练案11 6.3.5 专项提升 平面向量中的最值(范围)问题-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

练案[11] 专项提升平面向量中的最值（范围）问题 1.如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，7.设点O(0,0),A(1,0),B(0,1),P是线段AB 且而=x店+y花，则+4的最小值为 上的一个动点，AP=入AB若O丽·AB≥P· PB,则实数入的取值范围是 () A7≤A≤1 B.1-2 AsI A.3 B.4 C.5 D.9 c≤A≤1+号 D.1-2≤A≤1+ 2 2.已知点A(4,3)和B(1,2),0为坐标原点，则8.已知向量0与0店的夹角为0,10i1=2, 1OA+tOB1(t∈R)的最小值为 ( 101=1,0=10i,00=(1-)0i,1P1在 A52 B.5 C.3 D.5 3.已知向量a,b满足1a|=1,(a-b)⊥(3a- 6时取得最小值.当0<o<时，夹角9的取 b),则a与b的夹角的最大值为 ( 值范围为 () 入君 B号 c D. 6 Ao,5) R(胥) 4.已知M是边长为1的正三角形ABC的边AC c(5) n.(o,2) 上的动点，N为AB的中点，则B·M示的取值 范围是 9.（多选)已知向量a=(-3,2),b=(2,1),c= 川-别 B子引 (入，-1），入∈R,4∈R,则 () A若a/e,则A=号 c[-号引 n-房，引 B.若(a+2b)⊥c,则A=4 5.设e1,e2为单位向量，非零向量b=xe1+ye2, C.若a=b+c,则入+1=-4 x,yeR,若c,4的夹角为石，则的最小值 Da+b1的最小值为75 为 10.(多选)如图，正方形ABCD的边长为2，动点 A. B.Z C.1 D.4 P在正方形内部及边上运动，AP=入AB+ 6.如图，延长线段AB到点C,使得AB=2B元，D 4AD,则下列结论正确的有 () 点在线段BC上运动，点O直线AB,满足 O品=AOi+uOB,则4的取值范围是 A.点P在线段BC上时，AB·AP为定值 B.点P在线段CD上时，AB·A乎为定值 [- B[-2,引 C.入+4的最大值为2 c[-3o] D.[-1,1] 几使入+24=的P点轨迹长度为号 -225 11.(多选)如图，正方形ABCD 17.已知AB·AC=0,M是线段BC的中点， 中，E为AB中点，M为线段 (1)若1AB1=21AC1,求向量AB-AC与向量 AD上的动点，Bi=AB配+ A店+AC的夹角的余弦值： uBD,则下列结论正确的是 (2)若O是线段AM上任意一点，且IABI= ( 21AC=2,求0.0丽+0C.0i的最 A当M为线段AD的中点时，A+μ= 3 小值。 R4的最大值为号 C.4的取值范围为[0,1] DA+μ的取值范围为2,2 12.（多选)设e,e2均为单位向量，对任意的实 数1有e+2≤1e,+1e,1恒成立，则 Ac,与，的夹角为号 B.e1+2e=2 Ce,-1e,1的最小值为号 D.16+1(6,-6)1的最小值为对 13.已知lal=1b|=a·b=2,c=(2-4λ)a+ Ab,则(c-a)·(c-b)的最小值为 14.已知1a1=21b1≠0，且关于x的方程x2+ |alx+a·b=0有实根，则a和b的夹角的 取值范围是 15.已知e,4是夹角为于的两个单位向量，非零 向量b=xe1+ye2,x,y∈R,若x+2y=2,则 1b1的最小值为 16.已知平面向量a,b,c满足a与b的夹角为锐 角，la=4,Ib1=2,Ic1=1,且Ib+1aI的最 小值为√3，则实数1= ,向量(c- 小·(c-b)的取值范围为 -2266.ACD由题意得，a-b=(5,0),所以a与a-b夹角的余弦值 为2X5+1×0-25,故A正确：由题意得，a+b=(-1,2). 所u成子 W22+下×55 因为c与a方向相反，所以c=(-2,-4). 所以(a+b)·a=-1×2+1×2=0.所以(a+b)⊥a,故B不 (2)因为(a+2b)⊥(2a-b). 所以(a+2b)·(2a-b)=0: 正确：易知ab=2x（-3)+1×1=3=-.所以向 即21a2+3a·b-21b12=0. b1 √(-3)+下10 量0在向量6上的投影向量的模为，故C正确：因为。 所以2x5+3ah-2×存=0， 2.c=(停25)所以c=2x 所以a一子 +1×(-) 所以m0=治=-1 =0,所以a⊥c,故D正确.故选ACD. 7.-1由题意得ma-b=(m+1,-m),根据向量垂直的充要 又因为8∈[0，π]，所以8=m 条件可得1×(m+1)+0×(-m)=0,所以m=-1. 15.A因为△ABC是锐角三角形，所以A+B>号，即号>A> 8.5a=(2,1),.a2=5,又1a+b1=52,(a+b)2=50 即a2+2a·b+b=50,.5+2×10+b2=50,b2=25,.1b1 乏-B>0,又因为函数y=s血x在(0，受)上单调递增，所 =5. 9(侵号)设b=(,.b1=+了=1…2+y 以i血A>i加（于-B）=csB,所以p·9=血A-mB> 1.a·b=3x+y=v5,x2+[5(1-x)]2=1.4r2-6r 0,设p与g的夹角为0.所以m0=洛>0，又因为p与 q不共线，所以p与g的夹角是锐角. +2=0.22-3x+1=0.六当=1，南=2方=0为= 2 16.(1)依题意，y轴是等腰梯形ABCD的对称轴，则B(2,4), (1.0)是与x轴平行的向量，舍去b=(分号) C(3,0),由BC=4BE 得ad=成=是(-1,4)=(-子3成=心+成 10.(1)因为a∥b,所以可设b=Aa=(2A,A). 则1b1=√(2A)2+A2=51A1=25,解得A=±2 60)+(子3=(43 因此b=(4.2)或b=(-4.-2). (2)由已知可得1al=√22+1下=5】 所以d:成：(-）×斗+3x3 16 因为(5a-2b)⊥(a+b).所以(5a-2b)·(a+b)=5a2- (2)设F(t,0)(-3≤1≤3)，则F2=+C2=(3-1,0)+ 2h2+3a+h=3a·b-15=0. 故a·b=5, (-3=(-3小 所设oma,a:ho=宁 1 成.成=(-)（骨-）+3x3=6解得1=-子即 又(a,b)e[0,],所以(a,b)=票 Fi=(4,3),1F21=④+3=5， 11.BA店+B=Ad..n·(A店+B成)=n·A花即n·+ 而a3 n·BC=n…A元，n·BC=n·A-n·A=7-5=2 12.ABC=(2,3),A=(1,k).B成=A花-A=(-1,k 所以cs(,C=庄.正 6-817 IFELICEI 5x37 85 -3).若A=90,则.心=2x1+3×k=0k=-子：若 4 练案[11] B=90,则.成=2x(-1)+3(k-3)=0k=号：若C 1.D =90°，则花.成=1×(-1)+k(k-3)=0.六k=3±国 由题图可知y均为正数，且+y=1,子+手 y 2 故所求的值为-号浅号或 (仕+)*=5++当5+2任变9当组 x y 2 仅当子一华即宁子时等号皮立，则上+兰的最小 x Y 13.子建立平面直角坐标系如图所示. 值为9 则A(0,2),E(2,1),D(2,2),B(0 2.D由题意可得可=(4,3).0=(1.2).则0+10=(4,3) 0).C(2.0),因为A市=2F可.所以 +4(1,2)=(4+1,3+2),10i+10i1= F(子，2所以腕=(2,1).市=08十 √(4+t)2+(3+21)7=√5+20r+25=√5(1+2)2+5，结 合二次函数的性质可得，当1=-2时，10+t0=5. (分2）-(2.0)=(-子2所以应=(2… 3.A设a与b的夹角为8.8e[0.r].因为(a-b)⊥(3a-b), 所以(a-b)·(3a-b)=0,整理可得3a-4a·b+b=0,即 (-号2）=2×(-号)+1×2=号 31a2-4a·b+1b12=0.将1al=I代人3la2-4a·b+1b 14.(1)设c=(x,y),由c∥a及1cl=25. =0,可得3-4b1cs0+1b12=0,整理可得os8=4b+ 可200 中>2品要=号当且仅当高即1=5 -373- 时，取等号，故m0≥结合0e[0,],可知0的最大值 [入=9故入+1=-6，故C不正确：a+ub=(-3+2μ2+ 1t=3, 为石 u),la+b1=√(-3+24)+(2+u)F=V5m2-8+13= 4.A取AC的中点D,连接0B,以0为坐标 √5（口-号+智≥√零75当=时等号成立，即 原点，AC所在直线为x轴.OB所在直线为 y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 a(-o)(0号)N(-4) 0心1的最小值为.放D正流 10.AC以点A为坐标原点，AB,AD所在 直线分别为x,y轴建立如图所示的平 设M(x,0.-方≤x≤子，则丽 D 而直角坐标系，设点P(x,y)(0≤x≤ 2,0≤y≤2)，则AB=(2,0),AD=(0, (,-)=(-）m=-- 2),A=(x,y),AB·A=2x,当点P 在线段BC上时，x=2,市，A产=2x= 2×2=4,故A正确：当点P在线段CD E ·取最小值-是当=-名时，丽，环取最大值-器 上时，x不是定值，店·市=2x不为定值，故B错误：由A户 六耐.的取值范调是[-子，引，故选 AAB+4Ai得(x,y)=A(2,0)+u(0,2)=(2A,2μ)，则A= 之4=立，所以A+以=x+),故当=y=2时，即当点 5.Be1,e2为单位向量，非零向量b=e,+ye2,x,yeR,若 66的夹角为后66=16l6,om云-号则= P与点C重合时，A+u取得最大值2，故C正确：由A+2μ= 号得号+y=弓，直线号+y=交x轴于点5(1.0)，交y (e+e)户=2+2+2e6=+2+,则 轴于点F(0,),所以，使A+4=的P点轨迹为线段 2+y+ lxl +()+() ,且=√P+(合厂-故D误 √任+受≥√后-当且假当之时取业为点配为 方向建立平面直角坐标系，设BC=2, 等号.故选B 则B(0,0),E(0,1),D(2,2),设M(1 6.C不妨设AB=2BC=2,BD=x,xe[0,1],由平面向量三点 2),则0≤1≤2，因为B=AB成+ 共线可知.破2励+24成…励-含成 2 uBD,所以(t,2)=A(0,1)+u(2,2) A-受以=2告兰e[0.小，则如=-2 =(2u,A+2）,所以2μ=t,A+24= 4 2,即A=2-4μ=乞因为M为线段 -+2)=-(x+1)+÷se【0.11, AD的中点，所以1=1，故A+=2-子-号A正确：=(2 ∴ue[-子. -)片=1-之，0≤1≤2，当1=1时如取最大值为分，B 7.BA=AAB-0=(1-A)O+A0=(1-A,A),P=A -A币=(1-A)A2=(A-1,1-A),=AAB=(-A,A),0 正确：因为4=，0≤1≤2，所以0≤≤1，μ的取值范围为 ,A≥pi.Pi=(1-A,A)·(-1,1)≥(A,-A)·(A-1,1 [0,川，C正确A+=2-方0≤≤2，所以1≤A+u≤2，所 -A)→2-4从+1≤0，解得1-号≤A≤1+受因为P是线 以A+:的取值范围为[1,2]，D错误故选ABC. 段AB上的一个动点，所以0≤≤1，即满足条件的实数的2D设6，心：的夹角为0,6+≤6，+e1,两边平方 取值范是1一号≤A≤1故连取 可得子+ms0≤+20m0+1,即+2m0x1-子-m0 8.C由题意可得0i.0成=2×1×csg=2osa,P0=0d-0币 ≥0对任意的1恒成立，故可得4=4cs0+4s0+1≤0.既 =(1-)0成-t0i.P0=(1-)20i+20-2(1-) (2as0+1≤0.则as0=-子又0e0,],故0=号r,故 0i.0i=(1-t)2+42-4(1-t)e0s0=(5+4s8)2+ (-2-4s)1+1,由二次函数知，当上式取最小值时.。= A错误：+宁-+名+6后=故B正确： }:一号由题意可得0<兮一8兮求得一之<0< 5+4c0s0 |e2-e,l=e+te-2e,·e=v√F+t+1= 0号<0<号放选C √+宁)小≥当且仅当号时取等号，放C 9ABD已知e/e,则(-3)x(-)=2×A,解得A=号，故A 错误：le+1(e,-e2)1=√Te+(t-1)e5+(t-1)= 正确：a+2b=(1,4),由于(a+2b)⊥e,则1×A+4×(-1) √3-3+1，令y=3就2-31+1，当且仅当1=2时取得最小 =0,解得A=4,故B正确：由于a=b+c,则(-3,2)=1(2， 1)+(A,-1)=(21+A,4-1).得{)3=2+入解得 值牙，故1e:+1(e,-6)1的最小值为，故D正确，故 12=1-1, 选BD. 374 13.-49 2c-a=(1-4A)a+Ab,c-b=(2-4h)a+(A-1)b, =-)=(-）- (c-a）·(c-b)=[(1-4A)a+Ab]·[(2-4A)a+ (A-1)b]=(16A2-12A+2)a+(-8A2+7A-1)a·b+ 当且仅当x=时，，0应+元.0i跟得最小值-冬 (A2-A)b,代人1a=1b1=a·b=2,原式=52A2-38A+6 小当A-是时，原式取得最小值，为-号 练案[12] 1.A￥=200+300=500(km).1al=v√200+300=100v/13(km). 14[写可由1a1=2b1≠0，且关于x的方程2+lalx+a· s>lal.故选L b=0有实根，则△=1a2-4a·b≥0，得a~b≤子a.设 2.B由30+0元=30i+0成.得3(0i-0i)=0i-0d,所以 3D=C,可得AD∥BC且AD≠BC.所以四边形ABCD一定是 梯形.故选B 向量a,b的夹角为0，则s9=a:b≤4 2,又0e3.C花·励=-12+12=0AC1BD四边形ABCD的 面积为子11·B励1=方×V4+9×V36+16=13.故 0,9e[号 选C. 4.B以A为坐标原点，AB所在直线为 15.1e6=w号=2B=+y+2ge,e=2+y+ x轴，AD所在直线为y轴，建立如图 xyx+2y=2,∴x=2-2x.∴b=(2-2y)2+y2+(2-2y)y= 所示的直角坐标系.设1A心i=a(a> 3y2-6+4=3(y-1)2+1.∴当y=1时，b°取得最小值1. 0),则A(0,0),C(4,a),D(0,a) 六1b1的最小值为L E(2,0),所以D2=(2,-a),A花=(4， 16-4[3-23,3+2,3]设a与b的夹角为6.则0e a).因为D呢1A亡，所以D尿·A元=0，所 以2×4+(-a）·a=0,即a2=8.所以a=22,所以D呢 (0.号），b+a1=F+2a·b+fd=6r+16es9+4 (2,-22),所以1D呢1=√2+(-22)2=25. =16(+受）-4o0+4,当1=-受9，上式有最小值5.泛与C的夹角为a点办的夹角为0期6： 1bl·lcl·1csa|=Ib1·1a·1es(90°±8)1=1b1· 为-4m20+4,1b+a的最小值为3，b+a2的最小 lal·sina.故选AC 值为.0+43，解得m0:±分又8e6B:0亦30应--号成丽-：兮 2 2 (0,号）小…m9>0,m0=分此时4-2=-子 小办=威，放选8 :a与b的夹角为0，且la=4,lb1=2,lcl=1,.不妨设a= 如图所示，取BC中点M,连接 (4.0),b=(2c0s 6,2sin 0)=(1.3).c=(cos a,sin a),ae R（c-2）·(e-b)=(omsa-2.sina)·(ema-l, AM,则三角形中由向量公式得亚+ A元=2Ai,又因为G为△ABC的重B ima-5)=-3casa-5ima+3=-25aim(c+号）t 心，故花=子成因此花=了( 3e[3-25,3+23]向量(c-2a·(e-b)的取值 +的放A=行 范围是[3-25,3+23]. 8.103；如图所示，由题意知，101= 17.因为A店，A心=0，所以店1A心 2m/s,10成1=1m/s,所以10元1= 以A为坐标原点，AB所在直线为， 轴，AC所在直线为y轴建立平面直角 0 √2-下=3(m/s),所以南北两岸 坐标系. 的距离为3×20=203(m):现快艇 (1)令Ad=,则C(0.a).B(2a0). 从北岸返回，速度大小不变，方向为正 南，所以时间为20,3÷2=103(s). 所以4-A心=(2a,-a),+A心=(2a,a). 即从北岸出发返回南岸的时间是 设向量A店-A心与向量A店+A心的夹角为日， 103& 所以日=鸡：+⊙。 9.iB =a.AC=b.AD =e.DB =c.DC=d. 1AB-ACI1AB+ACI 则a=e+c,b=e+d, 点 所以a2-b=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·e-2e·d-d, 由条件知，a2-b=c2-d, (2)因为=21花=2，则C(0,1),B(2,0),M1,)） 所以e·c=e·d,即e·(c-d)=0,即Ai.C=0. 所以AD⊥BC. 设0x,)xe[0.1小 10.ADP.P元=(Pi+D成)·(P +D=P市-D亦，故A正确：由A 所以.0品+0元.0=0.(0丽+0元)=2O.0m= 知，PB.P。C=P市-D成，又i 2(--受)(-3）-2(e-+苦-) ·P武≥P方·PC恒成立，.P市≥A 375