练案17 6.4.3 专项提升 解三角形中的综合问题-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

练案[17] 专项提升 解三角形中的综合问题 1.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,7.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为 已知三个向量m=(a,cos2）,n=(b a,b,c,若a=3,b2+c2-bc=3,则△ABC面积 的取值范围是 () cms分）)p=(c,ms号)共线，则△ABC为 (停3 B停3) A.等边三角形 B.钝角三角形 c,3 D.333 4,4 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 8.已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, 2.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b, b,c,且点D满足C⑦=2DA,IBD1=2,若 c.B-22-cBc 0LABC=},则2c+a的最大值为() 的平分线与BC交于点E,则AE=( A.6 B.7 C.22 D.3 A.25 B.65 5 5 3.已知△ABC的面积为√3，C=120°，c= C.5 D.35 2 beos B,则AC边上的中线长为 9.(多选)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为 A.3 B.3 C.7 D.4 a,b,c,向量m=(3,-1),n=（cosA,sinA), 4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, 若m⊥n,且acos B+bcos A=esin C,则 c,A=60°，b=3c,角A的平分线交BC于点D 且BD=√7，则cOs∠ADB= ( AA-号 B.C= 6 -牙c2 D.±2I 7 CB=君 DC=号 5.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,e, 10.(多选)在Rt△ABC中，C=90°，角A的平分 且BC边上的高为？，则之+号的最大值为 线交BC于点D,AD=1,es∠BAC=8,以下 结论正确的是 A.8 B.6 C.32 D.4 A.AB=8 6.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b, BCD、1 C,LBMC=牙，D是BC上一点，且BD=3DC, BD8 C.AB=6 AD=3,则△ABC面积的最大值是 A.33B.43 C.53 D.63 D.△ABD的面积为37 4 —238 11.(多选)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分16.已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a, 别为a,b,c,且(a+b):(a+c):(b+c)= 6c,满足in4-若)m(4+）=-号 9:10:11,则下列结论正确的是() (1)求角A的大小： A.sin A sin B sin C=4 5 6 (2)若△ABC为锐角三角形，a=1,求△ABC B.△ABC是钝角三角形 周长的取值范围。 C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍 D.若c=6,则△ABC外接圆的半径为8 12.(多选)如图，△ABC的内角A,B,C所对的边 分别为a,b,c,√3(acos C+ccosA)=2b· sin B,LCMB=写，若D是△ABC外一点， DC=1,AD=3,则下列说法正确的是() AB=号 R.LACB=号 C四边形ABCD面积的最大值为5,5+3 2 D.四边形ABCD的面积无最大值 13.已知△ABC的三个内角满足2B=A+C,且 AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为 14.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a, 6,c,若2 sin Asin Beos C=sin2C,则+ ,角C的最大值为 15.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a, b,c,且满足b2+c2-a2=bc,a=3,则b+c 的取值范围是 -239-练案[17] 石=受即A=号时，4如(4+君)有最大值，且最大值为4 1A向量m,n共线dam号=os兰，由正弦定理得 “:+后的最大值为4 血号=2分·m分m号 B = 6.B设CD=x,∠ADB=0.则BD=3x,在△ACD中.由余弦定 理得b=9+x+6xesB①，在△ABD中，由余弦定理得e A =9+9x2-18xcs0②，联立①2，消去com0得3b2+c2=36 +12x2③，在△4BC中，由余弦定理得6+2-bc=16x2 号：0<号<号.0<号<受=号即A=B,同理 ④，联立③④，消去x得144=962+c2+3bc≥6c+36c=96 (当且仅当36=c时，等号成立).c∈16..S。= 可得B=C,△ABC为等边三角形.故选A 2.AB+C2-a2=Bbc,e∠BAC=口=2，B cm≤×16x号=4.故选B =LMCe(0,号）∠BMC=石C=若 .A由于。店公+2-k=3,mA+4=分，且 2be Ae0,m),所以4=号，那么外接圆半径为R=方×-1， 23 3 ￥2 =2.AE平分∠BAC,∴.∠BAE= 2 所以3ae=oinA-年2RmB·2Rsn(停-B） 1 nB(停B+B）=B+B= mgA=B。2 AE sin∠AEB ×im22×5 3 2v6 3 4 n28+号（份-28）-9（停-2m2n) 2 3.C由题意结合正弦定理得sinC=2 sin Beos B,即inC= sin2B,因为B,C为△4BC的内角，所以C=2B或C+2B= +厚=身(B-君）+厚由于△c为能角三角形，所 180°，当C=2B时，B=60°，不符合三角形内角和定理，当C+ 以0<B<号0<C=m-A-B=要-B<号所以若<B< 2B=180°时，B=30°，故A=30°，因此a=b,因为△ABC的面 积为5，所以·。…夏=，解得4=2（负值会去），即 吾所以后<2B-君<若<m(B-君）≤1放号< 2 b=2.由余弦定理可知AB=√AC+BC-2AC·BC·sLACB Sw≤3故选人 “√4+4-2x2x2×()=25.设4C边的中点为D,8A易知励=瓜+花①励=成+动②.①×2+②朋 则励=（成+厨耐），因此励1=子（成+）= 2+B武+2⑦+C⑦=3B励，C=2D.3励=2B+ B武，两边平方得91B12=41所12+4B·B武+1B成12，即18 含成++2屁.同-42+2x2×2×号 =4e2+2+41B11BC1cos∠ABC,即18=4c2+a2+ae= 7,故选C (2c+aj2-3c=(2c+a)2-}2a.2c≤(2Ψ）， 4.B因为A=60°，角A的平分线交BC于点D,所以∠CMD= 2b:0:m30 当且仅当a=2c时等号成立(2c+a)2-18=子·2e·a≤ ∠BAD=30.又b=3c所以0=3 2c·AD·im30 1 是·(2），令2+a=1,则户-18≤1>0.解得0<1 b=3.因为D=7,所以CD=37,a=CB=47.由余弦定 ≤，5放2x+0的最大值为 9.ACDm上n,∴.m·n=5cosA-sinA=0,即anA=5, 理可得a=+c2-26c0sA,所以112=9e+e2-2×3c·e· RD 2,解得c=4在△ABD中，由正弦定理得m∠BD :Ae(0,）A=号acos B+bcsA=esin G,根据正 弦定理可得sin Acos B+sin Beos A=sinC,即in(A+B)= c即7=DB所以m人AB=7·因为6>c, 4 sin'C.in (A B)sin C,.'.sin C=sin'C.sin C0, 7 2 血C=1C=受B=m--C=放选ACD 6 所以B>C.又因为∠ADB=30°+C,LADC=30°+B,所以10.BCD如图所示，因为AD是角平分A ∠ADB<LADC,所以∠ADB为锐角，所以s∠ADB=2T 线，设∠CMD=∠DAB=,则∠BAC= 7 2a,根据二倍角公式得c0s2a= 故选B 5.DBC边上的高为名a,Sa做=20x3 2ema-1=g,且0<a<5,所以 =besin A. 1 C D 0050= 六a2=23 besin A,由余弦定理得23 besin A=2+c2 年，在R△ACD中，AD=1,所 3 2m4,整理得芒=25加4+2m4,即名+台 以AC=A0a=子在△4CB中，AB=4C。 cos 2a 4x8 4n(4+君）Ae(0,m+后e(后石）当A+ 6,故A错误，C正确：根据角平分线定理，品治-子×。 381- =名，放B正确：因为sa=子且0<a<受.所以ma 所以5号0：咖a一号6×号-3放D sn号 正确.故选BCD, 2nc=2nB+2n(-B）=2smB+2(停mB+ 11.ACD因为(a+b):(a+c):(b+c)=9:10:11,所以可 ra+b=9x, ra=4x. mB）=3nB+5sB=23n(B+君）B+G 设{a+c=10x,(x>0),解得{b=5x,所以由正弦定理可得 [b+e=Ilx le=6x. Be(o,等）可得B+若e()m(B+ inA:sinB:inC=a:b:e=4:5:6.故A正确：易知c 最大，所以△ABC中角C最大，又csC=+2-c 君）（分小b+e=25m(B+君）e(5,2. 2ab 4如26=官>0，所以G为授角，所以△C 16()因为m(4-君)）m(4+君）=-子 2·4x·5x 为锐角三角形，故B错误；易知a最小，所以△ABC中角A最 小，又1.6，=子所 所以（停nA-mA)(-m4+A=- 2·6.x·5x 以s2A=2m3A-1=g,所以ms2A==C,由△ABC中 所以 3 4*in24- 角C最大且C为锐角可得21e(0,),Ce(0,号)，所以 1-m2-g1+m20=-整 24=C,故C正确：设△ABC的外接圆半径为R,由正弦定理 理可得月n21+ms2M=子 得2R=c又c=6,mC=V-sc- 8,所以2R= 所以可得血(24+)=之 立解得发：放D正商放选Am 因为4e0.m.可得24+名e(信岩）， 所以24+号-爱，可得4=号 6 12.ABC3(acsC+ccos A)=2 bsin B,∴由正弦定理可得 3(sin Acos C sin Ceos A)2sin'B..'.3sin(A +C)= A“Bmc且u=1,4=号 (2)由正弦定理，”， b 2 sin B.3sinB=2sim2a又mB≠0，imB=夏 n.nc. 所以6=23 ∠CB=号Be(0,等)B=号∠AGB=m 所以a+6+c=1+号2(smB+mC)=1+29. 23 3 ∠CAB-B=牙，因此A,B正确；S形mw=S4版+Sm= [mB+m(-B小=1+2m(B+君)月 夏4AC+分AD·Dc·mLA0c= 0<B< 因为△ABC为锐角三角形，所以 g(A0+DC-2D:c,m∠A0)+A0·Dc· sLA0C=得x(9+1-6aLAC)+7×3x1× 解得后<B<受所以号<B+君< nLAc=罗+3n(∠A0c-号）≤+3，当且仅当 所以1+2sin(B+石）e1+5.3], 上AC-号=号，即∠AC=爱时，等号成立，因此C正确， 即△ABC周长的取值范围是(1+5,3]. D错误故选ABC 练案[18] 13.5由2B=A+C,及A+B+C=m知，B=号在△ABD中， 1.A由复数的概念知，复数：=3-6i的虚部为-6故选A AB=1,BD=受=2.所以A0=AG+BD-24B:B0 2A复致-9+(m-3厅为地虚数，则90解得 m=-3,放选A =3.因此AD=√3 3.A3i-2的虚部为3,3i2+2i=-3+2i的实部为-3，故 选A. 14,2号2 sin Asin BosC=imC.2 beC=c=a+B4.B由题意得a-i=-2+i,由复数相等的充要条件知a= -2m6≥3当 -2,b=-1,故a-b=-1. 2 2ab 5.AB因为a2+1≥1，所以(a2+1)i(aeR)是纯虚数，故A正 且仅当a=b时取等号.：0<C<m,∴0<C≤牙，即角C的 确：2=-1，所以-=1，故B正确：复数不能比较大小，故C 错误：当：=i时，==-1<0，故D错误.故选AB. 最大值为受 6BCD复数集是实数集和虚数集的并集，A为假命题：当x= 2i时，x+2=0,B为真命题：两个复数1，满足，>，说 15.(,3,23],+c2-a2=bc,∴由余弦定理的推论得c0sA 明1，两都是实数，显然有1->0，C为真命题；根据虚数单 江：然=由4e0,,可得A子由正71-3对由已知可得 位i的定义，D为真命题.故选BCD. -382