8.3.2 专项提升 与球有关的“切““接”问题(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

随堂检测!重反馈 $!+!设球的半径为:!5 / ) ) : ) . )% ) ) !5:.%!5;球./): % .$" ) ! %!,!设圆锥的母线长为E!则E 槡. ) 0$ .%!所以圆锥的表面积 为; . ) ($ (#$ 0%$ .) ) ! )!*!设圆台的高为<!由题意知D.$ ) ) #$ % 0$ (% 0% % $ < . G ) !故< .)! /! % ) ) : ) !圆柱的体积D $ . ) : % ,:. ) : ) !圆锥的体积D % . $ ) ) : ) !所以所求的几何体的体积为D $ 4D % . ) : ) 4 $ ) ) : ) . % ) ) : ) ! 微专题!探究空间几何体上两点间路径最短问题 例$%#$$+!#%$*!#$$圆柱的侧面展 开图如图所示!由题得"%.%!#%. $ / ($" ./!所以"#. %% 0/槡 % . 槡% 2!所以在此圆柱的侧面上!从"到#的路径中!最短路径 的长度为槡% 2!故选+! #%$如图为半圆锥的侧面展开图!连接 #& $ !则#& $ 的长为蚂蚁爬行的最短路 线长!设展开图的扇形的圆心角为 ! ! 根据题意得#& $ 槡. 2 !"&$ .$!"#.%! 在 ( "#& $ 中!"#% 0"&% $ .#& % $ !所以 ' & $ "#. ) % !所以扇形弧长E.) % (% . ) !所以圆锥底面圆的周长为%E.% ) !即% ) B.% ) !得B.$! 故选*! 例%% 槡) %!根据题意!将长方体的长)宽)高所在相邻两个面按 照三种不同的方式展开!如图 $%! !结合长方体的三种展开 图!求得"% $ 的长分别是槡) % !槡%" ! 槡% 2 !所以最小值是槡) %! 故小虫爬行的最短路程是槡) %! 跟踪训练%#$$,!#%$2'!#$$由题意得" $ % 槡 槡. D 0% . $$ ! 将三棱柱的侧面#%% $ # $ 展开至平面"## $ " $ 内!如图所示! 当" $ !'!%三点共线时! ( " $ %'的周长最小!此时" $ '0%'. 槡 槡D 0/ . $) !即("$%'的周长的最小值为槡 槡$$ 0 $) !故 选,! #%$如图是圆台侧面展开图!$是圆 心!由已知得其圆心角 ' "$"C. $' 42 %' , % ) . ) % !由$# $" . B : 得 $# $#0%' . 2 $' !$#.%'!%是"#中 点! "C% . "C$% 0%$槡 % . /' % 0)'槡 % .2'#>7$! 专项提升!与球有关的$切%$接%问题 例$!#$$,!#%$$%2 " ) !#$$设"#."%."" $ .1!因为 ' #"%. $%'3!所以$ % (1(1 槡(@<= $%'3.% ) !1 槡.% % !而'"%#. )'3!所以槡% % @<= )'3 .%B#B是 ( "#%外接圆的半径$!B 槡.% % !如 图!设)!*分别是 ( "#%和 ( " $ # $ % $ 的外接圆圆心!由直棱 柱的性质知)*的中点$是三棱柱"#%4" $ # $ % $ 的外接球球 心!$).$ % )*. $ % "" $ 槡. % !所以外接球半径:.$". ") % 0$)槡 % . # 槡% % $ % 0#槡% $槡 % 槡. $'!于是球的表面积 为; ./ ) : % ./ ) #槡$' $ % ./')!故选,! #%$如图所示!该三棱锥为正三棱锥!$为 底面 ( #%&的中心且"$垂直于底面 #%&!$C在线段"$上!$C为外接球球心! 令$C".$C&.:!$&.% ) &'. % ) 槡(% ) ( 槡) % .%!"& 槡.% 2 !5"$. "&% 4$&槡 % ./!5$$C./ 4:!又$$C% 0$&% .$C&%!5#/ 4:$ % 0/ . : % !解得:.2 % !5D球. / ) ) : ) . $%2 " ) ! 跟踪训练$%#$$+!#%$+!#$$如图!将三 棱锥补形为正方体!则外接球半径:.+% % . "+ % 0"# % 0#%槡 % % . 槡/ 0/ 0/ % 槡. )! 所以三棱锥外接球表面积; ./ ) : % ./ ) () .$% ) ! #%$如图!$为外接球球心!母线## $ 的长度为%!底面半径B.$ % #.$!易得 外接球半径:.$#. $$% % 0$ % #槡 % . 槡% !5外接球体积D./ ) ) #槡% $ ) . 1 ) 槡%)!故选+! 例%%#$$-!#%$,!#$$设正三棱柱的 底面边长为5!则球的半径:.$ ) ( 槡) % 5 . 槡) " 5!正三棱柱的高 为槡) ) 5!又D球./ ) ) : ) . / ) ) ( #槡) $ " ) ) 5 ) . )% ) ) !5 5 槡./ )! 5D柱.槡) / (# 槡/ ) $ % (槡) ) 槡 槡(/ ) ./1 )! #%$如图!#'.#$ % .B!"'."$ $ .:!又 $' , "#且#$ , $"!5 ( "'$ 6( $'#! 5$' % ."',#'.:B!5球的表面积为 / ) $' % ./ ) :B! 跟踪训练%%#$$,!#%$-!#$$设正方体的 外接球的半径为:!内切球的半径为B!棱 长为$! % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 则正方体的外接球的直径为正方 ("(#( 体的体对角线长!即%: 槡.) !所以:.槡) % !正方体内切球的直 径为正方体的棱长!即%B.$!即B.$ % !所以: B 槡. ) !正方体 的外接球与内切球的表面积之比为/): % / ) B % . : % B % .)! #%$由题意知!四棱锥+4"#%&是正四棱 锥!内切球的球心$应在四棱锥的高+F 上!过正四棱锥的高作组合体的轴截面!如 图所示%其中+'!+(是斜高!)为球面与 侧面的切点!设+F.<!易知9: ( +)$ 6 9: ( +F(!所以$) (F . +$ +( !即$ ) . < 4$ < % 0)槡 % ! 解得< .D / #< .'舍去$!故选-! 1#/!空间点!直线!平面之间的位置关系 1#/#$!平面 教材梳理!明要点 新知初探 知识点二 !" - E!" 7 E!" -! !" 7! !E 8! !E 9! ! !:( .E 知识点三 $!不在一条直线上!两个点!过该点的公共直线!+ -! + -( 想一想 $!这里的&有'是说图形存在!&只有一个'是说图形唯一!基本 事实$强调的是存在性和唯一性两个方面!因此&有且只有一 个'!必须完整地使用!不能仅用&只有一个'来代替&有且只 有一个'!否则就没有表达存在性! %!不可能!要么没有公共点!要么有无数个公共点! )!这些公共点落在同一条直线上! 预习自测 $!- %!*!表示平面不能用一条线段的两个端点表示!但可以表示为 平面)+! )!, - 6 8! !因为点,#元素$在直线6#集合$上!所以, - 6!又 因为直线6#集合$在平面 ! #集合$内!所以6 8! ! 题型探究!提技能 例$%#$$用符号表示% !:( .E!5 :! ."!5 :( .#!如图$! #%$用符号表示%" -! !# -! !5 :! .%!% 7 "#!如图%! 跟踪训练$%如图所示! 例%%证法一#辅助平面法$%因为5 # 6!所以5!6确定一个平 面 ! ! 因为" - 5!# - 6!所以" -! !# -! ! 又" - E!# - E!所以E 8! ! 因为% - E!所以% -! !所以直线5与点%同在平面 ! 内! 因为5 # 9!所以直线5!9确定一个平面 ( ! 因为% - 9!9 8( !所以% -( !即直线5与点%同在平面 ( 内! 由推论$!可得平面 ! 和平面 ( 重合!则9 8! ! 所以5!6!9!E共面! 证法二#纳入平面法$%因为5 # 6!所以5!6确定一个平面 ! ! 因为" - 5!# - 6!所以" -! !# -! ! 又" - E!# - E!所以E 8! ! 则5!6!E都在平面 ! 内!即6在5!E确定的平面内! 同理可证9在5!E确定的平面内! 因为过5与E只能确定一个平面! 所以5!6!9!E共面于5!E确定的平面! 跟踪训练%%因为& 7 E!所以E与&可以确定平面 ! ! 因为" - E!所以" -! !又& -! !所以"& 8! ! 同理!#& 8! !%& 8! !所以"&!#&!%&在同一平面 ! 内!即它 们共面! 例)%证法一%8"# :! .+!5+ - "#!+ -! ! 又"# 8 平面"#%!5+ - 平面"#%! 由基本事实)可知点+在平面"#%与平面 ! 的交线上! 同理可证点,!:也在平面"#%与平面 ! 的交线上! 故+!,!:三点共线! 证法二%8"+ : ",."! 5直线"+与直线",确定平面"+,! 又"# :! .+!"% :! .,!5平面"+, :! .+,! 8# - 平面"+,!% - 平面"+,!5#% 8 平面"+,! 8: - #%!5: - 平面"+,!又: -! !5: - +,! 故+!,!:三点共线! 跟踪训练)%因为$ $ - 平面"# $ & $ ! $ $ - 平面"" $ % $ %!" - 平面"# $ & $ ! " - 平面"" $ % $ %! 所以平面"# $ & $ : 平面"" $ % $ % ."$ $ ! 又因为" $ % : 平面"# $ & $ .+!所以 + - 直线" $ %!+ - 平面"# $ & $ ! 所以+ - 平面"" $ % $ %!所以+ - 直线"$ $ !即$ $ !+!"三点在 同一条直线上! 例/%若'(!4F交于一点+! 则'!(!4!F四点共面! 又因为'( 8 平面"#&!4F 8 平面%#&! 所以+ - 平面"#&!且+ - 平面%#&! 又因为平面"#& : 平面%#&.#&! 由基本事实)可得+ - #&! 跟踪训练/%如图!8 !:) .6! (:) .5! 55 8) !6 8) ! 8直线5和6不平行!55!6必相交! 设5 : 6.+!则+ - 5!+ - 6! 85 8( !6 8! !5+ -( !+ -! ! 又 !:( .9!5+ - 9! 故5!6!9三条直线必相交于同一点! 随堂检测!重反馈 $!*!+中直线5不应超出平面 ! ",中直线5不在平面 ! 内"- 中直线5与平面 ! 相交! %!*!根据点)线)面的关系的符号表示!可知*错误!应改为点 " - 平面 ! "+),)-正确!故选*! )!-!如图!5!6!9是三条不同的直线!5 : 6.+!5!6确定平面 ! !且点+ - 9!若9在平面 ! 内!则直线5!6!9确定一个平面! 若9不在平面 ! 内!则直线5!9确定一个平面!6!9 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 确定一个 ('(#( 专项提升!与球有关的$切%$接%问题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!! 56;% 外接球 !!'"(设直三棱柱$"%7$ " " " % " 的所有顶点都在一个 球面上"$"%$%%$$ " " ' "$%%"$'E"且底面 ( $"%的面积为$槡, "则此直三棱柱外接球的表 面积是 '!!( -!"3 ) !!!!!!!!!.! &'槡"') , /!&' ) 0!3& ) '$(已知三棱锥$7"%&的侧棱长均为$槡# "底面是 边长为$槡,的等边三角形"则该三棱锥外接球的 体积为!!!!! ! !方法总结" !'"(据.九章算术/记载",鳖-为四个面都是直角三角形 的三棱锥!如图所示"现有一个,鳖-"*$ , $"且 *$ , $%"$" , "%"且*$%$"%"%%$"则三棱锥外接 球表面积为 '!!( -!"' ) !!!!!!!!!!.!"$ ) /!"& ) 0!"3 ) '$(已知圆柱的底面半径为""母线长为$"则该圆柱的外 接球的体积为 '!!( -! #槡#) 3 .! ;槡$) , /! $'槡#) , 0! 3&槡$) , !方法总结" &óOP¥Ù®P#$3¶8· E"Fl+¥ôd+¥3Ù®P„Èl+ ¥3Ù®P3P.s^¥V¤M3] ’4ÝÞs¥V¤Md3=ÝwÉd+ ¥3Ù®P3P.s^¥V¤M3] ’4ÝÞs¥V¤Md3=Ý! E#F>@3Ù®P„7y²¼žG3£ >@67èGsd+¥¶8! E$FÜ?ôÜ@3Ù®P„§$VÐ4 Ôf2#$ðñskÐ#$! E)FÜA3Ù®P„” F " 4 F # 4 L ÜÝ sÜA30ôyÐ3ÝÞ_W4 C s Ù®P3ÝÞ! $+( 56<% 内切球 "!'"(一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切"已知这个 球的体积为,$) , "那么这个正三棱柱的体积是 '!!( -!B3槡,!!!!.!"3槡,!!!!/!$&槡,!!!!0!&;槡, '$(若圆台的上!下底面半径分别为D"<"则其内切球的表面积为'!!( -!& ) 'D6<( $ .!& ) D $ < $ /!& ) <D 0! ) '<6D( $ ! !通性通法"!提醒" !'"(正方体的外接球与内切球的表面积之比为 '!!( -!槡,!!!!!!.!,槡,!!!!!!/!,!!!!!!0!" , '$(四棱锥*7$"%&的底面$"%&是边长为3的正方形"且*$%*"%*% %*&"若一个半径为"的球与此四棱锥所有面都相切"则该四棱锥的 高是 '!!( -!3 .!# /! B $ 0! B & !通性通法" &óOP¥Ñ{P# $3¶8· E"Fl+¥3Ñ{ P„l+¥3Ñ{P P.a´^¥V¤M ]’‹4 ”>ds 9 3l+¥4 ^Ñ{P ÝÞs C , 9 # w E#FÜ@3Ñ{P„ Ü@3$VÐs~² £¤¥4 ~²£¤¥ 3Ñ{Ü3ÝÞÆs Ñ{P3ÝÞ4 ”Ü @ÐÝÞs F4Ws L4 C , FL F ( F # ( L槡 # ! !提醒" >@3Ñ{P„¢~ b¶84 ”>@3 ¥bs K4 QÐbs >4 C , $K > ! 请同学们认真完成练案!$C" *"' ! FGHI>JI"#KG&LMNO ;5&5"!平面 新课程标准解读 学科核心素养 了解平面的概念"掌握平面的画法及表示方法! 直观想象 能用符号语言描述空间点!直线!平面之间的位置关系! 直观想象 理解三个基本事实及其推论"能利用三个基本事实及其推论解决相关问题! 直观想象!逻辑推理 !"#$%&'( # )*+, ! 问题 生活中的一些物体给我们以平面的感觉"如平静的湖面!整洁的教室桌 面!美丽的大草原等"你能说出平面的一些几何特征吗$ ! !提示" !提示" Yb N °ô G u @ AôGu|}ô*' ¾<~! $+!