练案10 第1章 6.1-6.2 探究ω对y=sinωx的图象的影响 探完φ对y=sin(x+φ)的图象的影响-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

练案［１０］ 第一章　 三角函数 § ６　 ［６． １　 探究ω对ｙ ＝ ｓｉｎ ωｘ的图象的影响　 ６． ２　 探究φ对ｙ ＝ ｓｉｎ（ｘ ＋ φ）的图象的影响］ Ａ组·素养自测 一、选择题 １．函数ｙ ＝ ｓｉｎ π２ ｘ( )＋ ３ 的相位是 （　 　 ） Ａ． ２　 　 　 　 Ｂ． π２ 　 　 　 　Ｃ． ３　 　 　 　 Ｄ． π ２ ｘ ＋ ３ ２．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置Ｏ的 距离ｍ ｃｍ和时间ｔ ｓ的函数关 系式为ｍ ＝ ｓｉｎ ｔ ＋ π( )６ ，那么单 摆来回摆动一次所需的时间为 （　 　 ） Ａ． ２π ｓ Ｂ． π ｓ Ｃ． ０． ５ ｓ Ｄ． １ ｓ ３．已知简谐运动ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ｘ ＋ ２( )φ ｜φ ｜ ＜ π( )４ 的图象 经过点（０，１），则该简谐运动初相为 （　 　 ） Ａ． π１２ Ｂ． π ６ Ｃ． π ３ Ｄ． ２ ３ π ４．将函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ的图象（　 　 ），可以得到函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ 的图象 （　 　 ） Ａ．向左平移π６个单位 Ｂ．向左平移 π １２个单位 Ｃ．向右平移π６个单位 Ｄ．向右平移 π １２个单位 ５．将函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ的图象向右平移１个单位长度 后得到ｇ（ｘ）的图象，则ｇ（ｘ）＝ （　 　 ） Ａ． ｓｉｎ（２ｘ － １） Ｂ． ｓｉｎ（２ｘ ＋ １） Ｃ． ｓｉｎ（２ｘ － ２） Ｄ． ｓｉｎ（２ｘ ＋ ２） ６．函数ｙ ＝ ｓｉｎ － ２ｘ ＋ π( )６ 的单调递减区间是（　 　 ） Ａ． － π６ ＋ ２ｋπ， π ３ ＋ ２ｋ[ ]π ，ｋ∈Ｚ Ｂ． π６ ＋ ２ｋπ， ５π ６ ＋ ２ｋ[ ]π ，ｋ∈Ｚ Ｃ． － π６ ＋ ｋπ， π ３ ＋ ｋ[ ]π ，ｋ∈Ｚ Ｄ． π６ ＋ ｋπ， ５π ６ ＋ ｋ[ ]π ，ｋ∈Ｚ 二、填空题 ７．设函数ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ π２ ｘ ＋ π( )５ ，若对任意ｘ∈Ｒ，都有 ｆ（ｘ１）≤ ｆ（ｘ）≤ ｆ（ｘ２）成立，则｜ ｘ１ － ｘ２ ｜的最小值 是　 　 　 　 ． ８．将函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图象上所有点的横坐标缩短到原 来的１６ （纵坐标不变）得　 　 　 　 的图象． ９．函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ的图象的对称轴方程为　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ，对称中心为　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ，奇偶 性为　 　 　 　 　 ． 三、解答题 １０．函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ ． （１）求对称轴方程及对称中心； （２）求周期及单调递增区间                                                                ． —７０２— Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．将函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图象上所有的点向右平行移动π１０ 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的２ 倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（　 　 ） Ａ． ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )１０ Ｂ． ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )５ Ｃ． ｙ ＝ ｓｉｎ １２ ｘ － π( )１０ Ｄ． ｙ ＝ ｓｉｎ １２ ｘ － π( )２０ ２．函数ｙ ＝ ｓｉｎ ωｘ（ω ＞ ０）在区间［０，１］上至少出现５０ 个最小值，则ω的最小值是 （　 　 ） Ａ． ９８π Ｂ． ９８． ５π Ｃ． ９９． ５π Ｄ． １００π ３．（多选）关于ｘ的函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ（ｘ ＋ φ）的以下说法， 不正确的是 （　 　 ） Ａ．对任意的φ，ｆ（ｘ）都是非奇非偶函数 Ｂ．存在φ，使ｆ（ｘ）是偶函数 Ｃ．存在φ，使ｆ（ｘ）是奇函数 Ｄ．对任意的φ，ｆ（ｘ）都不是偶函数 ４．（多选）关于函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ ＋ １，ｘ∈Ｒ，下列 命题正确的是 （　 　 ） Ａ．函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象关于点－ π６ ，( )１ 对称 Ｂ．若ｆ（ｘ１）＝ ｆ（ｘ２）＝ １，则ｘ１ － ｘ２ ＝ ｋπ（ｋ∈Ｚ） Ｃ．函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的表达式可改写为ｙ ＝ ｃｏｓ ２ｘ － π( )６ ＋１ Ｄ． ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象向右平移５π１２个单位长度后所得图 象关于ｙ轴对称 二、填空题 ５．已知函数ｙ ＝ ｓｉｎ（２ｘ ＋ φ） － π２ ＜ φ ＜ π( )２ 的图象关于 直线ｘ ＝ π３对称，则φ的值为　 　 　 　 ． ６．函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )３ 的图象可由函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图 象作两次变换得到，第一次变换是针对函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ 的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图 象而言的．现给出下列四个变换：①图象上所有点向 右平移π６个单位；②图象上所有点向右平移 π ３个单 位；③图象上所有点的横坐标变为原来的２倍（纵坐 标不变）；④图象上所有点的横坐标变为原来的１２ （纵坐标不变）．请按顺序写出两次变换的代表序号： 　 　 　 　 ． 三、解答题 ７．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ ． （１）用“五点法”作出函数ｆ（ｘ）在［０，π］上的图象； （２）解不等式ｆ（ｘ）≥ １２ ． ８．将函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）ω ＞ ０，－ π２ ≤φ ＜ π( )２ 图象 上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变， 再向右平移π６个单位长度得到ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图象． （１）求函数ｆ（ｘ）的解析式； （２）当ｘ∈［０，３π］时，方程ｆ（ｘ）＝ ｍ有唯一实数根， 求ｍ的取值范围                                                                      ． —８０２— 的面积，又∵ ＯＡ ＝ ２，ＯＣ ＝ ２π， ∴封闭图形的面积等于Ｓ矩形ＯＡＢＣ ＝ ２ × ２π ＝ ４π，∴ Ｄ错误．故 选ＡＣ． ５．（－ ∞，－ ３］∪ － １５ ，＋[ )∞ 　 ∵ ２ｍ － １３ｍ ＋ ２ ＝ ｜ ｃｏｓ ｘ ｜≤１， ∴ ｜２ｍ － １ ｜≤ ｜３ｍ ＋ ２ ｜ ． ∴ （２ｍ － １）２≤（３ｍ ＋ ２）２ ． ∴ ｍ≤ － ３，或ｍ≥ － １５ ． ∴ ｍ∈（－ ∞，－ ３］∪ － １５ ，＋[ )∞ ． ６． ２ｋπ，２ｋπ ＋ π[ )２ （ｋ∈Ｚ）　 由题知ｃｏｓ ｘ ＞ ０，ｘ (∈ ２ｋπ － π２ ， ２ｋπ ＋ π )２ ，ｋ∈Ｚ． 又令ｔ ＝ ｃｏｓ ｘ，ｙ ＝ ｌｏｇ １ ２ ｔ，则ｔ ＝ ｃｏｓ ｘ的减区间即为ｙ ＝ ｌｏｇ １ ２ ｃｏｓ ｘ的增区间． ∴ ｘ∈ ２ｋπ，２ｋπ ＋ π[ )２ （ｋ∈Ｚ）． ７．（１）表格如下： ｘ ０ π２ π ３π ２ ２π ｆ（ｘ） １ － １ － ３ － １ １ 用五点法在直角坐标系中画出ｆ（ｘ）在［０，２π］上的简图如下 （２）由已知ｆ（ｘ）＝ ２ｃｏｓ ｘ 槡－ １ ＞ － ３ － １， 得ｃｏｓ ｘ ＞ －槡３２ ， 得－ ５π６ ＋ ２ｋπ ＜ ｘ ＜ ５π ６ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ， 即不等式ｆ （ｘ） 槡＞ － ３ － １ 在全体实数上的解集为 － ５π６ ＋ ２ｋπ， ５π ６ ＋ ２ｋ( )π ，ｋ∈Ｚ． ８．令ｔ ＝ ｃｏｓ ｘ，由０≤ｘ≤ π２ ，知０≤ｃｏｓ ｘ≤１，即ｔ∈［０，１］．所以原 函数可以转化为ｙ ＝ － ｔ２ ＋ ａｔ ＋ １２ － ａ ４ ＝ － ｔ － ａ( )２ ２ ＋ ａ ２ ４ ＋ １ ２ － ａ ４ ，ｔ∈［０，１］． ①若ａ２ ≤０，即ａ≤０时，当ｔ ＝ ０时， ｙｍａｘ ＝ １ ２ － ａ ４ ＝ ２，解得ａ ＝ － ６． ②若０ ＜ ａ２ ＜ １，即０ ＜ ａ ＜ ２时，当ｔ ＝ ａ ２时， ｙｍａｘ ＝ ａ２ ４ ＋ １ ２ － ａ ４ ＝ ２，解得ａ ＝ ３或ａ ＝ － ２，全舍去． ③若ａ２ ≥１，即ａ≥２时，当ｔ ＝ １时， ｙｍａｘ ＝ － １ ＋ ａ ＋ １ ２ － ａ ４ ＝ ２，解得ａ ＝ １０ ３ ． 综上所述，可知ａ ＝ － ６或１０３ ． 练案［１０］ Ａ组·素养自测 １． Ｄ ２． Ａ　 Ｔ ＝ ２π ω ＝ ２π１ ＝ ２π． ３． Ａ　 因为图象过（０，１）点， ∴ ｓｉｎ ２φ ＝ １２ ，∵ － π ２ ＜ ２φ ＜ π ２ ，∴ ２φ ＝ π ６ ，φ ＝ π １２ ．故选Ａ． ４． Ｄ　 由于函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ (＝ ｓｉｎ ２ ｘ － π )１２ ，则将函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ 的图象向右平移π１２个单位，可得到函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ 的图象．故选Ｄ． ５． Ｃ　 ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ２ｘ的图象向右平移１个单位后得到ｇ（ｘ）＝ ｆ（ｘ － １）＝ ｓｉｎ ２（ｘ － １）＝ ｓｉｎ（２ｘ － ２）的图象． ６． Ｃ　 ｙ ＝ － ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ ． 令２ｋπ － π２ ≤２ｘ － π ６ ≤２ｋπ ＋ π ２ ，得ｋπ － π ６ ≤ｘ≤ｋπ ＋ π ３ （ｋ∈Ｚ）． ∴函数的单调递减区间是ｋπ － π６ ，ｋπ ＋ π[ ]３ （ｋ∈Ｚ）． ７． ２　 由题意知ｆ（ｘ１）只能恒等于－ ２，ｆ（ｘ２）只能恒等于２，最小 正周期Ｔ ＝ ４． ∴ ｜ ｘ１ － ｘ２ ｜ ｍｉｎ ＝ Ｔ２ ＝ ２． ８． ｙ ＝ ｓｉｎ ６ｘ　 依题意知将ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ图象上所有点的横坐标缩短 到原来的１６后可得ｙ ＝ ｓｉｎ ６ｘ的图象． ９． ｘ ＝ ｋπ２ ＋ π ４ （ｋ∈Ｚ）　 ｋπ ２ ，( )０ （ｋ∈Ｚ）　 奇函数 １０．（１）令ｙ ＝ ± １，即ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ ＝ ± １，则２ｘ ＋ π３ ＝ ｋπ ＋ π２ （ｋ∈Ｚ）， ∴ ｘ ＝ ｋπ２ ＋ π １２（ｋ∈Ｚ）． 即对称轴方程为ｘ ＝ ｋπ２ ＋ π １２（ｋ∈Ｚ）． 令ｙ ＝ ０，即ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ ＝ ０，则２ｘ ＋ π３ ＝ ｋπ（ｋ∈Ｚ）， ∴ ｘ ＝ ｋπ２ － π ６ （ｋ∈Ｚ）， ∴函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ 的图象的对称中心为ｋπ２ － π６ ，( )０ （ｋ∈Ｚ）                                                                      ． —９５３— （２）Ｔ ＝ ２π２ ＝ π， 令μ ＝ ２ｘ ＋ π３ ，由２ｋπ － π ２ ≤μ≤２ｋπ ＋ π ２ ， 即２ｋπ － π２ ≤２ｘ ＋ π ３ ≤２ｋπ ＋ π ２ ， ∴ ｋπ － ５π１２≤ｘ≤ｋπ ＋ π １２， ∴单调递增区间为ｋπ － ５π１２，ｋπ ＋ π[ ]１２ （ｋ∈Ｚ）． Ｂ组·素养提升 １． Ｃ　 将函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图象上所有的点向右平行移动π１０个单 位长度，所得函数图象的解析式为ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ － π( )１０ ，再把所得 各点的横坐标伸长到原来的２倍（纵坐标不变），所得图象的 函数解析式是ｙ ＝ ｓｉｎ １２ ｘ － π( )１０ ． ２． Ｃ　 使ｙ ＝ ｓｉｎ ωｘ（ω ＞ ０）在区间［０，１］上至少出现５０个最小 值，则４９ ＋( )３４ Ｔ ＝ ４９ ＋( )３４ ·２πω≤１． 解得ω≥１９９２ π． 故ω的最小值为９９． ５π． ３． ＡＤ　 φ ＝ ０时，ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ是奇函数，所以Ａ错误，Ｃ正确；φ ＝ π２时，ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ ＋ π( )２ ＝ ｃｏｓ ｘ是偶函数，所以Ｂ正确，Ｄ 错误． ４． ＡＣＤ　 对于Ａ，将ｘ ＝ － π６代入可得 [ (ｓｉｎ ２ × － π )６ ＋ π ]３ ＝ ｓｉｎ － π３ ＋ π( )３ ＝ ０，ｆ － π( )６ ＝ １，所以函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象 关于点－ π６ ，( )１ 对称；对于Ｂ，由ｆ（ｘ１）＝ ｆ（ｘ２）＝ １可得 ｓｉｎ ２ ｘ１ ＋ π( )３ ＝ ｓｉｎ ２ ｘ２ ＋ π( )３ ＝ ０，即ｘ１，ｘ２ 是函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ 的零点，所以ｘ１，ｘ２ 相差半周期的整数倍，即ｘ１ － ｘ２ ＝ ｋ·Ｔ２ ＝ ｋπ ２ （ｋ∈Ｚ），所以Ｂ错误；对于Ｃ，利用诱导公式 可得ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ ＋ １ ＝ ｃｏｓ π２ － ２ｘ ＋ π( )[ ]３ ＋ １ ＝ ｃｏｓ π６ － ２( )ｘ ＋ １ ＝ ｃｏｓ ２ｘ － π( )６ ＋ １，所以函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的表达 式可改写为ｙ ＝ ｃｏｓ ２ｘ － π( )６ ＋ １，故Ｃ正确；对于Ｄ，ｙ ＝ ｆ（ｘ） 的图象向右平移５π１２ 个单位长度后可得ｆ１ （ｘ） ＝ [ (ｓｉｎ ２ ｘ － ５π )１２ ＋ π ]３ ＋ １ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － ５π６ ＋ π( )３ ＋ １ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )２ ＋ １ ＝ － ｃｏｓ ２ｘ ＋ １为偶函数，即所得图象关于ｙ 轴对称，所以Ｄ正确．故选ＡＣＤ． ５． － π６ 　 函数的图象关于直线ｘ ＝ π ３对称，所以２ × π ３ ＋ φ ＝ ｋπ ＋ π２ ，ｋ∈Ｚ， 即φ ＝ ｋπ － π６ ，又因为－ π ２ ＜ φ ＜ π ２ ， 所以当ｋ ＝ ０时，φ ＝ － π６ ． ６．④①或②④ ７．（１）列表 ２ｘ － π６ ０ π ２ π ３π ２ ２π ｘ π１２ π ３ ７π １２ ５π ６ １３π １２ ｆ（ｘ） ０ １ ０ － １ ０ 又当ｘ ＝ ０时，ｆ（０）＝ － １２ ，当ｘ ＝ π时，ｆ（π）＝ － １ ２ ， 描点作图，如图所示： （２）因为ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ ≥ １２ ，所以π６ ＋２ｋπ≤２ｘ － π６ ≤５π６ ＋２ｋπ，ｋ∈Ｚ，解得π６ ＋ ｋπ≤ｘ≤ π ２ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ，故不等式的解集 {为ｘ π６ ＋ ｋπ≤ｘ≤ π２ ＋ ｋπ，ｋ∈ }Ｚ ． ８．（１）将ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图象向左平移π６ 个单位长度可得ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ ＋ π( )６ 的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的２ 倍，可得ｙ ＝ ｓｉｎ １２ ｘ ＋ π( )６ 的图象，故ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ １２ ｘ ＋ π( )６ ． （２）令２ｋπ ＋ π２ ≤ １ ２ ｘ ＋ π ６ ≤２ｋπ ＋ ３π ２ （ｋ∈Ｚ），则４ｋπ ＋ ２π ３ ≤ ｘ≤４ｋπ ＋ ８π３ （ｋ∈Ｚ），又ｘ∈［０，３π］，所以ｘ∈ ０， ２π[ )３ ，ｆ（ｘ）单 调递增，ｘ∈ ２π３ ， ８π[ ]３ ，ｆ（ｘ）单调递减，ｘ∈ ８π３ ，３( ]π ，ｆ（ｘ）单调 递增，所以ｆ（ｘ）ｍａｘ ＝ １，ｆ（ｘ）ｍｉｎ ＝ － １，当ｘ ＝ ０时，ｙ ＝ １２ ，当ｘ ＝ ３π时，ｙ ＝ －槡３２ ． 故使方程ｆ（ｘ）＝ ｍ 有唯一实数根的ｍ 的取值范围 为ｍ∈ －槡３２ ，( )１２ ∪｛－ １，１｝                                                                      ． —０６３—