练案39 8.6.3 第2课时 平面与平面垂直的性质-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

练案!/1" """"第八章"8!#"8!#!/"!第二课时"平面与 平面垂直的性质# """""""""""""""" $组!基础巩固 !!已知直线) ) 平面 $ $则*直线) $ 平面 % +是 *平面 $) 平面 % +的 !""" $!充分不必要条件 %!必要不充分条件 &!充要条件 '!既不充分也不必要条件 "!设 $ 9)9 % 是直二面角$直线7在平面 $ 内$ 直线8在平面 % 内$且7$8与)均不垂直$则 !""" $!7与8可能垂直$但不可能平行 %!7与8可能垂直也可能平行 &!7与8不可能垂直$但可能平行 '!7与8不可能垂直$也不可能平行 #!如图$平面 $) 平面 % $# ($ $$ (% $#$与两平 面 $ $ % 所成的角分别为$ 4 和$ # !过#$$分别作 两平面交线的垂线$垂足为#C$$C$则#$ 0 #C$C( !""" $!. 0 ! %!/ 0 ! &!/ 0 . '!4 0 / $!已知在四面体#9$%&中$平面#$& ) 平面 $%&$ ! #$&是边长为/的等边三角形$$&( %&$$& ) %&$则四面体#9$%&的体积为 !""" $! 槡.; / 4 %! 槡1 / . &! 槡1 / 4 '! 槡4 / / %!"多选#已知平面 $ $ % $ & 和直线)$下列命题中 正确的是 !""" $!若 $)% $ %$& $则 $)& %!若 $)% $则存在) 5$ $使得) $% &!若 $)& $ %)& $ $4% ()$则) & '!若 $)% $) $$ $则) % &!"多选#如图$在四面体.9 #$%中$#$(#%$.$(.%$&$ '$(分别是棱#$$$%$%#的中 点$则下列结论中一定成立的 是 !""" $!$% $ 平面.&( %!&( ) 平面.#' &!平面.&( ) 平面.#' '!平面.&( ) 平面#$% '!已知平面 $) 平面 % $直线7 )% $则直线7与 平面 $ 的位置关系是""""! (!如图$#$$$%$&为空间四点$在 ! #$%中$#$(.$#%($% 槡( . $等 边三角形#&$以#$为轴转动$当 平面#&$ ) 平面#$%时$%&( """"! )!已知二面角 $ 9#$9 % 是直二面角$.是棱#$ 上一点$.'$.(分别在平面 $ $ % 内$ ' '.$( ' (.$(4+0$则 ' '.(的大小是""""! !*!如图$正方形#$%&所在平面 与四边形#$'(所在平面互相 垂直$#( $ $'$#( ) '($#(( '(( ! . $'!求证,'# ) 平面 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & #$%&! &"&#& %组!综合运用 !!!正方形#%&'所在的平面与等腰直角三角形 #%$所在的平面互相垂直$且#%($%(.$ ' #%$(1*0$($0分别是线段#'$$%的中 点$则%&与0(所成角的余弦值为!""" $! 槡/ # %!9 槡/ # &! 槡# # '!9 槡# # !"!"多选#如图$在四棱锥.9 #$%&中$底面#$%&为矩 形$平面.#& ) 平面#$%&$ 则下列说法中正确的是 !""" $!平面.#$ ) 平面.#& %!平面.#& ) 平面.&% &!#$ ) .& '!平面.#& ) 平面.$% !#!如图$棱长为.的正方体#$%&9# ! $ ! % ! & ! $ ,是四边形& ! &%% ! 内异于%$&的动点$平 面#,& ) 平面$,%$则,点的轨迹的长度为 """"! !$!如图$ ! #$%和 ! $%&所在平面互相垂直$ 且#$($%($&(.$ ' #$%( ' &$%(!.*0$ '$($0分别为#%$&%$#&的中点! !!"求证,'( ) 平面$%0' !."求三棱锥&9$%0的体积! &组!拓展提升 !%!如图$平行四边形#$%&的边#&所在的直线 与菱形#$'(所在的平面垂直$且0$(0'$ #'(#(! !!"求证,平面#%0 ) 平面#&(' !."若#((.$""""$求二面角%9#09( 的余弦值!从 ! $% 槡(.#$$"$%(#0$这 两个条件中任选一个填入上面的横线 上$并解答问题! 注,如果选择两个条件分别解答$则按第一个 解答计分 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ! &(&#& "!*-!在三棱锥"C4#&%中!"C&."C#.$! ' #"C&.D'3!故 #& 槡.% !易知&% 槡. % !又"C% 槡. ) !故"C%% ."C&% 0&%%!则 %& , "C&!又%& , #&!"C& : #&.&!所以%& , 平面"C#&!故 平面"C#& , 平面#&%!又%& , 平面"C#&!所以%& , "C#!又 "C# , "C&!"C& : %&.&!所以"C# , 平面"C&%!故平面"C&% , 平面"C#%! G! 槡2 2 !根据题意!'( , 平面"&& $ " $ !5'& $ , '(!'& , '(! 5 ' & $ '&是平面% $ & $ '(与平面'(%&所成二面角的平面 角!在9: ( & $ '&中! '& . $ % ! '& $ . $ 0槡$/ .槡2% ! 5>?@ ' & $ '&. $ % 槡2 % . 槡2 2 ! 1!$!由题意知!#& , "&!%& , "&!所以 ' #&%为二面角#4"& 4%的平面角!由于平面"#& , 平面"%&!所以 ' #&%.D'3! 连接#%#图略$!则#%. #&% 0&%槡 % (. 槡% ) % % (0 槡% ) %槡 % .$! D! !& !因为"#.%#!且'是"%的中点!所以#' , "%!同理 有&' , "%!因为#' : &'.'!#'!&' 8 平面#&'!所以"% , 平面#&'!因为"% 8 平面"#%!所以平面"#% , 平面#&'!又 因为"% 8 平面"%&!所以平面"%& , 平面#&'! $'!8'为;%的中点!且;#.#%!5#' , ;%! 又&' , ;%!#' : &'.'!5;% , 平面#&'!5#& , ;%! 由;" , 平面"#%!可得;" , #&! 又;% : ;".;!5#& , 平面;"%!从而#& , "%!#& , &'! 5 ' '&%为二面角'4#&4%的平面角! 设;"."#.$!则;# 槡.%! 在 ( "#%中!8"# , #%!#%.;# 槡.% !5"% 槡.) !5;%.%! 在9: ( ;"%中! ' &%; .)'3! 5 ' '&%."'3!即二面角'4#&4%的大小为"'3! $$!-!由题意知%"#.&#.)!## $ ."" $ . 槡) ) % 且 ' "#&. % ) ) !过#作#' , "&于'! 连接# $ '!则#'.) % !而## $ , 平面"#&! "& 8 平面"#&!5"& , ## $ !而## $ : #' .#!即"& , 平面#'# $ !故二面角# $ 4"& 4#的平面角为 ' #'# $ !5:A= ' #'# $ . ## $ #' 槡. ) !而'#'#$ [- '! ) ] % !即 ' #'# $ . ) ) ! $%!*+,!因为点'!(分别是"#!"+的中点!所以'( # +#!又 '( 9 平面+#%!+# 8 平面+#%!所以'( # 平面+#%!同理! '4 # 平面+#%!又'( : '4.'!所以平面'(4 # 平面+#%! 因此*中结论正确"因为+% , #%!+% , "%!#% : "%.%!所 以+% , 平面"#%!又(4 # +%!所以(4 , 平面"#%!又(4 8 平面(4'!所以平面(4' , 平面"#%!因此+中结论正确"在 平面+#%中!由#% , +%!得 ' #+%为直线#+与直线+%所 成的角!又'( # #+!所以 ' #+%是直线'(与直线+%所成 的角!因此,中结论正确"由于('!4'与"#不垂直!所以 ' ('4不是平面+"#与平面"#%所成二面角的平面角!因 此-中结论不正确! $)!槡2 )!如图所示!+为二面角!4E4(的一个 面 ! 内一点!+$是它到另一个面 ( 的距离! +F是它到棱的距离为$'!8+$ ,( !5+$ , E!又+F , E!5E , 平面+$F!得出E , $F! 5 ' +F$为二面角 ! 4E4 ( 的平面角! ' +F$."'3!在9: ( +F$中! +$ .+F, @<= "'3.$' ( 槡) % 槡.2 )! $/!#$$连接#&!)$!在平行四边形"#%& 中!$为"%!#&的中点! 因为)为+&的中点!所以+# # )$! 又因为+# 9 平面"%)!)$ 8 平面"%)! 所以+# # 平面"%)! #%$因为 ' %&"./23!且"&."%.$!所 以 ' &"%.D'3!即&" , "%! 因为+$ , 平面"#%&!"& 8 平面"#%&!所 以+$ , "&! 因为"% : +$.$!"%!+$ 8 平面+"%!所以"& , 平面+"%! 又因为"& 8 平面+"&!所以平面+"& , 平面+"%! $2!#$$设#&.5!则%'.%".%5!如图! 作&( # #%交%'于点(!则%(.&# .5! 因为%' , 平面"#%! 所以#% , %(!&( , '%! 因为'(.5!#%.%5! 所以&'. '(% 0&(槡 % 槡.2 5!又#& # %'!所以&# , 平面"#%!&# , "#!所以&". &#% 0"#槡 % 槡.2 5!所以&'.&"! #%$如图所示!取%"的中点*!连接)*!#*!则)* # %' # &#!且)*.$ % %'.&#! 所以四边形)*#&为平行四边形!所以)& # #*! 因为'% , 平面"#%!所以'% , #*!'% , )&! 由#$$知&'.&"!)为'"的中点!所以&) , "'! 因为'% : "'.'!'% 8 平面"'%!"' 8 平面"'%! 所以&) , 平面"'%!又&) 8 平面#&)!所以平面#&) , 平 面'%"! #)$由#%$知&) , 平面"'%!而&) 8 平面&'"!所以平面 &'" , 平面'%"! 练案!)D" $!*! $ 当E #( 时!又8E ,! !则 !,( !5&直线E # 平面 ( '是 &平面 !, 平面 ( '的充分条件" % 当 !,( 时!又8E ,! !则 E #( 或E 8( !5&直线E # 平面 ( '不是&平面 !, 平面 ( '的必 要条件!5E #( 是 !,( 的充分不必要条件!故选*! %!,!8 ! 4E4 ( 是直二面角!直线5在平面 ! 内!直线6在平面 ( 内!且5!6与E均不垂直!5当5 # E!且6 # E时!由平行公理 得5 # 6!即5!6可能平行!故*与-错误"当5!6垂直时!若二 面角是直二面角!则5 , E!与已知矛盾!55与6不可能垂直! 但可能平行!故选,! )!*!由已知条件可知 ' #"#C. ) / ! ' "#"C. ) " !设"#.%5!则 ##C.%5@<= ) / 槡. % 5!"C#.%5>?@) " 槡. ) 5!5在9:(##C"C 中!得"C#C.5!5"# / "C#C.% / $! /!,!8平面"#& , 平面#%&!平面"#& : 平面#%&.#&!#& , %&!%& 8 平面#%&!5%& , 平面"#&!又等边 ( "#&边长 为)!则; ( "#& . $ % "#,"&,@<= "'3. 槡D ) / !又#&.%&.)!故 D四面体"4#%&. $ ) %&,; ( "#& . 槡D ) / !故选,! 2!*+,!因为 !,( !所以存在直线5 8! !使得5 ,( !又因为 (# ) !所以5 ,) !又因为5 8! !所以 !,) !故*正确"如图 $ 所 示%在长方体中!满足 !,( !存在这样的直线E 8! !使得E #( % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % ! ('&(( 故+正确"过直线E上任意一点作直线1 ,) !根据面面垂直 的性质可知%1 8! !1 8( !所以1与直线E重合!所以E ,) !故 ,正确"如图 % 所示%在长方体中!满足 !,( !E #! !此时E #( ! 故-错误!故选*+,! "!*+,!因为&!(分别为"#!"%的中点!则&(为 ( "#%的中 位线!则#% # &(!依据线面平行的判定定理!可知#% # 平面 +&(!*成立"又'为#%的中点!且+#.+%!"#."%!则#% , +'!#% , "'!依据线面垂直的判定定理!可知#% , 平面 +"'!因为#% # &(!所以&( , 平面+"'!+成立"又&( 8 平面 +&(!则平面+&( , 平面+"'!,成立"要使平面+&( , 平面 "#%!已知"' , &(!则必须有"' , +&或"' , +(!由条件知 此垂直关系不一定成立!-不一定成立!故选*+,! G!5 8! 或5 #! !因为平面 !, 平面 ( !所以存在6 8! !使6 ,( ! 又5 ,( !所以5 # 6!即5 8! 或5 #! ! 1!%!如图!取"#的中点'!连接&'!%'!因为 ( "&#是等边三角形!所以&' , "#!当平面 "&# , 平面"#%时!因为平面"&# : 平面"#% ."#!所以&' , 平面"#%!可知&' , %'!由已 知可得&' 槡. ) !'%.$!在9:(&'%中!%&. &' % 0%'槡 % .%! D!"'3!如图!取+'.+(.5!作') , "#! 垂足为点)!连接()!'(!因为+'. +(!+).+)! ' '+). ' (+)./23! 所以 ( '+) <( (+)!所以').(). 槡% % 5!因为二面角 ! 4"#4 ( 是直二面 角!所以') , ( ! 又() 8 ( ! 所以') , ()! '( ( . 槡% % )5 % (0 槡% % )5槡 % .5!所以('+(是等边三角形! ' '+(."'3! $'!设"(.'(.5!则#'.%5! 如图!过点"作") , #'于点)! 8"( # #'!5") , "(! 又8"( , '(!5") # '(! 又"(.'(! 5四边形")'(是正方形! 5").5!').)#.5!5"'."# 槡.% 5! 5"' % 0"# % .'# % !5"' , "#! 又8平面"#%& , 平面"#'(!平面"#%& : 平面"#'(."#! "' 8 平面"#'(!5'" , 平面"#%&! $$!,!连接"4!如图所示!8四边形"%&'为正方形!5"' , "%! "' # %&!8平面"%&' , 平面"#%!平面"%&' : 平面"#%. "%!"' 8 平面"%&'!5"' , 平面"#%!8"4 8 平面"#%! 5"' , "4!8"%.#%.%! ' "%#.D'3!(!4分别是线段"'! #%的中点!5 "4. "%% 0%4槡 % 槡. 2 ! "(.$! 5 (4. "4 % 0"(槡 % 槡." !5>?@'"(4."( (4 . 槡" " !8"' # %&!5%& 与4(所成角的余弦值为槡" " !故选,! $%!*+,!8底面"#%&为矩形!5"& , "#!8平面+"& , 平面 "#%&!且平面+"& : 平面"#%&."&!"# 8 平面"#%&!5"# , 平面+"&!8+& 8 平面+"&!5"# , +&!故,中说法正确" 又"# 8 平面+"#!5平面+"# , 平面+"&!故*中说法正 确"同理可证平面+"& , 平面+&%!故+中说法正确"假设平 面+"& , 平面+#%!8平面+"& , 平面"#%&!且平面+#% : 平面"#%&.#%!5#% , 平面+"&!5#% , "&!与#% # "& 矛盾!故-中说法错误!故选*+,! $)! ) !因为&) 8 平面& $ &%% $ !#% , 平面& $ &%% $ !故&) , #%!又因为平面")& , 平面#)%!故要满足题意!只需&) , )%即可!又点)在平面& $ &%% $ 内!故点)的轨迹是平面 & $ &%% $ 内!以&%为直径的半圆#不包含&!%$!又正方体棱 长为%!故该半圆的半径为$!故其轨迹长度为%) % . ) ! $/!#$$证明%8"#.#%.#&.%! ' "#%. ' &#%.$%'3! 5 ( "#% <( &#%!5"%.&%! 84为"&的中点!5%4 , "&!同理#4 , "&! 8%4 : #4.4!%4!#4 8 平面#4%!5"& , 平面#4%! 又'!(分别是"%!%&的中点! 5'( # "&!5'( , 平面#%4! #%$在平面"#%内!作"$ , %#!交%#的延长线于$!连 接#(! 8 ( "#%和 ( #%&所在平面互相垂直!平面"#% : 平面#%& .#%!且"$ 8 平面"#%! 5"$ , 平面#%&! 84为"&的中点!54到平面#%&的距离<是"$长度的 一半! 在 ( "$#中!"$."#, 槡@<= "'3. ) ! 5< . 槡) % ! 在 ( #%&中!#(.#&,>?@"'3.% ($ % .$! &(.#&, 槡@<= "'3. ) !5&% 槡.% ) ! 故; ( &%# . $ % #(,&%. $ % 槡槡($ (% ) . ) ! 5D &4#%4 .D 44#%& . $ ) ; ( &%# ,< . $ ) 槡() (槡) % . $ % ! $2!#$$证明%8"'."(!5"'."#.'#!5 ( "#'是等边三 角形! 84#.4'!54为#'中点!故"4 , #'! 5"4 , "(! 8"& , 平面"#'(!5"& , "4! 8"( : "&."!5"4 , 平面"&(! 8"4 8 平面"%4!5平面"%4 , 平面"&(! #%$选 $ !由#$$知"4 , 平面"&(! 8#% # "&!#' # "(!#% : #'.#! 5平面#%' # 平面"&(!5"4 , 平面#%'! 8%4 8 平面#%'!4' 8 平面#%'! 5"4 , %4!"4 , 4'! 5 ' %4'为二面角%4"44(的平面角! 8#% 槡.%"# 槡.% % !#4.$! 5%4.)!5>?@ ' %4#. $ ) !5>?@ ' %4'.4 $ ) ! 5二面角%4"44(的余弦值为4$ ) ! 选 % !由#$$得"4 , 平面"&( % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % ! (#&(( 8#% # "&!#' # "(!#% : #'.#! 5平面#%' # 平面"&(!5"4 , 平面#%'! 8%4 8 平面#%'!4' 8 平面#%'! 5"4 , %4!"4 , 4'! 5 ' %4'为二面角%4"44(的平面角! 8#%."4 槡.) !#4.$!5%4.%! 5>?@ ' %4#. $ % ! 5>?@ ' %4'.4 $ % !5二面角%4"44(的余弦值为4$ % ! 练案!/'" $!,!在简单随机抽样中!总体中的每个个体在每次抽取时被抽 到的可能性相同!故选,! %!-!由简单随机抽样的定义知!每个个体在每次抽取中都有相 同的可能性被抽到!故高一#2$班在每次抽取中被抽到的可能 性都是$ $' !故选-! )!+!设#%$班的平均分为.分!则有%1) (/2 02'.0D$ (22 /2 02' 022 . 1"!"!解得..12!故选+! /!+!由于第一次剔除时采用抽签法!对每个人来说可能性相 等!然后随机抽取$'人对每个人的机会也是均等的!所以总 的来说每个人的机会都是均等的!被抽到的可能性都是相等 的!故选+! 2!,!有效编号为%$%!'%!'$!'/!$2!%'!%D!得到选出来的第G 个个体的编号为%D!故选,! "!*-!对于*中!从2'个零件中随机抽取2个做质量检验!符 合简单随机抽样的定义和条件!所以是简单随机抽样"对于+ 中!从2'个零件中一次性抽取2个做质量检验!不符合简单 随机抽样的使用条件!不是简单随机抽样"对于,中!从整数 集中随机抽取$'个分析奇偶性!其中整数集为无限集!不符 合简单随机抽样的条件!不是简单随机抽样"对于-中!运动 员从1个跑道中随机选取一个跑道!符合简单随机抽样的定 义和条件!所以是简单随机抽样!故选*-! G!'! > L.$ ) #. L 00 L $ . > L.$ ) . L 0 > L.$ ) 0 L .# 4$ 0' 0$$ 0# 4% 0' 0%$ .'! 1!/ '''!简单随机抽样中!每个个体被抽到的可能性相等!即 /' * .$!!解得*./ '''! D!'!"!$'名学员投中的平均次数为/ (2 0) (" 0% (G 0$ (1 $' ."!所以投中的比例约为" $' .'!"! $'!抽签法% 第一步!将2'名志愿者编号!号码为'$!'%!')!1!2'" 第二步!将号码分别写在相同的纸条上!揉成团!制成号签" 第三步!将得到的号签放到一个不透明的盒子中!充分搅匀" 第四步!从盒子中依次不放回地取出$'个号签!并记录上面 的编号" 第五步!与所得号码对应的志愿者就是医疗小组成员! 随机数法% #$$将2'名志愿者编号!号码为'$!'%!')!1!2'" #%$准备$'个大小!质地均匀的小球!小球上分别写上数字 '!$!%!1!D" #)$把小球放入一个不透明的容器中!搅拌均匀!从容器中有 放回地抽取%次!并把第一次)第二次抽到的小球上的数字 分别作为十位)个位数字!这样就生成了一个随机数!如果这 个随机数在'$ K2'范围内!就代表了对应编号的志愿者被 抽中!否则舍弃编号" #/$生成随机数!如果生成的随机数有重复!则剔除并重新生 成随机数!直到抽中$'名志愿者为止! $$!-!用随机数法抽样!每个个体都有可能被抽到且各个个体 被抽到的可能性相等!故选-! $%!-!由抽样调查的意义可知该校女学生的平均身高约为 $/1!) >7! $)!'!D!设%' 个数分别为. $ !. % !1!. %' !且. %' 就是输错的数 据!则求出的平均数为...$ 0.% 01 0.$D 01" %' !实际平均数 .C. . $ 0. % 01 0. $D 0"1 %' !5求出的平均数与实际平均数的 差.4.C.1" 4"1 %' .'!D! $/!#$$ $ %'' (#$ ($2 0% ("' 0) ("2 0/ ()2 02 (%' 0" (2$ . $ %'' ("'' .)! 故当日这%''户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数为)! #%$) ()"2 ($'' .$'D 2''! 由此估计全市所有家庭每年丢弃塑料袋$'D 2''万个! $2!#$$王老师的平均分%D1 0D2 0D" ) 3 D"!)#分$! 张老师的平均分%D' 0DD 0D1 ) 3 D2!G#分$! 王老师的平均分较高!王老师被评为优秀! #%$王老师的平均分%D1 (%'! 0D2 ("'! 0D" (%'! . D2!1#分$!张老师的平均分%D' (%'! 0DD ("'! 0D1 ( %'! .DG#分$!故张老师的平均分较高!张老师被评为优秀! 练案!/$" $!+!根据分层随机抽样的方法!可得选2西游记3的学生抽取 的人数为/' ($%2 2'' .$'! %!,!因为在甲)乙)丙三个城市抽取的人数分别为5!6!9!且满 足5 09.%6!所以乙城市抽取的人数占总抽取的人数的$ ) ! 所以乙城市抽取的人数为) "'' ($ ) .$ %''!故选,! )!+!依题意!该田径队运动员的平均身高为$GG!2 (/ G 0 $"1!/ ( ) G .$G)!" >7!故选+! /!,!每层的个体数不一定都一样多!故*错误"由于每层的容 量不一定相等!每层抽同样多的个体!从整个总体来看!各层 之间的个体被抽取的可能性显然就不一样了!故+错误"选项 ,正确"每层抽取的个体数是有限制的!不可能无限大!故- 错误! 2!*+!易知应采用分层随机抽样法抽取!故*正确"由题意可 得高一年级的人数为%' (2' .$ '''!高二年级的人数为)' ( /2 .$ )2'!则高一年级应抽取的人数为%)2 ( $ ''' $ ''' 0$ )2' . $''!高二年级应抽取的人数为%)2 4$'' .$)2!所以高一)高 二年级应分别抽取$''人和$)2人!故+正确"乙被抽到的可 能性与甲一样大!故,错误"该问题中的总体是高一)高二年 级的全体学生的视力!故-错误!故选*+! "!+-!因为运动队有足球运动员$1人!篮球运动员$%人!乒乓 球运动员"人!所以当样本容量为2时!分层随机抽样的抽样 比为2 )" !则足球运动员为2 )" ($1 . 2 % 人!篮球运动员为2 )" ( $% . 2 ) 人!乒乓球运动员为2 )" (" . 2 " 人!所以2是"的整数 倍!故选+-! G!$%!设样本中的老年教师人数为.!则. )' . % 2 !故..$%! 1!)"!由题意!得%/ $%' . / 2 0/0) !所以/.%!所以%种型号的产 品抽取的件数为$%' ( ) 2 0% 0) .)" % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % ! ((&((