练案20 第2章 4.2 平面向量及运算的坐标表示-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

练案［２０］ 第二章　 平面向量及其应用 § ４　 ［４． ２　 平面向量及运算的坐标表示］ Ａ组·素养自测 一、选择题 １．已知向量→ＯＡ ＝（３，－ ２），→ＯＢ ＝（－ ５，－ １），则向量→ＡＢ 的坐标是 （　 　 ） Ａ． － ４，( )１２ Ｂ． ４，－( )１２ Ｃ．（－ ８，１） Ｄ．（８，１） ２．下列各组向量中，可以作为基底的是 （　 　 ） Ａ． ｅ１ ＝（０，０），ｅ２ ＝（１，１） Ｂ． ｅ１ ＝（１，２），ｅ２ ＝（－ ２，１） Ｃ． ｅ１ ＝（－ ３，４），ｅ２ ＝ ３５ ，－( )４５ Ｄ． ｅ１ ＝（２，６），ｅ２ ＝（－ １，－ ３） ３．设ａ ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ ＝（ｘ２，ｙ２），则“ｙ１ｘ１ ＝ ｙ２ ｘ２ ”是“ａ∥ｂ”的 （　 　 ） Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．非充分非必要条件 ４．已知向量ａ ＝（１，３），ｂ ＝（２，１），若ａ ＋ ２ｂ与３ａ ＋ λｂ 平行，则λ的值等于 （　 　 ） Ａ． － ６ Ｂ． ６ Ｃ． ２ Ｄ． － ２ ５．已知四边形ＡＢＣＤ的三个顶点Ａ（０，２），Ｂ（－ １， － ２），Ｃ（３，１），且→ＢＣ ＝ →ＡＤ，则顶点Ｄ的坐标为（　 　 ） Ａ．（４，５） Ｂ．（５，－ ４） Ｃ．（３，２） Ｄ．（１，３） ６．已知向量→ＯＡ ＝（１，－ ３），→ＯＢ ＝（２，－ １），→ＯＣ ＝（ｋ ＋ １， ｋ － ２），若Ａ，Ｂ，Ｃ三点不能构成三角形，则实数ｋ应 满足的条件是 （　 　 ） Ａ． ｋ ＝ － ２ Ｂ． ｋ ＝ １２ Ｃ． ｋ ＝ １ Ｄ． ｋ ＝ － １ 二、填空题 ７．在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ为一条对角线，若→ＡＢ ＝ （２，４），→ＡＣ ＝（１，３），则→ＢＤ ＝ 　 　 　 　 　 ． ８．已知Ｏ是坐标原点，点Ａ在第二象限，｜ →ＯＡ ｜ ＝ ６， ∠ｘＯＡ ＝ １５０°，则向量→ＯＡ的坐标为　 　 　 　 　 ． ９．已知向量ａ ＝（１，２），ｂ ＝（１，０），ｃ ＝（３，４），若λ为实 数，（ａ ＋ λｂ）∥ｃ，则λ的值为　 　 　 　 ． 三、解答题 １０．已知点Ａ（２，３），Ｂ（５，４），Ｃ（５λ ＋ ２，７λ ＋ ３），若第三 象限的点Ｐ满足→ＡＰ ＝ →ＡＢ ＋ →ＡＣ，求实数λ的取值 范围． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．已知平面向量ａ ＝（ｘ，１），ｂ ＝（－ ｘ，ｘ２），则向量ａ ＋ ｂ （　 　 ） Ａ．平行于ｘ轴 Ｂ．平行于第一、三象限的角平分线 Ｃ．平行于ｙ轴 Ｄ．平行于第二、四象限的角平分线 ２．在平行四边形ＡＢＣＤ中，Ａ（１，２），Ｂ（３，５），→ＡＤ ＝ （－ １，２），则→ＡＣ ＋ →ＢＤ ＝ （　 　 ） Ａ．（－ ２，４） Ｂ．（４，６） Ｃ．（－ ６，－ ２） Ｄ．（－ １，９） ３．（多选）已知向量ａ ＝（１，０），ｂ ＝（０，１），ｃ ＝ ｋａ ＋ ｂ （ｋ∈Ｒ），ｄ ＝ ａ － ｂ，如果ｃ∥ｄ，那么 （　 　 ） Ａ． ｋ ＝ － １ Ｂ． ｋ ＝ １ Ｃ． ｃ与ｄ同向 Ｄ． ｃ与ｄ反向 ４．（多选）在边长为４的正方形ＡＢＣＤ中，Ｐ在正方形 （含边）内，满足→ＡＰ ＝ ｘ →ＡＢ ＋ ｙ →ＡＤ，则下列结论正确的 是 （　 　                                                                  ） —８２２— Ａ．若点Ｐ在ＢＤ上时，则ｘ ＋ ｙ ＝ １ Ｂ． ｘ ＋ ｙ的取值范围为［１，４］ Ｃ．若点Ｐ在ＢＤ上时，→ＡＰ ＋ →ＡＣ ＝ ２ →ｘ ＡＢ ＋ ２ →ｙ ＡＤ Ｄ．当Ｐ在线段ＢＤ上时，ｘ ２ ＋ ｙ２ ３ 的最小值为 １ ６ 二、填空题 ５．已知向量ａ ＝（槡３，１），ｂ ＝（０，－ １），ｃ ＝（ｋ，槡３）．若 ａ － ２ｂ与ｃ共线，则ｋ ＝ 　 　 　 　 ． ６．已知点Ｐ１（２，－ １），点Ｐ２（－ １，３），点Ｐ在线段Ｐ１Ｐ２ 上，且｜Ｐ１→ Ｐ ｜ ＝ ２３ ｜ ＰＰ → ２ ｜，则求点Ｐ的坐标为　 　 　 　 　 　 　 　 ． 三、解答题 ７．如图，在边长为１的正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ与ｘ轴正半 轴成３０°角．求点Ｂ和点Ｄ的坐标和→ＡＢ与→ＡＤ的坐标． ８．如图，已知直角梯形ＡＢＣＤ，ＡＤ⊥ ＡＢ，ＡＢ ＝ ２ＡＤ ＝ ２ＣＤ，过点Ｃ作ＣＥ⊥ＡＢ于Ｅ，Ｍ为ＣＥ的中点，用向 量的方法证明： （１）ＤＥ∥ＢＣ； （２）Ｄ、Ｍ、Ｂ三点共线．                                                                        —９２２— 由P,G,Q三点共线得，存在实数A,使得P同=AP心，即nb- 练案[20] ma=A3-m加+子Ab, A组·素养自测 -m=A(兮-小 1.CA=0-0=(-5.-1)-(3,-2)=(-8,1) 从而 消去，得+=3 12.B m n 3.A若2-上，则x2=x1,即x-,=0,故a/b,充分 方法三：由题意知0成=号×方（耐+成）= 性成立，不妨设a=(0,1).b=(0,2),此时a∥b,但不满足兰 (亦+列亦+， =兰，故必要性不成立，所以上=兰“是“a/b的充分非必 2 又P,C,0三点共线，由三点共线性质定理可知+ =1, 要条件.故选A 4.Ba+2b=(5,5)3a+Ab=(3+2A,9+A), 由条件知，5×(9+A)-5×(3+2A)=0, 方法三：（特例）当PQ/AB时，m=n=号+=3 .A=6 5.A设D点坐标为(x,y) 7.(1)证明：若a,b共线，则存在A∈R,使a=Ab,则e,-2e2= 则BC=(4,3),Ai=(x,y-2), A(e1+3e). 由e1,e2不共线， 由武=，得 13=y-2, 得=1， rA=1, 3-2A=-号 2 「x=4, .D(4,5) y=5, ÷A不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底。 6.C因为A.B,C三点不能构成三角形，则A,B,C三点共线，则 (2)设c=ma+nb(m,neR), A∥AC,又Ai=0i-0=(1.2),A元=0心-0=(k,k+1). 则3e,-e2=m(e1-2e,）+n(e,+3e）=(m+n)e1+(-2m 所以2k-(k+1)=0,即k=1. +3n)e 7.(-3,-5)B成=Ai-Ai=B成-A=(花-A)-A成= m+n=3, 「m=2, A花-2A=(1,3)-2(2,4)=(-3.-5) -2m+3n=-1n=1. 8.(-33,3)设点A(x,y),则 ,c=2a+b. x=101cog150°=60s150°=-35. (3)由4e,-3e2=Aa+ub,得4e1-3e=a(e,-2e2）+u(e,+ y=101sin150°=6sin150°=3， 3e,)=(A+a)e,+(-2A+3u)e. 即A(-33,3),所以0i=(-33,3). 「A+u=4, 「A=3, 六-2+3w=-3=l 9.2 a+Ab=(1,2)+A(1.0)=(1+A,2】 故所求A4的值分别为3和1， (a+Ab)∥c. 8易得不兮花，访 41+A0-3x2=0A=2 由N,E,B三点共线可知，存在实数m使正=mA+(1-m)A店I0.设P(x,y),则A产=(x-2,y-3), =了b+1-m)a 又AP=A店+AC=(3,1)+(5A,7A) =(3+5,1+7A), 由C,E,M三点共线可知，存在实数n使A正=nAi+(1-)A心 于是由A币=AB+A心C =3ma+(1-n)b. 可得(x-2,y-3)=(3+5A,1+7A), 所以写mb+1-m)a=之0+(1-n)b,由于a,b为装底， 1 所以-23+51即=5A+5, y-3=1+7A,ly=7A+4. 因为点P在第三象限， 1-m=2 所以 所以 5A+5<0. 解得A<-1. 【3m=1-n, 7A+4<0. 故所求实数A的取值范围是(-，-1). 3 「= 2 1 B组·素养提升 解得 所以A正= 4 54+ 1.Ca+b=(0,1+x2),与y轴平行. 2.A在平行四边形ABCD中，因为A(1,2),B(3,5),所以A店 372 (2,3).又Ai=(-1,2),所以AC=A+Ai=(1,5).B币▣ Ad-A=(-3.-1).所以A心+Bd=(-2.4),放选八 -2=号-1- x=5 由题意得 解得 3.ADc∥d.c=Ad,即ka+b=A(a-b),又a,b不共线， y=5 e与度 点P的坐标为号，》 4.AD如图建立平面直角坐标系，则 7.由题知B,D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点.设 A(0.0),B(4.0),C(4,4),D(0.4). B(x1,y）,D(,) 设P(m,n)(m,ne[0,4]), 由三角函数的定义，得 因为A产=x店+yA心，所以(m,n)= (4,0)+y0,4),所以m=4, 5=cs30°= 号=30= In=4y, 对于A,由题意可得线段BD的方程 9} 为x'+y=4,x'e[04], x2=c05120P= m=4x, 2为=in120°= 2 因为点P在BD上，所以m+n=4,因为 所以m+n= n=4y. 川} 4(x+y)=4, 所以x+y=1,所以A正确， 脑=(》(》 对于B,因为 m=杯所以m+n=4(任+，所以+y 8.如图，以E为原点，AB所在直线为x n=4y, 轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标D 系，令1Ai1=1,划D元1=1,1A=2. 4 CE⊥AB,而AD=DC, 因为m,e[0,4],所以m+ne[0,8],所以x+ye[0,2],所 e(0) ,.四边形AECD为正方形. 以B错误， .可求得各点坐标分别为：E(0,0), 对于C,因为A产=(m,).A元=(4.4)，所以A币+AC=(m+4, B(1.0),C(0,1),D(-1,1).A(-1.0). n+4). (1)E7=(-1,1)-(0,0)=(-1,1).BC=(0,1)-(1.0) 因为2xA房+2yAi=2x(4,0)+2(0,4)=(8x,8y), m=4x =(-1,1) n=4y .E=B武，Ei∥B配，又E,D,C,B四点不共线， 所以2xAB+2yAd=(2m,2n), .DE∥BC 若+元=2应+2，则+4=2m得m4 1n+4=2n,ln=4, (2):M为EC的中点.M0,）, 因为m+n=4,所以m=4 不满足，所以A币+A花=2x市+ i=(-1,)-(0,2）=(-1,2） n=4 2yA心不成立，所以C错误， =1.0)-(0）(.- 、.Mi=-MB.:.MD//Mi. 对于D.+-2.1-2 1-2x(】 3 3 3 3 又MD与MB共点于M, 石，当且仅当=了=宁时取等号， 1 ∴D,M,B三点共线. 练案[21] 所以当P在我段D上时，兮兰的最小值为石，所以D正A组·素养自到测 确，故选AD I.A由a·b<0易知(a,b)为钝角。 5.1a-2b=(5,3).因为a-2b与c共线， 2.BA中，若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b,故A错：C中， 所以夸号解得1 若a2=b,则1al=1b1,C错：D中，若a·b=a·c,则可能有 a⊥b,a⊥c,但b≠c,故只有选项B正确，故选B 3.C(a+2b)·(a-3b)=-72, 6(侍) 设点P的坐标为(x,y), .a2-a·b-6b2=-72. 由于点P在线段P,B上，则有P产=名P元， .1a2-1allb1cos60°-61b12=-72 3 ∴.1a-21al-24=0. 又Pp=(x-2,y+1).Pp=(-1-x,3-y） 又，…la≥0，∴，al=6. 373-