8.6.2 第2课时 直线与平面垂直的性质 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

课后达标 检测 A 基础达标 1．已知两条直线,和平面 ，且 ,则下列说法错误的是（ ） A. 若,则 B. 若 ,则 C. 若 ，则 D. 若,则 【答案】A 【解析】选A.若,则 或 ,A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若 ，则,C正确；若， ,则 ，D正确. 2．已知，若直线,,直线,,则,的位置关系是（ ） A. 相交但不垂直 B. 异面 C. 平行 D. 相交且垂直 【答案】C 【解析】选C.依题意知 平面, 平面，所以. 3．在空间中，到圆周上各点距离相等的点的集合表示的图形是（ ） A. 一个点 B. 一条直线 C. 一个平面 D. 一个球面 【答案】B 【解析】选B.过圆的圆心作此圆所在平面的垂线，则垂线上的点到圆周上各点的距离相等，所以到圆周上各点距离相等的点的集合表示的图形是一条直线.故选B. 4．在三棱锥中， 平面，垂足为，且，则点一定是的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 【答案】B 【解析】选B.如图所示，分别连接，，，因为 平面，可得，，，又因为，利用勾股定理，可得，所以点 一定是 的外心.故选B. 5．如图，在梯形中，，， 平面，且,则到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.因为, 平面， 平面， 所以 平面. 过点A作 于点（图略）. 因为 平面， 平面,所以， 又，，， 平面， 所以 平面. 因为 平面，所以, 又,， 平面， 所以 平面， 即 的长为 到平面 的距离. 在等腰直角三角形 中，， 所以,故 到平面 的距离为. 6．（多选）如图，四边形是矩形，沿对角线将折起到，且在平面上的射影恰好在上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】选.因为四边形 是矩形，且 在平面 上的射影 恰好在 上，所以 平面，又 平面，所以，又，且,， 平面，所以 平面.因为， 平面，所以，.显然，由矩形，易知，故B，C，D正确.假设,因为 平面， 平面，所以.又，, 平面，所以 平面，因为 平面，所以，显然不成立，所以假设不成立，故A错误. 7．如图，已知 平面, 平面,且,,则______. 【答案】6 【解析】因为 平面, 平面,所以.因为,所以四边形 是平行四边形，所以. 8．如图，在三棱锥中， 平面，是侧面上的一点，过点作平面的垂线，其中，则与平面的位置关系是____. 【答案】平行 【解析】因为 平面， 平面，所以.又 平面， 平面，所以 平面. 9．[2024·天津市河东区期末]如图，在四棱锥中， 底面，底面是直角梯形，, ,，，点为棱的中点，则点到直线的距离为________. 【答案】 【解析】因为 平面， 平面，所以. 因为四边形 是直角梯形， ，，，，连接（图略）， 所以，， 所以，即. 因为，， 平面， 所以 平面，又 平面， 所以，即点 到直线 的距离是. 因为 是 的中点，所以点 到直线 的距离等于点 到直线 的距离的一半，即为. 10．如图， 平面， 平面，,分别为,上的点，且.求证：. 证明：因为 平面， 平面， 平面,, 平面， 所以,,. 又,, 平面, 所以 平面. 因为,, PC, 平面， 所以 平面，所以, 所以. B 能力提升 11．在长方体中，，分别为棱，的中点，，则到平面的距离为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】选C.如图，连接，易知，因为 平面， 平面，所以 平面，所以 到平面 的距离为点 到平面 的距离.又点 到平面 的距离为，所以 到平面 的距离为2.故选C. 12．（多选）如图，正方体的棱长为3，线段上有两个动点，，且，则（ ） A. B. 异面直线,所成角为定值 C. 点到平面的距离为定值 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】选.如图，连接 交 于点，由，，，, 平面，可得 平面，因为 平面，所以，故A正确；连接,，当 与 重合时，，异面直线,所成角是；当 与 重合时，，异面直线，所成角是，显然 与 不相等，故异面直线,所成的角不是定值，故B错误；点A到平面 的距离是，即点A到平面 的距离是，为定值，故C正确；为三棱锥 的高，又，故三棱锥 的体积为，为定值，故D正确. 13．如图，在长方体中，，，则直线与平面的距离为________. 【答案】 【解析】因为 为长方体，所以 平面，如图，过点 作 于点，易知，，， 平面，所以 平面，所以直线 与平面 的距离为.在 中，由等面积法可得. 14．如图，已知为圆柱底面圆的直径，为的中点，点为圆柱底面圆上一点， 平面，，过点作，交于点. （1） 求证：； （2） 若点到平面的距离为1，求圆柱的表面积. 【答案】 （1） 证明：因为 为圆柱 底面圆 的直径，所以，因为 平面， 平面，所以，又因为，， 平面，所以 平面. 因为 平面，所以， 又因为，且，， 平面，所以 平面.因为 平面，所以. （2） 解：连接（图略），因为 为 的中点，所以. 因为 平面， 平面，则，又因为,, 平面， 所以 平面，所以点 到平面 的距离为,所以. 所以圆柱 的表面积为 . C 素养拓展 15．（多选）如图，等边三角形的边长为1，边上的高为，沿把折起来，得到，则（ ） A. 在折起的过程中始终有 平面 B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 当 时，点到的距离为 D. 当 时，点到平面的距离为 【答案】ABC 【解析】选.因为，，且,, 平面，所以 平面，故A正确；当 时，的面积最大，此时三棱锥 的体积也最大，最大值为，故B正确；当 时，是等边三角形，设 的中点为，连接（图略），则，即 为点A到 的距离，，故C正确；当 时，，，且，, 平面，故 平面，则 就是点C到平面 的距离，则，故D不正确. 16．如图，直角梯形与梯形全等，其中，，且 平面，是的中点. （1） 求证：平面平面； （2） 求平面与平面间的距离. 【答案】 （1） 证明：因为，，是 的中点，所以四边形 为平行四边形， 所以, 又因为 平面, 平面, 所以 平面. 因为直角梯形 与梯形 全等， 所以，又因为, 所以四边形 为平行四边形， 所以, 又因为 平面, 平面, 所以 平面. 因为,, 平面, 所以平面 平面. （2） 解：由（1）得，平面 与平面 间的距离等于点 到平面 的距离，设为, 因为 平面,, 平面, 所以,, 所以， 连接,（图略），由, 得，解得, 所以平面 与平面 间的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $