7.2.4 第2课时 诱导公式(二)(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

因为ｔａｎ α ＝ － ２ ＜ ０，α∈（０，π），所以α∈ π２ ，( )π ， 所以ｃｏｓ α ＝ －槡５５ ，所以ｃｏｓ（５π － α）＝ － ｃｏｓ α ＝槡 ５ ５ ． 对点训练３：Ｂ　 因为ｓｉｎ（α －３６０°）－ ｃｏｓ（１８０° － α）＝ｍ，所以ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝ｍ， 所以（ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α）２ ＝ ｍ２２ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ ｍ２ － １ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ ｍ ２ － １ ２ ， 所以ｓｉｎ（１８０° ＋ α）·ｃｏｓ（１８０° － α）＝（－ ｓｉｎ α）·（－ ｃｏｓ α） ＝ ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ ｍ ２ － １ ２ ． 例３：（１）原式＝ ｓｉｎ（２π － α） ｃｏｓ（２π － α）·ｓｉｎ（－ α）ｃｏｓ（－ α） ｃｏｓ（π － α）ｓｉｎ（π － α） ＝ － ｓｉｎ α（－ ｓｉｎ α）ｃｏｓ αｃｏｓ α（－ ｃｏｓ α）ｓｉｎ α ＝ － ｓｉｎ α ｃｏｓ α ＝ － ｔａｎ α． （２）原式 ＝ １ ＋ ２ｓｉｎ（３６０° － ７０°）ｃｏｓ（３６０° ＋ ７０°槡 ）ｓｉｎ（１８０° ＋ ７０°）＋ ｃｏｓ（７２０° ＋ ７０°） ＝槡１ － ２ｓｉｎ ７０°ｃｏｓ ７０°－ ｓｉｎ ７０° ＋ ｃｏｓ ７０° ＝ ｜ ｃｏｓ ７０° － ｓｉｎ ７０° ｜ ｃｏｓ ７０° － ｓｉｎ ７０° ＝ ｓｉｎ ７０° － ｃｏｓ ７０°ｃｏｓ ７０° － ｓｉｎ ７０° ＝ － １． 对点训练４：（１）原式＝ － ｃｏｓ α·ｓｉｎ α－ ｓｉｎ（π ＋ α）·ｃｏｓ（π ＋ α） ＝ ｃｏｓ α·ｓｉｎ αｓｉｎ α·ｃｏｓ α ＝ １． （２）原式＝ ｃｏｓ（１８０° ＋１０°）·［－ ｓｉｎ（１８０° ＋３０°）］ｃｏｓ（－３６０° ＋１０°）·［－ ｔａｎ（３６０° ＋２２５°）］ ＝ － ｃｏｓ １０°·ｓｉｎ ３０°ｃｏｓ １０°·［－ ｔａｎ（１８０° ＋ ４５°）］＝ － ｓｉｎ ３０° － ｔａｎ ４５° ＝ １ ２ ． 课堂检测　 固双基 １． Ｄ　 ｃｏｓ １０π３ ＝ ｃｏｓ ２π ＋ ４π( )３ ＝ ｃｏｓ ４π３ ＝ ｃｏｓ π ＋ π( )３ ＝ － ｃｏｓ π３ ＝ － １２ ． ２． Ｂ　 因为α终边过点Ｐ（１，槡３），所以ｃｏｓ α ＝ １槡１ ＋ ３ ＝ １２ ，所以 ｃｏｓ（－ α）＝ ｃｏｓ α ＝ １２ ． ３． Ｃ　 原式＝ － ｓｉｎ １３π６ － ｔａｎ １５π ４ ＝ － ｓｉｎ ２π ＋ π( )６ － ｔａｎ ４π － π( )４ ＝ － ｓｉｎ π６ ＋ ｔａｎ π ４ ＝ － １２ ＋ １ ＝ １ ２ ． ４． － １　 原式＝ － ｃｏｓ α－ ｓｉｎ α·（－ ｔａｎ α） ＝ ｃｏｓ αｓｉｎ α ·－ ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ － １． ５．（１）原式＝ ｔａｎ（３６０° ＋ ４５°）－ ｓｉｎ（３６０° ＋ ９０°）＋ ｃｏｓ（２ × ３６０° ＋ ３０°）＝ ｔａｎ ４５° － ｓｉｎ ９０° ＋ ｃｏｓ ３０° ＝ １ － １ ＋槡３２ ＝槡 ３ ２ ． （２）ｓｉｎ ８１０° ＋ ｔａｎ ７６５° ＋ ｔａｎ １ １２５° － ｃｏｓ ３６０° ＝ ｓｉｎ（２ × ３６０° ＋ ９０°）＋ ｔａｎ（２ × ３６０° ＋ ４５°）＋ ｔａｎ（３ × ３６０° ＋ ４５°）－ ｃｏｓ（３６０° ＋ ０°） ＝ ｓｉｎ ９０° ＋ ｔａｎ ４５° ＋ ｔａｎ ４５° － ｃｏｓ ０° ＝ １ ＋ １ ＋ １ － １ ＝ ２． 第２课时　 诱导公式（二） 必备知识　 探新知 　 　 知识点２：ｃｏｓ α　 － ｓｉｎ α　 ｓｉｎ α　 － ｃｏｓ α　 － ｓｉｎ α － ｃｏｓ α 对应练习 １． Ｂ　 ｃｏｓ（４５０° ＋ θ）＝ ｃｏｓ（９０° ＋ θ）＝ － ｓｉｎ θ ＝ － １５ ． ２． ８９ 　 ｓｉｎ α － π( )２ ｃｏｓ ３π２ ＋( )α ｔａｎ（π － α） ＝ － ｃｏｓ αｓｉｎ α（－ ｔａｎ α）＝ ｓｉｎ２α ＝ １ － ｃｏｓ２α ＝ １ － ( )１３ ２ ＝ ８９ ． ３． ｔａｎ α　 ｃｏｓ（π ＋ α）ｃｏｓ π２ ＋( )α ｃｏｓ １１π２ －( )α ｃｏｓ（π － α）ｓｉｎ（－ π － α）ｓｉｎ ９π２ ＋( )α ＝ － ｃｏｓ α·（－ ｓｉｎ α）（－ ｓｉｎ α）－ ｃｏｓ αｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ ｔａｎ α． 关键能力　 攻重难 例１：（１）原式＝ － ｓｉｎ １ ９２０° ＝ － ｓｉｎ（３６０° × ５ ＋ １２０°） ＝ － ｓｉｎ（９０° ＋ ３０°）＝ － ｃｏｓ ３０° ＝ －槡３２ ． （２）原式＝ ｃｏｓ １ ５６０° ＝ ｃｏｓ（３６０° × ４ ＋ １２０°）＝ ｃｏｓ １２０° ＝ ｃｏｓ（９０° ＋ ３０°）＝ － ｓｉｎ ３０° ＝ － １２ ． （３）原式＝ － ｔａｎ １５π２ ＝ － ｔａｎ ８π － π( )２ ＝ ｔａｎ π２无意义． （４）原式＝ － ｔａｎ １７π６ ＝ － ｔａｎ ３π － π( )６ ＝ ｔａｎ π６ ＝槡３３ ． 对点训练１：（１）ｆ（α）＝ ｔａｎ（π －α）ｃｏｓ（２π －α）ｓｉｎ －α ＋３π( )２ ｃｏｓ（－α －π）ｔａｎ（－π －α） ＝ － ｔａｎ α·ｃｏｓ α·（－ ｃｏｓ α）－ ｃｏｓ α·（－ ｔａｎ α） ＝ ｃｏｓ α． （２）∵ α ＝ －１ ９２０°， ∴ ｆ（α）＝ ｃｏｓ（－１ ９２０°）＝ ｃｏｓ １ ９２０° ＝ ｃｏｓ（５ ×３６０° ＋１２０°） ＝ ｃｏｓ １２０° ＝ ｃｏｓ（１８０° －６０°）＝ － ｃｏｓ ６０° ＝ － １２ ． ∴ ｆ（α）＝ － １２ ． 例２：（１）∵ ｃｏｓ π２ ＋( )φ ＝ － ｓｉｎ φ ＝槡３２ ，∴ ｓｉｎ φ ＝ －槡３２ ． ∵ ｜φ ｜ ＜ π２ ，∴ φ ＝ － π ３ ， ∴ ｔａｎ φ ＝ ｔａｎ － π( )３ ＝ － ｔａｎ π３ 槡＝ － ３． （２）∵ π３ －( )α ＋ π６ ＋( )α ＝ π２ ， ∴ ｃｏｓ π６ ＋( )α ＝ ｃｏｓ π２ － π３ －( )[ ]α ＝ ｓｉｎ π３ －( )α ＝ １２ ． 对点训练２：ｓｉｎ π４ ＋( )α ＝ ｓｉｎ π２ － π４ －( )[ ]α ＝ ｃｏｓ π４ －( )α ＝槡３３ ， ｓｉｎ ３π４ －( )α ＝ ｓｉｎ π２ ＋ π４ －( )α ＝ ｃｏｓ π４ －( )α ＝槡３３ ． 例３：【证明】　 左边＝ －２ｃｏｓ θ·ｓｉｎ θ －１ ｃｏｓ２θ － ｓｉｎ２θ ＝ －（ｓｉｎ θ ＋ ｃｏｓ θ） ２ （ｃｏｓ θ － ｓｉｎ θ）（ｃｏｓ θ ＋ ｓｉｎ θ）＝ ｓｉｎ θ ＋ ｃｏｓ θ ｓｉｎ θ － ｃｏｓ θ ＝ ｔａｎ θ ＋１ｔａｎ θ －１ ＝ ｔａｎ（９π ＋ θ）＋１ｔａｎ（π ＋ θ）－１ ＝右边                                                                       ． —１４８— 对点训练３：【证明】　 左边＝ － ｓｉｎ（５π － θ）ｓｉｎ θｃｏｓ θｃｏｓ（π － θ）ｓｉｎ θ［－ ｓｉｎ（４π ＋ θ）］ ＝ － ｓｉｎ（π － θ）ｓｉｎ θｃｏｓ θ－ ｃｏｓ θｓｉｎ θ（－ ｓｉｎ θ）＝ － ｓｉｎ θ ｓｉｎ θ ＝ －１ ＝右边． 例４：（１）由ｆ（α）＝ ｓｉｎ α·（－ ｃｏｓ α） ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ － ｓｉｎ α·ｃｏｓ α， 所以ｆ π( )６ ＝ － ｓｉｎ π６ ｃｏｓ π６ ＝ －槡３４ ． （２）ｆ（α）＝ － ｓｉｎ α·ｃｏｓ α ＝ － ｓｉｎ α·ｃｏｓ α ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ － ｔａｎ α ｔａｎ２α ＋１ ＝ － ３１０ ． （３）由ｆ（α）＝ １２２５得，ｓｉｎ α·ｃｏｓ α ＝ － １２ ２５ ＜０， 又α∈（０，π），所以α∈ π２ ，( )π ，ｓｉｎ α － ｃｏｓ α ＞０， 又（ｓｉｎ α － ｃｏｓ α）２ ＝１ －２ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝１ ＋２ × １２２５ ＝ ４９ ２５， 所以ｓｉｎ α － ｃｏｓ α ＝ ７５ ． 对点训练４：（１）ｆ（α）＝ ｓｉｎ（π －α）ｃｏｓ（２π －α）ｓｉｎ －α ＋３π( )２ ｃｏｓ （－α －π）ｃｏｓ －α ＋７π( )２ ＝ ｓｉｎ α·ｃｏｓ α·（－ ｃｏｓ α）（－ ｃｏｓ α）·（－ ｓｉｎ α） ＝ － ｃｏｓ α． 即ｆ（α）＝ － ｃｏｓ α． （２）因为ｃｏｓ α －３π( )２ ＝ １５ ，所以－ ｓｉｎ α ＝ １５ ，即ｓｉｎ α ＝ － １５ ， 又因为α是第三象限角，所以ｃｏｓ α ＝ － １ － ｓｉｎ２槡 α ＝ － 槡２ ６５ ， 所以ｆ（α）＝ － ｃｏｓ α ＝ 槡２ ６５ ． （３）由ｆ（Ａ）＝ ３５ ，得－ ｃｏｓ Ａ ＝ ３ ５ ，所以ｃｏｓ Ａ ＝ － ３ ５ ，所以角Ａ是 钝角， ｓｉｎ Ａ ＝ １ － ｃｏｓ２槡 Ａ ＝ ４５ ，ｔａｎ Ａ ＝ ｓｉｎ Ａ ｃｏｓ Ａ ＝ － ４ ３ ， 所以ｔａｎ Ａ － ｓｉｎ Ａ ＝ － ４３ － ４ ５ ＝ － ３２ １５ ． 课堂检测　 固双基 １． Ｃ　 ｓｉｎ ９５° ＋ ｃｏｓ １７５° ＝ ｃｏｓ ５° － ｃｏｓ ５° ＝０，故选Ｃ． ２． Ｂ　 因为ｃｏｓ θ ＜０，ｓｉｎ θ ＞０，∴ θ是第二象限角． ３． Ｂ　 ∵ ｃｏｓ π２ ＋( )α ＝ － ３５ ， ∴ － ｓｉｎ α ＝ － ３５ ，∴ ｓｉｎ α ＝ ３ ５ ， 又α是第二象限角，∴ ｃｏｓ α ＝ － ４５ ， ∴ ｓｉｎ α －３π( )２ ＝ ｃｏｓ α ＝ － ４５ ． ４． － １３ 　 ∵ ｓｉｎ ３π ２ ＋( )θ －３ｃｏｓ θ － π( )２ ＝０， ∴ － ｃｏｓ θ －３ｃｏｓ π２ －( )θ ＝０， ∴ － ｃｏｓ θ －３ｓｉｎ θ ＝０， ∴ ｔａｎ θ ＝ － １３ ． ５．【证明】　 要证明ｓｉｎ（π － ｘ） １ ＋ ｓｉｎ ３π２ －( )ｘ ＝１ ＋ ｃｏｓ（２π － ｘ） ｃｏｓ ３π２ ＋( )ｘ ， 即证明ｓｉｎ ｘ１ － ｃｏｓ ｘ ＝ １ ＋ ｃｏｓ ｘ ｓｉｎ ｘ ， 即证明ｓｉｎ２ｘ ＝（１ － ｃｏｓ ｘ）（１ ＋ ｃｏｓ ｘ）（其中ｓｉｎ ｘ≠０，且ｃｏｓ ｘ≠１）， 即ｓｉｎ２ｘ ＝１ － ｃｏｓ２ｘ（其中ｓｉｎ ｘ≠０，且ｃｏｓ ｘ≠１），显然成立，因此要 证明的等式成立． ７．３　 三角函数的性质与图像 ７．３．１　 正弦函数的性质与图像 必备知识　 探新知 　 　 知识点１：唯一　 正弦ｓｉｎ ｘ 　 　 知识点２：１．非零　 每一个ｘ　 ｆ（ｘ ＋ Ｔ）＝ ｆ（ｘ）　 非零常数Ｔ　 ２．最小的正数 对应练习 １． Ｄ　 函数ｆ（ｘ）＝３ ＋ ｓｉｎ ｘ的最小正周期就是函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的最小 正周期２π． 　 　 知识点３：Ｒ　 ［－１，１］　 ｘ ＝ π２ ＋２ｋπ，ｋ∈Ｚ　 １　 ｘ ＝ ３π ２ ＋２ｋπ， ｋ∈Ｚ　 － １　 奇函数　 － π２ ＋２ｋπ， π ２ ＋２ｋ[ ]π （ｋ∈Ｚ） [　 π２ ＋ ２ｋπ，３π２ ＋２ｋ ]π （ｋ∈Ｚ）　 ｋπ，ｋ∈Ｚ 对应练习 ２． Ａ　 ∵ ｘ∈Ｒ，∴ ｓｉｎ ｘ∈［－ １，１］，∴当ｓｉｎ ｘ ＝ １时，ｙｍｉｎ ＝ － １；当 ｓｉｎ ｘ ＝ －１时，ｙｍａｘ ＝３．故选Ａ． ３．奇函数　 ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ（－ ｘ）＝ － ｓｉｎｘ，∴ ｆ（－ ｘ）＝ － ｓｉｎ（－ ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ ＝ － ｆ（ｘ），∴ ｆ（ｘ）为奇函数． 　 　 知识点４：（２）（０，０）， π２ ，( )１ ，（π，０），３π２ ，( )－１ ，（２π，０） 对应练习 ４． Ａ　 由五点法画函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈［０，２π］的图像可知，点 π ６ ，( )１２ 不是关键点． ５． Ｂ　 令２ｘ ＝０、π２ 、π、 ３π ２ 、２π，解得ｘ ＝０、 π ４ 、 π ２ 、 ３π ４ 、π． ６． Ｂ　 由正弦函数的图像可知，选项Ｂ正确． 关键能力　 攻重难 例１：（１）要使ｙ ＝ ２ｓｉｎ ｘ槡 ＋１有意义，需满足２ｓｉｎ ｘ ＋１≥０， 即ｓｉｎ ｘ≥ － １２ ， 可知定义域为ｘ ２ｋπ － π６ ≤ｘ≤２ｋπ ＋ ７π ６ ，ｋ∈{ }Ｚ ． （２）将函数配方得ｙ ＝２ ｓｉｎ ｘ ＋( )１２ ２ － ３２ ． ∵ －１≤ｓｉｎ ｘ≤１，当ｓｉｎ ｘ ＝ － １２时，ｙｍｉｎ ＝ － ３ ２ ； 当ｓｉｎ ｘ ＝１时，ｙｍａｘ ＝３． ∴函数的值域为－ ３２ ，[ ]３ ． 对点训练１：∵ －１≤ｓｉｎ ｘ≤１，∴ －２≤２ｓｉｎ ｘ≤２． ∴ ０≤２ｓｉｎ ｘ ＋２≤４，∴ ０≤ ２ｓｉｎ ｘ槡 ＋２≤２， ∴函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ ｘ槡 ＋２的值域为［０，２］． 例２：（１）ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ ｘ２ｓｉｎ ｘ． ∵ ｘ∈Ｒ，ｆ（－ ｘ）＝ ｓｉｎ（－ ２ｘ）＋（－ ｘ）２ｓｉｎ（－ ｘ）＝ － ｓｉｎ ２ｘ － ｘ２ｓｉｎ ｘ ＝ － ｆ（ｘ），∴ ｆ（ｘ）是奇函数． （２）在函数周期性的定义中，要求对定义域中的每一个ｘ值都 有ｆ（ｘ ＋Ｔ）＝ ｆ（ｘ）成立，对于个别的ｘ０，虽说满足ｆ（ｘ０ ＋ Ｔ）＝ ｆ（ｘ０），但不能说Ｔ是函数ｆ（ｘ）的周期．如ｓｉｎ ０ ＋ π( )２ ＝ ｓｉｎ π２ ＝ １，而ｓｉｎ ０ ＝ ０，故ｓｉｎ ０ ＋ π( )２ ≠ｓｉｎ ０                                                                      ， —１４９— 第２课时　 诱导公式（二） !"#$%&'( 对应学生用书学案Ｐ００１ 学习目标 核心素养 １．掌握诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧，能正确运用这些公式求 任意角的三角函数值． ２．能运用诱导公式进行简单的三角函数的化简与恒等 式的证明． 培养逻辑推理和数学运算素养． )*+,%-.+ 对应学生用书学案Ｐ００１ 知识点１　 角α与π２ － α的三角函数值之间的关系 　 　 ｓｉｎ π２ －( )α ＝ ｃｏｓ α ｃｏｓ π２ －( )α ＝ ｓｉｎ α 诱导公式⑤ 知识点２　 其他一些三角函数值之间的关系 　 　 ｓｉｎ π２ ＋( )α ＝ ｃｏｓ α　 ， ｃｏｓ π２ ＋( )α ＝ － ｓｉｎ α　 ． 诱导公式⑥　 　 　 　 　 ｃｏｓ ３π２ ＋( )α ＝ ｓｉｎ α　 ， ｓｉｎ ３π２ ＋( )α ＝ － ｃｏｓ α　 ． 诱导公式⑦ ｃｏｓ ３π２ －( )α ＝ － ｓｉｎ α　 ， ｓｉｎ ３π２ －( )α ＝ － ｃｏｓ α　 ． 诱导公式⑧ 　 　 提醒：１． ¸¹Ð™QêÞßàáB[8Å\)n （１） ~*ÀÁ ：π２ ± α%!‰（Š‰）~*Ÿ，ÿý;éŽ α%Š‰（!‰）~*Ÿ． （２）̂ _ ： ~*Ÿ¥O6hmè αªtÀ"A,~*Ÿ%^_． （３） S1 ： ä1ЙQêÞßàá ， ·ÅfØ!‰~*…Š‰~*%6W;é ． ２． ЙQê%(–ÓÔ Ð™QêJ ～ á·â㎠ｋ·π２ ±α%vê，·k¥ŽFä‡å~‡，̂ _ªÂ€G： （１） F‡G…F~‡G(°šWŠÍ€%~*-æ% ． （２） FäGFåG(šÐ™Qê ｋ·π２ ± αa%ž* ｋ.ç%． （３） F€G¡ ｋ·π２ ± αa，X αªtÀ"A，ｋ· π ２ ± αd=%€，bcFmÅ!，H!‰，”! ‹ ， )Š‰G%^_èéM],~*Ÿ%^_ ． $%! ●/012 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．已知ｓｉｎ θ ＝ １５，则ｃｏｓ（４５０° ＋ θ）的值是 （Ｂ ） Ａ． １５ 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． － １ ５ 　 　 　 　 　 　 　 Ｃ． － ２槡６ ５ 　 　 　 　 　 　 　 Ｄ． ２槡６ ５ ２．已知ｃｏｓ α ＝ １３，则ｓｉｎ α － π( )２ ·ｃｏｓ ３π２ ＋( )α ｔａｎ（π － α）＝ 　 　 　 　 ． ３．化简： ｃｏｓ（π ＋ α）ｃｏｓ π２ ＋( )α ｃｏｓ １１π２ －( )α ｃｏｓ（π － α）ｓｉｎ（－ π － α）ｓｉｎ ９π２ ＋( )α ＝ 　 　 　 　 ． 3456%789 对应学生用书学案Ｐ００１ ●:;<%M?opur 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．求下列各三角函数值： （１）ｓｉｎ（－ １ ９２０°）； （２）ｃｏｓ（－ １ ５６０°）； （３）ｔａｎ － １５π( )２ ； （４）ｔａｎ － １７π( )６ ． 【分析】　 应用诱导公式来化简求值． ［归纳提升］ 〉 /KL1 １．已知α是第三象限角，且ｆ（α）＝ ｔａｎ（π － α）ｃｏｓ（２π － α）ｓｉｎ － α ＋ ３π( )２ ｃｏｓ（－ α － π）ｔａｎ（－ π － α） ． （１）化简ｆ（α）； （２）若α ＝ － １ ９２０°，求ｆ（α）的值． 归纳提升： [8ëì "ÄX"ét ２ｋπ ± α， π ± α，π２ ± α»vêÄ 1ЙQêñ¹ ． [ 8~*¥{%^_mn oØ ． $%* ●:;C%“rur‹: ２．（１）已知ｃｏｓ π２ ＋( )φ ＝槡３２ ，且｜φ ｜ ＜ π２，求ｔａｎ φ； （２）已知ｓｉｎ π３ －( )α ＝ １２，求ｃｏｓ π６ ＋( )α ． 【分析】　 （１）由ｃｏｓ π２ ＋( )φ ＝ － ｓｉｎ φ可求ｓｉｎ φ，再求ｔａｎ φ．（２）注意 到π３ － α与 π ６ ＋ α互余，因此ｃｏｓ π ６ ＋( )α ＝ ｓｉｎ π３ －( )α ． ［归纳提升］ 〉 /KL1 ２．已知ｃｏｓ π４ －( )α ＝槡３３ ，求ｓｉｎ π４ ＋( )α ，ｓｉｎ ３π４ －( )α ． ３．求证： ２ｓｉｎ θ － ３π( )２ ｃｏｓ θ ＋ π( )２ － １ １ － ２ｓｉｎ２θ ＝ ｔａｎ（９π ＋ θ）＋ １ｔａｎ（π ＋ θ）－ １ ． ［归纳提升］ 归纳提升：求解给值求 值问题应注意两点： m(B1ЙQêé5 rôê/êñê ； H(Ý*rôa%"/ Za%"%̀ ， ‰ π ３ － α … π ６ ＋ α， π ３ ＋ α … π ６ － α， π ４ － α… π ４ ＋ α »WŠ，π３ ＋ θ … ２π ３ － θ，π４ ＋ θ … ３π ４ － θ » Wë ， ìº}®Ð™Q ê`a;² ． 归纳提升：证明三角恒 等式的常用方法和 技巧： （１） NÕ ： ”"~*ê ×L%ÍÎ(DE~* ÀÁ…´%̀/"… ´%̀ ， c¦ËÌB 16Í%QêՇv ， ¹rsã ． （２） ÒÓ ： JÖÀé£ À ； PÖ"é£" ； S‹ é‰ ． $%+ 〉 /KL1 ３．求证： ｓｉｎ（θ － ５π）ｃｏｓ π２ －( )θ ｓｉｎ π２ ＋( )θ ｃｏｓ（３π － θ）ｃｏｓ ３π２ ＋( )θ ｓｉｎ （－ ４π － θ） ＝ － １． ●:;R%”•–ˆ@—˜0e ４．已知ｆ（α）＝ ｓｉｎ （３π － α）ｃｏｓ（５π ＋ α） ｃｏｓ２ ３π２ －( )α ＋ ｓｉｎ２ π２ ＋( )α ． （１）化简ｆ（α），并求ｆ π( )６ 的值； （２）若ｔａｎ α ＝ ３，求ｆ（α）的值； （３）若ｆ（α）＝ １２２５，α∈（０，π），求ｓｉｎ α － ｃｏｓ α的值． ［归纳提升］ 〉 /KL1 ４．（２０２４·沈阳高一检测）已知ｆ（α）＝ ｓｉｎ（π －α）ｃｏｓ（２π －α）ｓｉｎ －α ＋３π( )２ ｃｏｓ（－α －π）ｃｏｓ －α ＋７π( )２ ． （１）化简ｆ（α）； （２）若α是第三象限角，且ｃｏｓ α － ３π( )２ ＝ １５，求ｆ（α）； （３）若角Ａ是△ＡＢＣ的内角，且ｆ（Ａ）＝ ３５，求ｔａｎ Ａ － ｓｉｎ Ａ的值． 归纳提升：诱导公式与 三角函数综合问题的求 解策略 ¹r¦+sã ， ·ù1 ЙQêé5‡v ， X ”"~*%"@Jm{ 1£"”"~*̀ ê ， <Ù·íîQê_ Øo1-™šEï ． $&$ WXYZ%[\] 对应学生用书学案Ｐ００３ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１． ｓｉｎ ９５° ＋ ｃｏｓ １７５°的值为 （Ｃ ） Ａ． ｓｉｎ ５° Ｂ． ｃｏｓ ５° Ｃ． ０ Ｄ． ２ｓｉｎ ５° ２．若ｓｉｎ π２ ＋( )θ ＜ ０，且ｃｏｓ π２ －( )θ ＞ ０，则θ是 （Ｂ ） Ａ．第一象限角 Ｂ．第二象限角 Ｃ．第三象限角 Ｄ．第四象限角 ３．已知ｃｏｓ π２ ＋( )α ＝ － ３５，且α是第二象限角， 则ｓｉｎ α － ３π( )２ 的结果是 （Ｂ ） Ａ． ４５ Ｂ． － ４ ５ Ｃ． ± ４５ Ｄ． ３ ５ ４．已知ｓｉｎ ３π２ ＋( )θ － ３ｃｏｓ θ － π( )２ ＝ ０，则ｔａｎ θ ＝ 　 　 　 　 ． ５．求证： ｓｉｎ（π － ｘ） １ ＋ ｓｉｎ ３π２ －( )ｘ ＝ １ ＋ ｃｏｓ（２π － ｘ） ｃｏｓ ３π２ ＋( )ｘ ． 请同学们认真完成练案［７                    ］ !"& 三角函数的性质与图像 ７． ３． １　 正弦函数的性质与图像 !"#$%&'( 对应学生用书学案Ｐ００１ 学习目标 核心素养 １．理解正弦函数的性质，会求正弦函数的定义域、值 域、最小正周期、奇偶性、单调区间及函数的零点． ２．能正确使用“五点法”作出正弦函数的图像． 培养数学抽象、数学运算、逻辑推理、直 观想象等数学核心素养． )*+,%-.+ 对应学生用书学案Ｐ００１ 知识点１　 正弦函数 　 　 对于任意一个角ｘ，都有唯一　 确定的正弦ｓｉｎ ｘ　 与之对应，因此ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ是一个函数，一般称为正弦函数． 知识点２　 周期函数 　 　 １．一般地，对于函数ｆ（ｘ），如果存在一个非零　 常数Ｔ，使得对定义域 内的每一个ｘ　 ，都满足ｆ（ｘ ＋ Ｔ）＝ ｆ（ｘ）　 ． 那么就称函数ｆ（ｘ）为周期函数，非零常数Ｔ　 称为这个函数的周期． ２．如果函数ｆ（ｘ）的所有周期中存在一个最小的正数　 ，那么这个最 小的正数称为ｆ（ｘ）的最小正周期． ［思考１］ 　 　 提醒：求函数的最小正周期的常用方法 （１） ]9Õ ： ëìoÑð ， 1]9.ñ× ； ÷\~*d45%ó¯ ™òyoo ｆ（ｘ ＋ Ｔ）＝ ｆ（ｘ） t†% Ｔ． （２） uóÕ ： So ｙ ＝ ｆ（ｘ） %uó ， ëìuó·ño Ｔ， ‰ ｙ ＝ ｜ ｓｉｎ ｘ ｜ ． 思考１：对非零常数Ｔ， 若存在ｘ０，使ｆ（ｘ０ ＋ Ｔ） ＝ ｆ（ｘ），那么Ｔ是函数 的周期吗？为什么？ 提示： ~( ， FGš]9 .2%›mŸt† ． $&#