练案37 8.6.2 第2课时 直线与平面垂直的性质-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

练案!/;" """"第八章"8!#"8!#!."!第二课时"直线与 平面垂直的性质# """""""""""""""" $组!基础巩固 !!已知5和6是两条不同的直线$ $ 和 % 是两个 不重合的平面$那么下面给出的条件中$一定 能推出5 )% 的是 !""" $! $$% $且5 5$ %!5 $ 6$且6 )% &!5 ) 6$且6 5% '!5 ) 6$且6 $% "!给出下列条件!其中)为直线$ $ 为平面", ! )垂直于 $ 内的一五边形的两条边' " )垂直于 $ 内三条不都平行的直线' # )垂直于 $ 内无数条直线' % )垂直于 $ 内正六边形的三条边! 其中能够推出) $ 的所有条件的序号是 !""" $! " %! !# &! "% '! # #!已知5$6为异面直线$5 ) 平面 $ $6 ) 平面 % ! 直线)满足) 5$) 6$) 7$ $) 7% $则!""" $! $$% $且) $$ %! $)% $且) % &! $ 与 % 相交$且交线垂直于) '! $ 与 % 相交$且交线平行于) $!已知HC ! '(0的直角顶点'在平面 $ 内$斜 边(0 $$ $且(0(# >-$'($'0与平面 $ 分别 成/*0和4+0角$则(0到平面 $ 的距离是 !""" $!槡+ >- %!槡# >- &!槡. / >- '!槡. # >- %!"多选#如图$.# ) 矩形#$%&所在的平面$则 下列结论中正确的是 !""" $!.$ ) $% %!.& ) %& &!.& ) $& '!.# ) $& &!"多选#如图$四边形#$%&是矩 形$沿对角线$&将 ! #$&折起 到 ! #C$&$且#C在平面$%&上 的射影"恰好在%&上$则下列结论正确的是 !""" $!#C% ) $& %!#C& ) $% &!#C% ) $% '!#C& ) #C$ '!已知#$$两点在平面 $ 的同侧$且它们与平 面 $ 的距离相等$则直线#$与平面 $ 的位置 关系是""""! (!在四面体#$%&中$#$ ) 平面$%&$$% ) %&$ 则其四个面中直角三角形的个数为""""! )!一条与平面 $ 相交的线段$其长度为!* >-$ 两端点到平面 $ 的距离分别是. >-$/ >-$则 这条线段与平面 $ 所成角的大小是""""! !*!已知正方体#$%&9# ! $ ! % ! & ! 的棱长为槡. $ 求平面#$ ! & ! 到平面$% ! &的距离 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ! &$%#& %组!综合运用 !!!".*.4!南阳阶段检测#如图$设平面 $4 平 面 % (./$'0 ) 平面 $ $(1 ) 平面 $ $垂足分 别为0$1!为使./ ) 01$则需增加的一个条 件是 !""" $!'( ) 平面 $ %!'( ) 平面 % &!./ ) 0' '!./ ) (1 !"!"多选#如图$等边三角形#$%的 边长为!$$%边上的高为#&$沿 #&把 ! #$%折起来$则 !""" $!在折起的过程中始终有#& ) 平面&$C% %!三棱锥#9&$C%的体积的最大值为槡/ 48 &!当 ' $C&%(#*0时$点#到$C%的距离 为槡!+ 4 '!当 ' $C&%(1*0时$点%到平面#&$C的距 离为! / !#!如图$在四棱锥.9#$%& 中$已知底面#$%&是矩形$ #$(.$#&(7$.& ) 平面 #$%&$若边#$上存在点 ,$使得., ) %,$则实数7 的取值范围是 """"! !$!如图$在直角梯形#$%&中$#& $ $%$#( $ . $ #&(!$#$(.$$%(/$将梯形沿中位线'( 折起使#' ) $'$并连接#$$&%得到多面体 #'$9&(%$连接&'$$&$$(! !!"求证,&( ) 平面$'&' !."求点'到平面$&(的距离! &组!拓展提升 !%!如图$在四面体.9#$%中$.# ) 平面#$%$ .#(#$(!$$% 槡(/ $#%(.! !!"证明,$% ) 平面.#$' !."在线段.%上是否存在点&$使得#% ) $&% 若存在$求出.&的值$若不存在$ 请说明理由 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ! &%%#& 中有ADL平面BED,故④正确.故选A DQ) 在△r中，+F-(停)广+(9)1= .∠AFB=90°，..AC⊥BE. :GF⊥平而ABCD,ACC平而ABCD,÷.AC⊥GF 又，BEOGF=F,BE,GFC平面BEG. ,∴.AF⊥平而BEG (2)由(I)知AF⊥平面BEG 13.ABD连接AB,A,C,AD,则E为AB的中点.BB,⊥平 ,AF是三棱锥A-BEG的高， 面AB,CD.A,C,C平面A,BC,D,BB,⊥A,C,E,F分 别为A,B,BC的中点，∴，EF∥A,C,EF⊥BB,故A中结论 又Af=gAF=PC.G 3 正确：几何体ABCD-A,B,CD为正方体，.四边形 在△BEG中，易知FG⊥BE. ABCD,为正方形，则AC:⊥B,D,又AC1⊥BB,BD∩ BB,=B,,B,D,,BB,C平面BDDB,∴.AC,⊥平面BDDB :EF∥A,C,EF⊥平面BDD,B,故B中结论正确；易知 54s版，fG=2 △A,C,D为等边三角形，则∠A,C,D=60°，EF∥A,C, ÷EF与C,D所成的角为60°，故C中结论错误；：EF∥A,C 、1=×S△G×AF=3X4×-6} 336 EF4平面A,B,C,D,A,G,C平面A,B,C,D,·EF∥平面 A,B,C,D,故D中结论正确.故选ABD. 设点E到平面ABG的距离为h,易知BF-EP=气BG 3 G=14G=5 又AB=I,△ABG是等腰三角形，作底边AG的高构造直角 三角形易得SAc=点】 6 六城=-，即 5×sa×h=6fs初 10 14.(1)取PD的中点E,连接NE.AE,如图， 六直线G与平面c所成角的正装值为合一票 D 练案[37] 1.B由a∥B,且mC《,知m∥B.A不符合题意：由n⊥B,知n 垂直于平面B内的任意直线，再由m∥n,知m也垂直于B内 M 的任意直线，所以m⊥B,B符合题意：由C,D均可得mCB或 又，N是PC的中点， m∥B或m与B相交，CD不符合题意.故选B. NE/DC且NE=2DC 2.C如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该 直线与此平面垂直.①③都有可能垂直的是平行直线，不能推 又：Dc/AB且DC=AB,4AM=2B, 出1⊥.故选C 3,D由于m,n为异面直线，m⊥平面a,n⊥平面B,则平面《与 AW/cD且AW=CD, 平面B必相交但未必垂直，且交线垂直于直线m,,又直线( 满足（⊥m.l⊥n.则交线平行于1.故选D. .NE∥AM,且NE=AM 4.B如图所示，过F,G分别作FA⊥a,GB⊥，A,B分别为垂 :四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE 足，连接AE,EB,∴，∠FEA=30°，∠GEB=45°，在Rt△FAE中， AEC平面PAD,MN文平面PAD .MN∥平面PAD FE=2FA,在R△GBE中，EG=2BG.设FG到平面a的距离 为d,则d=FA=GB.在R△FEG中，EFP+EG=36,即4P+ (2)PA⊥平面ABCD ·∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角. 2=36.=6.所以d=6cm ∴∠PDA=45°，.AP=AD. ,'E是PD的中点，∴，AE⊥PD 又：MN∥AE.∴.MN⊥PD ,PA⊥平面ABCD.CDC平面ABCD.∴，PA⊥CD 又：CD⊥AD.PA∩AD=A.PA.ADC平面PAD .CD⊥平而PAD 5.ABD·PA⊥矩形ABCD,BDC矩形ABCD,.PA⊥BD.故D ,AEC平面PAD..CD⊥AE,∴.CD⊥MN 正确：若PD⊥BD,则BD⊥平面PAD,又BA⊥平面PAD,则过 又CD∩PD=D,CD.PDC平而PCD..MN⊥平面PCD. 平而外一点有两条直线与平面垂直，故PD⊥D不正确，故C 15.(1)证明：四边形ABCD为矩形， 不正确：，PA⊥矩形ABCD,,PA⊥CD,AD⊥CD,∴.CD⊥平面 AF EF AE 1 六△AEF∽ACBF,CF-BF-B-2 PAD,.PD⊥CD,故B正确：PA⊥矩形ABCD,PA⊥BC,又 在矩形ABCD中，AB⊥BC,又PA∩AB=A.∴.CB⊥平面PAB. 在矩形ABCD中，AB=1,AD=√2， ,.PB⊥BC,故A正确.故选ABD. AB=号4Ac= 6.BCD:四边形ABCD是矩形，且A'在平面BCD上的射影O 恰好在CD上.，A'O⊥平而BCD,又BCC平面BCD.∴，BC⊥ 在m△BE1中，服=G+E: A'O.又BC⊥CD,且DC∩A'O=O.∴BC⊥平面A'CD,从而BC ⊥A'D,BC⊥A'C.显然.由矩形ABCD.易知A'B⊥A'D故B、C A=C=9,F=子E=5 D正确. 3 7.平行 400 8.4如图所示，四面体ABCD中，AB⊥平面BCD,AB⊥BC,AB⊥： 因为EB⊥AE,EB⊥EF,AEOEF=E,AEC平面AEFD,EFC BD,AB⊥CD,.△ABC,△ABD为直角三角形，BC⊥CD,BC 平面AED, ∩AB=B,BC,ABC平面ABC,∴，CD⊥平面ABC..CD⊥AC 所以EB⊥平面AEFD,又有DFC平面AEFD.所以DF⊥EB, ·,△ACD,△BCD为直角三角形. 又DEOEB=E.所以DF⊥平面BED. (2)设点E到平面BDF的距离为d,因为DM⊥EF,由(I) 知，EB⊥平面AEFD, 因为DMC平面AEFD.所以DM⊥EB 因为EFC平面BEF,EBC平面BEF,EBOEF=E,所以DM ⊥平面BEF, 所以VE装E:r=V3装wg,即子Sa·DM=了S6m 9.30°如图，作出AC1a,BD上，则AC …, ∥BD,AC,D确定的平面与平面交 由BM=2,得BD=3,文DF=√2. 于CD,且CD与AB相交于O,AB=10 且由(1)知DF⊥平面BED.所以DF⊥DB. 4C=3,BD=2,则A0=6,0=4 ∴∠AOC=∠B0D=30 10.因为两平面平行，所以原问题等价于 所以w一总 求解点C,到平面AB,D,的距离h,由 4=1，即d=.放点E到平面B0r的距离为 所以6」 等体积法可得V三装G,-,=V装-G山，即× 3 I5.(1)证明：由题知AB=1,BC=3,AC=2 22×sin60°= 则AB+BC=AC2,所以AB⊥BC. 3 ×万×万×，解得=，即平面 2 又因为PA⊥平面ABC,所以PM⊥BC AB,凸，到平面BC,D的距离为5 因为PA∩AB=A.所以BC⊥平面PAB 11.B因为EG⊥平面a,FH⊥平面a,所以E,F,H,G四点共 (2)在线段PC上存在点D,当PD=时，使得AC1BD 面.又PQC平面a,所以EG⊥PQ,FH⊥PQ.若EF⊥平面B, 理由如下：如图，在平面ABC内，过点B作BE⊥AC,垂足为 则由PQC平面B,得EF⊥PQ.又EGOEF=E,所以PQ⊥平 E,在平面PAC内，过点E作DE∥PA,交PC于点D,连接 面EFHG,所以PO⊥GH,故选B. BD,由PA⊥平面ABC.知PA⊥AC 12.ABC因为AD⊥DC.AD⊥DB,且DC∩DB=D,DC,DB'C 平面DBC,所以AD⊥平面DBC,故A正确：当DB'⊥DC时， △DBC的面积最大，此时三棱锥A-DBC的体积也最大，最 大值为时×停x宁宁x宁-得故B正确：当L心 60°时，△DB'C是等边三角形，设BC的中点为E,连接AE 则AE⊥BC,即AE为点A到BC的距离，AE= 所以DE⊥AC.所以AC⊥平面DBE. √P-(仔=平放C正确：当∠BC=0时.D1 又因为BDC平面DBE, 所以AC⊥BD. DB,CD⊥AD,故CD⊥平面ADB,则CD就是点C到平面 在△ABC中，BE=4B,BC= AC 2 ADB"的距离，则CD=之，故D不正确. 所以AE=】 13.(0.1]连接DM,如图，因为PD⊥平面ABCD.所以PD⊥ = CM.又PM⊥CM.且PD∩PM=P,所以CM⊥平面PDM.所以 CM⊥DM,所以以DC为直径的圆与AB有交点，所以0<a 所以号-得所以D35m= 4 ≤1， 练案[38] 1.D当两点连线与平面a垂直时，可作无数个垂面，否则，只 有1个，故选D. 2.Cn⊥B,m∥n,.m⊥B,又mCa,由面面垂直的判定定理， 得w⊥B 3.C三棱台ABC-A,B,C中，B,C,∥BC,且B,C⊥BB,则BC 14.(1)证明：因为AD=1,BC=3,EF为直角梯形ABCD的中位 ⊥BB,,又AB⊥BB,且AB门BC=B,所以B,B⊥平面ABC,所 线，所以EF=2,且AD∥EF, 以∠ABC为二面角A-BB,-C的平面角，因为△ABC为等边 三角形.所以∠ABC=60°，故选C 4.C由PA⊥底面ABCD,可得PA⊥AD,PA⊥CD,又底面ABCD 为矩形，∴.AD⊥AB,CD⊥AD,而AB∩PA=A,ADOPA=A, ,AD⊥平面PAB,CD⊥平面PAD,平面PAD⊥平面PAB,平 面PCD⊥平面PAD,又BC∥AD.∴，BC⊥平面PAB.平面PBC ⊥平面PAB,选项A,B、D可证明.故选C 5.BC若a∥B,lB,则1∥a或1Ca,故A不正确：若1⊥，l⊥ B,则a∥B,故B正确：如图，若⊥a,1∥B,过I的平面y与B 过D作DM⊥EF,垂足为M, 相交，设交线为m,l∥B,lCy,Bny=m,则l∥m,:l⊥a,则 则DF=2,DE=2,EF=2,所以EF=DF+DE,所以DE m⊥a,mCB,故a⊥B,故C正确；若a⊥B,l∥B,则1与a不 ⊥DF. 一定垂直，故D不正确.故选BC 401