练案11 第1章 6.3 探究A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

练案［１１］ Ａ组·素养自测 １． Ｄ　 “五点法”对应解方程．设ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ），显然Ａ ＝ １，又 图象过点－ π６ ，( )０ ， π１２，( )１ ， 所以 ω × － π( )６ ＋ φ ＝ ０， ω × π１２ ＋ φ ＝ π ２ { ． 解得ω ＝ ２，φ ＝ π３ ．所以函数解析 式为ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ ＝ ｃｏｓ ２ｘ － π( )６ ．故选Ｄ． ２． Ａ　 因为直线ｘ ＝ π４和ｘ ＝ ５π ４是函数ｆ（ｘ）的图象中的两条相 邻的对称轴， 所以５π４ － π ４ ＝ Ｔ ２ ，即 Ｔ ２ ＝ π，解得Ｔ ＝ ２π． 又Ｔ ＝ ２π ω ＝ ２π，所以ω ＝ １．所以ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ（ｘ ＋ φ）． 因为直线ｘ ＝ π４是函数ｆ（ｘ）的对称轴， 所以π４ ＋ φ ＝ π ２ ＋ ｋπ（ｋ∈Ｚ），所以φ ＝ π ４ ＋ ｋπ（ｋ∈Ｚ）． 又０ ＜ φ ＜ π，所以φ ＝ π４ ． 经检验知此时直线ｘ ＝ ５π４也为函数ｆ（ｘ）的对称轴，所以选Ａ． ３． Ｄ　 因为函数ｆ（ｘ）的图象沿着ｘ轴向左平移π６个单位长度， 所以，ｇ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ２ ｘ ＋ π( )６ ＝ ２ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ ．故选Ｄ． ４． Ｂ　 函数ｙ ＝ ｃｏｓ ２ｘ － ２π( )３ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ 向左平移π４个单位 得：ｙ ＝ ｓｉｎ ２ ｘ ＋ π( )４ － π[ ]６ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ ．故选Ｂ． ５． Ａ　 由图象可知，Ａ ＝ ２，周期Ｔ ＝ ８，故ω ＝ π４ ，又三角函数图象 过原点，所以φ ＝０，所以ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎ π４ ｘ，所以ｆ（１）＋ ｆ（２）＋ ｆ（３）＋…＋ ｆ（８）＝ ０，即每一个周期内的三角函数值之和为０， 因此，ｆ（１）＋ ｆ（２）＋ ｆ（３）＋…＋ ｆ（２ ０２４）＝ ２５３［ｆ（１）＋ ｆ（２）＋ ｆ（３）＋ ｆ（４）＋…＋ ｆ（８）］＝ ０，故选Ａ． ６． Ａ　 函数ｆ（ｘ）的周期Ｔ≤４ π３ － π( )１２ ＝ π， 则２π ω≤π ，解得ω≥２，故ω的最小值为２． ７． ３２ 　 由图象可得函数ｆ（ｘ）的最小正周期为 ４π ３ ，∴ Ｔ ＝ ２π ω ＝ ４π３ ， ω ＝ ３２ ． ８．（１）４　 （２）３　 （３）２３ π　 （１）Ｔ ＝ ２π π ２ ＝ ４，∴应填４． （２）∵ ２π ω ＝ ２π３ ，∴ ω ＝ ３，∴应填３． （３）∵ ｙ ＝ ４ｓｉｎ ３ｘ ＋ π( )４ 与ｙ ＝ ３ｓｉｎ ３ｘ － π( )４ 的最小正周期都 为２π３ ，∴应填 ２π ３ ． ９． ｘ ｘ ＝ ｋ － ５１２，ｋ∈{ }Ｚ 　 函数取最大值时２πｘ ＋ ４π３ ＝ π２ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ．解得ｘ ＝ ｋ － ５１２，ｋ∈Ｚ． １０．方法一：ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ 向右平移π３ → 个单位长度 ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ － π( )３ 将各点的横坐标缩短为原来的１２ → 倍 ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )３ 将各点的纵坐标伸长为原来的３ →倍 ｙ ＝ ３ｓｉｎ ２ｘ － π( )３ ； 方法二：ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ 将各点的横坐标缩短为原来的１２ → 倍 ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ 向右平移π６ → 个单位长度 ｙ ＝ ｓｉｎ ２ ｘ － π( )６ 将各点的纵坐标伸长为原来的３ → 倍 ｙ ＝ ３ｓｉｎ ２ ｘ － π( )６ ＝ ３ｓｉｎ ２ｘ － π( )３ ． Ｂ组·素养提升 １． Ｃ　 由ｙ ＝ ２ｓｉｎ π６ － ２( )ｘ ＝ － ２ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ 可知，其增区间可 由ｙ ＝ ２ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ 的减区间得到，即２ｋπ ＋ π２ ≤２ｘ － π６ ≤ ２ｋπ ＋ ３π２ ，ｋ∈Ｚ． ∴ ｋπ ＋ π ３ ≤ｘ≤ｋπ ＋ ５π ６ ，ｋ∈Ｚ．令ｋ ＝ ０，故 选Ｃ． ２． Ｃ　 分清对横坐标还是纵坐标所作的变换，左、右平移是对ｘ 变化，并且是对单个的ｘ进行变化，把ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )４ 的图象 向右平移π８个单位长度，用ｘ － π( )８ 代换原解析式中的ｘ，即 得函数式ｙ ＝ ｓｉｎ ２ ｘ － π( )８ ＋ π[ ]４ ，即ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ，再把ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ的图象上的各点的横坐标缩短到原来的１２ ，就得到解析 式ｙ ＝ ｓｉｎ ２（２ｘ），即ｙ ＝ ｓｉｎ ４ｘ的图象． ３． ＡＢＣ　 因为ｆ（ｘ）＝ ３ｓｉｎ ２ｘ － π( )３ 的图象为Ｃ，把ｘ ＝ １１π１２代入 可得ｆ（ｘ）＝ － ３为函数最小值，故图象关于直线ｘ ＝ １１π１２对称， 故Ａ正确；把ｘ ＝ ２π３ 代入可得ｆ（ｘ）＝ ０，故图象关于点 ２π ３ ，( )０ 对称，故Ｂ正确；由２ｋπ － π２ ≤２ｘ － π３ ≤２ｋπ ＋ π２ ，ｋ∈Ｚ， 可得函数的单调增区间为ｋπ － π１２，ｋπ ＋ ５π[ ]１２ ｋ∈Ｚ，故Ｃ正 确；由ｙ ＝ ３ｓｉｎ ２ｘ的图象向右平移π３                                                                      个单位长度可以得到函 —１６３— 数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ ｘ － π( )[ ]３ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － ２π( )３ 的图象，故Ｄ不正确． ４． ＢＤ　 由题图可得Ａ ＝ ２，１４· ２π ω ＝ π３ － π １２，故ω ＝ ２，所以ｆ（ｘ） ＝ ２ｓｉｎ （２ｘ ＋ φ），又ｆ π( )１２ ＝ ２ｓｉｎ ２ × π１２ ＋( )φ ＝ ２，即 ｓｉｎ π６ ＋( )φ ＝ １，所以π６ ＋ φ ＝ π２ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ，又｜ φ ｜ ＜ π２ ，所 以φ ＝ π３ ，所以ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ ．当ｘ ＝ － π３时，ｆ（ｘ）＝ 槡－ ３，故Ａ错误；当ｘ ＝ － ５π１２时，ｆ（ｘ）＝ － ２，故Ｂ正确；将函数 ｙ ＝ ２ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ 的图象向左平移π２个单位长度得到函数，ｙ ＝ ２ｓｉｎ ２ ｘ ＋ π( )２ － π[ ]６ ＝ ２ｓｉｎ ２ｘ ＋ ５π( )６ 的图象，故Ｃ中说法 错误；当ｘ∈ － π２ ，[ ]０ 时，２ｘ ＋ π３ ∈ － ２π３ ，π[ ]３ ，则当２ｘ ＋ π３ ∈ － ２π３ ，－ π[ ]２ ，即ｘ∈ － π２ ，－ ５π[ ]１２ 时，ｆ（ｘ）单调递减；当 ２ｘ ＋ π３ ∈ － π ２ ， π[ ]３ ，即ｘ∈ － ５π１２，[ ]０ 时，ｆ（ｘ）单调递增，因 为２ｓｉｎ － ２π( )３ 槡＝ － ３，２ｓｉｎ － π( )２ ＝ － ２，２ｓｉｎ π３ 槡＝ ３，所以 方程ｆ（ｘ）＝ ｍ在－ π２ ，[ ]０ 上有两个不相等的实数根时，ｍ的 取值范围是（－ ２，槡－ ３］，故Ｄ正确．故选ＢＤ． ５． ｋπ ＋ ２３ π，ｋπ ＋ ７ ６[ ]π ，（ｋ∈Ｚ）　 令ｔ ＝ ２ｘ － π３ ， ∴ ２ｋπ ＋ π≤ｔ≤２ｋπ ＋ ２π时，ｙ ＝ ｃｏｓ ｔ单调递增． 即２ｋπ ＋ π≤２ｘ － π３ ≤２ｋπ ＋ ２π，ｋ∈Ｚ． ∴单调递增区间为： ｋπ ＋ ２３ π，ｋπ ＋ ７ ６[ ]π ，ｋ∈Ｚ． ６． π４ 　 － 槡３ ２ ２ ，[ ]３ 　 将函数ｙ ＝ ３ｓｉｎ（２ｘ ＋ φ）的图象沿ｘ轴向左 平移π８ 个单位，得到函数ｙ ＝ ３ｓｉｎ ２ ｘ ＋ π( )８ ＋[ ]φ ＝ ３ｓｉｎ ２ｘ ＋ π４ ＋( )φ 的图象，因为此时函数为偶函数，所以π４ ＋ φ ＝ π２ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ，即φ ＝ π ４ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ，又｜ φ ｜ ＜ π ２ ，∴ φ ＝ π ４ ，因为－ π ４ ≤ｘ≤ π ４ ，∴ － π ４ ≤２ｘ ＋ π ４ ≤ ３π ４ ． ∴ － 槡２ ２ ≤ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )４ ≤１，函数ｙ ＝ ３ｓｉｎ（２ｘ ＋ φ）在－ π４ ，π[ ]４ 上的值 域为－ 槡３ ２２ ，[ ]３ ． ７．（１）由最低点为Ｍ ２π３ ，( )－ ２ ，得Ａ ＝ ２． 由Ｔ ＝ π，得ω ＝ ２πＴ ＝ ２π π ＝ ２． ∴ ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ（２ｘ ＋ φ）． 由点Ｍ ２π３ ，( )－ ２ 在图象上，得２ｓｉｎ ４π３ ＋( )φ ＝ － ２， 即ｓｉｎ ４π３ ＋( )φ ＝ － １． ∴ ４π３ ＋φ ＝２ｋπ － π ２ （ｋ∈Ｚ），即φ ＝２ｋπ － １１π ６ （ｋ∈Ｚ）． 又φ∈ ０，π( )２ ，∴ φ ＝ π６ ． ∴ ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )６ ． （２）∵ ｘ∈ π１２， π[ ]２ ，∴ ２ｘ ＋ π６ ∈ π３ ，７π[ ]６ ． ∴当２ｘ ＋ π６ ＝ ７π ６ ，即ｘ ＝ π ２时，ｆ（ｘ）取得最小值－１； 当２ｘ ＋ π６ ＝ π ２ ，即ｘ ＝ π ６时，ｆ（ｘ）取得最大值２． ∴ ｆ（ｘ）的值域为［－ １，２］． ８．（１）由图可知：Ｔ２ ＝ π ３ － π １２ ＝ π ４ ，所以Ｔ ＝ π ２ ＝ ２π ω ，所以ω ＝４， ｆ（ｘ）＝ １３ ｓｉｎ（４ｘ ＋ φ）， 又ｆ π( )１２ ＝ １３ ｓｉｎ π３ ＋( )φ ＝ １３ ，ｓｉｎ π３ ＋( )φ ＝ １，π３ ＋ φ ＝ ２ｋπ ＋ π２ ，所以φ ＝ ２ｋπ ＋ π ６ ，ｋ∈Ｚ． 所以ｆ（ｘ）＝ １３ ｓｉｎ ４ｘ ＋ ２ｋπ ＋ π( )６ ＝ １３ (ｓｉｎ ４ｘ ＋ π )６ ． 令４ｘ ＋ π６ ＝ ｋπ，ｋ∈Ｚ，则ｘ ＝ ｋπ ４ － π ２４，ｋ∈Ｚ． 所以ｆ（ｘ）的对称中心为ｋπ４ － π ２４，( )０ ，ｋ∈Ｚ． （２）由题ｇ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ ｘ ＋ π( )３ ＋ π[ ]６ (＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ ５６ )π ． 当ｘ∈ － ５π１２，[ ]０ ，２ｘ ＋ ５π６ ∈ ０，５π[ ]６ 时，ｇ（ｘ）∈［０，１］． 因为｜ ｇ（ｘ）－ ｔ ｜≤１对任意的ｘ∈ － ５π１２，[ ]０ 恒成立， 则ｇ（ｘ）ｍａｘ≤１ ＋ ｔ ｇ（ｘ）ｍｉｎ≥ － １ ＋{ ｔ．所以ｔ∈［０，１］． 练案［１２］ Ａ组·素养自测 １． Ａ　 ｔａｎ（－ ３３０°）＝ ｔａｎ（３０° － ３６０°）＝ ｔａｎ ３０° ＝槡３３ ．故选Ａ． ２． Ａ　 ∵ ｔａｎ（５π ＋ α）＝ ｍ，∴ ｔａｎ α ＝ ｍ，原式＝ － ｓｉｎ α － ｃｏｓ α－ ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝ － ｔａｎ α － １ － ｔａｎ α ＋ １ ＝ － ｍ － １－ ｍ ＋ １ ＝ ｍ ＋ １ ｍ － １． ３． Ｃ　 由ｔａｎ（π － α）＋ ３ ＝ ０可得ｔａｎ（π － α）＝ － ３，即－ ｔａｎ α ＝ － ３，所以ｔａｎ α ＝ ３，又ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ ｔａｎ α ＝ ３，所以ｃｏｓ α ＝ ｓｉｎ α ３ ，又 因为ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １，所以ｓｉｎ２α ＋ ｓｉｎ ２α ９ ＝ １，解得ｓｉｎ α ＝ ± 槡３ １０１０ ，又α为第一象限角，所以负值舍去．故选Ｃ． ４． Ｃ　 因为点（ａ，３２）在函数ｙ ＝ ２ｘ的图象上， 所以２ａ ＝ ３２，即ａ ＝ ５， 所以ｔａｎ ５π３ ＝ ｔａｎ π ＋ ２π( )３ ＝ ｔａｎ ２π３ ＝ ｔａｎ π － π( )                                                                      ３ —２６３— 练案［１１］ 第一章　 三角函数 § ６　 ［６． ３　 探究Ａ对ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）的图象的影响］ Ａ组·素养自测 一、选择题 １．下列函数中，图象的一部分如图所示的是 （　 　 ） Ａ． ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ ＋ π( )６ Ｂ． ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ Ｃ． ｙ ＝ ｃｏｓ ４ｘ － π( )３ Ｄ． ｙ ＝ ｃｏｓ ２ｘ － π( )６ ２．已知ω ＞０，０ ＜φ ＜π，直线ｘ ＝ π４和ｘ ＝ ５π ４是函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ（ωｘ ＋φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ ＝ （　 　 ） Ａ． π４ Ｂ． π ３ Ｃ． π ２ Ｄ． ３π ４ ３．（２０２４·陕西榆林高一统考期末）已知函数ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ２ｘ，将函数ｆ（ｘ）的图象沿着ｘ轴向左平移π６个单 位长度，得到函数ｙ ＝ ｇ（ｘ）的图象，则函数ｇ（ｘ）的解 析式为 （　 　 ） Ａ． ｇ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ Ｂ． ｇ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ２ｘ － π( )３ Ｃ． ｇ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )６ Ｄ． ｇ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ ４．为了得到函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ 的图象，可以将函数 ｙ ＝ ｃｏｓ ２ｘ － ２π( )３ 的图象 （　 　 ） Ａ．向左平移π２个单位 Ｂ．向左平移 π ４个单位 Ｃ．向右平移π２个单位 Ｄ．向右平移 π ４个单位 ５．函数ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）（Ａ ＞ ０，ω ＞ ０）的部分 图象如图所示，则ｆ（１） ＋ ｆ（２）＋ ｆ（３）＋…＋ ｆ（２ ０２４）＝ （　 　 ） Ａ． ０ Ｂ．槡２ Ｃ．槡２ ＋ ２ Ｄ． １ ６．已知函数ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）（ω ＞ ０）的图象关于直 线ｘ ＝ π３对称，且ｆ π( )１２ ＝ ０，则ω的最小值为（　 　 ） Ａ． ２ Ｂ． ４ Ｃ． ６ Ｄ． ８ 二、填空题 ７．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）（ω ＞ ０）的图象如图所 示，则ω ＝ 　 　 　 　 ． ８．完成下列填空： （１）函数ｙ (＝２ｓｉｎ π３ － π２ )ｘ 的最小正周期为　 　 　 　 ； （２）函数ｙ ＝ ｓｉｎ ωｘ ＋ π( )４ （ω ＞ ０）的最小正周期为 ２π ３ ，则ω ＝ 　 　 　 　 ； （３）函数ｙ ＝ ４ｓｉｎ ３ｘ ＋ π( )４ ＋ ３ｓｉｎ ３ｘ － π( )４ 的最小正 周期为　 　 　 　 ． ９．求函数ｙ ＝ ３２ ｓｉｎ ２πｘ ＋ ４π( )３ 取最大值时，对应的ｘ值 的集合为　 　 　 　 　 　 　 　 ． 三、解答题 １０．如何由ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ得到函数ｙ (＝ ３ｓｉｎ ２ｘ － π )３ 的图象． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．使函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ π６ － ２( )ｘ ，ｘ∈［０，π］为增函数的区间 是 （　 　 ） Ａ． ０，π[ ]３ Ｂ． π１２，７π[ ]１２ Ｃ． π３ ， ５π[ ]６ Ｄ． ５π６ ，[ ]π ２．把函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )４ 的图象向右平移π８个单位长 度，再把所得图象上各点横坐标缩短到原来的１２ ，则 所得图象的解析式是 （　 　                                                                  ） —９０２— Ａ． ｙ ＝ ｓｉｎ ４ｘ ＋ ３π( )８ Ｂ． ｙ ＝ ｓｉｎ ４ｘ ＋ π( )８ Ｃ． ｙ ＝ ｓｉｎ ４ｘ Ｄ． ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ ３．（多选）函数ｆ（ｘ）＝ ３ｓｉｎ ２ｘ － π( )３ 的图象为Ｃ，下列结 论中正确的是 （　 　 ） Ａ．曲线Ｃ关于直线ｘ ＝ １１π１２对称 Ｂ．曲线Ｃ关于点２π３ ，( )０ 对称 Ｃ．函数ｆ（ｘ）在区间－ π１２， ５π[ ]１２ 内是增函数 Ｄ．由ｙ ＝ ３ｓｉｎ ２ｘ的图象向右平移π３个单位长度可以 得到曲线Ｃ ４．（多选）已知函数ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ (） Ａ ＞ ０，ω ＞ ０，｜φ ｜ ＜ π )２ 的 部分图象如图所示，下列说法正 确的是 （　 　 ） Ａ． ｆ（ｘ） (的图象关于点－ π３ ， )０ 对称 Ｂ． ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ ＝ － ５π１２ 对称 Ｃ．将函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ 的图象向左平移π２个单位 长度得到函数ｆ（ｘ）的图象 Ｄ．若方程ｆ（ｘ）＝ｍ在－ π２ ，[ ]０ 上有两个不相等的实 数根，则ｍ的取值范围是（－ ２，槡－ ３］ 二、填空题 ５．函数ｙ 槡＝ ２ｃｏｓ ２ｘ － π( )３ 的单调增区间是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． ６．函数ｙ ＝ ３ｓｉｎ（２ｘ ＋ φ） ｜φ ｜ ＜ π( )２ 的图象沿ｘ轴向左 平移π８个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ ＝ 　 　 　 　 ；此时函数ｙ ＝ ３ｓｉｎ（２ｘ ＋ φ）在－ π４ ， π[ ]４ 上 的值域为　 　 　 　 ． 三、解答题 ７．已知函数ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ），ｘ∈ (Ｒ 其中Ａ ＞ ０， ω ＞ ０，０ ＜ φ ＜ π )２ 的图象与ｘ轴的交点中，相邻两个 交点之间的距离为π２ ，且图象上一个最低点为 Ｍ ２π３ ，( )－ ２ ． （１）求ｆ（ｘ）的解析式； （２）当ｘ∈ π１２， π[ ]２ 时，求ｆ（ｘ）的值域． ８．已知函数ｆ（ｘ）＝ １３ ｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）（ω ＞ ０）的图象如图 所示． （１）求函数ｆ（ｘ）的对称中心； （２）先将函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）图象上所有点的纵坐标伸长到 原来的３倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象 上所有点的横坐标伸长到原来的２倍（纵坐标不 变），最后将所得图象向左平移π３个单位后得到函数 ｙ ＝ ｇ（ｘ）的图象．若｜ ｇ（ｘ）－ ｔ ｜≤１对任意的ｘ∈ － ５π１２，[ ]０ 恒成立，求实数ｔ的取值范围                                                                         ． —０１２—