练案9 第1章 5.2 余弦函数的图象与性质再认识-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

练案［９］ Ａ组·素养自测 １． Ａ　 函数ｆ（ｘ）＝ ｘｓｉｎ π２ －( )ｘ ＝ ｘｃｏｓ ｘ， ∵ ｆ（－ ｘ）＝（－ ｘ）ｃｏｓ（－ ｘ）＝ － ｘｃｏｓ ｘ ＝ － ｆ（ｘ）， 且定义域为Ｒ，∴ ｆ（ｘ）是奇函数． ２． Ｃ　 由诱导公式化简可得ｃｏｓ ｘ≥ － １２ ，结合余弦函数的图象 可知选Ｃ． ３． Ａ 　 由题意得２ｃｏｓ ｘ － １ ＞ ０，即ｃｏｓ ｘ ＞ １２ ，则ｘ ∈ ２ｋπ － π３ ，２ｋπ ＋ π( )３ ，ｋ∈Ｚ．故选Ａ． ４． Ｂ　 ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ ５π( )２ ＝ ｃｏｓ ２ｘ，对称中心是函数图象与ｘ轴的 交点，将四个点代入验证，只有π４ ，( )０ 符合要求，故选Ｂ． ５． Ｄ　 ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ ＋ ｜ ｃｏｓ ｘ ｜ ＝ ２ｃｏｓ ｘ　 ｘ∈ ０，π[ ]２ ∪ ３π２ ，２[ ]π ， ０ ｘ∈ π２ ， ３π[ ]２{ ， 故选Ｄ． ６． Ｃ　 在同一坐标系中作函数ｙ ＝ ｜ ｘ ｜及函数ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ的图象，如 图所示． 发现有２个交点，所以方程｜ ｘ ｜ ＝ ｃｏｓ ｘ有２个根． ７． － １２ ，槡 ３[ ]２ 　 ０ ≤ ｘ ≤ π２ ，π６ ≤ ｘ ＋ π６ ≤ ２π３ ，－ １２ ≤ ｃｏｓ ｘ ＋ π( )６ ≤槡３２ ，所以函数的值域为－ １２ ，槡３[ ]２ ． ８．（－ π，０］　 ∵ ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ在［－ π，０］上是增加的，在［０，π］上是 减函数， ∴只有－ π ＜ ａ≤０时，满足已知条件，∴ ａ∈（－ π，０］． ９． ２ｋπ － π，２ｋπ － π[ ]３ （ｋ∈Ｚ）　 由已知得１ － ２ｃｏｓ ｘ≥０，∴ ｃｏｓ ｘ ≤ １２ ，因此ｙ ＝ １ － ２ｃｏｓ槡 ｘ的减区间即为ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ的增区间 且ｃｏｓ ｘ≤ １２ ，所以所求区间为２ｋπ －π，２ｋπ － π[ ]３ （ｋ∈Ｚ）． １０．①当ｂ ＞ ０时，若ｓｉｎ ｘ ＝ － １，ｆ（ｘ）ｍａｘ ＝ ３２ ； 若ｓｉｎ ｘ ＝ １，ｆ（ｘ）ｍｉｎ ＝ － １２ ， 即 ａ ＋ ｂ ＝ ３２ ， ａ － ｂ ＝ － １２ { ，解得ａ ＝ １２ ，ｂ ＝ １{ ． 此时ｂ ＝ １ ＞ ０符合题意，所以ｙ ＝ １ － １２ ｃｏｓ ｘ． ②当ｂ ＝ ０时，ｆ（ｘ）＝ ａ，这与ｆ（ｘ）有最大值３２ ，最小值－ １ ２ 矛盾，故ｂ ＝ ０不成立． ③当ｂ ＜ ０时，显然有 ａ － ｂ ＝ ３２ ， ａ ＋ ｂ ＝ － １２ { ． 解得ａ ＝ １ ２ ， ｂ ＝ － １ { ，符合题意． 所以ｙ ＝ １ － １２ ｃｏｓ（－ ｘ）＝ １ － １ ２ ｃｏｓ ｘ． 综上可知，函数ｙ ＝ １ － １２ ｃｏｓ ｘ的最大值为 ３ ２ ，最小值为 １ ２ ， 周期为２π． Ｂ组·素养提升 １． Ｂ　 依题意，最小正周期为Ｔ ＝ ２π１ ＝ ２π≠π，所以Ａ、Ｃ选项不 符合题意；ｙ ＝ ｜ ｓｉｎ ｘ ｜周期为Ｔ ＝ π，且在０，π( )２ 上单调递增，所 以Ｂ选项符合题意；ｙ ＝ ｜ ｃｏｓ ｘ ｜周期为Ｔ ＝ π，且在０，π( )２ 上单 调递减，所以Ｄ选项不符合题意．故选Ｂ． ２． Ｄ　 在０，π[ ]２ 上，０ ＜ １２ ＜ π６ ＜ １，又余弦函数在０，π[ ]２ 上是 减少的，所以ｃｏｓ ０ ＞ ｃｏｓ １２ ＞ ｃｏｓ π ６ ＞ ｃｏｓ １ ＞ ０．又ｃｏｓ π ＜ ０， 所以ｃｏｓ ０ ＞ ｃｏｓ １２ ＞ ｃｏｓ π ６ ＞ ｃｏｓ １ ＞ ｃｏｓ π． ３． ＢＤ　 因为ｆ（ｘ）＝ ｜２ｃｏｓ ｘ ｜ ＝ ２ ｜ ｃｏｓ ｘ ｜， 作出函数的大致图象， 函数ｆ（ｘ）的最小正周期Ｔ ＝ π，故Ａ错误；由图象可知函数的 增区间为ｋπ － π２ ，ｋ[ ]π （ｋ∈Ｚ），故函数ｆ（ｘ）在５π２ ，３( )π 上单 调递增，故Ｂ正确；当ｘ∈ － ３π４ ， π( )４ 时，ｃｏｓ ｘ∈ －槡２２ ，( ]１ ， ｆ（ｘ）∈［０，２］，故Ｃ错误；因为ｆ（２ ０２５π）＝ ２ ｜ ｃｏｓ（２ ０２５π）｜ ＝ ２，所以函数ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ ＝ ２ ０２５π对称，故Ｄ正确． 故选ＢＤ． ４． ＡＣ　 作出函数ｙ ＝ ２ｃｏｓ ｘ，ｘ∈［０， ２π］的图象，函数ｙ ＝ ２ｃｏｓ ｘ，ｘ∈ ［０，２π］的图象与直线ｙ ＝ ２围成 的平面图形为如图所示的阴影部 分，由图可知，Ａ正确；Ｂ错误；Ｃ 正确； 利用图象的对称性，可知该阴影部分的面积等于矩形                                                                       ＯＡＢＣ —８５３— 的面积，又∵ ＯＡ ＝ ２，ＯＣ ＝ ２π， ∴封闭图形的面积等于Ｓ矩形ＯＡＢＣ ＝ ２ × ２π ＝ ４π，∴ Ｄ错误．故 选ＡＣ． ５．（－ ∞，－ ３］∪ － １５ ，＋[ )∞ 　 ∵ ２ｍ － １３ｍ ＋ ２ ＝ ｜ ｃｏｓ ｘ ｜≤１， ∴ ｜２ｍ － １ ｜≤ ｜３ｍ ＋ ２ ｜ ． ∴ （２ｍ － １）２≤（３ｍ ＋ ２）２ ． ∴ ｍ≤ － ３，或ｍ≥ － １５ ． ∴ ｍ∈（－ ∞，－ ３］∪ － １５ ，＋[ )∞ ． ６． ２ｋπ，２ｋπ ＋ π[ )２ （ｋ∈Ｚ）　 由题知ｃｏｓ ｘ ＞ ０，ｘ (∈ ２ｋπ － π２ ， ２ｋπ ＋ π )２ ，ｋ∈Ｚ． 又令ｔ ＝ ｃｏｓ ｘ，ｙ ＝ ｌｏｇ １ ２ ｔ，则ｔ ＝ ｃｏｓ ｘ的减区间即为ｙ ＝ ｌｏｇ １ ２ ｃｏｓ ｘ的增区间． ∴ ｘ∈ ２ｋπ，２ｋπ ＋ π[ )２ （ｋ∈Ｚ）． ７．（１）表格如下： ｘ ０ π２ π ３π ２ ２π ｆ（ｘ） １ － １ － ３ － １ １ 用五点法在直角坐标系中画出ｆ（ｘ）在［０，２π］上的简图如下 （２）由已知ｆ（ｘ）＝ ２ｃｏｓ ｘ 槡－ １ ＞ － ３ － １， 得ｃｏｓ ｘ ＞ －槡３２ ， 得－ ５π６ ＋ ２ｋπ ＜ ｘ ＜ ５π ６ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ， 即不等式ｆ （ｘ） 槡＞ － ３ － １ 在全体实数上的解集为 － ５π６ ＋ ２ｋπ， ５π ６ ＋ ２ｋ( )π ，ｋ∈Ｚ． ８．令ｔ ＝ ｃｏｓ ｘ，由０≤ｘ≤ π２ ，知０≤ｃｏｓ ｘ≤１，即ｔ∈［０，１］．所以原 函数可以转化为ｙ ＝ － ｔ２ ＋ ａｔ ＋ １２ － ａ ４ ＝ － ｔ － ａ( )２ ２ ＋ ａ ２ ４ ＋ １ ２ － ａ ４ ，ｔ∈［０，１］． ①若ａ２ ≤０，即ａ≤０时，当ｔ ＝ ０时， ｙｍａｘ ＝ １ ２ － ａ ４ ＝ ２，解得ａ ＝ － ６． ②若０ ＜ ａ２ ＜ １，即０ ＜ ａ ＜ ２时，当ｔ ＝ ａ ２时， ｙｍａｘ ＝ ａ２ ４ ＋ １ ２ － ａ ４ ＝ ２，解得ａ ＝ ３或ａ ＝ － ２，全舍去． ③若ａ２ ≥１，即ａ≥２时，当ｔ ＝ １时， ｙｍａｘ ＝ － １ ＋ ａ ＋ １ ２ － ａ ４ ＝ ２，解得ａ ＝ １０ ３ ． 综上所述，可知ａ ＝ － ６或１０３ ． 练案［１０］ Ａ组·素养自测 １． Ｄ ２． Ａ　 Ｔ ＝ ２π ω ＝ ２π１ ＝ ２π． ３． Ａ　 因为图象过（０，１）点， ∴ ｓｉｎ ２φ ＝ １２ ，∵ － π ２ ＜ ２φ ＜ π ２ ，∴ ２φ ＝ π ６ ，φ ＝ π １２ ．故选Ａ． ４． Ｄ　 由于函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ (＝ ｓｉｎ ２ ｘ － π )１２ ，则将函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ 的图象向右平移π１２个单位，可得到函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ 的图象．故选Ｄ． ５． Ｃ　 ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ２ｘ的图象向右平移１个单位后得到ｇ（ｘ）＝ ｆ（ｘ － １）＝ ｓｉｎ ２（ｘ － １）＝ ｓｉｎ（２ｘ － ２）的图象． ６． Ｃ　 ｙ ＝ － ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ ． 令２ｋπ － π２ ≤２ｘ － π ６ ≤２ｋπ ＋ π ２ ，得ｋπ － π ６ ≤ｘ≤ｋπ ＋ π ３ （ｋ∈Ｚ）． ∴函数的单调递减区间是ｋπ － π６ ，ｋπ ＋ π[ ]３ （ｋ∈Ｚ）． ７． ２　 由题意知ｆ（ｘ１）只能恒等于－ ２，ｆ（ｘ２）只能恒等于２，最小 正周期Ｔ ＝ ４． ∴ ｜ ｘ１ － ｘ２ ｜ ｍｉｎ ＝ Ｔ２ ＝ ２． ８． ｙ ＝ ｓｉｎ ６ｘ　 依题意知将ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ图象上所有点的横坐标缩短 到原来的１６后可得ｙ ＝ ｓｉｎ ６ｘ的图象． ９． ｘ ＝ ｋπ２ ＋ π ４ （ｋ∈Ｚ）　 ｋπ ２ ，( )０ （ｋ∈Ｚ）　 奇函数 １０．（１）令ｙ ＝ ± １，即ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ ＝ ± １，则２ｘ ＋ π３ ＝ ｋπ ＋ π２ （ｋ∈Ｚ）， ∴ ｘ ＝ ｋπ２ ＋ π １２（ｋ∈Ｚ）． 即对称轴方程为ｘ ＝ ｋπ２ ＋ π １２（ｋ∈Ｚ）． 令ｙ ＝ ０，即ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ ＝ ０，则２ｘ ＋ π３ ＝ ｋπ（ｋ∈Ｚ）， ∴ ｘ ＝ ｋπ２ － π ６ （ｋ∈Ｚ）， ∴函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ 的图象的对称中心为ｋπ２ － π６ ，( )０ （ｋ∈Ｚ）                                                                      ． —９５３— 练案［９］ 第一章　 三角函数 § ５　 ［５． ２　 余弦函数的图象与性质再认识］ Ａ组·素养自测 一、选择题 １．函数ｆ（ｘ）＝ ｘｓｉｎ π２ －( )ｘ 是 （　 　 ） Ａ．奇函数 Ｂ．非奇非偶函数 Ｃ．偶函数 Ｄ．既是奇函数又是偶函数 ２．当ｘ∈［０，２π］时，满足ｓｉｎ π２ －( )ｘ ≥ － １２的ｘ的取值 范围是 （　 　 ） Ａ． ０，２π[ ]３ Ｂ． ４π３ ，２[ ]π Ｃ． ０，２π[ ]３ ∪ ４π３ ，２[ ]π Ｄ． ２π３ ，４π[ ]３ ３．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｌｇ（２ｃｏｓ ｘ － １），则函数ｆ（ｘ）的定义 域为 （　 　 ） Ａ． ２ｋπ － π３ ，２ｋπ ＋ π( )３ ，ｋ∈Ｚ Ｂ． ２ｋπ － π３ ，２ｋπ ＋ π[ ]３ ，ｋ∈Ｚ Ｃ． ２ｋπ － π６ ，２ｋπ ＋ π( )６ ，ｋ∈Ｚ Ｄ． ２ｋπ － π６ ，２ｋπ ＋ π[ ]６ ，ｋ∈Ｚ ４．函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ ５π( )２ 的一个对称中心是 （　 　 ） Ａ． π８ ，( )０ Ｂ． π４ ，( )０ Ｃ． － π３ ，( )０ Ｄ． ３π８ ，( )０ ５．函数ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ ＋ ｜ ｃｏｓ ｘ ｜，ｘ∈［０，２π］的大致图象为 （　 　 ） ６．方程｜ ｘ ｜ ＝ ｃｏｓ ｘ在（－ ∞，＋ ∞）内 （　 　 ） Ａ．没有根 Ｂ．有且仅有一个根 Ｃ．有且仅有两个根 Ｄ．有无穷多个根 二、填空题 ７． 函数ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ ＋ π( )６ ，ｘ ∈ ０，π[ ]２ 的值域是 　 　 　 　 　 　 ． ８．函数ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ在区间［－ π，ａ］上是增加的，则ａ的取 值范围是　 　 　 　 　 　 　 ． ９．函数ｙ ＝ １ － ２ｃｏｓ槡 ｘ的减区间为　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． 三、解答题 １０．若函数ｆ（ｘ）＝ ａ － ｂｓｉｎ ｘ的最大值为３２ ，最小值为 － １２ ，求函数ｙ ＝ １ － ａｃｏｓ ｂｘ的最值和周期                                                                  ． —５０２— Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．下列函数中最小正周期为π，且在区间０，π( )２ 上单调 递增的是 （　 　 ） Ａ． ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ Ｂ． ｙ ＝ ｜ ｓｉｎ ｘ ｜ Ｃ． ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ Ｄ． ｙ ＝ ｜ ｃｏｓ ｘ ｜ ２．将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是（　 　 ） Ａ． ｃｏｓ ０ ＜ ｃｏｓ １２ ＜ ｃｏｓ １ ＜ ｃｏｓ ３０° ＜ ｃｏｓ π Ｂ． ｃｏｓ ０ ＜ ｃｏｓ π ＜ ｃｏｓ １２ ＜ ｃｏｓ ３０° ＜ ｃｏｓ １ Ｃ． ｃｏｓ ０ ＞ ｃｏｓ １２ ＞ ｃｏｓ １ ＞ ｃｏｓ ３０° ＞ ｃｏｓ π Ｄ． ｃｏｓ ０ ＞ ｃｏｓ １２ ＞ ｃｏｓ ３０° ＞ ｃｏｓ １ ＞ ｃｏｓ π ３．（多选）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｜２ｃｏｓ ｘ ｜，则 （　 　 ） Ａ．函数ｆ（ｘ）的最小正周期Ｔ ＝ ２π Ｂ．函数ｆ（ｘ）在５π２ ，３( )π 上单调递增 Ｃ．函数ｆ（ｘ）在－ ３π４ ， π( )４ 上的值域为（０，槡２） Ｄ．函数ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ ＝ ２ ０２５π对称 ４．（多选）若函数ｆ（ｘ）＝ ２ｃｏｓ ｘ（０≤ｘ≤２π）的图象和直 线ｙ ＝ ２围成一个封闭的平面图形，则下列说法正确 的是 （　 　 ） Ａ．当ｘ∈ π２ ， ３π( )２ 时，ｙ ＜ ０ Ｂ． ｆ（０）＝ １ Ｃ． ｆ ３π( )２ ＝ ０ Ｄ．围成的封闭图形的面积为２π 二、填空题 ５．若ｃｏｓ ｘ ＝ ２ｍ － １３ｍ ＋ ２，且ｘ∈Ｒ，则ｍ的取值范围是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． ６．函数ｙ ＝ ｌｏｇ １ ２ ｃｏｓ ｘ的递增区间是　 　 　 　 　 　 　 ． 三、解答题 ７．已知函数ｆ（ｘ）＝ ２ｃｏｓ ｘ － １． （１）完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中 画出ｆ（ｘ）在［０，２π］上的简图； ｘ ０ π２ π ３π ２ ２π ｆ（ｘ） （２）求不等式ｆ（ｘ）＞ －槡３ － １在全体实数上的解集． ８．函数ｆ（ｘ）＝ １２ － ａ ４ ＋ ａｃｏｓ ｘ － ｃｏｓ ２ｘ ０≤ｘ≤π( )２ 的最 大值为２，求实数ａ的值                                                                       ． —６０２—