6.3.2-6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

3!,!$!平面向量的正交分解及坐标表示 3!,!,!平面向量加!减运算的坐标表示 新课程标准解读 学科核心素养 借助平面直角坐标系"掌握平面向量的正交分解及坐标表示! 数学抽象 理解向量坐标的概念"掌握两个向量和!差的坐标运算法则! 数学运算 !"#$%&'( # )*+, ! !!如图"向量-".是两个互相垂直的单位向量"向 量!与-的夹角是,'2"且1!1%&"以向量-".为基底! 问题 向量!如何表示$ ! !提示" % -./0 知识点一!平面向量的正交分解及坐标表示 "!平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个!!!!!!的向量"叫做把向量作正交分解! $!平面向量的坐标表示 '"(向量的坐标表示 '$(向量坐标与点的坐标的关系 在直角坐标平面中"以原点)为起点作#$$$)$%!"设#$$$)$%2-63."则向量#$$$)$的 坐标'2"3(就是!!!!!!的坐标)反过来"终点$的坐标'2"3(也就是 向量#$$$)$的坐标! ! !提醒" 知识点二!平面向量坐标的加(减运算 !已知! %'2 " "3 " ("" %'2 $ "3 $ ("则有& 加法运算! 6" %!!!!!! 减法运算! 7" %!!!!!! 几何意义 已知点$'2 " "3 " (""'2 $ "3 $ ("则#$$$$"%!!!!!! 语言描述&一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 !!!!!!的坐标减去!!!!!!的坐标 !提示" -. % " "% $ &‹=k ÐÑ!"GgM3, <4 ’“V‚=kÐ Ñ3 | { = " , < ! 4 '(?'=Vê ; A " " A $ 4 · ! % A " % " 6 A $ % $ ! —Î% GgM,< % " "% $ ˜ )QR‚=kÐÑh ',<3=çì ! !提醒" "!QR’3™š†Q R,<3™šG‹4 $ E 2 4 3 F4 ! % E 2 4 3 Fw #!»,<3‘’ió ’©4 ,<3™š† , < — ’ 3 ™ š }‹w $!,<3™š?†‘ ’ô—’3}Va› 't! $%' + 1234 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !判断 '"(如果! %2-63."那么向量!的坐标为'2"3("即! %'2"3(! '!!( '$(向量的坐标与向量终点的坐标一致! '!!( ',(平面上一个向量对应平面上唯一的坐标! '!!( "!如图"在平面直角坐标系中"向量#$$$)$% '!!( -!'""$( .!' 7"" 7$( /!'$"&( 0!' 7$" 7&( #!已知#$$$$"%'""$("$',"&("则"点坐标是!!!!! 5607%89: 56;% 平面向量的坐标表示 ! !方法总结"" !如图所示"在边长为$的正方形$"%&中"$"与2轴正半轴 成,'2角!求点"和点&的坐标以及向量#$$$$"与#$$$$&的坐标! !方法总结"" ¶’_,<™š3& ¢+ E"F¶="’3™ š4 67ðñs¶Ó ’}V´™šó’3 a›,<3™šw E#Fi¶=",< 3™š©4 67¬… ¶‚",<3‘’ ™š_—’™š4 Š 1¢—’™šøú‘ ’™š"ÖÓ,<3 ™š! $%( 56<% 平面向量的坐标运算 "!'"(设-".是平面直角坐标系内分别与2轴!3轴方向相同的两个单位 向量"且#$$$)$%&-6$." #$$$)"%,-6&." #$$$)%% #$$$$""则%点的坐标为 '!!( -!' 7$""(!!.!'"" 7$(!!/!'$" 7"(!!0!' 7""$( '$($$'$&'福建厦门高一下%已知$'""'(""'$"&("则#$$$$"% '!!( -!' 7""&( .!'"" 7&( /!' 7"" 7&( 0!'""&( ',($$'$,'四川绵阳高一下期中%已知点$' 7""$(""',""("向量 #$$$ $%%'$""("则向量#$$$"%% '!!( -!' 7$"$( .!' 7""'( /!'," 7"( 0!'&" 7"( ! !方法总结$" !在 % $"%&中"$%为一条对角线"若#$$$$"%'$"&(" #$$$$%%'"",("求#$$$"&的坐标! 56=% 平面向量坐标运算的应用 #!在直角坐标系2)3中"已知点$'"""(""'$",("%',"$(! '"(若#$$$)*% #$$$$"6 #$$$$%"求点*的坐标) '$(若#$$$*$6 #$$$*"6 #$$$*%%!"求#$$$)*的坐标! ! !方法总结," !已知点$'$",(""'#"&(" #$$$$%%'# ! "C ! (' !* "(!若#$$$$*% #$$$$"6 #$$$$%"试求 ! 为何值时& '"(点*在第一!三象限的角平分线上) '$(点*在第三象限内! !方法总结$" kÐ,<™š13 œ E"Fȇˆ,<3 ™š4 ¦j®W¢! ",<_ôý31 ¦¡luw E#Fȇˆ',M N!ž’3™š4 ¦ 6… ¶  , < 3 ™ š4 Š¡l,<3™ š1w E$F,<3™š1 6 ž I ; 3 1  ¡l! !方法总结," ™š¥'y,<}~ 3Uv0W¢ E"FUv„}~, <3VW™š}~w E#FW¢„Ï¢™ š¥'y,<}~3 Uv4 67Yã}~ t34 ÂÚ67¶ Ÿ U;3Z‰’3 ™š! $%! >?@4%ABC !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!如图所示"向量#$$$'(的坐标是 '!!( -!'"""( .!' 7"" 7$( /!'$",( 0!' 7$" 7,( "!已知向量! %'$"&("! 6" %',"$("则" % '!!( -!'"" 7$( .!'""$( /!'#"3( 0!'$"'( #!已知#$$$$"%',""(" #$$$$%%' 7&" 7,("则#$$$"%% '!!( -!' 7C" 7&( .!'C"&( /!' 7""&( 0!'""&( $!已知点$'$""(""' 7$",(")为坐标原点"且#$$$)$% #$$$"%"则点%的坐标为!!!!! 请同学们认真完成练案!;" 3!,!&!平面向量数乘运算的坐标表示 新课程标准解读 学科核心素养 掌握数乘向量的坐标运算! 数学运算 理解用坐标表示两向量共线的条件"能根据平面向量的坐标"判断向量是否 共线! 数学抽象 逻辑推理 !"#$%&'( # )*+, ! !!贝贝和晶晶同做一道数学题&,一人从$地到,地"依次经过"地!% 地!&地"且相邻两地之间的距离均为#'# ()!问从$地到,地的行程是 多少$-其解答方法是& 贝贝&#'# 6#'# 6#'# 6#'# %" '"' 6#'# 6#'# %" #"# 6#'# %$ '$''()(! 晶晶&#'# E& %$ '$''()(! 可以看出"晶晶的计算较简捷"乘法是加法的简便运算"构建了乘法运算 体系后"给这类问题的解决带来了很大的方便! 问题 "!当! " "时"!""的坐标成比例吗$ $!如果两个非零向量共线"你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗$ ! !提示" % -./0 知识点一!平面向量数乘运算的坐标表示 !已知! %'2"3("则 ! ! %!!!!!!"即实数与向量的积的坐标等于用这 个实数!!!!!!!!!!!!! !提示" "!¡¢™š~Gs ' ©ŸI£ ! $! H ! Ô " iŸA ! ¥ '4A 4' ©4 " † ! ‹,4 A :' ©4 " † ! Œ, ! $%) 儿2无解。0与6-24不共找，即4宁如图，底=成+成=分破+号成=号函+号（花 {6-244-20,能作为-个基底③：6-24=-(46 )=一右宿+子花，又：与花不共线=-名 -2e,),∴e,-2e2与4e2-2e1共线，即e1-2e2,4e-2e,|不 1,21 能作为一个基底.④设e,+e2=n(e-e)(n∈R),则e,+e +3 三心-心一”n无解6+%与名-6不共线，即 e,+e,e,-e能作为一个基底. 跟踪训练1：(-x,4)U(4,+)若a,b}能作为平而内的 一个基底，则a与b不共线，则a≠kh(keR),:a=e,+2e2,b =2C,+Ae1,A≠4..实数入的取值范围为(-0,4)U(4, +g), 例2：因为DC∥AB,AB=2DC,E,F分别是DC,AB的中点，所以 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 心=水==b 6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 亦：前+成+亦=-成-而+访=-行×-+ 教材梳理明要点 新知初探 2b=ib-0. 知识点一 1.互相垂直 跟踪训练2：a+b2a+c以a,b为基底时，花=店+办=a2.()单位向量(x,》(2)终点A +b:以a,c为基底时，将平移，使B与A重合，再由三角知识点二 形法测或平行四边形法则即得AC=2a+c (名++）（出-，六-为）(-出1为-y）终 例3：设Bi=e,C=c2,则Ai-A花+Ci=-3沁2-c1,B-B元 点起点 预习自测 +C=2e,+eA,P,M和B,P,N分别共线，存在实数 1.(1)×(2)×(3)V(1)ij不一定是与x轴y轴方向相 A,u使得M币=AAi=-Ae-3AC,B证=uB=2μe,+ue 同的两个单位向量 放B=B+Pi=B-A=(A+2μ)e,+(3A+a)e (2)向量的起点为原点时，向量的坐标与向量终点的坐标一 而Bi=B武+C=2e,+3e,由平面向量基本定理，得 致：否则不一致 2.C因为0(0,0)，A(2.4),所以0i=(2,4),故选C A+24=2解得 =5 3入+u=3, 市=号，成威P: 3.(4,6)设B点的坐标为(x,y),则AB=(x-3,y-4)=(1, 5 2-42:解得6B点的坐标是46。 PM=4.BP:PN=3 题型探究提技能 2 例1：(1)(-4.0)(0.6)(-2.-5)(2)见解析(1)将 [母体探究] 向量分别向基底1J所在直线分解， 变式：由本例知祭=号则=号，办：+：石+ 则a=-4i+0j,所以a=(-4,0),b=0i+6可.所以b=(0,6). c=-2i-5j,所以c=(-2,-5). 导=b+号a成-=b+a-号b=动+号知 (2)由题图可知，0i=61+2引.成=2i+4,A=-41+2,则坐 跟踪训练3：B因为C+G成+C武=0，所以G为△ABC的重心， 标表示分别为0=(6.2).0i=(2,4),A丽=(-4,2). 所以花=子（店+心=t动+(1-）花=访+(1-)y花 跟踪训练1：由题意及题图知B,D分别是30°角，120°角的终边 与以2为单位长度的圆的交点. 所以=宁且1-0y=分所以时+=3 设B(1）,D(2). 由三角函数的定义，得x1=2c0s30°=V3,1=2sin30°=1，为 随堂检测重反馈 =2cs120°=-1，y2=2win120°=√3. 1.AB=2D元，A币-A=2(A心-A),÷Ai-c=2(b- B(5,1),D(-1,5). …而=子c+0,赦选 又A(0.0).A5=(5.1).Ai=(-1,5). 2.C如图所示，a-b=B-C-C=e,-3e.故选C 例2：(1)D(2)D(3)A(1)由题意可知A店-0-0=-1 +2.0元=A店.0元=-i+2jC(-1,2).故选D (2)A2=(2-1.4-0)=(1,4).故选D. (3)设C(x,y),则A元=(x,y)-(-1,2)=(2,1),故 子：释得所以c1.3,又因为3》.所以配 C A =(1,3)-(31)=(-2,2).故选A 跟踪调练2：A花=A+d而=A心-凉=(-1，-1)B励 3.A由P=AA,得0-0亦=A(0丽-O).即0币=(1+A)O- A成又2亦=x+y成所以任=22，消去A得x+ =Ai-A丽=(-3.-5). 1y=-2λ. 例3：(1)因为A=(1,2),A配=(2,1)，所以0=(1.2)+(2,1) y=2. =(3,3),即点P的坐标为(3,3 -322 (2)设点P的坐标为(xy),因为P+P丽+P元=0又P+P 设M(1y,).N(2y2),则C7=(x1+3,y1+4)=(3,24),解 +P元=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6 得x1=0.y1=20: 36-3).所以合灯8解得化2：所以点P的坐标为 C=(x+3,为2+4)=(12,6)，解得2=9,2=2， 所以M(0,20),N(9,2),M=(9,2)-(0,20)=(9,-18) (2,2).故0=(2.2). 例2：(1)证明：设E(y）,F(2). 跟踪训练3：设点P的坐标为(x,y),则A=(x,y)-(2,3)=(x 由题意知AC=(2,2),C=(-2,3),A店=(4，-1)， -2,y-3),A+Ad=(5,4)-(2.3)+(5,71)=(3.1)+ (5λ，7λ)=(3+5A,1+7λ). 破=t(号号)成成=（子） :A户=A店+A元，且AB与A亿不共线， 店=（名）-(-10)=（导号） 则 脉=)-(6-)=（子小 (1)若点P在第一、三象限的角平分线上，则5+5=4+7A, )=(号)禹)=(30 （2若点P在第三象限内则+A0A<-山 序=()-)=（学-子）月 随堂检测重反馈 :4x(-号）-(-)x弩=0，E成/a应 1.D由题图知，M(1.1),N(-1,-2).则M=(-1-1.-2- (2)A3=(0,4)-(2,1)=(-2,3),C⑦=(5，-3)-(1.3)= 1)=(-2,-3),放选D (4,-6) 2.Ab=a+b-a=(3.2)-(2.4)=(1.-2). 解法一：(-2)×(-6)-3×4=0，A2与Ci共线，通过观 3.AB元=A元-A3=(-4,-3)-(3,1)=(-7.-4).故选A 察可知，AB和C方向相反 4.(0,4)设C(x,y),则BC=(x+2,y-3).0=(2,1).由0 解法二：C可=-2A店.与C⑦共线且方向相反。 =BC.得x=0,y=4.故点C的坐标为(0,4). 跟踪训练2：因为A=0丽-=(4,8)，A元=0记-=(6. 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 12).所以4×12-8×6=0，即AB与A元共线.又因为AB与4C有 教材梳理 明要点 公共点A.所以A,B,C三点共线 新知初探 例3：(1)D(2)见解析(1)由题意，得ma+4h=m(2,3)+ 知识点一 4(-1,2)=(2m-4,3m+8),a-2b=(2,3)-2(-1,2)= (入x,Ay) 乘原来向量的相应坐标 (4,-1).由于ma+4b与a-2b共线，.(2m-4)×(-1) 知识点二 4(3m+8)=0,解得m=-2. (2)a=(1.1),b=(x,1). 5-x2y=0 想一想 ∴.4=(1,1)+2(x,1)=(1,1)+(2x,2)=(2x+1.3). 不能.当，为有一者为零时，比例式没有意义 ￥=2(1,1)-(x,1)=(2-x,1). 知识点三 ①4=3p.∴(2x+1,3)=3(2-x,1), .(2x+1,3)=(6-3x,3),.2x+1=6-3x, ,+y+妇 解得x=1. 2 2 2,4∥v,∴.(2x+1)×1-3(2-x)=0. 预习自测 解得x=1. 1.DA=(2,4),A元=(0,2).BC=A元-A丽=(-2，-2) .u=(3,3),v=(1,1),u=3p =(-山- ∴4与v同向. 跟踪训练3：(1)D(2)B(1)非零向量a=(m2-1,m+1)与 2.9a=(-6,2),b=(m,-3),且a∥b,-6×(-3)-2m 向量b=(1,-2)平行，∴.-2(m-1)-1×(m+1)=0,且m =0.则m=9 3.(-1,3)根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(-1， -1m=号 3). (2),a与b共线且方向相反.∴，存在实数A(A<0),使得b= 题型探究提技能 例1：(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4, Aa.即4，)A-(aA解得收-二子或 7). 「k=2, 22-b=-1.2)-g2=(--(号 A2'(舍去). )=() 解：D是B的中点点D的坐标为（色产，产） 跟踪训练1：(1)A(2)见解析(1)，a=(5,2),b=(-4. 品=2d=2励 -3),且c满足3a-2b+c=0.c=2b-3a=2(-4,-3) 设G点坐标为(x,y),由定比分点坐标公式可得 3(5.2)=(-8-15,-6-6)=(-23,-12). (2)由A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),可得-(-2,4) +2x高+ 2 x=- -1++五 1+2 3 -(-3,-4)=(1.8).C2=(3,-1)-(-3,-4)=(6,3). 所以C7=3C=3(1,8)=(3,24),C=2C=2(6,3)= 5*2x5 Y= 2+为+ (12,6). 1+2 3 323