ｔ ＝ ５π３ ． ４． Ｃ　 由所给图像可知，Ｔ４ ＝ ２，∴ Ｔ ＝ ８． 又∵ Ｔ ＝ ２π ω ，∴ ω ＝ π４ ． ∵图像在ｘ ＝ １处取得最高点，∴ π４ ＋ φ ＝ π ２ ＋ ２ｋπ（ｋ∈Ｚ）， ∴ φ ＝ π４ ＋ ２ｋπ（ｋ∈Ｚ）． ∵ ０≤φ ＜ ２π，∴ φ ＝ π４ ． ５．③ ７． ３． ３　 余弦函数的性质与图像 必备知识　 探新知 　 　 知识点１：唯一　 余弦函数 　 　 知识点２：Ｒ　 Ｒ　 ［－ １，１］　 ［－ １，１］　 奇函数　 偶函数　 ２π　 ２π　 ｘ ＝ π２ ＋ ２ｋπ（ｋ∈Ｚ）　 ｘ ＝ － π ２ ＋ ２ｋπ（ｋ∈Ｚ）　 ｘ ＝ ２ｋπ（ｋ∈Ｚ ）　 ｘ ＝ π ＋ ２ｋπ（ｋ∈Ｚ） [　 － π２ ＋ ２ｋπ，π２ ＋ ２ｋ ]π （ｋ∈Ｚ）　 π２ ＋ ２ｋπ， ３π ２ ＋ ２ｋ[ ]π （ｋ∈Ｚ）　 ［－ π ＋ ２ｋπ，２ｋπ］（ｋ ∈Ｚ）　 ［２ｋπ，π ＋ ２ｋπ］（ｋ∈Ｚ） 对应练习 １． Ｂ　 如图所示，ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ，ｘ∈［０，２π）与ｙ ＝ １２的图像，有２个交 点，∴方程有２个解． ２． Ｂ　 ∵ ｃｏｓ π２ ＝ ０，∴ π ２ ，( )０ 是函数ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ的图像的一个对 称中心                                                                       ． —１５３—