练案15 第2章 1 从位移，速度、力到向量-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

练案［１５］ Ａ组·素养自测 １． Ａ　 温度与功没有方向，不是向量，故①错误；零向量的方向是 任意的，故②错误；零向量的模可能为０，不一定是正数，故③ 错误；非零向量的单位向量的方向有两个，故④错误，故选Ａ． ２． Ｃ　 如图所示，此人从点Ａ出发，经由点 Ｂ，到达点Ｃ， 则ｔａｎ∠ＢＡＣ ＝ 槡１００ ３１００ 槡＝ ３， ∴ ∠ＢＡＣ ＝ ６０°，即位移的方向是东偏南 ６０°，即南偏东３０°，应选Ｃ． ３． Ｄ　 这四个向量的模相等． ４． Ｃ　 因为→ＣＤ ＝ － →ＤＣ，所以｜→ＣＤ ｜ ＝ ｜→ＤＣ ｜，故Ａ项正确；由单位 向量的定义知，｜ ｅ１ ｜ ＝ ｜ ｅ２ ｜ ＝ １，故Ｂ项正确；两个向量不能比 较大小，故Ｃ项错误；因为非零向量是自由向量，可以自由平 行移动，故Ｄ项正确．故选Ｃ． ５． Ｃ　 根据向量的基本概念可知与→ＡＥ平行的向量有→ＢＥ，→ＦＤ，→ＦＣ， 共３个． ６． Ｃ　 平行向量所在直线可以平行也可以重合，故Ａ错；长度相 等，方向不同的向量不是相等向量，故Ｂ错；共线向量即平行 向量，不一定在同一条直线上，故Ｄ错．故选Ｃ． ７．共线 ８． ６　 模为１个单位的向量有２个，如→ＡＢ，→ＤＣ；模为２个单位的向 量有２个，如→ＡＣ，→ＤＢ；模为３个单位的向量有２个，如→ＡＤ，→ＤＡ， 故共有６个． ９．（１）→ＢＡ，→ＢＥ，→ＥＢ，→ＡＥ，→ＥＡ，→ＣＤ，→ＤＣ 　 （２）→ＤＣ，→ＢＥ 　 （３）→ＢＡ，→ＢＥ， →ＥＢ，→ＤＣ，→ＣＤ，→ＡＤ，→ＤＡ，→ＢＣ，→ＣＢ １０．（１）与向量→ＡＢ相等的向量共有５个（不包括→ＡＢ本身）． （２）与向量→ＡＢ平行且模为槡２的向量共有２４个． （３）与向量→ＡＢ方向相同且模为槡３ ２的向量共有２个． Ｂ组·素养提升 １． Ｄ　 由相等向量的定义，显然→ＥＰ ＝→ＰＦ． ２． Ｂ　 由两向量夹角的定义知，→ＡＢ与→ＢＣ的夹角的大小是１８０° － ∠Ｂ，为钝角，→ＡＢ与→ＡＣ的夹角是∠Ａ，为锐角，→ＡＣ与→ＢＣ的夹角与 ∠Ｃ的大小相等，为锐角，→ＡＣ与→ＣＢ的夹角的大小是１８０° － ∠Ｃ，为钝角． ３． ＢＤ　 向量ａ，ｂ为两个单位向量，但方向不一定相同，所以Ａ 错误；因为向量ａ，ｂ为两个单位向量，即｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜，若ａ与ｂ 同向，则向量ａ与ｂ相等，所以Ｂ正确；向量ａ，ｂ为两个单位 向量，根据向量的加法，可得ａ ＋ ｂ为向量，所以Ｃ错误；向量 ａ，ｂ为两个单位向量，即｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜，所以Ｄ正确．故选ＢＤ． ４． ＡＢＣ　 与→ＡＢ相等的向量只有→ＤＣ，Ａ正确；由已知条件可得｜→ＡＢ ｜ ＝ ｜→ＢＡ ｜ ＝ ｜→  ＢＣ ｜ ＝ ｜→  ＣＢ ｜ ＝ ｜→ＡＣ ｜ ＝ ｜→ＣＡ ｜ ＝ ｜→ＤＣ ｜ ＝ ｜→ＣＤ ｜ ＝ ｜→ＤＡ ｜ ＝ ｜→ＡＤ ｜，Ｂ正确；如图，过点Ｂ作ＤＡ的垂线交ＤＡ的延长线于 Ｅ，因为∠ＤＡＢ ＝ １２０°，四边形ＡＢＣＤ 为菱形，所以∠ＢＤＥ ＝∠ＡＢＥ ＝３０°，在 Ｒｔ△ＢＥＤ 中，｜ →ＤＢ ｜ ＝ ｜ →ＤＥ ｜ ｃｏｓ ３０°，在 Ｒｔ△ＡＥＢ中，｜→ＡＥ ｜ ＝ １２ ｜ →ＡＢ ｜ ＝ １２ ｜ →ＡＤ ｜， 所以｜→ＤＢ ｜ ＝ ３ ２ ｜ →ＤＡ ｜ 槡３ ２ 槡＝ ３ ｜→ＤＡ ｜，Ｃ正确；→ＣＢ与→ＤＡ方向相同，大 小相等，故→ＣＢ ＝→ＤＡ，→ＣＢ与→ＤＡ共线，Ｄ错误．故选ＡＢＣ． ５． ３π　 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π· ２２ － π·１２ ＝ ３π． ６．③④⑤　 ①两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或 相反，所以ａ与ｂ有共线的可能，故①不正确；②Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四 点可能在同一条直线上，故②不正确；③在平行四边形ＡＢＣＤ 中，｜→ＡＤ ｜ ＝ ｜→ＢＣ ｜，→ＡＤ与→ＢＣ平行且方向相同，所以→ＡＤ ＝→ＢＣ，故 ③正确；④ａ ＝ ｂ，则｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜，且ａ与ｂ方向相同；ｂ ＝ ｃ，则｜ ｂ ｜ ＝ ｜ ｃ ｜，且ｂ与ｃ方向相同，所以ａ与ｃ方向相同且模相等，故 ａ ＝ ｃ，故④正确；⑤南偏西６０°和北偏东６０°是两个共线，方向 相反，所以两个向量是共线向量，故⑤正确． ７．（１）如图，→ＡＢ，→ＢＣ，→ＣＤ即为所求． （２）如图，作向量→ＤＡ，由题意可知，四边形ＡＢＣＤ是平行四 边形， ∴ ｜→ＤＡ ｜ ＝ ｜→ＢＣ 槡｜ ＝ １００ １３ ｍ． ８．（１）画出所有的向量→ＡＣ如图所示． （２）由（１）所画的图知， ①当点Ｃ位于点Ｃ１或Ｃ２时，｜→ＢＣ ｜取得最小值１２ ＋ ２槡 ２ 槡＝ ５； ②当点Ｃ位于点Ｃ５ 或Ｃ６ 时，｜ →ＢＣ ｜取得最大值 ４２ ＋ ５槡 ２ 槡＝ ４１． ∴ ｜→ＢＣ ｜的最大值为槡４１，最小值为槡５                                                                      ． —７６３— 练案［１５］ 第二章　 平面向量及其应用 § １　 从位移、速度、力到向量 Ａ组·素养自测 一、选择题 １．下列说法正确的个数是 （　 　 ） ①温度、速度、位移、功这些物理量是向量； ②零向量没有方向； ③向量的模一定是正数； ④单位向量是唯一的． Ａ． ０ Ｂ． １ Ｃ． ２ Ｄ． ３ ２．某人向正东方向行进１００米后，再向正南方向行进 槡１００ ３米，则此人位移的方向是 （　 　 ） Ａ．南偏东６０° Ｂ．南偏东４５° Ｃ．南偏东３０° Ｄ．南偏东１５° ３．设Ｏ是正方形ＡＢＣＤ的中心，则向量→ＡＯ，→ＢＯ，→ＯＣ，→ＯＤ是 （　 　 ） Ａ．相等的向量 Ｂ．平行的向量 Ｃ．有相同起点的向量 Ｄ．模相等的向量 ４．下列说法错误的是 （　 　 ） Ａ． ｜ →ＣＤ ｜ ＝ ｜ →ＤＣ ｜ Ｂ． ｅ１，ｅ２是单位向量，则｜ ｅ→ １ ｜ ＝ ｜ ｅ→ ２ ｜ Ｃ．若｜ →ＡＢ ｜ ＞ ｜ →ＣＤ ｜，则→ＡＢ ＞ →ＣＤ Ｄ．任一非零向量都可以平行移动 ５．如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ 的中点，图中与→ＡＥ平行的向量有 （　 　 ） Ａ． １个 Ｂ． ２个 Ｃ． ３个 Ｄ． ４个 ６．下列说法正确的是 （　 　 ） Ａ．平行向量就是向量所在直线平行的向量 Ｂ．长度相等的向量叫相等向量 Ｃ．零向量的长度为０ Ｄ．共线向量是在一条直线上的向量 二、填空题 ７．零向量与单位向量的关系是　 　 　 　 （填“共线”“相 等”“无关”）． ８．如图，Ｂ，Ｃ是线段ＡＤ的三等分点，分别以图中各点为起 点和终点，最多可以写出　 　 　 　 个互不相等的非零 向量． ９．如图，已知四边形ＡＢＣＤ为正方形， △ＣＢＥ为等腰直角三角形，回答下 列问题： （１）图中与→ＡＢ共线的向量有　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ； （２）图中与→ＡＢ相等的向量有　 　 　 　 　 　 　 　 　 ； （３）图中与→ＡＢ模相等的向量有　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． 三、解答题 １０．如图所示，４ ×３的矩形（每个小方格都是单位正方形）， 在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问： （１）与→ＡＢ相等的向量共有几个； （２）与→ＡＢ平行且模为槡２的向量共有几个？ （３）与→ＡＢ方向相同且模为３槡２的向量共有几个                                                                  ？ —８１２— Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．等腰梯形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ 与ＢＤ相交于点Ｐ，点Ｅ，点Ｆ分 别在两腰ＡＤ，ＢＣ上，ＥＦ过点Ｐ 且ＥＦ∥ＡＢ，则下列等式正确的 是 （　 　 ） Ａ →． ＡＤ ＝ →ＢＣ Ｂ →． ＡＣ ＝ →ＢＤ Ｃ →． ＰＥ ＝ →ＰＦ Ｄ →． ＥＰ ＝ →ＰＦ ２．锐角三角形ＡＢＣ中，关于向量夹角的说法正确的是 （　 　 ） Ａ． →ＡＢ与→ＢＣ的夹角是锐角 Ｂ． →ＡＣ与→ＡＢ的夹角是锐角 Ｃ． →ＡＣ与→ＢＣ的夹角是钝角 Ｄ． →ＡＣ与→ＣＢ的夹角是锐角 ３．（多选）已知ａ，ｂ为两个单位向量，下列四个命题中 正确的是 （　 　 ） Ａ． ａ与ｂ相等 Ｂ．如果ａ与ｂ同向，那么ａ与ｂ相等 Ｃ． ａ ＋ ｂ ＝ ２ Ｄ． ｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ ４． （多选）如图，在菱形ＡＢＣＤ中， ∠ＤＡＢ ＝ １２０°，则以下说法正确的 是 （　 　 ） Ａ．与→ＡＢ相等的向量只有一个（不 含→ＡＢ） Ｂ．与→ＡＢ的模相等的向量有９个（不含→ＡＢ） Ｃ． →ＢＤ的模恰好为→ＤＡ的模的槡３倍 Ｄ． →ＣＢ与→ＤＡ不共线 二、填空题 ５．把同一平面内所有模不小于１，不大于２的向量的起 点，移到同一点Ｏ，则这些向量的终点构成的图形的 面积等于　 　 　 　 ． ６．有下列说法： ①若ａ≠ｂ，则ａ一定不与ｂ共线； ②若→ＡＢ ＝ →ＤＣ，则Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点是平行四边形的四个 顶点； ③在ＡＢＣＤ中，一定有→ＡＤ ＝ →ＢＣ； ④若ａ ＝ ｂ，ｂ ＝ ｃ，则ａ ＝ ｃ； ⑤方向为南偏西６０°的向量与北偏东６０°的向量是共 线向量． 其中，正确的说法是　 　 　 　 ． 三、解答题 ７．如图所示，某人从点Ａ出发，向西走了２００ ｍ后到达 Ｂ点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行 走了１００槡１３ ｍ到达Ｃ点，最后又改变方向，向东走 了２００ ｍ到达Ｄ点，发现Ｄ点在Ｂ点的正北方． （１）作出向量→ＡＢ，→ＢＣ，→ＣＤ（图中１个单位长度表示１００ ｍ）； （２）求向量→ＤＡ的模． ８．如图所示的方格纸由若干个边长为１的小正方形组 成，方格纸中有两个定点Ａ，Ｂ，点Ｃ为小正方形的顶 点，且｜ →ＡＣ ｜ ＝槡５． （１）画出所有的向量→ＡＣ； （２）求｜ →ＢＣ ｜的最大值与最小值                                                                         ． —９１２—