练案8 第1章 5.1 正弦函数的图象与性质再认识-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

３． ＣＤ　 因为ｓｉｎ（－ ｘ）＝ － ｓｉｎ ｘ，故Ａ不成立； 因为ｓｉｎ ３π２ －( )ｘ ＝ － ｃｏｓ ｘ，故Ｂ不成立； 因为ｃｏｓ π２ ＋( )ｘ ＝ － ｓｉｎ ｘ，故Ｃ成立； 因为ｃｏｓ（ｘ － π）＝ － ｃｏｓ ｘ，故Ｄ成立．故选ＣＤ． ４． ＢＣＤ　 ｃｏｓ（Ａ ＋ Ｂ）＝ ｃｏｓ（π － Ｃ）＝ － ｃｏｓ Ｃ，Ａ错误；ｓｉｎ（Ａ ＋ Ｂ） ＝ ｓｉｎ（π － Ｃ）＝ ｓｉｎ Ｃ，Ｂ 正确；ｃｏｓ Ａ ＋ Ｃ２ ＝ ｃｏｓ π － Ｂ ２ ＝ ｃｏｓ π２ － Ｂ( )２ ＝ ｓｉｎ Ｂ２ ，Ｃ 正确；ｓｉｎ Ｂ ＋ Ｃ２ ＝ ｓｉｎ π － Ａ２ ＝ ｓｉｎ π２ － Ａ( )２ ＝ ｃｏｓ Ａ２ ，Ｄ正确．故选ＢＣＤ． ５． １３ 　 ｓｉｎ ３π ４ ＋( )α ＝ｓｉｎ π － π４ －( )[ ]α (＝ｓｉｎ π４ － )α ＝ １３ ． ６． － １　 原式＝ ｃｏｓ ２π ＋ π２ －( )[ ]α ｃｏｓ α ｓｉｎ π ＋ π２ ＋( )[ ]α ｃｏｓ １０π ＋ π２ －( )[ ]α ＝ ｃｏｓ π２ －( )α ｃｏｓ α － ｓｉｎ π２ ＋( )α ｃｏｓ π２ －( )α ＝ ｓｉｎ αｃｏｓ α－ ｃｏｓ αｓｉｎ α ＝ － １． ７．由ｓｉｎ（α － ３π）＝ ２ｃｏｓ（α － ４π）， 得ｓｉｎ（α － π）＝ ２ｃｏｓ α， 即ｓｉｎ α ＝ － ２ｃｏｓ α． ∴ ｓｉｎ（π － α）＋ ５ｃｏｓ（２π － α） ２ｓｉｎ ３π２ －( )α － ｓｉｎ（－ α） ＝ ｓｉｎ α ＋ ５ｃｏｓ α－ ２ｃｏｓ α ＋ ｓｉｎ α ＝ － ２ｃｏｓ α ＋ ５ｃｏｓ α－ ２ｃｏｓ α － ２ｃｏｓ α ＝ － ３４ ． ８．（１）ｆ（α）＝ ｓｉｎ αｃｏｓ α（－ ｃｏｓ α）（－ ｃｏｓ α）（－ ｓｉｎ α）＝ － ｃｏｓ α． （２）因为ｆ（α）＝ － ｃｏｓ α，ｆ θ ＋ π( )４ ＝ ３５ ， 所以ｃｏｓ θ ＋ π( )４ ＝ － ３５ ， 又因为θ是第三象限角，所以θ ＋ π４为第三象限角， 所以ｓｉｎ θ ＋ π( )４ ＝ － １ － ｃｏｓ２ θ ＋ π( )槡 ４ ＝ － ４５ ， 故ｆ θ － π( )４ ＝ － ｃｏｓ θ － π( )４ ＝ － ｃｏｓ π４ －( )θ ＝ － ｃｏｓ π２ － θ ＋ π( )[ ]４ ＝ － ｓｉｎ θ ＋ π( )４ ＝ ４５ ． 练案［８］ Ａ组·素养自测 １． Ｃ　 由ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图象与性质可知ｘ∈ π，３π( )２ 时，函数单调递 减，且函数值为负数．故选Ｃ． ２． Ｃ　 对于选项Ａ，定义域为（０，＋ ∞），不关于原点对称；对于选 项Ｂ，定义域为（－ ∞，０），不关于原点对称；对于选项Ｃ，定义 域为（－ ∞，０）∪（０，＋ ∞）关于原点对称，并且ｆ（－ ｘ）＝ ｓｉｎ － １( )ｘ ＝ － ｓｉｎ １ｘ ＝ － ｆ（ｘ），所以为奇函数；对于选项Ｄ， 定义域不关于原点对称． ３． Ｃ　 画出ｙ ＝ ｜ ｓｉｎ ｘ ｜的图象即可解决．借助图象不难看出Ｃ符 合题意． ４． Ｃ　 ｙ ＝ １０ｓｉｎ ｘ的最小正周期是２π，ｙ ＝ １０ｓｉｎ ｘ∈［－ １０，１０］，ｙ ＝ ｘ∈［－ １０，１０］时，ｘ∈［－ １０，１０］，作出函数ｙ ＝ １０ｓｉｎ ｘ和ｙ ＝ ｘ的图象，只要观察ｘ∈［－ １０，１０］的图象，由图象知它们有 ７个交点，故选Ｃ． ５． Ｂ　 由图象得：ｘ的取值范围是π４ ， ３π[ ]４ ． ６． Ｃ　 因为ｆ（－ １）＋ ｆ（１）＝ ２，所以－ ａ － ｂｓｉｎ １ ＋ ｃ ＋ ａ ＋ ｂｓｉｎ １ ＋ ｃ ＝ ２， 所以ｃ ＝ １．故选Ｃ． ７．［－ １，３］　 ｙ ＝（ｓｉｎ ｘ － １）２ － １，∵ －１≤ｓｉｎ ｘ≤１， ∴ －２≤ｓｉｎ ｘ － １≤０， ∴ ０≤（ｓｉｎ ｘ － １）２≤４，可得－ １≤ｙ≤３． ８．［２ｋπ，π ＋ ２ｋπ］（ｋ∈Ｚ） [　 ２ｋπ，２ｋπ ＋ π ]２ ，ｋ∈Ｚ　 ∵ ｓｉｎ ｘ≥０， ∴ ２ｋπ≤ｘ≤π ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ；当ｘ∈［０，π］时，ｙ ＝ ｓｉｎ槡 ｘ在 ０，π[ ]２ 上单调递增． ∴其递增区间为：２ｋπ，２ｋπ ＋ π[ ]２ ， ｋ∈Ｚ． ９．（２，４）　 ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ ＋ ３ ｜ ｓｉｎ ｘ ｜ ＝ ４ｓｉｎ ｘ，０≤ｘ≤π， － ２ｓｉｎ ｘ，π ＜ ｘ≤２π{ ，则ｆ（ｘ）的单调递增区间为０，π[ ]２ ， π，３π( )２ ，单调递减区间为π２ ，( ]π ， ３π２ ，２[ ]π ，又ｆ（０）＝ ｆ（π） ＝ ｆ（２π）＝ ０，ｆ π( )２ ＝ ４，ｆ ３π( )２ ＝ ２，又函数ｆ（ｘ）的图象与ｙ ＝ ｋ 仅有两个不同交点，则ｋ的取值范围是２ ＜ ｋ ＜ ４． 故答案为（２，４）                                                                      ． —６５３— １０．（１）∵ ｓｉｎ ２π３ ＝ ｓｉｎ π － π( )３ ＝ ｓｉｎ π３ ， ０ ＜ π４ ＜ π ３ ＜ π ２ ，ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ在０， π( )２ 上是增加的， ∴ ｓｉｎ π４ ＜ ｓｉｎ π ３ ，即ｓｉｎ π ４ ＜ ｓｉｎ ２π ３ ． （２）∵ ｓｉｎ（－ ３２０°）＝ ｓｉｎ（－ ３６０° ＋ ４０°）＝ ｓｉｎ ４０°， ｓｉｎ ７００° ＝ ｓｉｎ（７２０° － ２０°）＝ ｓｉｎ（－ ２０°）． 又函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ在－ π２ ， π[ ]２ 上是增加的， ∴ ｓｉｎ ４０° ＞ ｓｉｎ（－ ２０°），即ｓｉｎ（－ ３２０°）＞ ｓｉｎ ７００°． Ｂ组·素养提升 １． Ｃ　 ｓｉｎ １６８° ＝ ｓｉｎ（１８０° － １２°）＝ ｓｉｎ １２°，ｃｏｓ １０° ＝ ｃｏｓ（９０° － ８０°）＝ ｓｉｎ ８０°，由于正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ在区间［０°，９０°］上为 增函数，所以ｓｉｎ １１° ＜ ｓｉｎ １２° ＜ ｓｉｎ ８０°，即ｓｉｎ １１° ＜ ｓｉｎ １６８° ＜ ｃｏｓ １０°．故选Ｃ． ２． Ｃ　 在同一直角坐标系中作函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ与ｙ ＝ ｌｇ ｘ的图象．由 图中可以看出两函数图象有三个交点（ｘｉ，ｙｉ），其中ｘｉ∈（１， １０）（ｉ ＝ １，２，３）是方程ｓｉｎ ｘ ＝ ｌｇ ｘ的解． ３． ＡＢＤ　 因为ω ＞ ０，当－ π３ ≤ｘ≤ π ４时，－ πω ３ ≤ωｘ≤ πω ４ ， 又因为函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ωｘ（ω ＞ ０）在区间－ π３ ， π[ ]４ 上的最大 值为１， 则－ πω３ ≤２ｋπ ＋ π ２ ≤ πω ４ （ｋ∈Ｚ），若ｋ≥０，则ω≥８ｋ ＋ ２（ｋ∈ Ｎ），此时，有ω≥２，Ａ、Ｂ、Ｄ合乎条件；若ｋ ＜ ０，则ω≥ － ６ｋ － ３ ２ ，又因为ｋ∈Ｚ，则－ ６ｋ － ３ ２ ≥ ９ ２ ，即ω≥ ９ ２ ． Ｄ合乎题意．故 选ＡＢＤ． ４． Ｄ　 由已知函数ｆ（ｘ）在－ π２ ， π( )２ 上是增函数，又因为π － ２ ∈ － π２ ， π( )２ ，π － ３∈ － π２ ，π( )２ ，π － ３ ＜ １ ＜ π － ２，所以ｆ（π － ３）＜ ｆ（１）＜ ｆ（π － ２），即ｆ（３）＜ ｆ（１）＜ ｆ（２），ｃ ＜ ａ ＜ ｂ．故 选Ｄ． ５ {． ｘ － ３２ ＜ ｘ ＜ ０，或π６ ＋ ２ｋπ ＜ ｘ ＜ ５π６ ＋ ２ｋπ，ｋ∈ }Ｎ 　 在同 一平面直角坐标系中画出函数ｆ（ｘ）和函数ｙ ＝ １２的图象，如 图所示， 当ｆ（ｘ）＞ １２时，函数ｆ（ｘ）的图象位于函数ｙ ＝ １ ２的图象上 方，此时有－ ３２ ＜ ｘ ＜ ０或 π ６ ＋ ２ｋπ ＜ ｘ ＜ ５π ６ ＋ ２ｋπ（ｋ∈Ｎ）． ６． ４３ ，[ ]２ 　 ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ ＋ ３ｓｉｎ ｘ ＋ ２ ＝ １ ＋ １ｓｉｎ ｘ ＋ ２，因为－ １≤ｓｉｎ ｘ≤１，所以 １≤ｓｉｎ ｘ ＋ ２≤３，所以１３ ≤ １ ｓｉｎ ｘ ＋ ２≤１，所以 ４ ３ ≤１ ＋ １ ｓｉｎ ｘ ＋ ２ ≤２，所以ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ ＋ ３ｓｉｎ ｘ ＋ ２的值域是 ４ ３ ，[ ]２ ． ７．（１）∵ ｆ（ｘ）是偶函数，∴ ｆ（－ ｘ）＝ ｆ（ｘ）． ∵当ｘ∈ ０，π[ ]２ 时，ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ， ∴当ｘ∈ － π２ ，[ ]０ 时，ｆ（ｘ）＝ ｆ（－ ｘ）＝ ｓｉｎ（－ ｘ）＝ － ｓｉｎ ｘ． 又∵当ｘ∈ － π，－ π[ ]２ 时，ｘ ＋ π∈ ０，π[ ]２ ， ｆ（ｘ）的周期为π， ∴ ｆ（ｘ）＝ ｆ（π ＋ ｘ）＝ ｓｉｎ（π ＋ ｘ）＝ － ｓｉｎ ｘ． ∴当ｘ∈［－ π，０］时，ｆ（ｘ）＝ － ｓｉｎ ｘ． （２）如下图． （３）∵在［０，π］内，当ｆ（ｘ）＝ １２时，ｘ ＝ π ６或 ５π ６ ， ∴在［０，π］内，ｆ（ｘ）≥ １２时，ｘ∈ π ６ ， ５π[ ]６ ． 又∵ ｆ（ｘ）的周期为π， ∴当ｆ（ｘ）≥ １２时，ｘ∈ ｋπ ＋ π ６ ，ｋπ ＋ ５π[ ]６ ，ｋ∈Ｚ． ８．首先作出ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈ π３ ，[ ]π 的图象，然后再作出ｙ ＝ １ － ａ２ 的 图象，如果ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈ π３ ，[ ]π 与ｙ ＝ １ － ａ２ 的图象有两个交 点，方程ｓｉｎ ｘ ＝ １ － ａ２ ，ｘ∈ π ３ ，[ ]π 就有两个实数根．设ｙ１ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈ π３ ，[ ]π ，ｙ２ ＝ １ － ａ２ ． ｙ１ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈ π３ ，[ ]π 的图象 如图． 由图象可知，当槡３２ ≤ １ － ａ ２ ＜ １，即－ １ ＜ ａ≤ 槡１ － ３时，ｙ１ ＝ ｓｉｎ ｘ， ｘ∈ π３ ，[ ]π 的图象与ｙ２ ＝ １ － ａ２ 的图象有两个交点，即方程 ｓｉｎ ｘ ＝ １ － ａ２ 在ｘ∈ π ３ ，[ ]π 上有两个实根．所以ａ的取值范围 为－ １ ＜ ａ≤ 槡１ － ３                                                                      ． —７５３— 练案［８］ 第一章　 三角函数 § ５　 ［５． １　 正弦函数的图象与性质再认识］ Ａ组·素养自测 一、选择题 １．使得函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ为减函数，且值为负数的区间为 （　 　 ） Ａ． ０，π( )２ Ｂ． π２ ，( )π Ｃ． π，３π( )２ Ｄ． ３π２ ，２( )π ２．下列函数具有奇偶性的是 （　 　 ） Ａ． ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ（ｘ ＞ ０） Ｂ． ｙ ＝ ２ｓｉｎ ｘ（ｘ ＜ ０） Ｃ． ｙ ＝ ｓｉｎ １ｘ （ｘ≠０） Ｄ． ｙ ＝ ２ｓｉｎ槡 ｘ ３．函数ｙ ＝ ｜ ｓｉｎ ｘ ｜的一个单调增区间是 （　 　 ） Ａ． － π４ ， π( )４ Ｂ． π４ ，３π( )４ Ｃ． π，３π( )２ Ｄ． ３π２ ，２( )π ４．函数ｙ ＝ １０ｓｉｎ ｘ与函数ｙ ＝ ｘ的图象的交点个数是 （　 　 ） Ａ． ３ Ｂ． ６ Ｃ． ７ Ｄ． ９ ５．在［０，２π］上，满足ｓｉｎ ｘ≥槡２２的ｘ的取值范围是（　 　 ） Ａ． ０，π[ ]４ Ｂ． π４ ，３π[ ]４ Ｃ． π４ ， π[ ]２ Ｄ． ３π４ ，[ ]π ６．已知函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ５ ＋ ｂｓｉｎ ｘ ＋ ｃ，若ｆ（－ １）＋ ｆ（１）＝ ２， 则ｃ ＝ （　 　 ） Ａ． － １ Ｂ． ０ Ｃ． １ Ｄ． ２３ 二、填空题 ７．函数ｙ ＝ ｓｉｎ２ｘ － ２ｓｉｎ ｘ的值域是　 　 　 　 ． ８． ｙ ＝ ｓｉｎ槡 ｘ的定义域为　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ，单调 递增区间为　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． ９．若函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ ＋ ３ ｜ ｓｉｎ ｘ ｜，ｘ∈［０，２π］的图象与 ｙ ＝ ｋ仅有两个不同交点，则ｋ 的取值范围 是　 　 　 　 ． 三、解答题 １０．比较大小： （１）ｓｉｎ π４与ｓｉｎ ２π ３ ； （２）ｓｉｎ（－ ３２０°）与ｓｉｎ ７００°． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．下列关系式中正确的是 （　 　 ） Ａ． ｓｉｎ １１° ＜ ｃｏｓ １０° ＜ ｓｉｎ １６８° Ｂ． ｓｉｎ １６８° ＜ ｓｉｎ １１° ＜ ｃｏｓ １０° Ｃ． ｓｉｎ １１° ＜ ｓｉｎ １６８° ＜ ｃｏｓ １０° Ｄ． ｓｉｎ １６８° ＜ ｃｏｓ １０° ＜ ｓｉｎ １１° ２．方程ｓｉｎ ｘ ＝ ｌｇ ｘ的实根个数有 （　 　 ） Ａ． １个 Ｂ． ２个 Ｃ． ３个 Ｄ．无穷多个 ３．（多选）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ωｘ（ω ＞ ０）在区间 － π３ ， π[ ]４ 上的最大值为１，则ω的值可以为（　 　 ） Ａ． ２ Ｂ． ４ Ｃ． ３２ Ｄ． ９ ２ ４．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｆ（π － ｘ），且当ｘ∈ － π２ ， π( )２ 时， ｆ（ｘ）＝ ｘ ＋ ｓｉｎ ｘ．设ａ ＝ ｆ（１），ｂ ＝ ｆ（２），ｃ ＝ ｆ（３），则 （　 　 ） Ａ． ａ ＜ ｂ ＜ ｃ Ｂ． ｂ ＜ ｃ ＜ ａ Ｃ． ｃ ＜ ｂ ＜ ａ Ｄ． ｃ ＜ ａ ＜                                                                  ｂ —３０２— 二、填空题 ５．函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ≥０， ｘ ＋ ２，ｘ ＜ ０{ ，则不等式ｆ（ｘ）＞ １２的解集 是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． ６．函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ ＋ ３ｓｉｎ ｘ ＋ ２的值域为　 　 　 　 ． 三、解答题 ７．定义在Ｒ上的函数ｆ（ｘ）既是偶函数又是周期函数， 若ｆ（ｘ）的最小正周期是π，且当ｘ∈ ０，π[ ]２ 时，ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ． （１）求当ｘ∈［－ π，０］时，ｆ（ｘ）的解析式； （２）画出函数ｆ（ｘ）在［－ π，π］上的简图； （３）求当ｆ（ｘ）≥ １２时ｘ的取值范围． ８．若方程ｓｉｎ ｘ ＝ １ － ａ２ 在ｘ∈ π ３ ，[ ]π 上有两个实数根，求 ａ的取值范围                                                                         ． —４０２—