练案7 第1章 4.4 诱导公式与旋转-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

π ２ ，( )π ，又ｓｉｎ（π ＋ α）＋ ｃｏｓ（２π － α）＝ － ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α，（ｃｏｓ α － ｓｉｎ α）２ ＝ １ － ２ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ １５８ ，又ｃｏｓ α － ｓｉｎ α ＜ ０，所以ｃｏｓ α － ｓｉｎ α ＝ －槡３０４ ． ７．方法一：点Ｐ到原点Ｏ的距离｜ＯＰ ｜ ＝ （－ ４）２ ＋ ３槡 ２ ＝ ５． 根据三角函数的定义得ｓｉｎ α ＝ ３５ ，ｃｏｓ α ＝ － ４ ５ ． ｓｉｎ（３π ＋ α）ｓｉｎ（－ π － α） ｓｉｎ（－ α ＋ ２π）ｃｏｓ（－ α － ４π） ＝ ｓｉｎ（π ＋ α）［－ ｓｉｎ（π ＋ α）］ｓｉｎ（－ α）ｃｏｓ（－ α） ＝ － ｓｉｎ αｓｉｎ α － ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ ３５ × －( )５４ ＝ － ３４ ． 方法二：据三角函数定义ｔａｎ α ＝ － ３４ ， 原式＝ ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ ｔａｎ α ＝ － ３ ４ ． ８．（１）当ｎ为偶数，即ｎ ＝ ２ｋ（ｋ∈Ｚ）时， ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ２（２ｋπ ＋ ｘ）·ｓｉｎ２（２ｋπ － ｘ） ｃｏｓ２［（２ × ２ｋ ＋ １）π － ｘ］ ＝ ｃｏｓ２ｘ·ｓｉｎ２（－ ｘ） ｃｏｓ２（π － ｘ） ＝ ｃｏｓ ２ｘ·（－ ｓｉｎ ｘ）２ （－ ｃｏｓ ｘ）２ ＝ ｓｉｎ ２ｘ； 当ｎ为奇数，即ｎ ＝ ２ｋ ＋ １（ｋ∈Ｚ）时， ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ２［（２ｋ ＋ １）π ＋ ｘ］·ｓｉｎ２［（２ｋ ＋ １）π － ｘ］ ｃｏｓ２｛［２ ×（２ｋ ＋ １）＋ １］π － ｘ｝ ＝ ｃｏｓ ２（π ＋ ｘ）·ｓｉｎ２（π － ｘ） ｃｏｓ２（π － ｘ） ＝ （－ ｃｏｓ ｘ）２ ｓｉｎ２ｘ （－ ｃｏｓ ｘ）２ ＝ ｓｉｎ ２ｘ， 综上得ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ２ｘ． （２）由（１）知ｆ ２ ０２０３( )π ＝ ｓｉｎ２ ２ ０２０π３ ＝ ｓｉｎ２ ６７２π ＋ ４π( )３ ＝ｓｉｎ２ ４π３ ＝ｓｉｎ２ π ＋ π( )３ ＝ｓｉｎ２ π３ ＝ ３４ ． 练案［７］ Ａ组·素养自测 １． Ａ　 ｃｏｓ π２ ＋( )α ＝ － ｓｉｎ α ＝ － ４５ ．故选Ａ． ２． Ｃ　 由于ｓｉｎ π２ －( )θ ＝ ｃｏｓ θ ＜ ０， (ｃｏｓ ３π２ － )θ ＝ － ｓｉｎ θ ＞ ０， 即ｓｉｎ θ ＜ ０，所以角θ的终边落在第三象限，故选Ｃ． ３． Ａ　 ｓｉｎ π４ －( )α ＝ ｓｉｎ π２ － π４ ＋( )[ ]α ＝ ｃｏｓ π４ ＋( )α ＝ － １２ ，故选Ａ． ４． Ｄ　 由ｓｉｎ（π ＋ α）＋ ｃｏｓ π２ ＋( )α ＝ － ｓｉｎ α － ｓｉｎ α ＝ －２ｓｉｎ α ＝ －ｍ，∴ ｓｉｎ α ＝ ｍ２ ，∴ ｃｏｓ π ２ －( )α ＋２ｓｉｎ（３π －α）＝ ｓｉｎ α ＋２ｓｉｎ（π －α）＝３ｓｉｎ α ＝ ３２ ｍ．故选Ｄ． ５． Ｃ　 由角α的终边经过点Ｐ（６，槡２ ３），利用三角函数的定义 可得 ｓｉｎ α ＝ 槡２ ３ ６２ ＋（槡２ ３）槡 ２ ＝ １２ ，ｃｏｓ α ＝ ６ ６２ ＋（槡２ ３）槡 ２ ＝槡３２ ，由诱 导公式可得ｓｉｎ α － ３π( )２ ＝ ｃｏｓ α ＝槡３２ ．故选Ｃ． ６． Ｄ　 当ｋ ＝ ２ｎ，ｎ∈Ｚ时，Ａ ＝ ｓｉｎ α｜ ｓｉｎ α ｜ ＋ ｃｏｓ α ｜ ｃｏｓ α ｜ ，α为第Ⅰ象限角 时，Ａ ＝ ｓｉｎ αｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ｃｏｓ α ＝ ２，α为第Ⅱ象限角时，Ａ ＝ ｓｉｎ αｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α － ｃｏｓ α ＝ ０，α为第Ⅲ象限角时，Ａ ＝ ｓｉｎ α－ ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α － ｃｏｓ α ＝ － ２，α 为第Ⅳ象限角时，Ａ ＝ ｓｉｎ α－ ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ｃｏｓ α ＝ ０，当ｋ ＝ ２ｎ ＋ １，ｎ∈Ｚ 时，Ａ ＝ － ｓｉｎ α｜ ｓｉｎ α ｜ ＋ － ｃｏｓ α ｜ ｃｏｓ α ｜ ，当α为第Ⅰ象限角时，Ａ ＝ － ｓｉｎ αｓｉｎ α ＋ － ｃｏｓ α ｃｏｓ α ＝ － ２，当α为第Ⅱ象限角时，Ａ ＝ － ｓｉｎ αｓｉｎ α ＋ － ｃｏｓ α － ｃｏｓ α ＝ ０，当α为第Ⅲ象限角时，Ａ ＝ － ｓｉｎ α－ ｓｉｎ α ＋ － ｃｏｓ α － ｃｏｓ α ＝ ２，当α为第 Ⅳ象限角时，Ａ ＝ － ｓｉｎ α－ ｓｉｎ α ＋ － ｃｏｓ α ｃｏｓ α ＝ ０．综上，Ａ的值为２或－ ２ 或０．故选Ｄ． ７．槡槡３ ＋ ２２ 　 依题意，原式＝ ｃｏｓ １７π ４ ＋ ｓｉｎ ２６π ３ ＝ ｃｏｓ ４π ＋ π( )４ ＋ ｓｉｎ ８π ＋ ２π( )３ ＝ ｃｏｓ π４ ＋ ｓｉｎ ２π３ ＝槡槡３ ＋ ２２ ． ８． － １ 　 原式＝ ｓｉｎ － π２ ＋( )α ｃｏｓ π２ －( )α ｓｉｎ π２ －( )α ·ｓｉｎ α ＝ － ｃｏｓ α·ｓｉｎ αｃｏｓ α·ｓｉｎ α ＝ － １． ９． － １２ 　 因为ｃｏｓ １０° ＝ ｓｉｎ ８０°， 所以ｆ（ｃｏｓ １０°）＝ ｆ（ｓｉｎ ８０°）＝ ｃｏｓ（３ × ８０°） ＝ ｃｏｓ ２４０° ＝ ｃｏｓ（１８０° ＋ ６０°）＝ － ｃｏｓ ６０° ＝ － １２ ． １０．原式＝ － ｃｏｓ αｓｉｎ αｃｏｓ α ＋ ｓｉｎ α（－ ｓｉｎ α） － ｓｉｎ α ＝ － ｓｉｎ α ＋ ｓｉｎ α ＝ ０． Ｂ组·素养提升 １． Ｄ　 ∵ ｓｉｎ α － π( )６ ＝ １３ ， ∴ ｃｏｓ α ＋ π( )３ ＝ ｃｏｓ α － π( )６ ＋ π[ ]２ ＝ － ｓｉｎ α － π( )６ ＝ － １３ ． ２． Ａ　 ∵角α的终边上有一点Ｐ（１，３），在第一象限， ∴由三角函数的定义知ｓｉｎ α ＝ ３ 槡１０ ，ｃｏｓ α ＝ １ 槡１０ ． ∵ ｓｉｎ（π － α）－ ｓｉｎ π２ ＋( )α ｃｏｓ ３２ π －( )α ＋ ２ｃｏｓ（－ π ＋ α） ＝ ｓｉｎ α － ｃｏｓ α－ ｓｉｎ α － ２ｃｏｓ α ＝ ３ 槡１０ － １ 槡１０ － ３ 槡１０ － ２ 槡１０ ＝ － ２５ ． ∴选Ａ                                                                       ． —５５３— ３． ＣＤ　 因为ｓｉｎ（－ ｘ）＝ － ｓｉｎ ｘ，故Ａ不成立； 因为ｓｉｎ ３π２ －( )ｘ ＝ － ｃｏｓ ｘ，故Ｂ不成立； 因为ｃｏｓ π２ ＋( )ｘ ＝ － ｓｉｎ ｘ，故Ｃ成立； 因为ｃｏｓ（ｘ － π）＝ － ｃｏｓ ｘ，故Ｄ成立．故选ＣＤ． ４． ＢＣＤ　 ｃｏｓ（Ａ ＋ Ｂ）＝ ｃｏｓ（π － Ｃ）＝ － ｃｏｓ Ｃ，Ａ错误；ｓｉｎ（Ａ ＋ Ｂ） ＝ ｓｉｎ（π － Ｃ）＝ ｓｉｎ Ｃ，Ｂ 正确；ｃｏｓ Ａ ＋ Ｃ２ ＝ ｃｏｓ π － Ｂ ２ ＝ ｃｏｓ π２ － Ｂ( )２ ＝ ｓｉｎ Ｂ２ ，Ｃ 正确；ｓｉｎ Ｂ ＋ Ｃ２ ＝ ｓｉｎ π － Ａ２ ＝ ｓｉｎ π２ － Ａ( )２ ＝ ｃｏｓ Ａ２ ，Ｄ正确．故选ＢＣＤ． ５． １３ 　 ｓｉｎ ３π ４ ＋( )α ＝ｓｉｎ π － π４ －( )[ ]α (＝ｓｉｎ π４ － )α ＝ １３ ． ６． － １　 原式＝ ｃｏｓ ２π ＋ π２ －( )[ ]α ｃｏｓ α ｓｉｎ π ＋ π２ ＋( )[ ]α ｃｏｓ １０π ＋ π２ －( )[ ]α ＝ ｃｏｓ π２ －( )α ｃｏｓ α － ｓｉｎ π２ ＋( )α ｃｏｓ π２ －( )α ＝ ｓｉｎ αｃｏｓ α－ ｃｏｓ αｓｉｎ α ＝ － １． ７．由ｓｉｎ（α － ３π）＝ ２ｃｏｓ（α － ４π）， 得ｓｉｎ（α － π）＝ ２ｃｏｓ α， 即ｓｉｎ α ＝ － ２ｃｏｓ α． ∴ ｓｉｎ（π － α）＋ ５ｃｏｓ（２π － α） ２ｓｉｎ ３π２ －( )α － ｓｉｎ（－ α） ＝ ｓｉｎ α ＋ ５ｃｏｓ α－ ２ｃｏｓ α ＋ ｓｉｎ α ＝ － ２ｃｏｓ α ＋ ５ｃｏｓ α－ ２ｃｏｓ α － ２ｃｏｓ α ＝ － ３４ ． ８．（１）ｆ（α）＝ ｓｉｎ αｃｏｓ α（－ ｃｏｓ α）（－ ｃｏｓ α）（－ ｓｉｎ α）＝ － ｃｏｓ α． （２）因为ｆ（α）＝ － ｃｏｓ α，ｆ θ ＋ π( )４ ＝ ３５ ， 所以ｃｏｓ θ ＋ π( )４ ＝ － ３５ ， 又因为θ是第三象限角，所以θ ＋ π４为第三象限角， 所以ｓｉｎ θ ＋ π( )４ ＝ － １ － ｃｏｓ２ θ ＋ π( )槡 ４ ＝ － ４５ ， 故ｆ θ － π( )４ ＝ － ｃｏｓ θ － π( )４ ＝ － ｃｏｓ π４ －( )θ ＝ － ｃｏｓ π２ － θ ＋ π( )[ ]４ ＝ － ｓｉｎ θ ＋ π( )４ ＝ ４５ ． 练案［８］ Ａ组·素养自测 １． Ｃ　 由ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图象与性质可知ｘ∈ π，３π( )２ 时，函数单调递 减，且函数值为负数．故选Ｃ． ２． Ｃ　 对于选项Ａ，定义域为（０，＋ ∞），不关于原点对称；对于选 项Ｂ，定义域为（－ ∞，０），不关于原点对称；对于选项Ｃ，定义 域为（－ ∞，０）∪（０，＋ ∞）关于原点对称，并且ｆ（－ ｘ）＝ ｓｉｎ － １( )ｘ ＝ － ｓｉｎ １ｘ ＝ － ｆ（ｘ），所以为奇函数；对于选项Ｄ， 定义域不关于原点对称． ３． Ｃ　 画出ｙ ＝ ｜ ｓｉｎ ｘ ｜的图象即可解决．借助图象不难看出Ｃ符 合题意． ４． Ｃ　 ｙ ＝ １０ｓｉｎ ｘ的最小正周期是２π，ｙ ＝ １０ｓｉｎ ｘ∈［－ １０，１０］，ｙ ＝ ｘ∈［－ １０，１０］时，ｘ∈［－ １０，１０］，作出函数ｙ ＝ １０ｓｉｎ ｘ和ｙ ＝ ｘ的图象，只要观察ｘ∈［－ １０，１０］的图象，由图象知它们有 ７个交点，故选Ｃ． ５． Ｂ　 由图象得：ｘ的取值范围是π４ ， ３π[ ]４ ． ６． Ｃ　 因为ｆ（－ １）＋ ｆ（１）＝ ２，所以－ ａ － ｂｓｉｎ １ ＋ ｃ ＋ ａ ＋ ｂｓｉｎ １ ＋ ｃ ＝ ２， 所以ｃ ＝ １．故选Ｃ． ７．［－ １，３］　 ｙ ＝（ｓｉｎ ｘ － １）２ － １，∵ －１≤ｓｉｎ ｘ≤１， ∴ －２≤ｓｉｎ ｘ － １≤０， ∴ ０≤（ｓｉｎ ｘ － １）２≤４，可得－ １≤ｙ≤３． ８．［２ｋπ，π ＋ ２ｋπ］（ｋ∈Ｚ） [　 ２ｋπ，２ｋπ ＋ π ]２ ，ｋ∈Ｚ　 ∵ ｓｉｎ ｘ≥０， ∴ ２ｋπ≤ｘ≤π ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ；当ｘ∈［０，π］时，ｙ ＝ ｓｉｎ槡 ｘ在 ０，π[ ]２ 上单调递增． ∴其递增区间为：２ｋπ，２ｋπ ＋ π[ ]２ ， ｋ∈Ｚ． ９．（２，４）　 ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ ＋ ３ ｜ ｓｉｎ ｘ ｜ ＝ ４ｓｉｎ ｘ，０≤ｘ≤π， － ２ｓｉｎ ｘ，π ＜ ｘ≤２π{ ，则ｆ（ｘ）的单调递增区间为０，π[ ]２ ， π，３π( )２ ，单调递减区间为π２ ，( ]π ， ３π２ ，２[ ]π ，又ｆ（０）＝ ｆ（π） ＝ ｆ（２π）＝ ０，ｆ π( )２ ＝ ４，ｆ ３π( )２ ＝ ２，又函数ｆ（ｘ）的图象与ｙ ＝ ｋ 仅有两个不同交点，则ｋ的取值范围是２ ＜ ｋ ＜ ４． 故答案为（２，４）                                                                      ． —６５３— 练案[7] 第一章三角函数 §4[4.4诱导公式与旋转] 儿组·素养自测 三、解答题 一、选择题 臣+am3-a 10.化简 1.已知sina=子，则co(受+a 4 c0s(10T+a) 血(lm-e)om(受+d sin(+a) c 2若如（受-0）<0，且m(受-0小>0，则0是 ( A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 3.已知ms(任+d)=-则sdn(任-a等于() c-9 4若in(r+a)+o(受+a=-m,则e(受-d+ 2sin(3r-a)的值为 C-m 乃组·素养提升 5.平面直角坐标系中，角α的终边经过点P(6,23),一、选择题 则ma-) ( )1.已知sin(a-)=子，则e(a+)的值为() A行 4-23 B.20 3 3 c号 n9 2.已知角的终边上有一点P(1,3),则 6.A=in(m+al+s(m+m(keZ)的值为 sin(a-a)-sn受+a ( 的值为 Isin ol lcos al A.-2 B.0 co-a)+2cm(-a) C.2 D.±2或0 A号 C.- D.-4 二、填空题 7计算-好-+血2 3.(多选)已知x∈R,则下列等式恒成立的是() 3 A.sin(-x）=sinx 8.化简 +ama-引 Bm受-=ow C(受+=-sinx 9.已知f八sinx)=cos3x,则f(cos10°)= D.cos(x-m)=-cosx 201 4.(多选)若角A,B,C是△ABC的三个内角，则下列等 式中一定成立的是 (）8.已知f(a)= sin(-a)cos(2-a)sin-a) A.cos(A+B)=cos C os(m+a)m-a】 B.sin(A+B)sin C (1)化简(ax): com4告9=血号 B (2)若日是第三象限角，且0+)=号求0-平) nsm8生= A 的值. 二、填空题 5.已知m(任-a=号则imF+@ 5 cos2-a)cos(-a) 6.化简 /3 /21 sin +acos2-a 三、解答题 7.已知sin(&-3π）=2cs(a-4r）, 求im(m）+5cos(2-的值 2sim(经-a-n(-a） -202