练案21 第2章 5.1 向量的数量积-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

(2.3).又4i=(-1.2).所以4元=+A0=(1,5).B丽= A⑦-AB=(-3,-1),所以A亿+B配=(-2,4)，故选A -2=号-1- x=5 由题意得 解得 3.ADc∥d,∴c=Ad,即ka+b=A(a-b),又a,b不共线， y=- 5 心{=-A,k-c=-dc与d反向 六点P的坐标为（告引 4.AD如图建立平面直角坐标系，则 :7.由题知B,D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点.设 A(0.0),B(4.0),C(4,4).D(0.4). D B(x）,D() 设P(m,n)(m,ne[0,4]）, 由三角函数的定义，得 因为A=xA店+yA,所以(m,n)= 4,0)+(0,4),所以m=, 5=c0s30°- 号=in30=， In=4y, 对于A,由题意可得线段D的方程 叫》 为x'+y'=4,x'e[0,4], 2=c05120°= m=4x, 2=i血120= 2 因为点P在BD上，所以m+n=4,因为 所以m+n= In=4y, 川} 4(x+y)=4 所以x+y=1,所以A正确， : =(》而( 对于B,因为 m=4杯：所以m+n=4(x+y),所以x+y 8.如图，以E为原点，AB所在直线为x In=4y, 轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标D =mtn 系，令1A⑦=1，则1DC1=1,1AB=2 4 :CE⊥AB.而AD=DC, 因为m,n∈[0,4]，所以m+ne[0.8],所以x+ye[0,2],所 E(O) .四边形AECD为正方形. 以B错误， ∴.可求得各点坐标分别为：E(0,0) 对于C,因为户=(m,n),A花=(4,4)，所以4+AC=(m+4, B(1.0),C(0.1).D(-1,1)4(-10) n+4), (1)Ei=(-1,1)-(0.0)=(-1.1),BC=(0.1)-(1.0) 因为2xA2+2yA=2x(4,0)+2y(0,4)=(8x,8y), 「m=4x =(-1,1), n=4y E=BCE∥B元，又E,D,C,B四点不共线， 所以2xA2+2yA⑦=(2m,2n）, .DE∥BC 若+花-2x+2y应，则m+4=2m得m=4, n+4=2n,ln=4, (2:M为EC的中点(0，）)】 因为m+a=4,所以4不满足，所以中+花=2x店+ m=(-1,)-(0,）(-1,2)月 In=4 2yA⑦不成立，所以C错误， =1.0)-(0,)(.-) 对于D,.+2-21-2×】 .Mi=-ni.M币/M成 3 3 3 3 又MD与MB共点于M, 石，当且仅当x=y=宁时取等号。 ·D,M,B三点共线 练案[21] 所以当P在线段四上时，告兰的最小值为石所以D正人组·素养自测 确，故选AD, 1.A由a·b<0易知(a,b》为钝角 5.1a-2b=(5,3).因为a-2b与c共线， 2.BA中，若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b,故A错：C中， 所疗孕部得=1 若d=b,则1a=1bl,C错；D中，若a·b=a·c,则可能有 a⊥b,a⊥c,但bc,故只有选项B正确，故选B. 3.C(a+2h)·(a-3b)=-72, 6(侍) 设点P的坐标为(x,y), ,∴.a-a·b-6b=-72 由于点P在线段PA上，则有P户=子所。 .1al2-1a11b1cos60°-61b12=-72 .lal2-2lal-24=0. 又P2=(x-2,y+1),Pp=(-1-x,3-y), 又lal≥0，∴，lal=6. -373 4.D如图所示，因为点D为BC的 AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP在AB方向上的 中点，可得SaD=S△ED,设AD= 投影的取值范围是(-1,3)，结合向量数量积的定义式，可知 m,∠4C=0,可得号×2×m× A心，店等于的模与在店方向上的投影的乘积，所以心，店 B 的取值范围是(-2,6).故选A im30°=2×1×msin∠DAC,解得n∠DAC=1,所以∠DAC3.BD由于b,c不共线，因此(a·b)c不一定等于(c·a)b,只 =90°，所以AD上AC,所以A⑦，A元=0.故选D. 有在a⊥b且a⊥c时，等式才成立，故A错误：由三角形的三 5.A如图，0为△ABC的外心，设D,E为 边关系知B正确：由于[(b·c)a-(e·a)b]·c=(b·c)(a AB.AC的中点， ·c)-(e·a)(b·c)=0,即(b·c)a-(c·a)b与c垂直， 则OD⊥AB.OE⊥AC D 放C错误：根据向量数量积的运算可知D正确 故0·(A+AC=A市.+Ad.花 4.ACD由图可得向量A正与向量B配方向相同，大小相等，所以 =1Ad1·1A·o4∠0AD+1Ad·1A元 向量AE与向量B配相等向量，A正确： ·cos∠OAE 由图易得向量AB与向量F的夹角为60°，则A正·F正=10×10 =1A·AB1+A正·AC ×co560°=50，B错误： =+方=分×4+×2=10，故选 如图，因为∠FAB=120°，∠DAB=60° 6.D由pi.Pi=Pi·P元得P.(pi-元)=0，即Pi.= 1ADI=21AB1. 0,PB⊥CM.同理PA⊥BC,PC⊥AB,P为△ABC的垂心. 则Ad.A店=1Ai1·1A1·cs60°= 7孚由ab=0得(6，-26)·(e+6)=0整理，得长-2 A,C正确： 因为△ACE为正三角形，所以根据平行 +(1-2冰)o号=0，解得=子 四边形法则得A花+A正=2A, 8.5因为a,b为单位向量，所以1a=b1=1,所以la+b= M码而共线且同方向，又△EDH,△ABH均为含石角的直角 /(a+b)产=√1a+2a·b+1b1下=2+2a·b=1,解得 三角形，所以E=1D, 2a·b=-1,所以1a-b1=/(a-b)= AI=E1=31DH11ADI=41DA /1a-2a·b+1b=3. 9.2设向量b和a的夹角是a,因为1al=2,Ib1=2,且(a- 所以2密=2，成，=之=号×20=30.D正确 LAD川 b)⊥a,所以(a-b)·a=-a·b=2-a·b=2-22cmsa 故选ACD. a0,所以m=号，所以2a-b=4d+-4ab=8+4-五-分 lal =31bl =la+2b1, 4×2×2×2=4,放12a-b1=2 .la=9b2=(a+2b)2=la+4ib2+4a·b. 2 a·b=-b2, 10.(1)由(2a-3b)·(2a+b)=61,得41a2-4a·b-31b12= 61.将a1=4,1b1=3代人上式求得a·b=-6,所以cos0= wab=8治6=-子 -1b12 治-号=-子又0e0,所以8=要 a·b 6._149O.A店=1O1(180°-∠B40). 2 (2)1a+b12=(a+b)2=la2+2a·b+lb3=4+2×(-6) IOi1cms(180°-∠B40)=-1Oi1eos∠BA0 +32=13,所以1a+b1=√13. B组·素养提升 =-, 1.B由lal=2,1b1=5,ab=-6,得cos0=- 5.sin 0= 0耐.店=-之 la×b1=a·1b1·sim8=2×5×5=8 同理，成·成=成. 2.A如图， 成.di=-di, 0耐，+0丽，成+成，=-分x(62++) 149 2 17.(1)(3m+2n)·(2m-n)=-2 6m2+m·n-2n2=-2, 【ml=3.nl=5.∴，m·n=-6. m+nl=√m+n+2m· 374- =√/32+5+2×(-6) 9、 10 a=(2,2).b=(-8,6). = ,.a·b=2×(-8)+2×6=-4 (2)m·(m+n)=m2+m·n=9-6=3, 1al=√2+2=22,1b1=(-8)+6=10. ·向量m在向量m+n上的投彩向量的长度为m:m+m Im +nl =3=3四 wa☆2支0看 2 22 10.(1)A2=(5,1)-(2,-2)=(3,3), 8B=A-A店=C-Oi=-A花-A Ad=(1,4)-(2,-2)=(-1,6). ·B.C或=(-A·(-A花-A .A.A元=3×(-1)+3×6=15. =(-A乎.A花)+A.A元-AP+A店. 又1A店1=+3=32，AC1=√(-1)+6=/37. =AB.A元-，+A(形-A元 A店.心15_54 =AB.A元-r2+AP.CB ∴cs∠C="32×B 74 =lAA元cos∠BAC-2+A.C2 (2)a·b=3×(-5)+0×5=-15,lal=3.lb1=52 bccos LBAC+.CB. 当P与C同向时，A中.C的最大值为1A产C=m, 设a与b的夹角为R,则msg=a:b三-l5。 即当Q与C共线且同向时，B乎，Cd有最大值becos∠B4C+ 0≤0≤0= ar-f. :B组·素养提升 练案[22] 1.B由a⊥c,得2x-4=0,则x=2,由b∥c得-4=2y,则y= A组·素养自测 -2,1a+b1=/(2+1)+(1-2)了=/0. 1.B:A店=(2,3)-(1,2)=(1,1)，A花=(-2,5)-(1,2)=2.A由三角函数定义知a的起点在原点时，终点落在圆x2+了 (-3,3)..AB.AC=1×(-3)+1×3=0. =4位于第二象限的部分上 2.C由题意知(ka+b)·(a-2b)=0, ~(受<0<小，设其终点为P,则L:0P=, 而a+b=(2-k,3张-1) a-2b=(-5,5), a与b的夹角为7-0 故-5(2-)+5(3-1)=0， 郭得4=子 3.C:a与b的方向相反，a=Ab(A<0). 设a=(x,y）,则(x,y）=A(-2,3), 于是2由1a1=2B,得+了=52， y=3λ. 即4A2+9A2=13A2=522=4, A=-2,a=(4,-6).放选C 4.C由2a-b与b垂直.得(2a-b)·b=0. 3.AC tan a=-2,可设P(x,-2x), 即2a·b-b=0. 0丽.00 cos (p,00)=- 5x 故2(-1+n2)-(1+n2)=0,解得n2=3. 0·10551x 所以，lal=个+n=个+3=2. 5.Ca=(2,1),a…b=10,la+b1=52. 当>0时，om(成.0成》=华， (a+b)2=50=a2+2a·b+b2,可得1b1=5. 当<0时，m(成.0成》。-得 6.D不妨设c=(m,n),则a+c=(1+m,2+n).a+b=(3.-1), 对于c+a)/b,则有-31+m=22+m.又c1(a+b.4C由题意得a=之+复b=-6a-b=宁+ 则有3-n=0m=一子A=-子，故选D (5e,-6)=(位-列+（号+，由题意得 7.2因为a+b=(-1,3). 所以1a+b1=√(-1)2+(3)2=2. a-b=(分-5号小故A正确：。·b &1m牙=3+2解得x1或x=4(舍。 10×+4 (+(5-)号+(3-6 -375-练案［２１］ 第二章　 平面向量及其应用 § ５　 ［５． １　 向量的数量积］ Ａ组·素养自测 一、选择题 １．已知△ＡＢＣ中，→ＡＢ ＝ ａ，→ＡＣ ＝ ｂ，若ａ·ｂ ＜ ０，则△ＡＢＣ 是 （　 　 ） Ａ．钝角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．锐角三角形 Ｄ．任意三角形 ２．对于向量ａ、ｂ、ｃ和实数λ，下列命题中真命题是 （　 　 ） Ａ．若ａ·ｂ ＝ ０，则ａ ＝ ０或ｂ ＝ ０ Ｂ．若λａ ＝ ０，则λ ＝ ０或ａ ＝ ０ Ｃ．若ａ２ ＝ ｂ２，则ａ ＝ ｂ或ａ ＝ － ｂ Ｄ．若ａ·ｂ ＝ ａ·ｃ，则ｂ ＝ ｃ ３．若向量ａ与ｂ的夹角为６０°，｜ ｂ ｜ ＝ ４，（ａ ＋ ２ｂ）·（ａ － ３ｂ）＝ － ７２，则｜ ａ ｜ ＝ （　 　 ） Ａ． ２ Ｂ． ４ Ｃ． ６ Ｄ． １２ ４．在△ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ ２，ＡＣ ＝ １，Ｄ为ＢＣ的中点，且 ∠ＢＡＤ ＝ ３０°，则→ＡＤ·→ＡＣ的值为 （　 　 ） Ａ．槡３４ Ｂ． 槡 ２ ３ ３ Ｃ． ３２ Ｄ． ０ ５．已知Ｏ是△ＡＢＣ的外心，｜ →ＡＢ ｜ ＝ ４，｜ →ＡＣ ｜ ＝ ２，则→ＡＯ· （→ＡＢ ＋ →ＡＣ）＝ （　 　 ） Ａ． １０ Ｂ． ９ Ｃ． ８ Ｄ． ６ ６． Ｐ是△ＡＢＣ所在平面上一点，若→ＰＡ·→ＰＢ ＝ →ＰＢ·→ＰＣ ＝ →ＰＣ·→ＰＡ，则Ｐ是△ＡＢＣ的 （　 　 ） Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心 二、填空题 ７．已知ｅ１，ｅ２ 是夹角为２π３的两个单位向量，ａ ＝ ｅ１ － ２ｅ２， ｂ ＝ ｋｅ１ ＋ ｅ２，若ａ·ｂ ＝０，则实数ｋ的值为　 　 　 　 ． ８．设ａ，ｂ为单位向量，且｜ａ ＋ｂ ｜ ＝１，则｜ａ －ｂ ｜ ＝ 　 　 　 　 ． ９．已知向量ａ，ｂ，其中｜ ａ ｜ ＝槡２，｜ ｂ ｜ ＝ ２，且（ａ － ｂ）⊥ａ， 则｜２ａ － ｂ ｜ ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 １０．已知｜ ａ ｜ ＝ ４，｜ ｂ ｜ ＝ ３，（２ａ － ３ｂ）·（２ａ ＋ ｂ）＝ ６１． （１）求ａ与ｂ的夹角θ； （２）求｜ ａ ＋ ｂ ｜ ． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．定义：｜ ａ × ｂ ｜ ＝ ｜ ａ ｜·｜ ｂ ｜·ｓｉｎ θ，其中θ为向量ａ与ｂ 的夹角，若｜ ａ ｜ ＝ ２，｜ ｂ ｜ ＝ ５，ａ·ｂ ＝ － ６，则｜ ａ × ｂ ｜等于 （　 　 ） Ａ． － ８ Ｂ． ８ Ｃ． － ８或８ Ｄ． ６ ２．已知Ｐ是边长为２的正六边形ＡＢＣＤＥＦ内的一点，则 →ＡＰ·→ＡＢ的取值范围是 （　 　 ） Ａ．（－ ２，６） Ｂ．（－ ６，２） Ｃ．（－ ２，４） Ｄ．（－ ４，６） ３．（多选）设ａ，ｂ，ｃ是任意的非零平面向量，且相互不 共线，则有 （　 　 ） Ａ．（ａ·ｂ）ｃ －（ｃ·ａ）ｂ ＝ ０ Ｂ． ｜ ａ ｜ － ｜ ｂ ｜ ＜ ｜ ａ － ｂ ｜ Ｃ．（ｂ·ｃ）ａ －（ｃ·ａ）ｂ不与ｃ垂直 Ｄ．（３ａ ＋ ２ｂ）·（３ａ － ２ｂ）＝ ９ ｜ ａ ｜ ２ － ４ ｜ ｂ ｜                                                                  ２ —０３２— ４．（多选）软木锅垫一般用于餐厅、咖啡厅、酒店等公共 饮食场所，可作广告饰品以提高形象．杯垫透气、无 毒、无异味、防水防潮、耐油耐酸、弹性环保，具有耐冲 击、不变形、耐用等特点．正、反面可加置印刷公司 ＬＯＧＯ、图片、产品、广告、联系方式等，更接近人们的 生活，较强的摩擦力可以防止玻璃、瓷杯滑落，亦可保 护桌面不被烫坏．如图，这是一个边长为１０厘米的正 六边形的软木锅垫ＡＢＣＤＥＦ，则下列选项正确的是 （　 　 ） Ａ．向量→ＡＥ与向量→ＢＤ是相等向量 Ｂ． →ＡＢ·→ＦＥ 槡＝ ５０ ３ Ｃ． →ＡＤ·→ＡＢ ＝ ｜ →ＡＢ ｜ ２ Ｄ． ｜ →ＡＣ ＋ →ＡＥ ｜ ＝ ３０ 二、填空题 ５．若非零向量ａ，ｂ满足｜ ａ ｜ ＝ ３ ｜ ｂ ｜ ＝ ｜ ａ ＋ ２ｂ ｜，则ａ与ｂ 夹角的余弦值为　 　 　 　 ． ６．如图所示，已知圆Ｏ为△ＡＢＣ的外接 圆，ＡＢ ＝６，ＢＣ ＝７，ＣＡ ＝８，则→ＯＡ·→ＡＢ ＋ →ＯＢ·→ＢＣ ＋ →ＯＣ·→ＣＡ ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ７．已知｜ｍ ｜ ＝ ３，｜ｎ ｜ ＝ ５，（３ｍ ＋ ２ｎ）·（２ｍ － ｎ）＝ － ２． （１）求｜ｍ ＋ ｎ ｜； （２）求向量ｍ在向量ｍ ＋ ｎ方向上的投影向量的 长度． ８．在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边长分别为ａ，ｂ，ｃ，以 点Ａ为圆心，ｒ为半径作圆，如图所示，其中ＰＱ为圆Ａ 的直径，试判断Ｐ，Ｑ在什么位置时，→ＢＰ·→ＣＱ有最大值．                                                                         —１３２—