7.2.3 同角三角函数的基本关系式(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

〉 /KL1 ４．已知α是锐角，求证：１ ＜ ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＜ π２ ． WXYZ%[\] 对应学生用书学案Ｐ００３ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．下列四个命题：①α一定时，单位圆中的正弦 线一定；②单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α和α ＋ π有相同的正切线；④具有相同正 切线的两个角终边在同一直线上．其中不正确 的有 （Ｂ ） Ａ． ０个Ｂ． １个 Ｃ． ２个 Ｄ． ３个 ２．如图所示，在单位圆中角α的正弦线，正切线 分别是 （Ｃ ） Ａ． →ＰＭ， →Ａ′Ｔ′ Ｂ． →ＭＰ， →Ａ′Ｔ′ Ｃ． →ＭＰ，→ＡＴ Ｄ． →ＰＭ，→ＡＴ ３．角π５和角 ６π ５有相同的 （Ｃ ） Ａ．正弦线 Ｂ．余弦线 Ｃ．正切线 Ｄ．不能确定 ４．已知角α的余弦线的长度为１，则角α的终边 在 （Ａ ） Ａ． ｘ轴上 Ｂ． ｙ轴上 Ｃ． ｘ轴的正半轴上 Ｄ． ｙ轴的正半轴上 ５．如果π４ ＜ α ＜ π ２，那么下列不等式成立的是 （　 　 ） Ａ． ｓｉｎ α ＜ ｃｏｓ α ＜ ｔａｎ α Ｂ． ｔａｎ α ＜ ｓｉｎ α ＜ ｃｏｓ α Ｃ． ｃｏｓ α ＜ ｓｉｎ α ＜ ｔａｎ α Ｄ． ｃｏｓ α ＜ ｔａｎ α ＜ ｓｉｎ α 请同学们认真完成练案［４                            ］ ７． ２． ３　 同角三角函数的基本关系式 !"#$%&'( 对应学生用书学案Ｐ００１ 学习目标 核心素养 １．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及 应用． ２．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值 与恒等式证明． 培养逻辑推理、数学运算素养． $#* )*+,%-.+ 对应学生用书学案Ｐ００１ 知识点１　 同角三角函数的基本关系式 　 　 １．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于１　 　 　 ，即ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １　 　 　 ． ２．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切　 ，即 ｓｉｎ α ｃｏｓ α ＝ ｔａｎ α　 ． ［思考］ ●/012 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 １．已知ｓｉｎ α ＝ ７８，ｃｏｓ α ＝ 槡１５ ８ ，则ｔａｎ α等于 （Ｄ ） Ａ． ７８ Ｂ． 槡１５ ８ Ｃ． 槡１５ ７ Ｄ． ７槡１５ １５ ２．若ｓｉｎ α ＝ － ５１３，且α为第四象限角，则ｔａｎ α的值等于 （Ｄ ） Ａ． １２５ 　 Ｂ． － １２ ５ Ｃ． ５ １２ Ｄ． － ５ １２ 知识点２　 同角三角函数基本关系式的变形 　 　 １． ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １的变形公式 ｓｉｎ２α ＝ １ － ｃｏｓ２α　 ；ｃｏｓ２α ＝ １ － ｓｉｎ２α　 ． ２． ｔａｎ α ＝ ｓｉｎ αｃｏｓ α 的变形公式 ｓｉｎ α ＝ ｃｏｓ αｔａｎ α　 ；ｃｏｓ α ＝ 　 　 　 　 ． 　 　 提醒： [8°± ｓｉｎ θ ± ｃｏｓ θ… ｓｉｎ θｃｏｓ θ…´%;² （１）（ｓｉｎ θ ＋ ｃｏｓ θ）２ ＝ １ ＋ ２ｓｉｎ θｃｏｓ θ； （２）（ｓｉｎ θ － ｃｏｓ θ）２ ＝ １ － ２ｓｉｎ θｃｏｓ θ； （３）（ｓｉｎ θ ＋ ｃｏｓ θ）２ ＋（ｓｉｎ θ － ｃｏｓ θ）２ ＝ ２； （４）（ｓｉｎ θ － ｃｏｓ θ）２ ＝（ｓｉｎ θ ＋ ｃｏｓ θ）２ － ４ｓｉｎ θｃｏｓ θ． ●/012 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　３．已知α为第三象限角，且ｃｏｓ α ＝ － ５１３，则ｔａｎ α的值为 （　 　 ） Ａ． － １２１３ Ｂ． １２ ５ Ｃ． － １２ ５ Ｄ． １２ １３ ４．若ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝槡５５ ，α∈（０，π），则ｓｉｎ α － ｃｏｓ α ＝ 　 　 　 　 ． 思考：（１）“同角”一词 的含义是什么？ （２）两个公式成立的条 件分别是什么？ 提示：（１） m(F"6 £G ， ‰ ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２β ＝ １  ~m]t† ． H( š8m" （ =o7 ~* 5 8 9 % ¥ Þ \ ）， ̀ê>t† ， Ý …"%2³êvê¼ Í ， ‰ ｓｉｎ２１５° ＋ ｃｏｓ２１５° ＝ １，ｓｉｎ２ （α ＋ β） ＋ ｃｏｓ２（α ＋ β）＝ １ »． （２） ÐǸš α∈ Ｒ >t† ；́ *̀a Qêt†%rô Ž ： α≠ｋπ ＋ π２ ，ｋ∈Ｚ． 3456%789 对应学生用书学案Ｐ００１ ●:;<%uM?op@r １．（２０２３·枣庄高一检测）根据下列条件，求三角函数值． （１）已知ｓｉｎ α ＝ ３５，且α为第二象限角，求ｃｏｓ α，ｔａｎ α的值； $#+ 　 　 （２）已知ｔａｎ α ＝ － ５１２，求ｓｉｎ α，ｃｏｓ α的值． ［归纳提升］ 〉 /KL1 １．已知角α的终边与单位圆交于点Ｐ，且点Ｐ位于第四象限，点Ｐ到ｙ轴 的距离为３５，则ｓｉｎ α － ｃｏｓ α ＝ （　 　 ） Ａ． １５ Ｂ． ７ ５ Ｃ． － １ ５ Ｄ． － ７ ５ ２．（２０２３·全国乙卷）若θ∈ ０，π( )２ ，ｔａｎ θ ＝ １２，则ｓｉｎ θ － ｃｏｓ θ ＝ 　 　 　 　 ． ●:;C%cŒur ２．已知ｔａｎ α ＝ ２，求下列各式的值： （１）ｓｉｎ αｃｏｓ α； （２）２ｓｉｎ２α － ３２ ｓｉｎ αｃｏｓ α － ｃｏｓ ２α； （３）３ｓｉｎ α － ｃｏｓ αｃｏｓ α ＋ ｓｉｎ α ． 【分析】　 由于已知条件为切，所求式为弦，故应想办法将切化弦，或 将弦化切（这是一种分析综合的思想）．若切化弦，应把条件ｔａｎ α ＝ ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝２代入所求式，消去其中一种函数名，再进一步求值；若弦化切，应把所 求式化成用ｔａｎ α表示的式子，一般来说，关于ｓｉｎ α和ｃｏｓ α的齐次式都可 化为以ｔａｎ α表示的式子． ［归纳提升］ 归纳提升：利用同角三 角函数的基本关系解决 给值求值问题的方法 （１） ö÷" α %ómÔ ”"~*Ÿ ， ñ" α % øŠ”"~*Ÿ ， K[ 8Qê%ˆ¸}µ ， m ¢(ù}1ÐǸ ， 1´*̀ ； （２） K" α d=%€ ö¶M] ， ñ·qԔ "~*ŸA ， Ú5ms ZŠ ； K" α d=% €~M] ， Bÿ+œ ， m¢5qsZŠ ． 归纳提升：１． Kö÷ ｔａｎ α ＝ ｍ， ñ v ‰ ａｓｉｎ α ＋ ｂｃｏｓ α ｃｓｉｎ α ＋ ｄｃｏｓ α Ç ａｓｉｎ２α ＋ ｂｃｏｓ２α ｃｓｉｎ２α ＋ ｄｃｏｓ２( )α % ŸÄøNÕ(XÿD# ÿ¤£æÅ ｃｏｓ αíÇ ｃｏｓ２α）;éŽ ｔａｎ α % y*êÄñŸÄ‰Š ùño ｓｉｎ α / ｃｏｓ α %Ÿy'ȍ¸¹ <º»QÄsã%¹r  º‡7¼½ ． ２． v‰ ａｓｉｎ２α ＋ ｂｓｉｎ α ｃｏｓ α ＋ ｃｃｏｓ２α tÊè ÿ¤ªS １ ÄM{1 ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α y²Äÿ D#ÿ¤£æÅ ｃｏｓ２α ñ¹ ． $%$ 〉 /KL1 ３．已知ｔａｎ α ＝ － １２，求下列各式的值： （１）ｓｉｎ α ＋ ２ｃｏｓ α； （２）ｓｉｎ ２α － ｓｉｎ αｃｏｓ α － ３ｃｏｓ２α ５ｓｉｎ αｃｏｓ α ＋ ｓｉｎ２α ＋ １ ； （３）２ｓｉｎ２α － ｓｉｎ αｃｏｓ α ＋ ｃｏｓ２α． ●:;M%M?opˆ@c} ３．化简：（１） ｓｉｎ α１ ＋ ｓｉｎ α － ｓｉｎ α １ － ｓｉｎ α ； （２）槡１ ＋ ２ｓｉｎ １０°ｃｏｓ １０° ｃｏｓ １０° ＋ １ － ｃｏｓ２槡 １０° ； （３）ｓｉｎ２ αｔａｎ α ＋ ｃｏｓ ２α ｔａｎ α ＋ ２ｓｉｎ αｃｏｓ α． ［归纳提升］ 〉 /KL1 ４．（１）若ｓｉｎ α·ｔａｎ α ＜ ０，化简１ － ｓｉｎ α１ ＋ ｓｉｎ槡 α ＋ １ ＋ ｓｉｎ α１ － ｓｉｎ槡 α； （２）１ － ｃｏｓ ４α － ｓｉｎ４α １ － ｃｏｓ６α － ｓｉｎ６α ． 归纳提升：三角函数式 的化简技巧 （１） 鋎‰ÄÝè! ‹~*>éŽ!#Š‰ ~*Ä)-¾¿~*À Áij+鼎5% ­% ． （２） š–5b_%Ä Êèb_ÂO%Ãÿé tÄÅÐNêÄM{; b_³+é5%­% ． （３） šé5–`x% ”"~*êÄÆÆ«¬ „êÿ¹ÄÇûÇ ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １，ÅÈ É~*x*ij+é5 %­% ． $%# ●:;R%M?‡ˆ@‰Š ４．求证：（１）ｓｉｎ α － ｃｏｓ α ＋ １ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α － １ ＝ １ ＋ ｓｉｎ α ｃｏｓ α ； （２）２（ｓｉｎ６θ ＋ ｃｏｓ６θ）－ ３（ｓｉｎ４θ ＋ ｃｏｓ４θ）＋ １ ＝ ０． 【分析】　 可以由左边推证右边，对于（１），也可以利用作差法，证明的 关键之一是“１”的代换． 〉 /KL1 ５．求证：１ ＋ ２ｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ ｃｏｓ２ｘ － ｓｉｎ２ｘ ＝ １ ＋ ｔａｎ ｘ１ － ｔａｎ ｘ． ●:;Ž%ｓｉｎ θ ± ｃｏｓ θ，ｓｉｎ θ·ｃｏｓ θM@3H'‘{|@’e ５．已知ｓｉｎ θ ＋ ｃｏｓ θ ＝ １５，θ∈（０，π），求ｓｉｎ θ － ｃｏｓ θ，ｔａｎ θ，ｓｉｎ ３θ ＋ ｃｏｓ３θ的值． ［归纳提升］ 〉 /KL1 ６．已知ｓｉｎ θ、ｃｏｓ θ是方程４ｘ２ － ４ｍｘ ＋ ２ｍ － １ ＝ ０的两个根，３π２ ＜ θ ＜ ２π，求 角θ． 归纳提升： =¹”"~ *sãAK[8ã­a %ʖrôħã ( Ë̸1qÐNÍ€Ä Í N { ñ o ｓｉｎ θ， ｃｏｓ θ，osã7¹． $%% WXYZ%[\] 对应学生用书学案Ｐ００３ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．设θ∈ ０，π( )２ ，若ｓｉｎ θ ＝ １３，则ｃｏｓ θ ＝ （Ｄ ） Ａ．槡２３ 　 　 　 Ｂ． ２ ３ 　 　 　 Ｃ． 槡６ ３ 　 　 　 Ｄ． ２槡２ ３ ２．已知ｃｏｓ α － ｓｉｎ α ＝ － １２，则ｓｉｎ αｃｏｓ α的值为 （Ａ ） Ａ． ３８ Ｂ． ± ３ ８ Ｃ． ３ ４ Ｄ． ± ３ ４ ３．已知ｔａｎ α ＝ － ４３，则 ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ｓｉｎ α － ｃｏｓ α 等于（Ａ ） Ａ． １７ Ｂ． － １ ７ Ｃ． － ７ Ｄ． ７ ４．已知ｔａｎ α ＝ － １２， π ２ ＜α ＜π，则ｓｉｎ α ＝ 　 　 　 　 ． ５．求证：ｓｉｎ θ（１ ＋ ｔａｎ θ）＋ ｃｏｓ θ·１ ＋ １ｔａｎ( )θ ＝ １ ｓｉｎ θ ＋ １ｃｏｓ θ ． 请同学们认真完成练案［５                         ］ ７． ２． ４　 诱导公式 第１课时　 诱导公式（一） !"#$%&'( 对应学生用书学案Ｐ００１ 学习目标 核心素养 １．掌握诱导公式①、②、③、④，并会用公式求任意角的 三角函数值． ２．会用诱导公式①、②、③、④进行简单的三角求值、化 简与恒等式的证明． 培养直观想象、逻辑推理、数学运算 素养． )*+,%-.+ 对应学生用书学案Ｐ００１ 知识点１　 角α与α ＋ ｋ·２π（ｋ∈Ｚ）的三角函数值之间的关系 ｃｏｓ（α ＋ ｋ·２π）＝ ｃｏｓ α　 （ｋ∈Ｚ）， ｓｉｎ（α ＋ ｋ·２π）＝ ｓｉｎ α　 （ｋ∈Ｚ）， ｔａｎ（α ＋ ｋ·２π）＝ ｔａｎ α　 （ｋ∈Ｚ）． 诱导公式① 知识点２　 角的旋转对称 　 　 角α的终边与角β的终边关于角　 　 　 　 的终边所在的直线对称． $%& （２）作直线ｘ ＝ － １２ ，交单位圆于Ｃ，Ｄ两点，连接ＯＣ与 ＯＤ，则ＯＣ与ＯＤ围成的区域（图（２）中的阴影部分）即为 角α 的终边的范围． 故满足条件的角α 的集合 为α ２ｋπ ＋ ２π３ ≤α≤２ｋπ ＋ ４π ３ ，ｋ∈{ }Ｚ ． 对点训练３：如图，作直线ｘ ＝ － １２ ，ｘ ＝ 槡３ ２与单位圆相交． 则图中阴影部分就是满足条件的角 α的取值范围，即２ｋπ － ２π３ ≤α ＜ ２ｋπ － π６或２ｋπ ＋ π ６ ＜ α≤２ｋπ ＋ ２π ３ （ｋ∈Ｚ）． 例４：【证明】　 如图所示，设角α 的终边交单位圆于Ｐ，过点Ｐ 作ＰＭ垂直于ｘ轴，垂足为 Ｍ．过点Ａ（１，０）作单位圆的 切线交ＯＰ于点Ｔ，连接ＰＡ， 则ｓｉｎ α ＝ ｜ →ＭＰ ｜，ｔａｎ α ＝ ｜→ＡＴ ｜， ∵ Ｓ△ＯＡＰ ＜ Ｓ扇形ＯＡＰ ＜ Ｓ△ＯＡＴ， ∴ １２ ｜ ＯＡ ｜·｜ ＭＰ ｜ ＜ １ ２ α ｜ＯＡ ｜ ２ ＜ １２ ｜ＯＡ ｜·｜ＡＴ ｜ ． 又｜ＯＡ ｜ ＝ １，∴ ｜ＭＰ ｜ ＜ α ＜ ｜ＡＴ ｜，即ＭＰ ＜ α ＜ ＡＴ． ∴ ｓｉｎ α ＜ α ＜ ｔａｎ α． 对点训练４：【证明】　 设角α的终边与单位圆交于Ｐ（ｘ，ｙ），过Ｐ 作ＰＱ⊥ＯＡ，ＰＲ⊥ＯＢ，Ｑ、Ｒ为垂足，连接ＰＡ、ＰＢ，如图所示． ∵ ｜ ＰＱ ｜ ＝ ｙ ＝ ｓｉｎ α，｜ ＯＱ ｜ ＝ ｘ ＝ ｃｏｓ α， 又∵ 在△ＯＰＱ中，｜ ＱＰ ｜ ＋ ｜ＯＱ ｜ ＞ ｜ＯＰ ｜， ∴ ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＞ １． ∴ Ｓ△ＯＡＰ ＝ １ ２ ｜ＯＡ ｜·｜ＱＰ ｜ ＝ １ ２ ｙ ＝ １ ２ ｓｉｎ α， Ｓ△ＯＢＰ ＝ １ ２ ｜ＯＢ ｜·｜ＲＰ ｜ ＝ １ ２ ｘ ＝ １ ２ ｃｏｓ α， Ｓ扇形ＯＡＢ ＝ π ４ × １ ２ ＝ π４ ． 又∵ Ｓ△ＯＡＰ ＋ Ｓ△ＯＢＰ ＜ Ｓ扇形ＯＡＢ， ∴ １２ ｓｉｎ α ＋ １ ２ ｃｏｓ α ＜ π ４ ，即ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＜ π ２ ． 综上可知１ ＜ ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＜ π２ ． 课堂检测　 固双基 １． Ｂ　 ②有相同正弦线说明角的终边相同，但角不一定相等，所 以②错，①③④均正确． ２． Ｃ　 α为第三象限角，故正弦线为→ＭＰ，正切线为→ＡＴ，故选Ｃ． ３． Ｃ　 π５与 ６π ５的终边互为反向延长线， 故它们有相同的正切线． ４． Ａ　 ∵角α的余弦线的长度为１，∴角α的余弦线的数量为 ± １，∴角α的终边在ｘ轴的正半轴上或负半轴上，故选Ａ． ５． Ｃ　 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线→ＭＰ，余弦线 →ＯＭ，正切线→ＡＴ，很容易地观察出｜ →ＯＭ ｜ ＜ ｜→ＭＰ ｜ ＜ ｜→ＡＴ ｜，即ｃｏｓ α ＜ ｓｉｎ α ＜ ｔａｎ α． ７． ２． ３　 同角三角函数的基本关系式 必备知识　 探新知 　 　 知识点１：１． １　 １　 ２．正切　 ｔａｎ α 对应练习 １． Ｄ　 因为ｔａｎ α ＝ ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ ７ ８ 槡１５ ８ ＝ 槡７ １５１５ ．故选Ｄ． ２． Ｄ　 因为ｓｉｎ α ＝ － ５１３，且α为第四象限角， 所以ｃｏｓ α ＝ １２１３，所以ｔａｎ α ＝ － ５ １２，故选Ｄ． 　 　 知识点２：１． １ － ｃｏｓ２α　 １ － ｓｉｎ２α　 ２． ｃｏｓ αｔａｎ α　 ｓｉｎ αｔａｎ α 对应练习 ３． Ｂ　 因为α为第三象限角，且ｃｏｓ α ＝ － ５１３， 所以ｓｉｎ α ＝ － １ － ｃｏｓ２槡 α ＝ － １２１３，故ｔａｎ α ＝ ｓｉｎ α ｃｏｓ α ＝ － １２１３ － ５１３ ＝ １２５ ． ４． 槡３ ５５ 　 ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝槡 ５ ５ ，故（ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α） ２ ＝ １ ＋ ２ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ １５ ，故ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ － ２ ５ ， 因为α∈（０，π），故ｓｉｎ α ＞ ０，ｃｏｓ α ＜ ０，ｓｉｎ α － ｃｏｓ α ＞ ０， （ｓｉｎ α － ｃｏｓ α）２ ＝ １ － ２ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ ９５ ，故ｓｉｎ α － ｃｏｓ α ＝ 槡 ３ ５ ５ ． 关键能力　 攻重难 例１：（１）因为ｓｉｎ α ＝ ３５ ，且ｓｉｎ ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １， 所以ｃｏｓ２α ＝ １ － ｓｉｎ２α ＝ １６２５， 又α为第二象限角，则ｃｏｓ α ＝ － ４５ ，ｔａｎ α ＝ ｓｉｎ α ｃｏｓ α ＝ － ３４ ． （２）因为ｔａｎ α ＝ － ５１２，所以ｓｉｎ α ＝ － ５ １２ ｃｏｓ α，且α是第 二、四象限角； 联立ｓｉｎ α ＝ － ５ １２ ｃｏｓ α， ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １{ ，得ｃｏｓ２α ＝ １４４１６９， 当α是第二象限角时，ｃｏｓ α ＝ － １２１３，ｓｉｎ α ＝ － ５ １２ ｃｏｓ α ＝ ５１３； 当α是第四象限角时，ｃｏｓ α ＝ １２１３，ｓｉｎ α ＝ － ５ １２ ｃｏｓ α ＝ － ５ １３； 所以ｃｏｓ α ＝ － １２１３，ｓｉｎ α ＝ ５ １３或ｃｏｓ α ＝ １２ １３，ｓｉｎ α ＝ － ５ １３ ． 对点训练１：Ｄ　 因为点Ｐ位于第四象限，由题意可得ｃｏｓ α ＝ ３５                                                                       ， —１４５— 所以ｓｉｎ α ＝ － １ － ｃｏｓ２槡 α ＝ － ４５ ，因此，ｓｉｎ α － ｃｏｓ α ＝ － ４ ５ － ３ ５ ＝ － ７ ５ ． 对点训练２：－槡５５ 　 因为θ∈ ０， π( )２ ，则ｓｉｎ θ ＞ ０，ｃｏｓ θ ＞ ０， 又因为ｔａｎ θ ＝ ｓｉｎ θｃｏｓ θ ＝ １ ２ ，则ｃｏｓ θ ＝ ２ｓｉｎ θ，且ｃｏｓ ２θ ＋ ｓｉｎ２θ ＝ ４ｓｉｎ２θ ＋ ｓｉｎ２θ ＝５ｓｉｎ２θ ＝１，解得ｓｉｎ θ ＝槡５５或ｓｉｎ θ ＝ －槡 ５ ５ （舍去）， 所以ｓｉｎ θ － ｃｏｓ θ ＝ ｓｉｎ θ － ２ｓｉｎ θ ＝ － ｓｉｎ θ ＝ －槡５５ ． 例２：（１）ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ ｓｉｎ αｃｏｓ α ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ ｔａｎ α ｔａｎ２α ＋ １ ＝ ２５ ． （２）２ｓｉｎ２α － ３２ ｓｉｎ αｃｏｓ α － ｃｏｓ ２ α ＝ ２ｓｉｎ２α － ３２ ｓｉｎ αｃｏｓ α － ｃｏｓ ２α ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ ２ｔａｎ２α － ３２ ｔａｎ α － １ ｔａｎ２α ＋ １ ＝ ２ × ４ － ３２ × ２ － １ ４ ＋ １ ＝ ４ ５ ． （３）方法一：∵ ｔａｎ α ＝ ２，∴ ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ ２，∴ ｓｉｎ α ＝ ２ｃｏｓ α， ∴ ３ｓｉｎ α － ｃｏｓ αｃｏｓ α ＋ ｓｉｎ α ＝ ６ｃｏｓ α － ｃｏｓ αｃｏｓ α ＋ ２ｃｏｓ α ＝ ５３ ． 方法二：３ｓｉｎ α － ｃｏｓ αｃｏｓ α ＋ ｓｉｎ α ＝ ３ｔａｎ α － １ １ ＋ ｔａｎ α ＝ ６ － １３ ＝ ５ ３ ． 对点训练３：（１）ｔａｎ α ＝ ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ － １ ２ ，∴ ｃｏｓ α ＝ － ２ｓｉｎ α． 又ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １，∴ ｓｉｎ２α ＋ ４ｓｉｎ２α ＝ １， ∴ ｓｉｎ２α ＝ １５ ，∴ ｓｉｎ α ＝ ±槡 ５ ５ ． 当α为第二象限角时，ｓｉｎ α ＝ －槡５５ ，ｃｏｓ α ＝ 槡 ２ ５ ５ ， ｓｉｎ α ＋ ２ｃｏｓ α ＝ － 槡３ ５５ ， 当α为第四象限角时，ｓｉｎ α ＝ －槡５５ ，ｃｏｓ α ＝ 槡 ２ ５ ５ ， ｓｉｎ α ＋ ２ｃｏｓ α ＝ 槡３ ５５ ． （２）ｓｉｎ ２α － ｓｉｎ αｃｏｓ α － ３ｃｏｓ２α ５ｓｉｎ αｃｏｓ α ＋ ｓｉｎ２α ＋ １ ＝ ｓｉｎ ２α － ｓｉｎ αｃｏｓ α － ３ｃｏｓ２α ５ｓｉｎ αｃｏｓ α ＋ ２ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ ｔａｎ ２α － ｔａｎ α － ３ ２ｔａｎ２α ＋ ５ｔａｎ α ＋ １ ＝ －( )１２ ２ － －( )１２ － ３ ２ －( )１２ ２ ＋ ５ －( )１２ ＋ １ ＝ ９４ ． （３）２ｓｉｎ２α － ｓｉｎ αｃｏｓ α ＋ ｃｏｓ２α ＝ ２ｓｉｎ ２α － ｓｉｎ αｃｏｓ α ＋ ｃｏｓ２α ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ ２ｔａｎ ２α － ｔａｎ α ＋ １ ｔａｎ２α ＋ １ ＝ ８５ ． 例３：（１） ｓｉｎ α１ ＋ ｓｉｎ α － ｓｉｎ α １ － ｓｉｎ α ＝ ｓｉｎ α（１ － ｓｉｎ α）－ ｓｉｎ α（１ ＋ ｓｉｎ α）（１ ＋ ｓｉｎ α）（１ － ｓｉｎ α） ＝ － ２ｓｉｎ ２α １ － ｓｉｎ２α ＝ － ２ｓｉｎ ２α ｃｏｓ２α ＝ － ２ｔａｎ２α． （２）槡１ ＋ ２ｓｉｎ １０°ｃｏｓ １０° ｃｏｓ １０° ＋ １ － ｃｏｓ２槡 １０° ＝ （ｃｏｓ １０° ＋ ｓｉｎ １０°）槡 ２ｃｏｓ １０° ＋ ｓｉｎ １０° ＝ ｜ ｃｏｓ １０° ＋ ｓｉｎ １０° ｜ｃｏｓ １０° ＋ ｓｉｎ １０° ＝ １． （３）原式＝ ｓｉｎ２α·ｓｉｎ αｃｏｓ α ＋ ｃｏｓ ２α·ｃｏｓ αｓｉｎ α ＋２ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ ｓｉｎ ４α ＋ ｃｏｓ４α ＋ ２ｓｉｎ２αｃｏｓ２α ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝（ｓｉｎ ２α ＋ ｃｏｓ２α）２ ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ １ｓｉｎ αｃｏｓ α ． 对点训练４：（１）∵ ｓｉｎ α·ｔａｎ α ＜ ０，∴ ｃｏｓ α ＜ ０． 原式＝ （１－ｓｉｎ α）（１＋ｓｉｎ α）（１＋ｓｉｎ α）槡 ２ ＋ （１＋ｓｉｎ α）（１－ｓｉｎ α）（１－ｓｉｎ α）槡 ２ ＝ ｜ ｃｏｓ α ｜｜１ ＋ ｓｉｎ α ｜ ＋ ｜ ｃｏｓ α ｜｜１ － ｓｉｎ α ｜ ＝ － ｃｏｓ α１ ＋ ｓｉｎ α ＋ － ｃｏｓ α１ － ｓｉｎ α ＝ － ２ｃｏｓ α １ － ｓｉｎ２ α ＝ － ２ｃｏｓ α ． （２）方法一：原式＝（ｃｏｓ ２α ＋ ｓｉｎ２α）２ － ｃｏｓ４α － ｓｉｎ４α （ｃｏｓ２α ＋ ｓｉｎ２α）３ － ｃｏｓ６α － ｓｉｎ６α ＝ ２ｃｏｓ ２α·ｓｉｎ２α ３ｃｏｓ２α·ｓｉｎ２α（ｃｏｓ２α ＋ ｓｉｎ２α）＝ ２ ３ ． 方法二：原式＝ １ －（ｃｏｓ ４α ＋ ｓｉｎ４α） １ －（ｃｏｓ６α ＋ ｓｉｎ６α） ＝ １ －［（ｃｏｓ ２α ＋ ｓｉｎ２α）２ － ２ｓｉｎ２αｃｏｓ２α］ １ －（ｃｏｓ２α ＋ ｓｉｎ２α）（ｃｏｓ４α － ｃｏｓ２αｓｉｎ２α ＋ ｓｉｎ４α） ＝ １ － １ ＋ ２ｃｏｓ ２αｓｉｎ２α １ －［（ｃｏｓ２α ＋ ｓｉｎ２α）２ － ３ｃｏｓ２αｓｉｎ２α］＝ ２ｃｏｓ２αｓｉｎ２α ３ｃｏｓ２αｓｉｎ２α ＝ ２３ ． 例４：【证明】　 （１）左边＝（ｓｉｎ α － ｃｏｓ α ＋ １）（ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＋ １）（ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α － １）（ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＋ １） ＝（ｓｉｎ α ＋ １） ２ － ｃｏｓ２α （ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α）２ － １ ＝ （ｓｉｎ２α ＋ ２ｓｉｎ α ＋ １）－（１ － ｓｉｎ２α） ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＋ ２ｓｉｎ αｃｏｓ α － １ ＝ ２ｓｉｎ ２α ＋ ２ｓｉｎ α １ ＋ ２ｓｉｎ αｃｏｓ α － １ ＝ ２ｓｉｎ α（ｓｉｎ α ＋ １）２ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ ｓｉｎ α ＋ １ ｃｏｓ α ＝ 右边． （２）左边＝ ２［（ｓｉｎ２θ）３ ＋（ｃｏｓ２θ）３］－ ３（ｓｉｎ４θ ＋ ｃｏｓ４θ）＋ １ ＝ ２（ｓｉｎ２θ ＋ ｃｏｓ２θ）（ｓｉｎ４θ － ｓｉｎ２θｃｏｓ２θ ＋ ｃｏｓ４θ）－ ３（ｓｉｎ４θ ＋ ｃｏｓ４θ）＋ １ ＝（２ｓｉｎ４θ － ２ｓｉｎ２θｃｏｓ２θ ＋ ２ｃｏｓ４θ）－（３ｓｉｎ４θ ＋ ３ｃｏｓ４θ）＋ １ ＝ －（ｓｉｎ４θ ＋ ２ｓｉｎ２θｃｏｓ２θ ＋ ｃｏｓ４θ）＋ １ ＝ －（ｓｉｎ２θ ＋ ｃｏｓ２θ）２ ＋ １ ＝ － １ ＋ １ ＝ ０ ＝右边． 对点训练５：右边＝ １ ＋ ｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ １ － ｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ ＝ ｃｏｓ ｘ ＋ ｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ － ｓｉｎ ｘ ＝ （ｃｏｓ ｘ ＋ ｓｉｎ ｘ） ２ （ｃｏｓ ｘ － ｓｉｎ ｘ）（ｃｏｓ ｘ ＋ ｓｉｎ ｘ）＝ １ ＋ ２ｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ ｃｏｓ２ｘ － ｓｉｎ２ｘ ＝左边． 例５：本题考查已知三角函数的关系式，求其他三角函数式的值．解 题时先根据已知关系式求出角的范围和三角函数值，进而解 决问题． ∵ ｓｉｎ θ ＋ ｃｏｓ θ ＝ １５ ，θ∈（０，π），∴ １ ＋ ２ｓｉｎ θ·ｃｏｓ θ ＝ １ ２５， ∴ ２ｓｉｎ θ·ｃｏｓ θ ＝ － ２４２５ ＜ ０． 又θ∈（０，π），ｓｉｎ θ ＞ ０，∴ ｃｏｓ θ ＜ ０，∴ θ∈ π２ ，( )π ． ∴ ｓｉｎ θ － ｃｏｓ θ ＞ ０． ∵ （ｓｉｎ θ － ｃｏｓ θ）２ ＝ １ － ２ｓｉｎ θ·ｃｏｓ θ ＝ １ ＋ ２４２５ ＝ ４９ ２５， ∴ ｓｉｎ θ － ｃｏｓ θ ＝ ７５ ， ∴ ｓｉｎ θ ＋ ｃｏｓ θ ＝ １５ ， ｓｉｎ θ － ｃｏｓ θ ＝{ ７５  ｓｉｎ θ ＝ ４５ ， ｃｏｓ θ ＝ － ３５ { ， ∴ ｔａｎ θ ＝ ｓｉｎ θｃｏｓ θ ＝ ４ ５ － ３５ ＝ － ４３ ，ｓｉｎ ３θ ＋ ｃｏｓ３θ ＝ ３７１２５                                                                       ． —１４６— 对点训练６：∵ ｓｉｎ θ ＋ ｃｏｓ θ ＝ ｍ， ｓｉｎ θ·ｃｏｓ θ ＝ ２ｍ － １４ ， Δ ＝ １６（ｍ２ － ２ｍ ＋ １）≥０{ ，代入（ｓｉｎ θ ＋ ｃｏｓ θ）２ ＝ １ ＋ ２ｓｉｎ θ·ｃｏｓ θ，得ｍ ＝ 槡１ ± ３２ ． 又∵ ３π２ ＜ θ ＜ ２π． ∴ ｓｉｎ θ·ｃｏｓ θ ＝ ２ｍ － １ ４ ＜ ０，ｓｉｎ θ ＋ ｃｏｓ θ ＝ ｍ ＝ 槡１ － ３２ ， ∴ ｓｉｎ θ ＝ －槡３２ ，ｃｏｓ θ ＝ １ ２ ． 又∵ ３π２ ＜ θ ＜ ２π，∴ θ ＝ ５π ３ ． 课堂检测　 固双基 １． Ｄ　 ∵ ｓｉｎ θ ＝ １３ ，θ∈ ０， π( )２ ， ∴ ｃｏｓ θ ＝ １ － ｓｉｎ２槡 θ ＝ １ －槡１９ ＝ 槡２ ２３ ． ２． Ａ　 ∵ ｃｏｓ α － ｓｉｎ α ＝ － １２ ， ∴ ｃｏｓ２ α ＋ ｓｉｎ２ α － ２ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ １４ ， ∴ ２ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ １ － １４ ＝ ３ ４ ， ∴ ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ ３８ ． ３． Ａ　 ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ αｓｉｎ α － ｃｏｓ α ＝ ｔａｎ α ＋ １ｔａｎ α － １ ＝ － １３ － ７３ ＝ １７ ． ４．槡５５ 　 ∵ ｔａｎ α ＝ － １ ２ ，∴ ｓｉｎ α ｃｏｓ α ＝ － １２ ， ∴ ｃｏｓ α ＝ － ２ｓｉｎ α， 又ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １，∴ ５ｓｉｎ２α ＝ １， ∴ ｓｉｎ２α ＝ １５ ，又∵ π ２ ＜ α ＜ π，∴ ｓｉｎ α ＝槡 ５ ５ ． ５．【证明】　 左边＝ ｓｉｎ θ １ ＋ ｓｉｎ θｃｏｓ( )θ ＋ ｃｏｓ θ·１ ＋ ｃｏｓ θｓｉｎ( )θ ＝ ｓｉｎ θ ＋ ｓｉｎ ２θ ｃｏｓ θ ＋ ｃｏｓ θ ＋ ｃｏｓ ２θ ｓｉｎ θ ＝ ｓｉｎ ２θ ＋ ｃｏｓ２θ ｓｉｎ θ ＋ ｓｉｎ ２θ ＋ ｃｏｓ２θ ｃｏｓ θ ＝ １ｓｉｎ θ ＋ １ ｃｏｓ θ ＝右边． ７． ２． ４　 诱导公式 第１课时　 诱导公式（一） 必备知识　 探新知 　 　 知识点１：ｃｏｓ α　 ｓｉｎ α　 ｔａｎ α 　 　 知识点２：α ＋ β２ 　 　 知识点３：ｃｏｓ α　 － ｓｉｎ α　 － ｔａｎ α 　 　 知识点４：ｓｉｎ α　 － ｃｏｓ α　 － ｔａｎ α　 － ｓｉｎ α 对应练习 １． Ｂ　 ｓｉｎ（π ＋ α）＝ － ｓｉｎ α ＝ １３ ，∴ ｓｉｎ α ＝ － １ ３ ． ２． Ｃ　 ｓｉｎ － π( )３ ＝ － ｓｉｎ π３ ＝ －槡３２ ． ３． Ｄ　 由题知，ｃｏｓ ４８０° ＝ ｃｏｓ（４８０° － ３６０°）＝ ｃｏｓ １２０° ＝ ｃｏｓ（１８０° － ６０°）＝ － ｃｏｓ ６０° ＝ － １２ ． ４． －槡３３ 　 ｔａｎ ６９０° ＝ ｔａｎ（２ ×３６０° －３０°）＝ ｔａｎ（－３０°）＝ － ｔａｎ ３０° ＝ －槡３３ ． 关键能力　 攻重难 例１：（１）Ｄ　 （２）见解析 【解析】　 （１）ｓｉｎ ６００° ＝ ｓｉｎ（７２０° － １２０°）＝ ｓｉｎ（－ １２０°）＝ － ｓｉｎ １２０° ＝ －槡３２ ． （２）①原式＝ ｔａｎ（３６０° ＋ ４５°）－ ｓｉｎ（３６０° ＋ ９０°）＋ ｃｏｓ（２ × ３６０° ＋ ３０°） ＝ ｔａｎ ４５° － ｓｉｎ ９０° ＋ ｃｏｓ ３０° ＝ １ － １ ＋槡３２ ＝槡 ３ ２ ． ②原式＝ ｓｉｎ ２π ＋ π( )３ ｃｏｓ － ４π ＋ π( )６ (＋ ｔａｎ － ４π ＋ π )４ · (ｃｏｓ ４π ＋ π )３ ＝ ｓｉｎ π３ ｃｏｓ π６ ＋ ｔａｎ π４ ｃｏｓ π３ ＝槡３２ ×槡３２ ＋ １ × １２ ＝ ５ ４ ． 对点训练１：（１）原式＝ ｓｉｎ（－ ４ × ３６０° ＋ ４５°）ｃｏｓ （３ × ３６０° ＋ ３０°）＋ ｃｏｓ（－ ３ × ３６０° ＋ ６０°）ｓｉｎ（２ × ３６０° ＋ ３０°） ＝ ｓｉｎ ４５°ｃｏｓ ３０° ＋ ｃｏｓ ６０°ｓｉｎ ３０° ＝槡２２ ×槡 ３ ２ ＋ １ ２ × １ ２ ＝ 槡６ ４ ＋ １ ４ ＝ 槡１ ＋ ６ ４ ． （２）原式＝ ｓｉｎ － ４π ＋ ４π( )３ ·ｃｏｓ ４π － π( )６ ·ｔａｎ ６π ＋ π( )６ ＝ ｓｉｎ ４π３ ·ｃｏｓ － π( )６ ·ｔａｎ π６ ＝ ｓｉｎ π ＋ π( )３ ·ｃｏｓ π６ · ｔａｎ π６ ＝ － ｓｉｎ π３·ｃｏｓ π ６·ｔａｎ π ６ ＝ － 槡３ ２ × 槡３ ２ × 槡３ ３ ＝ － 槡３ ４ ． 例２：（１）Ｃ　 （２）４３ 　 （１）ｓｉｎ ６π ７ ＋( )ｘ ＝ ｓｉｎ π － π７ －( )[ ]ｘ ＝ ｓｉｎ π７ －( )ｘ ＝ － ２３ ． （２）因为ｓｉｎ（π － α）－ ｃｏｓ（π ＋ α）＝ ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝槡２３ ，则 （ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α）２ ＝ ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＋ ２ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ １ ＋ ２ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ ２９ ， 所以ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ － ７１８， 所以（ｓｉｎ α － ｃｏｓ α）２ ＝ ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α － ２ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ １ － ２ × － ７( )１８ ＝ １６９ ． 又π２ ＜ α ＜ π，所以ｓｉｎ α ＞ ０，ｃｏｓ α ＜ ０，ｓｉｎ α － ｃｏｓ α ＞ ０， 所以ｓｉｎ α － ｃｏｓ α ＝ ４３ ． 对点训练２：Ｃ 　 因为ｔａｎ α ＝ － ２，所以 ｓｉｎ α ｃｏｓ α ＝ － ２， ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １{ ，则 ５ｃｏｓ２α ＝ １， 所以ｃｏｓ α ＝ ±槡５５                                                                      ， —１４７—