6.4.3 第2课时 正弦定理&微专题 三角形解的个数问题(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

随堂检测重反馈 .c= bsin C2siml15°-6：2，故当A=60时，C=75°，c 1B设第三条边长为x,则=5+32-2×5×3×(-号) sin B sin 45 2 -6+② 52,x=213. 2.Ac>a,c>b,角C最大.由余弦定理.得c2=a2+6- 2 ale.Cp37=9+16-24mCam6=-子0<c< 当4=120°时.G=15°，c=6-2 2 [母体探究 180°，.C=120°.枚选A. 3.B由余弦定理得e2=a2+6-2 abeos C,即49=9+-3b. 变式：由正弦定理，” 品品r知血B=4-号 2 所以(b-8)(b+5)=0.因为b>0.所以b=8. b<a,B=45°，C=750 4名由余弦定理得，2=2+8-2d,mC=10+152-2× ".e=bsin C=xsin 75 sin B sin 45 2 10x15×m60=175,e=5,7.sB=+--跟踪调练2：(1)A(2)B（)）由题查可得sinB.n4。 2uc 10+175-152万 2×10×57 =14 33 43=分，则B=石或B=要因为6<a,所以B<A,所以B 6 第二课时正弦定理 一石故选A 教材梳理 明要点 新知初探 (2a<6=A<B=B>30,由正弦定理可知品A=品B 知识点 正弦 65×立 sin B=bsinA=6 2,Be(30,180)B= 想一想 60°或120°.故选B b sin A=sin B=sin C= 郎：()等接(2)等腰或直角（1)由正弦定理1B 预习自测 1.(1)×(2)V(3)√(1)正弦定理适用于任意三角形 得号-出信又asB=sA,所以号-票合所以密合 sin B= (2)由正弦定理变形可得. (3)三角形的边与对角的正弦值成比例， S,所以sinA·cosB=simB·cosA.即sinA·e0sB二sinB 2.D由正弦定理易知.选项D正确 ·sA=0,放sin(A-B)=0.因为A,B是三角形内角，所以A 自A电品品厅故岩6解得血B号故选 -B=0,则A=B,故△ABC是等腰三角形. 1mB得g=i血4 (2)由正弦定理，“， b b sin B 又acos A=beos B. 4B由正弦定理二二公科品 AC in60° sin45o.所以AC= 所以片二孕所以品合二导所以血4A=血B cosB.所以2sinA·cosA=2sinB·c0sB,即sin2A=sin2B. 号-26 因为A,B为三角形内角，所以2A=2B或2A+2B=T,得A=B 2 或A+B=牙，故△ABC是等腰三角形或直角三角形， 2 题型探究提技能 例1：A=180°-(B+C)=180°-(60°+75)=45 果踪训练3：C已知s4_mB_血C,由正弦定理可得msA b c得e=-8x血5 8x2+v6 由 4 :血A,mB=mB,故A=B=年，C=受，则△MBC是等腰 sin A sin 45 =4(5 直角三角形.故选C 2 随堂检测重反馈 +1). 1A根据正孩定理，得出合片子 所以A=45°，c=4(3+1). 果踪调练1：5万：B=号，C=石六A=看B所对的边 2.D设△MBC外接圆半径为R,根据正弦定理可得2R=品A fim4=”,.b=asin B_2-5.分 E=点=2，所以R=1,即△ABC外接圆半径为1.故 sin609 3 大，4 b sin A 2 1 2 选D, 邻：由正弦定理品A品公知nA:B号 b 2 3.CC=180°-30-50=135°c=4simC 3￥2 =32.故 sin A b<4,A=60°或120°，当A=60°时.G=180°-A-B =759, 选C. c-simC=2血75=6扌2：当A=120时，C=180°-A sin B sin 45 2 4⑦ AnB得smB=~simA.3×2 由正弦定理” b -B=15°， 4 328 子，又△MBC为锐角三角形，所以cmB=V个-m万=跟踪训练1：(1)D(22,万()由面积公式Sa=之a0s血B 3 =号×1×2×mB=会，解得inB=3 2,所以B=60°或 5.C由充分条件和必要条件的定义，结合正弦定理进行判断 120°，故选D. △8c中B”n年n曲正弦定理，有号-号 b+c (2)依题意sinA=2 sin Bcos C,由正弦定理得a=2bosC,2= 则ac+a2=62+c,即ac-be+a2-b=0,有(a-b)(c+a+ 2x3×mC.msC=行>0，所以0<C<于，所以血C= b)=0, 所以a=b,得A=B,充分性成立： V个-amC.2,所以△Ac的面积为}hinC=子×2× △ABC中，若A=B,则a=b,由正弦定理， 3×22=2,2 有品产品B产n+如A产n本nA必要性成立 b c+u 6+c 3 例2：(1)在△ABC中，由正弦定理得 AB BC 所以在△ABC中，“品B产mC+n是A=B”的充要 b+c sin∠BCA sin Z BAC,即 迈 条件 sin∠BC4=1 ,解得sim∠BCA=B 6 微专题三角形解的个数问题 4 (2)设AC=x,则AD=3x,在R△ACD中，CD=√AD-AC= 例：(1)血B=片血120：号×号<停所以三角形有一-解 4 a 22,n上CAD=0=22在△ABC中，由余弦定理的推论 3 (31。-bm60°=0×2=9.而2<。2<1. 9x2=9,而2<9 得cs∠BAC A8+AC-BC.-⊥又LBAC+LCD= 2·AB·AC 22x 所以当B为锐角时，满足mB=5。的角B的取值范围是 0 无，所以co LBAC=im∠CD,即2=3，整理得32 2/2x 60°<B<90°.满足A+B<180°： 当B为纯角时，满足mB=5)的角B的取值范围是90< 8-3=0,解得x=3或x=宁（含去）.即4C=3 B<120°，也满足A+B<180°.故三角形有两解. 跟踪训练2：(1)在△A0C中，因为s∠ADC=,所以 （a)nR:如C-nc>血c=号 血Lc=49 所以B>45°，所以B+C>180°，故三角形无解. 所以sin∠BAD=sin(∠ADC-B）=sin∠ADCcos B- 银踪训练：(1)A(2)C(3)C(1)A选项，bsin A=50sin36 <a,又a<b,所以三角形有两个解：B选项，bsin A=30sim36 7 <a,又a>b,所以三角形有一个解：C选项，bsin A=60sin30 =30=a,所以三角形有一个解：D选项，可得C=24°，所以三 (2)在△ABD中，由正弦定理得BD=4B·sim∠4D8x33 14 角形有一个解，故选A sin∠ADB 43 (2)解法一：由正弦定理和已知条件，得45 2 sin B sin30°' =3. ,sinB=3.3>1,.此三角形无解. 在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB+BC-2AB·BC· 解法二：，e=2,bsin C=23,.c<bsin C,故此三角形无解 mB=8+5-2x8x5x寸=49。 解法三：作∠ACD=30°，AC=b=4、5,以A为圆心，AB=c=2 为半径画圆（图略），该圆与CD无交点，则此三角形无解 所以AC=7,所以即.3 AC=7 例3：(I),bsin A=3acsB,∴.由正弦定理.得sin Bsin A= (3)由题意知a>b,则x>2,又由如A=asi血B.2 <1,可 √3 sin Acos B.在△ABC中，sinA≠0，即得tanB=3,,∴.B 得x<22,x的取值范是2<x<22.故选C 第三课时用余弦定理、正弦定理解三角形 (2):simC=2inA,∴由正弦定理，得c=2a,由余弦定理 题型探究提技能 =d2+2-2acsB,即9=d2+4r2-2a·2acs号，解得a= 例1：0)15(2)}(D由余弦定理，得8=0+- 3,.e=2a=25. 跟踪训练3：(1)由正弦定理，得2+e2-2c=b.由余弦定理， 2 accos B,即e2+5c-24=0,解得e=3或c=-8(舍去).所以 saw=7oi血B=号x5x3in120°-15 1 得=d2+2-2a反放omB=号又0P<B<180,周此 4 B=45°. (2)由inB=2sinA,得b=2m,由△ABC的面积为a'sin B,得 (2)sinA=sin(30°+45）=sin30°cos45°+cos30°sin45°= 2 acsin B=ainB,由sinB≠0，知c=2a,所以csB= 道放由正弦定星，得a=6品片1+.由已知得，C 2+2-a2.1 2ac 4a=4 -10-450-75=60,放=6~台-2×出g sin 455 =/6. -329-第二课时!正弦定理 !"#$%&'( # )*+, !!!如图所示"若想知道河对岸的一点$与岸边一点 "之间的距离"而且已经测量出了"%的长度"也想 办法得到了 ' $"%与 ' $%"的大小! 问题 你能借助这三个量"求出$"的长度吗$ ! !提示" % -./0 知识点!正弦定理 文字语言在一个三角形中"各边和它所对角的!!!!!!的比相等 符号语言 9 ?89 $ % : ?89 " % ; ?89 % ' ( $"%中角$"""%的对边分别为9":";( ! !提醒" 想一想 !如图"在@A ( $"%中" 9 ?89 $ " : ?89 " " ; ?89 % 各自等于什么$ !提示" 67Ï¢£¤¥]¯ ³_ÍhV¤3la 3I}~3±C89 Ó#$! !提醒" la [ y 3 À ¥ ¥ '„È < sÛ $"% Ù ®Ü3ÝÞ4 ¦È 9 % $<?89 $ 4 :%$<?89 " 4 ;%$<?89 % wÉ ?89 $ % 9 $< 4 ?89 "% : $< 4 ?89 %% ; $< wÊ ?89 $ - ?89 " - ?89 %%9 - : - ; w Ë 9 6:6; ?89 $6?89 "6?89 % %$<! + 1234 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !判断 '"(正弦定理只适用于锐角三角形! '!!( '$(在 ( $"%中":?89 $%9?89 "总成立! '!!( ',(在 ( $"%中"角$"""%的对边分别为9":";"则9 - : - ;%?89 $ - ?89 " - ?89 %! '!!( "!在 ( $"%中"下列等式总能成立的是 '!!( -!9;>?%%;=>?$ .!:?89 %%;?89 $ /!9:?89 %%:;?89 " 0!9?89 %%;?89 $ #!在 ( $"%中"9 %"#":%"'"$%3'2"则?89 "% '!!( -! 槡, , .! 槡3 , /! 槡$ $ 0! 槡, $ $!在 ( $"%中"若$%3'2""%&#2""%%,槡$ "则$%% '!!( -!&槡, .!$槡, /!槡, 0!槡, $ $'& 5607%89: 56;% 已知两角及一边解三角形 !!在 ( $"%中"已知9 %;""%3'2"%%C#2"求$";! ! !方法总结"" !在 ( $"%中""%$) , "%% ) 3 "9 %#"则此三角形的最大边长为!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 56<% 已知两边及一边的对角解三角形 "!在 ( $"%中"已知9 %槡, ":%槡$ ""%&#2"解此三角形! !母体探究" 变式&$变条件%若本例中,"%&#2-变为,$%3'2-其他条件不变"解此三 角形! ! !方法总结$" !'"(在 ( $"%中"角$"""%所对的边分别是9":";"若9 %&":%,"?89 $% $ , "则"% '!!( -! ) 3 .! ) , /! ) 3 或#) 3 0! ) , 或$) , '$(在 ( $"%中"若9 %3":%3槡, "$%,'2"则"% '!!( -!3'2 .!3'2或"$'2 /!3'2或"#'2 0!"$'2 !方法总结"" ‡ˆ!¤0=³8£ ¤¥3=Píî !方法总结$" ‡ˆ!³0=³3V ¤8£¤¥3íî $'' 56=% 判断三角形的形状 #!'"(若9=>?"%:=>?$"则 ( $"%是!!!!三角形) '$(若9=>?$%:=>?""则 ( $"%是!!!!三角形! ! !方法总结," !已知在 ( $"%中"9":";分别是角$"""%的对边"若=>?$ 9 % =>?" : % ?89 % ; " 则 ( $"%是 '!!( -!锐角三角形 .!钝角三角形 /!等腰直角三角形 0!有一个内角是,'2的直角三角形 !方法总结," Ï¢la[ypq£ ¤¥¥Ö3+ E"Fñ³s¤„Ô $Œ]3hUv4 Ï¢la[yñ³s ¤4 Š•–£¤»; 3'tˆŽ"Ö£" Ѥ3t34 ¡Bf [£¤¥3¥Öw E#Fñ¤s³„Ô $Œ]3hUv4 Ï¢la[yñ¤s ³4 Š•–>;Ù~ Àà " Ö ³ 3 t 3 E- 9 , :4 9 # ( : # , ; # F4 ¡Bf[£¤ ¥3¥Ö! >?@4%ABC !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!在 ( $"%中"9 %#":%,"则?89 $ ?89 " % '!!( -! # , .! , # /! , C 0! # C "!已知 ( $"%的内角$"""%的对边分别为9":";!若$%3'2"9 %槡,"则($"%外接圆半径等于'!!( -!$ .!槡, /!槡, $ 0!" #!在 ( $"%中"9 %,"$%,'2""%"#2"则;% '!!( -!" .!槡$ /!,槡$ 0!槡, $!在锐角 ( $"%中"若9 %$":%,"$%) 3 "则=>?"%!!!!! %!$$'$&'北京高一下阶段检测%在 ( $"%中", 9 ?89 " % :6; ?89 %6?89 $ -是,$%"-的 '!!( -!充分不必要条件 .!必要不充分条件 /!充要条件 0!既不充分也不必要条件 微专题!三角形解的个数问题 "!已知三角形的两角和任意一边"求其他的边和角"此时有唯一解"三角形被唯一确定! $!已知三角形的两边和其中一边的对角"求其他的边和角"此时可能出现一解!两解或无解的情况" 三角形不能被唯一确定!怎样判断解的个数呢$ 具体方法如下& '"(代数法&三角形解的个数可由三角形中,大边对大角-来判定!不妨设$为锐角"若9 . :"则 $ . ""从而"为锐角"有一解!若9 ::"则$:""由正弦定理得?89 "%:?89 $ 9 " ! ?89 "4""即9 : :?89 $"无解) " ?89 "%""即9 %:?89 $"一解) # ?89 ":""即:?89 $:9 ::"两解! $'( '$(几何法&在 ( $"%中"已知9":和$"以点%为圆心"以边长9为半径画弧"此弧与除去顶点$ 的射线$"的公共点的个数即为三角形解的个数"见下表& 分类 $为锐角 $为钝角或直角 图形 关系式 9 %:?89 $ :?89 $:9 :: 9 . : 9 4: 解的个数 一解 两解 一解 一解 不解三角形"判断下列三角形解的个数& '"(9 %#":%&"$%"$'2) '$(9 %B":%"'"$%3'2) ',(:%C$";%#'"%%",#2! !!+方法总结,!!""在 ( $"%中#' :?89 " & "#故" ?89 " . "!F 9 ?89 $ % : ?89 " #G9 % :?89 $ ?89 " #G9 . :?89 $!这是已知9#:#$解三角形时#判断三角形解的个数!"或$"的前提! !$"解三角形时#可以先求出?89 "的值并与" 进行比较#再结合已知条件判断三角形解的 个数! !'"(在 ( $"%中"内角$"""%所对的边分别为9":";!根据下列条件解三角形"其中有两解的是 '!!( -!9 %,'":%#'"$%,32 .!9 %#'":%,'"$%,32 /!9 %,'":%3'"$%,'2 0!9 %,'""%$'2"$%",32 '$(在 ( $"%中":%&槡, ";%$"%%,'2"那么此三角形 '!!( -!有一解 .!有两解 /!无解 0!解的个数不确定 ',(在 ( $"%中"已知角$"""%所对的边分别为9":";"9 %2":%$""%&#2"若三角形有两个解" 则2的取值范围是 '!!( -!24$ .!2:$ /!$ :2:$槡$ 0!$ :2:$槡, 请同学们认真完成练案!"&" $'!