7.2.2 单位圆与三角函数线(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

●:;R%wxyz{|OM?opc}~@0e ４．设角α的终边不在坐标轴上，求函数ｙ ＝ ｓｉｎ α｜ ｓｉｎ α ｜ ＋ ｃｏｓ α ｜ ｃｏｓ α ｜ ＋ ｔａｎ α｜ ｔａｎ α ｜ 的值域． ［归纳提升］ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　〉 /KL1 ４．若ｓｉｎ θｃｏｓ θ ＞ ０，则θ的终边在 （Ｂ ） Ａ．第一或第二象限　 Ｂ．第一或第三象限 Ｃ．第一或第四象限 Ｄ．第二或第四象限 归纳提升： š›” "~*^_%>?s ãÄK`aÿ+œ ． WXYZ%[\] 对应学生用书学案Ｐ００３ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 １．如果角θ的终边经过点－槡３２ ， １( )２ ，则ｔａｎ α ＝ （Ｄ ） Ａ． １２ 　 　 Ｂ． － 槡３ ２ 　 　 Ｃ．槡３　 　 Ｄ． －槡 ３ ３ ２．如果α的终边对点Ｐ ２ｓｉｎ π６，－ ２ｃｏｓ π( )６ ，则 ｓｉｎ α的值等于 （Ｃ ） Ａ． １２ Ｂ． － １ ２ Ｃ． － 槡３ ２ Ｄ． － 槡３ ３ ３．若ｓｉｎ α ＞ ０，ｔａｎ α ＜ ０，则α为 （Ｂ ） Ａ．第一象限角 Ｂ．第二象限角 Ｃ．第三象限角 Ｄ．第四象限角 ４．若｜ ｓｉｎ ｘ ｜ ＝ － ｓｉｎ ｘ，则角ｘ的取值集合是 　 　 　 　 ． ５．设函数ｆ（θ）＝槡３ｓｉｎ θ ＋ ｃｏｓ θ，其中角θ的顶点 与坐标原点重合，始边与ｘ轴的正半轴重合， 终边经过点Ｐ（ｘ，ｙ），且０≤θ≤π．若点Ｐ的坐 标为１ ２， 槡３( )２ ，求ｆ（θ）的值． 请同学们认真完成练案［３                            ］ ７． ２． ２　 单位圆与三角函数线 !"#$%&'( 对应学生用书学案Ｐ００１ 学习目标 核心素养 １．了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个 角的正弦、余弦和正切． ２．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题． 培养数学抽象与直观想象素养． $#' )*+,%-.+ 对应学生用书学案Ｐ００１ 知识点１　 单位圆 　 　 １．在平面直角坐标系中，坐标满足ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ １　 的点组成的集合称为 单位圆． ２．角α的终边与单位圆的交点为Ｐ，则Ｐ的坐标为（ｃｏｓ α，ｓｉｎ α），即角 α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标　 和纵坐标　 ． ［思考１］ ●/012 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．若α ＝ π３，则α的终边与单位圆的交点Ｐ的坐标是 （Ａ ） Ａ． １ ２， 槡３( )２ Ｂ． － １２，槡３( )２ Ｃ． －槡３２ ， １( )２ Ｄ． １２，－槡３( )２ 知识点２　 三角函数线 　 　 １．角α的终边与单位圆交于点Ｐ，过Ｐ作ＰＭ⊥ ｘ轴，Ｍ为垂足，点 Ａ（１，０），直线ｘ ＝ １与角α终边所在直线交于点Ｔ，如图． 则角α的正弦线为　 　 　 　 ，余弦线为　 　 　 　 ，正切线为　 　 　 　 ． ２．正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线　 ． ［思考２］ 　 　 提醒：理解三角函数线应注意以下四点 （１） XY ： ”r5OUca5qr=:X@2 ， mr=:X@ž ； （２） NO ： !‰U\Ÿ ¡O α %†„…:X@%_n；Š‰U\, n¡OŸ  ； !‹U\‹n¡O‹U… α%†„（Çø¢BU）%_n； （３） !$ ： ”r5OUca… ｘ #Ç ｙ #£O%Ž!Ÿ ， … ｘ #Ç ｙ # 7O%Ž$Ÿ ； （４） £3 ： 5OUc%WnI¤=¥ ， †nI¤={ ． ●/012 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　２．已知α角的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的 终边在 （Ｃ ） Ａ．第一象限的角平分线上 　 Ｂ．第四象限的角平分线上 Ｃ．第二、四象限的角平分线上 　 Ｄ．第一、三象限的角平分线上 思考１：单位圆的圆心 和半径分别是什么？ 提示： :X@%@A= ,n ， %?Ž:XB@ Ý%?» １． 思考２：三角函数线的 方向是如何规定的？ 提示： NO… ｘ #Ç ｙ #%!NOmš%Ž! ŸÄ7…ÄŽ$Ÿ ． $#( 3456%789 对应学生用书学案Ｐ００１ ●:;<%M?op€ １．作出－５π６的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出－ ５π ６的 正弦值、余弦值和正切值． 【分析】　 根据正弦线、余弦线、正切线的定义作图． ［归纳提升］ 〉 /KL1 １．作出α ＝ ３π４的正弦线、余弦线和正切线． ●:;C%deM?op€‚M?opr@ƒ„ ２．利用三角函数线比较下列各组数的大小： （１）ｓｉｎ ２π３与ｓｉｎ ４π ５ ； （２）ｔａｎ ２π３与ｔａｎ ４π ５ ． 　 　 【分析】　 在直角坐标系中的单位圆中画出所给角的三角函数线，再 比较其数量的大小． ［归纳提升］ 归纳提升：（１） S!‰ U#Š‰UAÄLù* +"%†„…:X@% _nÄM{z¦_nS ｘ #%ŸUÄ7+Ÿ  Ä)-7!‰U/Š ‰U ． （２） S!‹UAÄB) n Ａ í １ Ä ０ ð&:X@ %‹UÄ_"%†„Ç †„%7O¢BUm n Ｔ ÄÝ·7+!‹ U →ＡＴ． 归纳提升： ä1:X@ a%”"~*U,ï” "~*Ÿ%QRAÄÿ ”dVJSo"%†„ …:X@%_nÉPS o”"~*UÉS,ï ”"~*U%*<%Q RÄ£AK[8^_ ． $#) 〉 /KL1 ２．比较ｃｏｓ ４π７和ｃｏｓ ５π ７的大小． ●:;M%deM?op€…M?†‡ˆ ３．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α 的集合． （１）ｓｉｎ α≥槡３２ ；（２）ｃｏｓ α≤ － １ ２ ． ［归纳提升］ 〉 /KL1 ３．利用单位圆中的三角函数线求－ １２≤ｃｏｓ α ＜ 槡３ ２中角α的取值范围． ●:;R%deM?op€‰Šf3‹: ４．设α是锐角，利用单位圆和三角函数线证明：ｓｉｎ α ＜ α ＜ ｔａｎ α． 　 【分析】　 ｓｉｎ α、ｔａｎ α分别用正弦线、正切线表示出来，α用它所对 的弧表示出来，从而使关系式得证． ［归纳提升］ 归纳提升：１． tz¹à §ã ，̈ 0·Å©Zo 1”"~*U.¹5: %”"~»ê%de ： （１） So®»_%"% †„ ． （２） ä1”"~*U% Ïë™Ä=:X@aM ]ª ~»ê%"% |} ． （３） Xua%|}1~ »ê23o.È ２． ñ…”"~*5Í% ]9.AÄù;鎔 "~»ê （ s ） ÄM{« ¬”"~*U¹¦~» ê （ s ） Ý·7~*%] 9.È 归纳提升： ¹àä1” "~*Uñ¹~»ê< +ã­AÄm¢ùbc ”"~*Ÿ%|}*o "%†„d=%-.Ä =*"%†„d=%- .AÄ[8š!‰K* :X@h%®'Ě Š‰B=:X@h* 'Äbc<¯'* o:X@hª Kñ% 9ÄÝ·*+"%†„ d=%-.Äbc" %†„d=%-.3o "%|} ． $#! 〉 /KL1 ４．已知α是锐角，求证：１ ＜ ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＜ π２ ． WXYZ%[\] 对应学生用书学案Ｐ００３ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．下列四个命题：①α一定时，单位圆中的正弦 线一定；②单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α和α ＋ π有相同的正切线；④具有相同正 切线的两个角终边在同一直线上．其中不正确 的有 （Ｂ ） Ａ． ０个Ｂ． １个 Ｃ． ２个 Ｄ． ３个 ２．如图所示，在单位圆中角α的正弦线，正切线 分别是 （Ｃ ） Ａ． →ＰＭ， →Ａ′Ｔ′ Ｂ． →ＭＰ， →Ａ′Ｔ′ Ｃ． →ＭＰ，→ＡＴ Ｄ． →ＰＭ，→ＡＴ ３．角π５和角 ６π ５有相同的 （Ｃ ） Ａ．正弦线 Ｂ．余弦线 Ｃ．正切线 Ｄ．不能确定 ４．已知角α的余弦线的长度为１，则角α的终边 在 （Ａ ） Ａ． ｘ轴上 Ｂ． ｙ轴上 Ｃ． ｘ轴的正半轴上 Ｄ． ｙ轴的正半轴上 ５．如果π４ ＜ α ＜ π ２，那么下列不等式成立的是 （　 　 ） Ａ． ｓｉｎ α ＜ ｃｏｓ α ＜ ｔａｎ α Ｂ． ｔａｎ α ＜ ｓｉｎ α ＜ ｃｏｓ α Ｃ． ｃｏｓ α ＜ ｓｉｎ α ＜ ｔａｎ α Ｄ． ｃｏｓ α ＜ ｔａｎ α ＜ ｓｉｎ α 请同学们认真完成练案［４                            ］ ７． ２． ３　 同角三角函数的基本关系式 !"#$%&'( 对应学生用书学案Ｐ００１ 学习目标 核心素养 １．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及 应用． ２．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值 与恒等式证明． 培养逻辑推理、数学运算素养． $#* 四象限角；由ｃｏｓ θｔａｎ θ ＜ ０，知ｃｏｓ θ，ｔａｎ θ异号，故θ是第三 或第四象限角． 综上可知，θ是第四象限角，所以ｓｉｎ θ ＜０，ｃｏｓ θ ＞０， 所以ｓｉｎ θｃｏｓ θ ＜０． 对点训练２：Ｂ　 由点Ｐ（ｓｉｎ α，ｔａｎ α）在第四象限，可知ｓｉｎ α ＞ ０， ｔａｎ α ＜ ０，则角α的终边在第二象限． 例３：由题意可知，３ａ － ９≤０，ａ ＋ ２ ＞ ０， ∴ ａ≤３，且ａ ＞ － ２． ∴ －２ ＜ ａ≤３． 对点训练３：由ｔａｎ α ＝ ｘ８ ＜ ０，得ｘ ＜ ０． ∵ ｓｉｎ α ＝ ｘ ８２ ＋ ｘ槡 ２ ＝ ｘ１７，∴ ８ ２ ＋ ｘ２ ＝ １７２ ． ∴ ｘ２ ＝ ２２５，∴ ｘ ＝ － １５． 例４：当α是第一象限角时，ｓｉｎ α，ｃｏｓ α，ｔａｎ α均为正值， ∴ ｓｉｎ α｜ ｓｉｎ α ｜ ＋ ｃｏｓ α｜ ｃｏｓ α ｜ ＋ ｔａｎ α｜ ｔａｎ α ｜ ＝ ３． 当α是第二象限角时，ｓｉｎ α为正值，ｃｏｓ α，ｔａｎ α为负值， ∴ ｓｉｎ α｜ ｓｉｎ α ｜ ＋ ｃｏｓ α｜ ｃｏｓ α ｜ ＋ ｔａｎ α｜ ｔａｎ α ｜ ＝ － １． 当α是第三象限角时，ｓｉｎ α，ｃｏｓ α为负值，ｔａｎ α为正值， ∴ ｓｉｎ α｜ ｓｉｎ α ｜ ＋ ｃｏｓ α｜ ｃｏｓ α ｜ ＋ ｔａｎ α｜ ｔａｎ α ｜ ＝ － １． 当α是第四象限角时，ｓｉｎ α，ｔａｎ α为负值，ｃｏｓ α为正值， ∴ ｓｉｎ α｜ ｓｉｎ α ｜ ＋ ｃｏｓ α｜ ｃｏｓ α ｜ ＋ ｔａｎ α｜ ｔａｎ α ｜ ＝ － １． 综上可知，函数ｙ的值域为｛－ １，３｝． 对点训练４：Ｂ　 ∵ ｓｉｎ θｃｏｓ θ ＞ ０， ∴当ｓｉｎ θ ＞ ０，ｃｏｓ θ ＞ ０时，θ的终边在第一象限； 当ｓｉｎ θ ＜ ０，ｃｏｓ θ ＜ ０时，θ的终边在第三象限，故选Ｂ． 课堂检测　 固双基 １． Ｄ　 由三角函数的定义，得ｔａｎ θ ＝ ｙｘ ＝ １ ２ －槡３２ ＝ －槡３３ ． ２． Ｃ　 由题意可得点Ｐ的横坐标为ｘ ＝ ２ｓｉｎ π６ ＝ ２ × １ ２ ＝ １，纵坐 标为ｙ ＝ － ２ｃｏｓ π６ 槡＝ － ３，∴ ｒ ＝ ｘ ２ ＋ ｙ槡 ２ ＝ ２，∴ ｓｉｎ α ＝ ｙｒ ＝ －槡３２ ，故选Ｃ． ３． Ｂ　 由ｓｉｎ α ＞０知α终边在第一、二象限或在ｙ轴正半轴上；由 ｔａｎ α ＜０知α终边在第二、四象限．综上知α为第二象限角． ４．［２ｋπ － π，２ｋπ］（ｋ∈Ｚ）　 由｜ ｓｉｎ ｘ ｜ ＝ － ｓｉｎ ｘ知ｓｉｎ ｘ≤０，得 ｘ∈［２ｋπ － π，２ｋπ］（ｋ∈Ｚ）． ５．由点Ｐ的坐标为１ ２ ，槡 ３( )２ 和三角函数定义得ｓｉｎ θ ＝槡３２ ，ｃｏｓ θ ＝ １２ ，所以ｆ（θ）槡＝ ３ｓｉｎ θ ＋ ｃｏｓ θ 槡＝ ３ ×槡 ３ ２ ＋ １ ２ ＝２． ７． ２． ２　 单位圆与三角函数线 必备知识　 探新知 　 　 知识点１：１． ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ １　 ２．横坐标　 纵坐标 对应练习 １． Ａ　 设Ｐ（ｘ，ｙ），∵角α ＝ π３在第一象限， ∴ ｘ ＝ ｃｏｓ π３ ＝ １ ２ ，ｙ ＝ ｓｉｎ π ３ ＝ 槡３ ２ ，∴ Ｐ １ ２ ，槡 ３( )２ ． 　 　 知识点２：１ →． ＭＰ　 →ＯＭ　 →ＡＴ　 ２．三角函数线 对应练习 ２． Ｃ　 由题意知ｓｉｎ α ＝ － ｃｏｓ α ＝ ±槡２２ ，故α角终边在第二、四象 限的角平分线上，故选Ｃ． 关键能力　 攻重难 例１：如图，作－ ５π６的终边与单位圆交于 点Ｐ，作ＰＭ⊥ｘ轴，Ｍ为垂足． 直线ｘ ＝ １过点Ａ（１，０）且与－ ５π６终 边所在直线交于点Ｔ． 所以－ ５π６的正弦线为 →ＭＰ，余弦线为 →ＯＭ，正切线为→ＡＴ． 依题意∠ＰＯＭ ＝ π６ ，所以ＭＰ ＝ １ ２ ，ＯＭ ＝槡 ３ ２ ，ＡＴ ＝槡 ３ ３ ， 所以Ｐ坐标为－槡３２ ，－( )１２ ， 故ｓｉｎ － ５π( )６ ＝ － １２ ，ｃｏｓ － ５π( )６ ＝ －槡３２ ，ｔａｎ － ５π( )６ ＝槡３３ ． 对点训练１：角α的终边（如图）与单 位圆的交点为Ｐ．作ＰＭ垂直于ｘ 轴，垂足为Ｍ，过点Ａ（１，０）作单位 圆的切线ＡＴ，与α的终边的反向延 长线交于点Ｔ，则α的正弦线为→ＭＰ，余弦线为→ＯＭ，正切线为→ＡＴ． 例２：令α ＝ ２π３ 、β ＝ ４π ５ ． 如图所示，Ｐ１、Ｐ２ 分别是 角α、β的终边与单位圆的 交点，Ｍ１Ｐ→ １、Ｍ２Ｐ→ ２分别是 角α、β的正弦线，ＡＴ→ １、ＡＴ→ ２ 分别是角α、β的正切线． （１）∵ ｜Ｍ１Ｐ→ １ ｜ ＞ ｜Ｍ２Ｐ→ ２ ｜且 Ｍ１Ｐ → １与Ｍ２Ｐ→ ２都与ｙ轴正 方向一致， ∴ ｓｉｎ ２π３ ＞ ｓｉｎ ４π ５ ． （２）∵ ｜ＡＴ→ １ ｜ ＞ ｜ＡＴ→ ２ ｜且ＡＴ→ １与ＡＴ→ ２都与ｙ轴正方向相反， ∴ ｔａｎ ２π３ ＜ ｔａｎ ４π ５ ． 对点训练２：如图，ＯＭ→ １、ＯＭ→ ２分别为角 ４π ７ 、 ５π ７ 的余弦线，由｜ＯＭ → ２ ｜ ＞ ｜ＯＭ → １ ｜ 且ＯＭ→ ２、ＯＭ→ １与ｘ轴正向相反知ｃｏｓ ４π７ ＞ ｃｏｓ ５π７ ． 例３：（１）作直线ｙ ＝槡３２ ，交单位圆于Ａ， Ｂ两点，连接ＯＡ，ＯＢ，则ＯＡ与ＯＢ围成的区域（图（１）中阴 影部分）即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集 合为α ２ｋπ ＋ π３ ≤α≤２ｋπ ＋ ２π ３ ，ｋ∈{ }Ｚ ．                                                                      —１４４— （２）作直线ｘ ＝ － １２ ，交单位圆于Ｃ，Ｄ两点，连接ＯＣ与 ＯＤ，则ＯＣ与ＯＤ围成的区域（图（２）中的阴影部分）即为 角α 的终边的范围． 故满足条件的角α 的集合 为α ２ｋπ ＋ ２π３ ≤α≤２ｋπ ＋ ４π ３ ，ｋ∈{ }Ｚ ． 对点训练３：如图，作直线ｘ ＝ － １２ ，ｘ ＝ 槡３ ２与单位圆相交． 则图中阴影部分就是满足条件的角 α的取值范围，即２ｋπ － ２π３ ≤α ＜ ２ｋπ － π６或２ｋπ ＋ π ６ ＜ α≤２ｋπ ＋ ２π ３ （ｋ∈Ｚ）． 例４：【证明】　 如图所示，设角α 的终边交单位圆于Ｐ，过点Ｐ 作ＰＭ垂直于ｘ轴，垂足为 Ｍ．过点Ａ（１，０）作单位圆的 切线交ＯＰ于点Ｔ，连接ＰＡ， 则ｓｉｎ α ＝ ｜ →ＭＰ ｜，ｔａｎ α ＝ ｜→ＡＴ ｜， ∵ Ｓ△ＯＡＰ ＜ Ｓ扇形ＯＡＰ ＜ Ｓ△ＯＡＴ， ∴ １２ ｜ ＯＡ ｜·｜ ＭＰ ｜ ＜ １ ２ α ｜ＯＡ ｜ ２ ＜ １２ ｜ＯＡ ｜·｜ＡＴ ｜ ． 又｜ＯＡ ｜ ＝ １，∴ ｜ＭＰ ｜ ＜ α ＜ ｜ＡＴ ｜，即ＭＰ ＜ α ＜ ＡＴ． ∴ ｓｉｎ α ＜ α ＜ ｔａｎ α． 对点训练４：【证明】　 设角α的终边与单位圆交于Ｐ（ｘ，ｙ），过Ｐ 作ＰＱ⊥ＯＡ，ＰＲ⊥ＯＢ，Ｑ、Ｒ为垂足，连接ＰＡ、ＰＢ，如图所示． ∵ ｜ ＰＱ ｜ ＝ ｙ ＝ ｓｉｎ α，｜ ＯＱ ｜ ＝ ｘ ＝ ｃｏｓ α， 又∵ 在△ＯＰＱ中，｜ ＱＰ ｜ ＋ ｜ＯＱ ｜ ＞ ｜ＯＰ ｜， ∴ ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＞ １． ∴ Ｓ△ＯＡＰ ＝ １ ２ ｜ＯＡ ｜·｜ＱＰ ｜ ＝ １ ２ ｙ ＝ １ ２ ｓｉｎ α， Ｓ△ＯＢＰ ＝ １ ２ ｜ＯＢ ｜·｜ＲＰ ｜ ＝ １ ２ ｘ ＝ １ ２ ｃｏｓ α， Ｓ扇形ＯＡＢ ＝ π ４ × １ ２ ＝ π４ ． 又∵ Ｓ△ＯＡＰ ＋ Ｓ△ＯＢＰ ＜ Ｓ扇形ＯＡＢ， ∴ １２ ｓｉｎ α ＋ １ ２ ｃｏｓ α ＜ π ４ ，即ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＜ π ２ ． 综上可知１ ＜ ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＜ π２ ． 课堂检测　 固双基 １． Ｂ　 ②有相同正弦线说明角的终边相同，但角不一定相等，所 以②错，①③④均正确． ２． Ｃ　 α为第三象限角，故正弦线为→ＭＰ，正切线为→ＡＴ，故选Ｃ． ３． Ｃ　 π５与 ６π ５的终边互为反向延长线， 故它们有相同的正切线． ４． Ａ　 ∵角α的余弦线的长度为１，∴角α的余弦线的数量为 ± １，∴角α的终边在ｘ轴的正半轴上或负半轴上，故选Ａ． ５． Ｃ　 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线→ＭＰ，余弦线 →ＯＭ，正切线→ＡＴ，很容易地观察出｜ →ＯＭ ｜ ＜ ｜→ＭＰ ｜ ＜ ｜→ＡＴ ｜，即ｃｏｓ α ＜ ｓｉｎ α ＜ ｔａｎ α． ７． ２． ３　 同角三角函数的基本关系式 必备知识　 探新知 　 　 知识点１：１． １　 １　 ２．正切　 ｔａｎ α 对应练习 １． Ｄ　 因为ｔａｎ α ＝ ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ ７ ８ 槡１５ ８ ＝ 槡７ １５１５ ．故选Ｄ． ２． Ｄ　 因为ｓｉｎ α ＝ － ５１３，且α为第四象限角， 所以ｃｏｓ α ＝ １２１３，所以ｔａｎ α ＝ － ５ １２，故选Ｄ． 　 　 知识点２：１． １ － ｃｏｓ２α　 １ － ｓｉｎ２α　 ２． ｃｏｓ αｔａｎ α　 ｓｉｎ αｔａｎ α 对应练习 ３． Ｂ　 因为α为第三象限角，且ｃｏｓ α ＝ － ５１３， 所以ｓｉｎ α ＝ － １ － ｃｏｓ２槡 α ＝ － １２１３，故ｔａｎ α ＝ ｓｉｎ α ｃｏｓ α ＝ － １２１３ － ５１３ ＝ １２５ ． ４． 槡３ ５５ 　 ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝槡 ５ ５ ，故（ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α） ２ ＝ １ ＋ ２ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ １５ ，故ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ － ２ ５ ， 因为α∈（０，π），故ｓｉｎ α ＞ ０，ｃｏｓ α ＜ ０，ｓｉｎ α － ｃｏｓ α ＞ ０， （ｓｉｎ α － ｃｏｓ α）２ ＝ １ － ２ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ ９５ ，故ｓｉｎ α － ｃｏｓ α ＝ 槡 ３ ５ ５ ． 关键能力　 攻重难 例１：（１）因为ｓｉｎ α ＝ ３５ ，且ｓｉｎ ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １， 所以ｃｏｓ２α ＝ １ － ｓｉｎ２α ＝ １６２５， 又α为第二象限角，则ｃｏｓ α ＝ － ４５ ，ｔａｎ α ＝ ｓｉｎ α ｃｏｓ α ＝ － ３４ ． （２）因为ｔａｎ α ＝ － ５１２，所以ｓｉｎ α ＝ － ５ １２ ｃｏｓ α，且α是第 二、四象限角； 联立ｓｉｎ α ＝ － ５ １２ ｃｏｓ α， ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １{ ，得ｃｏｓ２α ＝ １４４１６９， 当α是第二象限角时，ｃｏｓ α ＝ － １２１３，ｓｉｎ α ＝ － ５ １２ ｃｏｓ α ＝ ５１３； 当α是第四象限角时，ｃｏｓ α ＝ １２１３，ｓｉｎ α ＝ － ５ １２ ｃｏｓ α ＝ － ５ １３； 所以ｃｏｓ α ＝ － １２１３，ｓｉｎ α ＝ ５ １３或ｃｏｓ α ＝ １２ １３，ｓｉｎ α ＝ － ５ １３ ． 对点训练１：Ｄ　 因为点Ｐ位于第四象限，由题意可得ｃｏｓ α ＝ ３５                                                                       ， —１４５—