6.3.1 平面向量基本定理(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

!"& ! "#$%+,-./0123 35,5"!平面向量基本定理 新课程标准解读 学科核心素养 理解平面向量基本定理及其意义"了解向量基底的含义! 数学抽象 掌握平面向量基本定理"会用基底表示平面向量! 逻辑推理 !"#$%&'( # )*+, ! !!火箭在升空的某一时刻"速度可以分解成竖直向上和水平向前的两 个分速度"在力的分解的平行四边形法则中"我们看到一个力可以分解为 两个不共线方向的力! 问题 平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢$ ! !提示" % -./0 知识点!平面向量基本定理 "!平面向量基本定理 如果% " "% $ 是同一平面内的两个!!!!!!向量"那么对于这一平面内 的!!!!!!向量!"!!!!!!实数 ! " " ! $ "使! %!!!!!!! $!基底 若% " "% $ !!!!!!"我们把3% " "% $ 4叫做表示这一平面内所有向量的一 个基底! ! !提醒" !提示" ‡ˆ!"™4 67¶ ÍÎ3o™wŒJ  4 ="™67Ü8 s!"™!‹ykÐÑ |=,<67¢!" GgM3,< QR! !提醒" "!ìGW=4 ?ª &‹=kÐÑ3!" GgM,<%67§ s="ì!‹=µ^ ,<iG‹ìy3 Ü8&G‹3w #!쏐[©4 Ü8 ¥'W=!A " 4 A # & ! ! 4 % " 4 % $ W=f [3;Z ! + 1234 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !判断 '"(平面内不共线的任意两个向量都可作为一个基底! '!!( '$(零向量可以作基底中的向量! '!!( ',(表示同一平面内所有向量的基底是唯一的! '!!( "!$多选%设)是平行四边形$"%&的两条对角线$%""&的交点"其中可表示这个平行四边形所在 平面内所有向量的一个基底的是 '!!( -!3 #$$$ $&" #$$$ $"4!!!!.!3 #$$$ &$" #$$$ "%4!!!!/!3 #$$$ %$" #$$$ &%4!!!!0!3 #$$$ )&" #$$$ )"4 #!如图所示"向量#$$$)$可用向量% " "% $ 表示为!!!!! $%# 5607%89: 56;% 平面向量基本定理的理解 !!设% " "% $ 是不共线的两个向量"给出下列四组向量& ! % " 与% " 6% $ ) " % " 7$% $ 与% $ 7$% " ) # % " 7$% $ 与&% $ 7$% " ) $ % " 6% $ 与% " 7% $ !其中 能作为平面内所有向量的一个基底的是!!!!'填序号(! ! !方法总结"" !已知% " "% $ 不共线"! %% " 6$% $ "" %$% " 6 ! % $ "要使3!""4能作为平面内的一 个基底"则实数 ! 的取值范围为!!!!! 56<% 用基底表示向量 "!如图"已知在梯形$"%&中"$" " %&"$"%$%&","- 分别是&%"$"的中点"设#$$$$&%!" #$$$$"%""试用3!""4 为基底表示#$$$&%" #$$$,-! ! !方法总结$" !如图"在正方形$"%&中"设#$$$$"%!" #$$$$&%"" #$$$"&%#"则以3!""4 为基底时" #$$$$%可表示为!!!!"以3!"#4为基底时" #$$$$%可表示 为!!!!! 56=% 平面向量基本定理的应用 #!如图"在 ( $"%中"点'是"%的中点"点(在$%上" 且$(%$(%"$'与"(相交于点*"求$* - *'与 "* - *(的值! !方法总结"" Vì3y8 E"F!",<Hr §s="ì4 tu &R‚!",<&r gM!ÈgM4 ¦GH §ì4 Œ14 ¦6 §ìw E#F="kÐ3ì =‘f[4 ’“k Ð0|{=",<% 67‚"ìW= MCQR !”,< ! † " &kÐÑ!" Gg M 3 , <4 È 2 " ! 63 " " %2 $ ! 63 $ " 4 ¦ 2 " %2 $ ( 3 " %3 $ ! !方法总结$" ¢ì  Q R , < 3 + Ô!"GgM3,< §sìQR^•, <3+'!¼„= &1¢,<3MC1 ¦VX¶,<G q¡lðñ4 j–¢ ìQRwq&DJ K, < + L ‰ + L ç4 Ï¢ìQR, <3W=C¶8! $%% !母体探究" 变式&$变设问%在本例条件下"若#$$$%'%!" #$$$%(%""试用!""表示#$$$%*! ! !方法总结," !如图所示" ( $"%内有一点.满足#$$$.$6 #$$$."6 #$$$.%%!"过 点.作一直线分别交$""$%于点&",!若#$$$$&%2 #$$$$"" #$$$ $,%3 #$$$ $%'23 ) '("则" 2 6 " 3 % '!!( -!& .!, /!$ 0!" !方法总结," È$]'Z磒g M4 6×£’gM Û4 Kt´3;3 +Lç4 DJ8+L ç¶8! >?@4%ABC !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!在 ( $"%中" #$$$$"%#" #$$$$%%""点&满足#$$$"&%$ #$$$&%"若将3""#4作为一个基底"则#$$$$&% '!!( -! $ , " 6 " , # .! # , #7 $ , " /! $ , " 7 " , # 0! " , " 6 $ , # "!如图"用向量% " "% $ 表示向量! 7" % '!!( -!7$% " 7&% $ .!7&% " 7$% $ /!% $ 7,% " 0!7% $ 6,% " #!已知非零向量#$$$)$" #$$$)"不共线"且$ #$$$)*%2 #$$$)$63 #$$$)""若#$$$*$% ! #$$$ $"' !* "("则2"3满足的关系式是 '!!( -!2637$ %' .!$2637" %' /!26$37$ %' 0!$2637$ %' $!设&",分别是 ( $"%的边$"""%上的点"$&%" $ $""",% $ , "%"若#$$$&,% ! " #$$$ $"6 ! $ #$$$ $%' ! " " ! $ 为 实数("则 ! " 6 ! $ %!!!!! 请同学们认真完成练案!C" $%& 第二课时 向量数量积的运算 跟踪训练3：A1a-b1=√(a-b)=√a2+b-2a·b=3 教材梳理 明要点 设向量a与a-b的夹角为0，则cs0=a:（a-b_2之-1 1alla-bl2×,3 新知初探 知识点 号，又因为8e[0,],所以日=石 1.(1)b·a(2)A(a·b)a·(Ab)(3)a·c+b·c 例4：由已知得a·b=2×1×cs60°=1. 想一想 若c⊥d,则c·d=0. 1.不相同，向量的数量积运算结果是一个实数，向量的数乘运算 六c·d=(a+5h)·(ma-2h)=ma2+(5m-2)a·b-10b2 结果是向量 =4m+5m-2-10=9m-12=0, 2.不对.若8=r时，a·b<0 4 预习自测 .m=3 1.-65(2a-3b)·(2a+3h)=4a2-9b2=4×4-9×9= -65. 放当m=子时，c与d直 2 (a+b)·a=a2+a·b=0.a·b=-a2=-l.设a 跟踪训练4：C向量a与b的夹角为60°，1a|=1,1b1=2,由 b⊥(2a-Ab)知.b·(2a-Ab)=0,2b·a-Ab=0.2×2× 、与b的夹角为0.心em0=ai1hx2~,又0e0. 1×060°-A·22=0,解得A=2 1 0= 随堂检测重反馈 1.C由题意得(2a+b)·(2a-b)=4a2-b2=4-1=3 3.231a+2h1=V(a+2b)了=√a+4a·b+4b=2.C因为(4a+5b)2=16a2+40a·b+25b2=16×12+40×1 √22+4x2×1×c0g60°+4×1=√12=23. ×1×ems2+25×1P=21,所以14a+5b1=/2.故选C 3 题型探究提技能 2220)a·b=alb1w8=5x4×cw120°=3.B由题意知，m0= -10.(a-2b)·(a+b)=a2-a·b-2b=la2-1 allbl 1分，所以m=子”月 8%120°-21b12=25-(-10)-2×42=3. (2)由=3成，得亦=心=办=而+成=d+ 子.因为(m+a）=0,所以mn+=0,甲子m2十 n2=0,所以t=-4. }函，励=市函=而+}宿-函=市-子成因为. 4号 ,(a+2b)·(5a-4b)=0.la=1b|=1,∴.6a·b-8+ 配=2，所以（和+应·（而-子应）=2，即亦- b=a:b=lal lblcos 0=cos 号市.宿-房亦=2又亦=25，亦=6耐，所以破.前 2:0e[0,m0=号 =22 跟踪训练1：(1)-34(2)-子(1)(2a-b)·(a+3b)=2a 6,3平面向量基本定理及坐标表示 +5a·b-3b2=21al2+51al1b1cs120°-31b12=8-15-27 6.3.1 平面向量基本定理 =-34. (2)如图所示，因为励=子(4正-)， 教材梳理明要点 新知初探 市=（花+），所以市：励= 知识点 1.不共线任一 有且只有一对A,e,+A2 4(配-)·（配+应）=(2- 2.不共线 预习自测 3)=- 1.(1)V(2)×(3)×(2)零向量与任意向量共线，故不能 作基底中的向量 例2：B1a-4h12=a2-8a·b+16b2=22-8×2×1× (3)基底的选择是不唯一的. cs120°+16×12=28..1a-4h1=2,7. 2.AC平面内任意两个不共线的向量 银踪训练2：B因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,即b2= 2a·b,又因为1al=1.1a+2b1=2,所以1+4a·b+4b2=1+ 都可以作为基底。如图，对于A,Ai与 6=4,从而1b1=号故法R AB不共线，可作为基底：对于B,D与 B配为共线向量，不可作为基底：对于 例3：设a与b的夹角为6，由题意得(3a-2b)2=7, ∴91a12+41b2-12a…b=7, C,C与DC不共线，可作为基底：对于D,0币与O是共线向量， 不可作为基底 又al=1b1=1a·b=27, 3.4e,+3e2由题图可知.0i=3e2,0元=4e1,.=4e,+3e2. 2.lallblcos= 题型探究提技能 即ms0= 1:020①设e+=aeR).则什0：无备+ e,与e,不共线，即e,e1+e能作为一个基底②设e,-2e 又0ef0,m]a,b的夹角为号 =k(e2-2e,)(keR).则e,-2e:=-2ke,+ke2 -321 儿2无解。0与6-24不共找，即4宁如图，底=成+成=分破+号成=号函+号（花 {6-244-20,能作为-个基底③：6-24=-(46 )=一右宿+子花，又：与花不共线=-名 -2e,),∴e,-2e2与4e2-2e1共线，即e1-2e2,4e-2e,|不 1,21 能作为一个基底.④设e,+e2=n(e-e)(n∈R),则e,+e +3 三心-心一”n无解6+%与名-6不共线，即 e,+e,e,-e能作为一个基底. 跟踪训练1：(-x,4)U(4,+)若a,b}能作为平而内的 一个基底，则a与b不共线，则a≠kh(keR),:a=e,+2e2,b =2C,+Ae1,A≠4..实数入的取值范围为(-0,4)U(4, +g), 例2：因为DC∥AB,AB=2DC,E,F分别是DC,AB的中点，所以 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 心=水==b 6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 亦：前+成+亦=-成-而+访=-行×-+ 教材梳理明要点 新知初探 2b=ib-0. 知识点一 1.互相垂直 跟踪训练2：a+b2a+c以a,b为基底时，花=店+办=a2.()单位向量(x,》(2)终点A +b:以a,c为基底时，将平移，使B与A重合，再由三角知识点二 形法测或平行四边形法则即得AC=2a+c (名++）（出-，六-为）(-出1为-y）终 例3：设Bi=e,C=c2,则Ai-A花+Ci=-3沁2-c1,B-B元 点起点 预习自测 +C=2e,+eA,P,M和B,P,N分别共线，存在实数 1.(1)×(2)×(3)V(1)ij不一定是与x轴y轴方向相 A,u使得M币=AAi=-Ae-3AC,B证=uB=2μe,+ue 同的两个单位向量 放B=B+Pi=B-A=(A+2μ)e,+(3A+a)e (2)向量的起点为原点时，向量的坐标与向量终点的坐标一 而Bi=B武+C=2e,+3e,由平面向量基本定理，得 致：否则不一致 2.C因为0(0,0)，A(2.4),所以0i=(2,4),故选C A+24=2解得 =5 3入+u=3, 市=号，成威P: 3.(4,6)设B点的坐标为(x,y),则AB=(x-3,y-4)=(1, 5 2-42:解得6B点的坐标是46。 PM=4.BP:PN=3 题型探究提技能 2 例1：(1)(-4.0)(0.6)(-2.-5)(2)见解析(1)将 [母体探究] 向量分别向基底1J所在直线分解， 变式：由本例知祭=号则=号，办：+：石+ 则a=-4i+0j,所以a=(-4,0),b=0i+6可.所以b=(0,6). c=-2i-5j,所以c=(-2,-5). 导=b+号a成-=b+a-号b=动+号知 (2)由题图可知，0i=61+2引.成=2i+4,A=-41+2,则坐 跟踪训练3：B因为C+G成+C武=0，所以G为△ABC的重心， 标表示分别为0=(6.2).0i=(2,4),A丽=(-4,2). 所以花=子（店+心=t动+(1-）花=访+(1-)y花 跟踪训练1：由题意及题图知B,D分别是30°角，120°角的终边 与以2为单位长度的圆的交点. 所以=宁且1-0y=分所以时+=3 设B(1）,D(2). 由三角函数的定义，得x1=2c0s30°=V3,1=2sin30°=1，为 随堂检测重反馈 =2cs120°=-1，y2=2win120°=√3. 1.AB=2D元，A币-A=2(A心-A),÷Ai-c=2(b- B(5,1),D(-1,5). …而=子c+0,赦选 又A(0.0).A5=(5.1).Ai=(-1,5). 2.C如图所示，a-b=B-C-C=e,-3e.故选C 例2：(1)D(2)D(3)A(1)由题意可知A店-0-0=-1 +2.0元=A店.0元=-i+2jC(-1,2).故选D (2)A2=(2-1.4-0)=(1,4).故选D. (3)设C(x,y),则A元=(x,y)-(-1,2)=(2,1),故 子：释得所以c1.3,又因为3》.所以配 C A =(1,3)-(31)=(-2,2).故选A 跟踪调练2：A花=A+d而=A心-凉=(-1，-1)B励 3.A由P=AA,得0-0亦=A(0丽-O).即0币=(1+A)O- A成又2亦=x+y成所以任=22，消去A得x+ =Ai-A丽=(-3.-5). 1y=-2λ. 例3：(1)因为A=(1,2),A配=(2,1)，所以0=(1.2)+(2,1) y=2. =(3,3),即点P的坐标为(3,3 -322