6.4.3 专项提升 解三角形中的综合问题(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

.053 随堂检测重反馈 1.如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站 南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B 的 ( A.北偏东10°方向上 B.北偏西10°方向上 C.南偏东80方向上 D.南偏西80°方向上 2.如图所示，设A,B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边 先确定一点C,测出A,C的距离为50m,∠ACB=45°，∠CAB=105°后，可以计算 出A,B两点间的距离为 A.502m B.503m C.252m n.252m 2 3.滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤 鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A测得滕王阁顶端 仰角为30°，此人往滕王阁方向走了42米到达点B,测得滕王阁顶端的仰角为 45°，则滕王阁的高度最接近于（忽略人的身高）（参考数据：√5≈1.732）》 A.49米 B.51米 C.54米 D.57米 4.如图，两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面，则C 从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 (填度数)。 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[16] 专项提升 解三角形中的综合问题 题型一解三角形与三角恒等变换的综合 [方法总结1] 例1已知△4Bc中，角AB,C的对边分别为a6,c且a+c=26 对于此类问题，大多 是边角互化后基于三 (1)求证：B≤写 角形内角和定理(A +B+C■元）展开 (2)若C=2A,试求a:b:c 的，一般是通过正、 余弦定理边化角，果 得相应的角或者寻找 相应的角之间的关系 (此时往往需要用到 三角形内角和定理替 换角，达到减元的目 的），进而运用三角 恒等变换及诱导公式 转化为一个角的三角 正数问题，从而求解 ●[方法总结1] 054 跟踪训练1 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=6,b=2c,cosA= 、 4 (1)求c的值： (2)求sinB的值： (3)求sin(2A-B)的值. 题型二解三角形与三角函数的综合 例2已知函数)=Bs血x-sin+?,其中u>0,若实数， x满足(x)-x)1=2时，x,-的最小值为 [方法总结2] (1)求w的值及f(x)的对称中心： 正弦，余弦定理与三 (2)在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，若f(A)=-1,a= 角函数相结合，常见 5,求△ABC周长的取值范围， 两种考查方式：一是 先由正弦、余弦定理 求出内角正弦值、余 弦值，再结合和、 差、倍，平角公式求 解问趣中出现的三角 函数值：二是先利用 函数的性质，再利用 西数求角，解与三角 形有关的问题」 ●[方法总结2] .055 跟踪训练2 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设f(x)=sin(x+B)+cos(x +B)anc,且/g) =-1 cos C (1)求角A: (2)若△ABC的面积为，5，且inB+simC=5 2 ,求a的值. 题型三解三角形中的中线问题 例3.在△ABC中，内角A,BC所对边的长分别为abc,且满足bcsB生 2 =asin B. (1)求A: (2)若a=/19,BA·AC=3,AD是△ABC的中线，求AD的长 [方法总结3] 求解三角形中线问题 的常用方法 (1)中线长定理： 在△ABC中，AD是边 BC上的中线，则A8 +AC2=2(BD2+ AD2): (2）向量法：AD2■ 4世+2+2 cos A). [方法总结3] 056 跟踪训练3 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足asin B=√3 beos A. (1)求角A的大小： (2)若BC边上的中线AD=√7，且c=4,求b的值. [方法总结4] 题型四解三角形中的角平分线问题 求解三角形角平分线 例4.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,bc,且满足beosC= 问趣的常用方法 2 在△ABC中，AD平分 asinB..若a=2尽，BA·AC=号，AD是△ABC的角平分线，求AD ∠BAC,角A,B,C 所对的边分别为a, 的长 b.c: (1)利用角度的倍 数关系：∠BAC= 2∠BAD=2∠CAD, (2)内角平分线定 理：AD为△ABC的内 角∠BAC的平分线， 则是哭 (3）等面积法： S。8D+S=5.x AD-2bccos )b +c)(角平分线长公 ●[方法总结4] 式）. .057 跟踪训练4 在△4BC中，内角A,B.C所对的边分别为a,6c,且满足2=1+雷内 角A的角平分线交BC于点M,若BM=2CM,则 C A号 c D.2 题型五解三角形中的最值（范围）问题 例5△AMBc中，simA-sinB-simC=sin Bsin C. (1)求角A: (2)若BC=3,求△ABC周长的最大值， [方法总结5] 解三角形中的最值 (范田)问题主要有 两神解决方法：一是 将问题表示为边的形 式，利用基本不等式 求得最大值或最小 [方法总结5] 值；二是将问憨用三 )】跟踪训练5 角形某一个角的三角 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,且满足 函数表示，利用三角 =c+6-c. 西数的有界性、单调 性，再结合角的范图 确定最值（范因）， (1)求角C的大小： (2)求sinA·sinB的最大值 夯基提能作亚 请同学们认真完成练案[17]在△ABC中，由余弦定理的推论得cs∠BAC= 4C+AB-BC=夏 ,代人a+c=26,得26+2c2-2(2b-c)2=3bc,整理得6= 3 2AC·AB a=子故a:6:c子：名6=4：5：6 5 2 所以∠BAG=30°，又因为B位于A南偏东60°， 60°+30°+90°=180°，所以D位于A的正北方向， 跟踪训练1：(1)由余弦定理的推论知，osA=公+父-d。 又因为∠ADC=45°， 2bc 所以台风移动的方向为北偏西45 跟踪训练3：设组私船应沿CD方向行驶，h,才能最快截获（在D 2+6=-子解得c 2·2e·e 点)走私船，则CD=I0,3 t n mile,BD=I0 n mile BC=AB+AC-2AB·AC·c5∠CMB=(3-1)2+22- (21)知，6=2=2，由m4=令知血4=平因为 b 2(、3-1）×2c0s120°=6.-BC=6. sin Asin所以si油B=0 4 BC AC sin∠CAB sin LABC (3)因为mA=-<0,所以A为纯角，B为锐角，从而 in∠ABc-AC·sim∠CB_2sin120-2 BC 6 2 mB=因为m21=2nAmA=-m24=2m .∠ABC=45°，∴B点在C点的正东方向上， ∠CBD=90°+30°=120. 1=- 8,所以sin(2A-B)=sin2AesB-as24simB BD CD sin BCD sin∠CBD 0⑩ 8 sin∠BCD=BD·sim∠CBD_101sim120°-L CD 103t 2 2:(1)=5noms-s+号-号如2s ∠BCD=30. 故纤私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快戴获走私船 1-g2+片-m2ar+ow2m=血(ar+若） 2 随堂检测重反馈 显然代x)的最大值为1，最小值为-1，则八x,)-f(,)1=2 1.D由条件及题图可知.∠BMC=∠ABC=40°，又∠BCD= 60°，所以∠CBD=30°，所以∠DBA=10°，因此灯塔A在灯塔 时，压-与的最小值等于子则子=受则吧=，w=1:令 B的南偏西80°方向上，故选D. 2x+后=keZ解得=一是+空eZ,则)的对称 2A∠ABC=180°-45°-105=30°，在△ABC中，由5 50 中心为(-晋+受.0kez sm30,得4B=100× 号=502(m. 3.D设滕王阁的高度为h,由题设知，∠CBD=45°，∠CMD= (24)=血(2A+若君）=-1,2A+若=-7+2km,keZ. 6 30°，所以BD=CD=h,则AD=AB+BD=h+42,又tan∠CAD 又4e(0,),则A由正弦定理得品 sin A=sin B=sin C= 0A+2=号，可得么=257米故选D w3-1 3 =2.则b=2sinB.c=2inC.则周长为a+b+e=3+ 4.45°依题意可得AD=20√10，AC=30,5,又CD=50,所以 在△ACD中，由余弦定理得s∠CAD=AC+AD-CD 2AC·AD 2inB+2simC=3+2simB+2sin（号-B）=5+inB+ T50+200-0=60=2,又0<∠CD< 2×30w5×20/10 5msB=5+2im(B+号)，又0<B<号，则号<B+号< 180°，所以∠CAD=45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角 为45°. 要，则5<2(B+号）≤2，放周长的取值范围为(2,5.2 3 专项提升解三角形中的综合问题 +5]. 跟踪训练2：(1)f(x)=in(r+B)csC+cs(x+B)sinC。 2+e2- a t e cos C 2 例1：(1)证明：由余弦定理的推论得c0sB= sin(x+B+c)sin(xA)=sin(x-A) 2ac cos C cos C cos C 3n3+3c-2ac≥6ac-2ac- 8uc 2“B是△4BC的内角，0 ÷1 cos C (2)在△ABC中，由a+c=2b.结合正弦定理可得sinA+sinC -A=1. =2sinB,,C=2A.∴，B=T-A-C=m-3A..sinA+sim2A 又0<A<T,,- =2sin 3A,sin A+2sin Acos A =2(sin Acos 2A eos A. <-A<g-=受A=号 66 66 sin 2A)=2[sin A(2cos'A -1)+2sin Acos'A]..sin A >0, ,1+2c08A=2(2c0sA+2c0sA-1),整理得8c0s2A-20sA -3=0,解得a=A=子或mA=-子C=210<1< 设△ABC的外接圆的半径为R,由正弦定理知 sin B=sin C= 哥mA=子由余弦定理的推论得mA:+心。 2be mA=2次， 331 mB=2次mC=0a=5R,通B+imC=后-6+c: 2 4Cr-即Ac+w-=5acAw① 2AC·AM 6R, es∠CMA= Cf+Ar:AC,在△ABM中，s∠BM= 2CM·AM 由余弦定理得d2=+2-2cos号.a2=(6+c)2-3ic 3R=6R-12,R=2.n=23. r.r“C.由∠+c 2BIM·AM A .则r+4r-AC,4Cr+4r-4C=0,化简得，Ar =asin B. 2CM·AM 4C·A4M 由正弦定理得血B如 -=sin Asin B. =2AC-2CM ②，将2代人①可得，AW=251C③.将③ 3 sin B40..'.sin 2 =sin A, 23AC 代人2可得，CM=号4C,所以BC=,5AC.所以”. am号=2an号Ae(0a).}e(o,号） BC=AC 子故选人 例5：(I)由正弦定理和已知条件得BC-AG-AB=AC·AB.① (2)B.AC=3,..bccos(-A)=3,be=6. 由余弦定理得BC=AC+AB-2AC·ABcos A.② 由余弦定理得2+c2=a2+2 bccos A=13, 由①2得s有=-之因为0<A<,所以4：号 A市=(a+心). （2由正孩定理及(1)得6产总-%=2，从面4C =(+2=子(2++2m利= 4 =2 3sin B.AB =2 /3sin(T-A -B)=3c0s B-/3sin B. =咨.即A0的长为吗 BC+AC AB =3+3sin B +3cos B =3+23 sin B+ 跟踪训练3：(1)由asin B=3 beos A及正弦定理可得sin Asin B 号) =3sin Beos A. 因为A,Be(0,),则sinB>0,可得inA=3csA>0. 又0<B<写，所以当B=石时，△ABC周长取得最大值3+ 6 则amA=5,因此A=号 25. (2)因为市=(+。 跟踪训练5：()由题意可知binC= 4 -x2abeos C. 所以2A市=A访+A心，所以4A亦=(A+A花2=A前+A心 所以anC=3. +248.AC. 因为0<C<,所以G=号 即28=e2+b2+2bcos∠BAC=c2+62+e (2)由已知sinA·sinB=sinA·sin(r-C-A)=sinA· 即6+4b-12=0,解得b=2(负值舍去). 解：易知A=要，由·花=子，得cm号=子c=3,又 3 m(停-A=咖A(停A+子咖4）-m24 a=23, 4m24+=2n(24-君）+ .a=b+c2-2bcc0s A (b+c)2-2bc +be=12, 可得b+c=√12+3=15， 因为0<4<号所以-看<24-若<得 SAAmC =SA+SAuCD 所以当24-君=受，即A=号时，nA·mB取最大值 4 3 3 2e·ADsin 3 所以s血·s血的最大值是子 3 2 15 ..AD=- 章末复习与总结 +e)血号 5 例1：(1)BC(2)C(1)若a为零向量，则A不成立，根据向量 数量积的概念可知D错误，易知B,C正确 sin A 跟踪调练4：A由条件有， 2sin C (2)因为a=(x,2).c=(2,-4),且a∥c,所以-4x=4,解得 sin B cos BC =-1所以a=(-1,2),所以a在方上的投影向量为60 =1+sin Acos B=sin Beos A+sin Acom sin Beos A sin Bcos A =12232,3)=23)=(倍号)放选C 13 nsin(A+B)sin(-C)sin C.sin B>0. 例2：(1)B(2)C(1)以A为坐标原点建立平面直角坐标系 血C>0,则后R二即A:分又4e(0 sin C （图略)，设正方形边长为1，则心=(1，).矿=(（，之) 励=(-1，).放1=A-1=A+,解得A=子A=子 则A=号由W为2CB的角平分线则瓷-留=2，即 A+以=子故选B =24C,且∠CM=∠BAM=石，在△ACM中，s∠C4M= (2)四边形OADB是以向量O=a,O丽=b为邻边的平行四 332