15 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦平面向量的正交分解、坐标表示及加减运算的坐标表示，通过斜面上木块受力实例导入，衔接平面向量基本定理，搭建从基底到正交分解的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于结合实例探究与分层例题（如向量坐标求解、平行四边形顶点坐标运算），培养数学眼光（抽象向量坐标）、思维（推理与运算）和语言（用坐标表达向量关系）。课堂小结梳理要点，助力学生系统掌握知识，教师可借助结构化内容提升教学效率。

第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 1 1 2 新知学习 探究 课堂巩固 自测 2 学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.理解向量坐标的概念， 掌握两个向量加、减的坐标运算法则. 3 PART 01 第一部分 新知学习 探究 4 如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为，下滑力为 ，木块对斜 面的压力为 . 思考 这三个力的方向如何？三个力之间有什么关系？ 提示：重力竖直向下，下滑力沿斜面向下，木块对斜面的压力 垂直 于斜面向下；三个力之间的关系是 . 新知学习 探究 返回目录 5 一 平面向量的正交分解及坐标表示 互相垂直 新知学习 探究 返回目录 6 例1 （1） （多选）（对接教材例3）在平面直角 坐标系中，点， ，如图所示，与 轴、轴方向相同的两个单位向量分别为和 ,则 下列说法正确的是( ) ACD A. B. C. D. 【解析】 由题图可知，， ， ，，故 正确. 新知学习 探究 返回目录 7 （2）已知是坐标原点，点在第一象限，， ， 则向量 的坐标为_________. 解析：设点，则 , ,即,所以 . 新知学习 探究 返回目录 8 求点和向量坐标的常用方法 （1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标. （2）求一个向量的坐标，先求该向量的模在<m></m>轴、<m></m>轴上正交分解的长度， 其正负需要注意方向. （3）求一个向量的坐标实际上是把该向量的起点平移到坐标原点，其终 点的坐标即是该向量的坐标. 新知学习 探究 返回目录 9 ［跟踪训练1］ （1）如图，， 是平面内的一个基底， 且，，则向量 的坐标为( ) A A. B. C. D. 【解析】 选A.因为，分别是与轴、 轴方向相同的两个单位向量， 由题图可知，根据平面向量坐标的定义可知 .故选A. 新知学习 探究 返回目录 10 （2）已知长方形 的长为4，宽为3，建立如图所 示的平面直角坐标系，是与 轴方向相同的单位向 量，是与轴方向相同的单位向量，则和 的坐标 分别为_______________. ， 解析：由题图知，轴，轴，因为， ，所以 ， 所以 . 因为，所以 . 新知学习 探究 返回目录 11 二 平面向量加、减运算的坐标表示 设向量， ，则 类别 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的①____ ②_________________ 减法 两个向量差的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的③____ ④_________________ 重要 结论 一个向量的坐标等于表示此向量 的有向线段的⑤______的坐标减 去⑥______的坐标 已知， ，则 和 差 终点 起点 新知学习 探究 返回目录 12 例2（1）已知点,,向量,则向量 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 方法一：设 , 则 , 即,,故 ， 则 .故选A. 方法二：因为 , 所以 .故选A. 新知学习 探究 返回目录 13 （2）已知点,向量,,当时,点 的坐标为( ) B A. B. C. D. 【解析】 因为, , 所以 . 设点B的坐标为 , 则 , 所以由已知得 ， 所以解得 所以点B的坐标为 .故选B. 新知学习 探究 返回目录 14 平面向量加、减坐标运算的方法 （1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量加、减的运算法则进行运算. （2）若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再 进行向量的坐标运算. 新知学习 探究 返回目录 15 ［跟踪训练2］（1）已知向量,，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 选 .故选A. （2）已知,,和,则 的坐标为 _________. 解析：，， ，所以 . 新知学习 探究 返回目录 16 三 平面向量坐标运算的应用 角度1 由向量相等求参数的值 例3 已知点，，.若 ，试 求 为何值时： 【解】 设点在坐标为 ， 则 , . 因为 ， 所以则 新知学习 探究 返回目录 17 （1）点 在第一、三象限的角平分线上; 【解】 若点 在第一、三象限的角平分线上， 则 ,所以 . （2）点 在第三象限内. 【解】 若点在第三象限内，则 所以 . 新知学习 探究 返回目录 18 （1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相同， 即若,,且 . （2）利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等的向量坐标相同这一原 则，通过列方程（组）进行求解；也可以利用基底法，主要借助向量加、 减运算的平行四边形、三角形法则. 新知学习 探究 返回目录 19 角度2 向量坐标运算在平面几何中的应用 例4 （对接教材例5）如图，已知平行四边形的三个顶点，， 的坐标分别是，， ，求： 新知学习 探究 返回目录 20 （1）向量 的坐标； 【解】因为点，的坐标分别是， ， 所以 . 新知学习 探究 返回目录 21 （2）顶点 的坐标. 【解】 设顶点的坐标为 ， 因为四边形为平行四边形，点的坐标是 ，所以 ， 所以，即 ， 所以解得 所以顶点的坐标为 . 新知学习 探究 返回目录 22 平行四边形顶点坐标的求解思路 （1）已知平行四边形的三个顶点的坐标求第四个顶点的坐标主要是利用 平行四边形的对边平行且相等这个性质，则其对应的向量相等，即向量的 坐标相等. （2）当平行四边形的顶点位置未确定时，要分类讨论. 新知学习 探究 返回目录 23 ［跟踪训练3］ 已知点， . （1）若点,,则为何值时，点在轴上？点在 轴上？点 在第二象限？ 解： ， 若点在轴上，则,所以 . 若点在轴上，则,所以 . 若点在第二象限，则 所以 . 新知学习 探究 返回目录 24 （2）若，，则四边形 能为平行四边形吗？ 若能，求 的值；若不能，请说明理由. 解：， . 若四边形为平行四边形，则，所以 该方程组无 解. 故四边形 不能成为平行四边形. 新知学习 探究 返回目录 25 PART 02 第二部分 课堂巩固 自测 26 1.（教材PT改编）如果用,分别表示与轴和 轴方向相同的单位向量， 且,,则 可以表示为( ) C A. B. C. D. 【解析】 选C.设为坐标原点，因为， ，所以 ， ， 所以 . 课堂巩固 自测 返回目录 27 2.如图，分别用基底{,}表示向量,,,则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 选C.因为, , ,所以 . 课堂巩固 自测 返回目录 28 3.（多选）（教材P习题6.3T改编）已知 ，则下列选项中 错误的是( ) ABC A.点的坐标是 B.点的坐标是 C.当是原点时，点的坐标是 D.当是原点时，点的坐标是 【解析】 选.由题意，向量 与终点、起点的坐标差有关， 所以A点的坐标不一定是 ，故A错误；同理B点的坐标不一定是 ，故B错误；当B是原点时，A点的坐标是 ，故C错误；当A 是原点时，B点的坐标是，故D正确.故选 . 课堂巩固 自测 返回目录 29 4.已知向量,,若 ,则 的值为____. 解析：因为 , 所以 解得 所以 . 课堂巩固 自测 返回目录 30 5.已知边长为单位长度的正方形，若点与坐标原点重合，边 ， 分别落在轴、轴的非负半轴上，则向量 的坐标为 ______. 解析：因为 , 由题意得， ， 所以 ， 故 . 课堂巩固 自测 返回目录 31 1.已学习：平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量加、减运算的坐标 表示. 2.须贯通：平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形 式，只是要求两个向量互相垂直；向量的和与差的坐标就是它们对应向量 坐标的和与差；两个向量相等，则它们的坐标相同；解题中应用了方程思 想与数形结合的思想. 3.应注意：（1）向量的坐标不一定是终点的坐标； （2）的坐标一定是终点的坐标减去起点 的坐标. 课堂巩固 自测 返回目录 32 $