练案19 第2章 4.1 平面向量基本定理-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

练案［１９］ 第二章　 平面向量及其应用 § ４　 ［４． １　 平面向量基本定理］ Ａ组·素养自测 一、选择题 １． ｅ１、ｅ２是表示平面内所有向量的一组基底，下列四组 向量中，不能作为一组基底的是 （　 　 ） Ａ． ｅ１ ＋ ｅ２和ｅ１ － ｅ２ Ｂ． ３ｅ１ － ２ｅ２和４ｅ２ － ６ｅ１ Ｃ． ｅ１ ＋ ２ｅ２和ｅ２ ＋ ２ｅ１ Ｄ． ｅ２和ｅ１ ＋ ｅ２ ２．如图所示，｜ →ＯＡ ｜ ＝ ｜ →ＯＢ ｜ ＝ １，｜ＯＣ ｜ 槡＝ ３，∠ＡＯＢ ＝ ６０°，ＯＢ⊥ＯＣ，设 →ＯＣ ＝ →ｘ ＯＡ ＋ →ｙ ＯＢ，则 （　 　 ） Ａ． ｘ ＝ － ２，ｙ ＝ － １ Ｂ． ｘ ＝ － ２，ｙ ＝ １ Ｃ． ｘ ＝ ２，ｙ ＝ － １ Ｄ． ｘ ＝ ２，ｙ ＝ １ ３．在△ＡＢＣ中，ＡＤ为ＢＣ边上的中线，Ｅ为ＡＤ的中点， 则→ＥＢ （　 　 ） Ａ． ３４ →ＡＢ － １４ →ＡＣ Ｂ． １４ →ＡＢ － ３４ →ＡＣ Ｃ． ３４ →ＡＢ ＋ １４ →ＡＣ Ｄ． １４ →ＡＢ ＋ ３４ →ＡＣ ４．已知△ＡＢＣ和点Ｍ满足→ＭＡ ＋ →ＭＢ ＋ →ＭＣ ＝ ０．若存在实 数ｍ使得→ＡＢ ＋ →ＡＣ ＝ →ｍ ＡＭ成立，则ｍ ＝ （　 　 ） Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ． ４ Ｄ． ５ ５．若ｋ１ａ ＋ ｋ２ｂ ＝ ０，则ｋ１ ＝ ｋ２ ＝ ０，那么下列对ａ、ｂ的判 断正确的是 （　 　 ） Ａ． ａ与ｂ一定共线 Ｂ． ａ与ｂ一定不共线 Ｃ． ａ与ｂ一定垂直 Ｄ． ａ与ｂ中至少一个为０ ６．在△ＡＢＣ中，→ＡＢ ＝ ａ，→ＡＣ ＝ ｂ，若→ＡＣ ＝ ２ →ＥＣ，→ＢＣ ＝ ２ →ＤＣ， 线段ＡＤ与ＢＥ交于点Ｆ，则→ＣＦ ＝ （　 　 ） Ａ． １３ ａ ＋ ２ ３ ｂ Ｂ． １ ３ ａ － ２ ３ ｂ Ｃ． － １３ ａ ＋ ２ ３ ｂ Ｄ． － １ ３ ａ － ２ ３ ｂ 二、填空题 ７．如右图，平行四边形ＡＢＣＤ中，→ＡＢ ＝ ａ，→ＡＤ ＝ ｂ，Ｍ是ＤＣ的中点，以 ａ、ｂ为基底表示向量→ＡＭ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 ． ８．设向量ａ，ｂ不平行，向量λａ ＋ ｂ与ａ ＋ ３ｂ平行，则实 数λ ＝ 　 　 　 　 ． ９．设ｅ１，ｅ２ 是平面内一组基向量，且ａ ＝ ｅ１ ＋ ２ｅ２，ｂ ＝ － ｅ１ ＋ ｅ２，则向量ｅ１ ＋ ｅ２可以表示为以ａ，ｂ为基向量 的线性组合，即ｅ１ ＋ ｅ２ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． 三、解答题 １０．如图所示，已知在平行四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是 ＢＣ，ＤＣ边上的中点．若→ＡＢ ＝ ａ，→ＡＤ ＝ ｂ，试以ａ，ｂ为 基底表示→ＤＥ，→ＢＦ． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．向量ａ，ｂ，ｃ在正方形网格中的位置如图所示，若ｃ ＝ λａ ＋ μｂ（λ，μ∈Ｒ），则λμ ＝ （　 　 ） Ａ． ２ Ｂ． ４ Ｃ． ５ Ｄ． ７ ２．（多选）如果ｅ１、ｅ２是平面α内所有向量的一组基底， 那么下列命题中错误的是 （　 　 ） Ａ．已知实数λ１、λ２，则向量λ１ｅ１ ＋ λ２ｅ２ 不一定在平面 α内 Ｂ．对平面α内任一向量ａ，使ａ ＝ λ１ｅ１ ＋ λ２ｅ２ 的实数 λ１，λ２可以不唯一 Ｃ．若有实数λ１、λ２使λ１ｅ１ ＝ λ２ｅ２，则λ１ ＝ λ２ ＝ ０ Ｄ．对平面α内任一向量ａ，使ａ ＝ λ１ｅ１ ＋ λ２ｅ２的实数 λ１、λ２                                                                  不一定存在 —６２２— ３．（多选）如图所示，平面内的两条相 交直线ＯＰ１ 和ＯＰ２ 将该平面分割 成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ（不包括 边界）．若→ＯＰ ＝ ａ ＯＰ→ １ ＋ ｂ ＯＰ→ ２，当 ａｂ ＜ ０时，点Ｐ可能落在第　 　 　 　 部分． （　 　 ） Ａ．Ⅰ Ｂ．Ⅱ Ｃ．Ⅲ Ｄ．Ⅳ ４．如图所示的矩形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ满足→ＢＥ ＝ →ＥＣ，→ＣＦ ＝ ２ →ＦＤ，Ｇ为ＥＦ的中点，若→ＡＧ ＝ λ →ＡＢ ＋ μ →ＡＤ，则λμ的 值为 （　 　 ） Ａ． １２ Ｂ． ３ Ｃ． ３ ４ Ｄ． ２ 二、填空题 ５．已知Ｏ为△ＡＢＣ内一点，且→ＯＢ ＋ →ＯＣ ＝ ２ →ＡＯ，且λ →ＡＤ ＝→ＡＣ，若Ｂ，Ｏ，Ｄ三点共线，则实数λ的值为　 　 　 　 ． ６．如图，经过△ＯＡＢ的重心Ｇ 的直线与ＯＡ，ＯＢ分别交于 点Ｐ，Ｑ，设→ＯＰ ＝ ｍ →ＯＡ，→ＯＱ ＝ ｎ →ＯＢ，ｍ，ｎ∈Ｒ，则１ｍ ＋ １ ｎ的值为　 　 　 　 ． 三、解答题 ７．设ｅ１，ｅ２ 是不共线的非零向量，且ａ ＝ ｅ１ － ２ｅ２，ｂ ＝ ｅ１ ＋ ３ｅ２ ． （１）证明：ａ，ｂ可以作为一组基底； （２）以ａ，ｂ为基底，求向量ｃ ＝ ３ｅ１ － ｅ２的分解式； （３）若４ｅ１ － ３ｅ２ ＝ λａ ＋ μｂ，求λ，μ的值． ８．如图所示，在△ＡＢＣ中，Ｍ是ＡＢ的中点，且→ＡＮ ＝ １ ３ →ＡＣ，ＢＮ与ＣＭ相交于点Ｅ，设→ＡＢ ＝ ａ，→ＡＣ ＝ ｂ，试用基底 ｛ａ，ｂ｝表示向量→ＡＥ．                                                                        —７２２— 练案[19] E,F分别是BC,DC边上的中点， .AD=成=2B证，C-B=2C A组·素养自测 1.B3e1-2e2与4e1-6e,是共线向量，不能作为一组基底 成==b, 2.B方法一：过点C作CD∥OB交AO的延长线于点D,连接 =d访-4 BC(图略).由1O1=1.IO元1=5，∠A0B=60°，0B⊥0C.知 D成=D成+弦+B成=-A+店+证 ∠C0D=30°.在R1△0CD中，可得0D=2CD=2.则0d=0而 +0i=-20A+0成 =-b+a+=a-b, ,x=-2,y=1 方法二：画图知x<0且y>0,所以选B 脉=武+序=市+=b-a 玉A成=武+孤。宁动店：一宁×宁（破+动+花B组·素养提升 1.B以如图所示的两互相垂直的单位向量e1,e为转底， =子成-d 4.B由+i+M元=0可知，M为△ABC的重心，故Ai= 子×宁(+d=宁（应+心），所以+花=3可.即m =3. 则a=-e:+e2,b=6e1+2e,c=-e-3e, 5.B由平面向量基本定理知，当a,b不共线时，k,==0.故 因为c=Aa+b(A,4eR),所以-e1-3e:=A(-e1+C3)+ 选B a(6e1+2e:)=(-A+6u)e1+(A+2u)e 6.B如图所示： rA=-2, 由Ad=2E元.B配=2D元可得D,E 所以{-A+4=-1. A+=-3.解得 。⊥所以=4.故选R 分别为BC,AC的中点，由中线性 : u=-2 从 质可得亦=子花.又而 2.ABD选项A中，由平面向量基本定理知A:e1+A2e2与e1e 共面，所以A项不正确：选项B中，实数入入，有且仅有一对， 之(+=之(a+b),所以=号x之(a+b)=号(a 所以B项不正确：选项D中，实数A、A2一定存在，所以D项 不正确：很明显C项正确. +b).因此d.d+亦。-b+宁(a+b)=分0-子6故3.AC以0丽0丽为基当a>0,6<0时.P点在第Ⅲ部分，当 选B. a<0,b>0时，P点在第I部分，故选AC 元b+之=而+成-动+成=动+店-b+之4A因为证=武，正=2成，G为的中点，所以=正 8号依据平行向量基本定理列方程组求解。 +2=之（店+应）+之（市+亦）=之(+)+ ,Aa+b与a+3b平行，∴.可设Aa+b=(a+3b), 2(而+号)=（应+0）+（而+） 即Aa+b=la+3b. 子+所以A=号=子，所以=子×子=故 3 入=·解得{ A= 3 1=3, 选A =3 5.3设点E为边BC的中点，则 92 abe te:=ma+nb(m,neR). 2(成+0d=成， a=e1+2e2,b=-e1+e2, 由题意，得A⑦=正， 六e1+e3=m(e1+2e:）+n(-e:+e2）=(m-n)e+(2m+ 所以d=证=士(+动=+市，因此若B.0, n)e D三点共线，期片+分=1，即A=3, :e,与e2不共线， 「m-=1, 2m+n=1, 2 6.3方法-：设a=a,0成=b,由题意知0成=子×(o耐+ m3 2 =子(a+b),P=0成-0=d-ma,P=0d-0亦= n=-3 10.,四边形ABCD是平行四边形， (片-m+, 371- 由P,G.Q三点共线得，存在实数A,使得P0=AP元.即b- 练案[20] a=A(兮-m+b, A组·素养自测 m=A兮- 1.CAi=0i-0=(-5,-1)-(3,-2)=(-8,1) 从而 消去A,得+上=3 12.B n 3.A若兰=上，则12=1，即x为-，=0，放a/b,充分 1 方法二：由题意知元=号×子（耐+成） 性成立，不妨设a=(0,1),b=(0,2),此时a/b,但不满足 (亦+d列+成， =上，故必要性不成立，所以4=2"是“a/b的充分非必 、又P.6,0三点共线.由三点共线性质定理可知元+ =1, 要条件，故选A. 即+上=3. 4.Ba+2b=(5,5),3a+ab=(3+2A,9+A). n 由条件知，5×(9+A)-5×(3+2A)=0. 方法三：（特当P0/A时，m=n=号小占+女=3 入=6. 5.A设D点坐标为(x,y) 7.(1)正明：若a,b共线，则存在AeR,使a=Ab.则e1-2e2= 则BC=(4,3),⑦=(x,y-2), A(e1+3e). 由e1,e不共线， 由成=花，得= 3=y-2, 得A1, rA=1, 2 「x=4, 3x=-21A=-3 D4,5) y=5. ∴，A不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底 6.C因为A,B,C三点不能构成三角形，则A,B,C三点共线，则 (2)设c=ma+b(m,neR), A∥A,又=0i-0=(1.2),AC=0元-O=(k,k+1). 则3e1-e2=m(e1-2e2)+m(g+3e2)=(m+n)e1+(-2m 所以2站-(k+1)=0,即k=1, +3n)e 7.(-3,-5)而=Ai-A成=成-市=（花-A)-A= 「m+m=3, 「m=2, Ad-2A2=(1,3)-2(2,4)=(-3,-5) l-2m+3n=-1n=1. 8.(-35,3)设点4(xy),则 .c=2a+b. x=10i1cs150°-6c0s150°--35. (3)由4e1-3e2=Aa+ub.得4e1-3e2=A(e1-2e2)+u(e1+ y=10A1sin150°=6sin150°=3. 3e2)=(A+4)e1+(-2A+3u)e2 即A(-35,3),所以0=(-35,3). 「A+4=4, 「A=3, {-2h+3μ=-314=1. 97a+Ab=(1,2)+A1,0)=+A,2) 故所求A,的值分别为3和1. (a+Ab)/c. 8易得兮花=b,=破=。 41+A)-3x2=0A=7 由N,E,B三点共线可知，存在实数m使正=mA+(1-m)A店10.设P(x,y),则A=(x-2,y-3), =b+(1-m)a 又AP=A店+A元=(3,1)+(5A,7A) =(3+5A,1+7A), 由C,E,M三点共线可知，存在实数n使正=ni+(1-n)心 于是由A亚-A店+A配 =2ma+(1-n)b 可得(x-2,y-3)=(3+5A,1+7A), 所以了mb+(1-m)a=2a+(1-n)b,由于a,b为基底， 所以-2=3+5A即=5A+5, y-3=1+7A,y=7A+4. 因为点P在第三象限， 1-m=2, 所以 所以 5A+5<0, 解得A<-1 3m=1-n, 7A+4<0, 3 故所求实数A的取值范围是（一。，-1）. 「m= 5 :B组·素养提升 2.1 解得 4 所以正=子a+{b 1.Ca+b=(0,1+x2),与y轴平行 n= 5 2.A在平行四边形ABCD中，因为A(1,2).B(3,5),所以AB= -372