练案5 第1章 4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

练案［５］ 第一章　 三角函数 § ４　 ［４． ２　 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质］ Ａ组·素养自测 一、选择题 １．函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈ － π４ ， π[ ]４ 的最大值和最小值分别 是 （　 　 ） Ａ． １，－ １ Ｂ． １，槡２２ Ｃ．槡２２ ，－槡 ２ ２ Ｄ． １，－槡 ２ ２ ２．函数ｙ ＝ ｓｉｎ槡 ｘ ＋ － ｃｏｓ槡 ｘ的定义域是 （　 　 ） Ａ．（２ｋπ，２ｋπ ＋ π），ｋ∈Ｚ Ｂ． ２ｋπ ＋ π２ ，２ｋπ ＋[ ]π ，ｋ∈Ｚ Ｃ． ｋπ ＋ π２ ，ｋπ ＋[ ]π ，ｋ∈Ｚ Ｄ．［２ｋπ，２ｋπ ＋ π］，ｋ∈Ｚ ３．若α是第四象限角，则点Ｐ（ｓｉｎ α，ｃｏｓ α）在（　 　 ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 ４．设ａ ＝ ｌｏｇ １ ２ ｃｏｓ ６４°，ｂ ＝ ｌｏｇ １ ２ ｓｉｎ ２５°，ｃ ＝ ｌｏｇ １ ２ ｃｏｓ ２５°，则 它们的大小关系是 （　 　 ） Ａ． ａ ＜ ｃ ＜ ｂ Ｂ． ｃ ＜ ａ ＜ ｂ Ｃ． ａ ＜ ｂ ＜ ｃ Ｄ． ｂ ＜ ｃ ＜ ａ ５．下列各式正确的是 （　 　 ） Ａ． ｓｉｎ １ ＞ ｓｉｎ π３ Ｂ． ｓｉｎ １ ＜ ｓｉｎ π ３ Ｃ． ｓｉｎ １ ＝ ｓｉｎ π３ Ｄ． ｓｉｎ １≥ｓｉｎ π ３ ６．函数ｙ ＝ １ｓｉｎ ｘ的值域是 （　 　 ） Ａ．［－ １，１］ Ｂ．［－ １，０）∪（０，１］ Ｃ．（－ ∞，－ １］∪［１，＋ ∞）Ｄ．（－ ∞，＋ ∞） 二、填空题 ７． ｓｉｎ － １１３( )π ＝ 　 　 　 　 ． ８．函数ｙ ＝ ｌｏｇ １ ２ ｜ ｓｉｎ ｘ ｜取最小值时的所有ｘ的取值集合 是　 　 　 　 　 　 　 ． ９．余弦函数ｕ ＝ ｃｏｓ α，α∈ － π，π[ ]６ 的单调增区间为 　 　 　 　 ，单调减区间为　 　 　 　 ． 三、解答题 １０．求使下列函数取得最大值和最小值时的ｘ值，并求 出函数的最大值和最小值： （１）ｙ ＝ ２ｓｉｎ ｘ － １； （２）ｙ ＝ － ｓｉｎ２ｘ ＋槡２ｓｉｎ ｘ ＋ ３４ ． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．在［０，２π］上，满足ｓｉｎ ｘ≥ １２的ｘ的取值范围是 （　 　 ） Ａ． ０，π[ ]６ Ｂ． π６ ，５π[ ]６ Ｃ． π６ ， ２π[ ]３ Ｄ． ５π６ ，[ ]π ２．（多选）对于函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ，下列选项中错误的是 （　 　 ） Ａ． ｆ（ｘ）在π４ ， π( )２ 上是递增的 Ｂ． ｆ（ｘ）的最小值为－ １ Ｃ． ｆ（ｘ）的最小正周期为２π Ｄ． ｆ（ｘ）的最大值为                                                                  ２ —７９１— ３．设０ ＜ ｜α ｜ ＜ π４ ，则下列不等式中一定成立的是 （　 　 ） Ａ． ｓｉｎ ２α ＞ ｓｉｎ α Ｂ． ｃｏｓ ２α ＜ ｃｏｓ α Ｃ． ｓｉｎ ２α ＜ ｓｉｎ α Ｄ． ｃｏｓ ２α ＞ ｃｏｓ α ４．当角α为第二象限时，｜ ｓｉｎ α ｜ｓｉｎ α － ｃｏｓ α ｜ ｃｏｓ α ｜ 的值是（　 　 ） Ａ． １ Ｂ． ０ Ｃ． ２ Ｄ． － ２ 二、填空题 ５．函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ在区间［ａ，ｂ］上是增函数，且 ｆ（ａ）＝ － １，ｆ（ｂ）＝ １，则ｃｏｓ ａ ＋ ｂ２ ＝ 　 　 　 　 ． ６．函数ｙ ＝ ｃｏｓ２ｘ － ４ｃｏｓ ｘ ＋ ５的值域为　 　 　 　 ． 三、解答题 ７． 已知函数ｙ ＝ － ３ｓｉｎ ｘ ＋ １，求函数在区间 － π６ ， ２ ３[ ]π 上的最值． ８．设函数ｆ（ｘ）＝ １ｓｉｎ ｘ． （１）请指出函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的定义域、周期性和奇偶性； （不必证明） （２）请以正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的性质为依据，并运用函 数的单调性定义证明：ｙ ＝ ｆ（ｘ）在区间０，π( )２ 上单调 递减                                                                         ． —８９１— 槡＝ ５，所以ｓｉｎ α ＝ ｙｒ ＝ ２ 槡５ ＝ 槡２ ５５ ．或者取Ｐ′（１，－ ２），则ｒ ＝ 槡 槡１ ＋ ４ ＝ ５，所以ｓｉｎ α ＝ ｙｒ ＝ － ２ 槡５ ＝ － 槡２ ５５ ． ５． － ８　 根据题意ｓｉｎ θ ＝ － 槡２ ５５ ＜ ０及Ｐ（４，ｙ）是角θ终边上一 点，可知θ为第四象限角．再由三角函数的定义得， ｙ ４２ ＋ ｙ槡 ２ ＝ － 槡２ ５５ ，又∵ ｙ ＜ ０，∴ ｙ ＝ － ８（符合题意），ｙ ＝ ８（舍去）．综上 知ｙ ＝ － ８． ６．设角α的终边上任一点为Ｑ（３ｋ，ｋ）（ｋ≠０）， 则ｘ ＝ ３ｋ，ｙ ＝ ｋ，ｒ ＝ （３ｋ）２ ＋ ｋ槡 ２ 槡＝ １０ ｜ ｋ ｜ ． 当ｋ ＞ ０时，ｒ 槡＝ １０ｋ，α为第一象限角， ｓｉｎ α ＝ ｋ 槡１０ｋ ＝槡１０１０ ，ｃｏｓ α ＝ ３ｋ 槡１０ｋ ＝ 槡３ １０１０ ， 所以１０ｃｏｓ α － ３ｓｉｎ α 槡 槡＝ ３ １０ － ３ １０ ＝ ０． 当ｋ ＜ ０时，ｒ 槡＝ － １０ｋ，α为第三象限角， ｓｉｎ α ＝ －槡１０１０ ，ｃｏｓ α ＝ － 槡 ３ １０ １０ ， 所以１０ｃｏｓ α － ３ｓｉｎ α 槡 槡＝ － ３ １０ ＋ ３ １０ ＝ ０． 综上，１０ｃｏｓ α － ３ｓｉｎ α ＝ ０． ７．（１）由 １｜ ｓｉｎ α ｜ ＝ － １ ｓｉｎ α 可知ｓｉｎ α ＜ ０， 所以α是第三或第四象限角或ｙ轴的非正半轴上的角．由 ｌｇ（ｃｏｓ α）有意义可知ｃｏｓ α ＞ ０， 所以α是第一或第四象限或ｘ轴的非负半轴上的角．综上可 知，角α是第四象限角． （２）因为点Ｍ ３５ ，( )ｍ 在单位圆上， 所以( )３５ ２ ＋ ｍ２ ＝ １，解得ｍ ＝ ± ４５ ． 又α是第四象限角，故ｍ ＜ ０，从而ｍ ＝ － ４５ ． 根据正弦函数的定义，可知ｓｉｎ α ＝ － ４５ ． 练案［５］ Ａ组·素养自测 １． Ｃ　 函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈ － π４ ， π[ ]４ 上为单调增函数， 所以ｙｍｉｎ ＝ ｓｉｎ － π( )４ ＝ －槡２２ ，ｙｍａｘ ＝ ｓｉｎ π４ ＝槡２２ ． ２． Ｂ　 因为ｓｉｎ ｘ≥０且－ ｃｏｓ ｘ≥０， 所以ｘ∈［２ｋπ，π ＋ ２ｋπ］∩ π２ ＋ ２ｋπ， ３π ２ ＋ ２ｋ[ ]π ＝ π２ ＋ ２ｋπ，２ｋπ ＋[ ]π ，ｋ∈Ｚ．故选Ｂ． ３． Ｂ　 由于α是第四象限角，所以ｓｉｎ α ＜０，ｃｏｓ α ＞０，所以Ｐ（ｓｉｎ α， ｃｏｓ α）在第二象限． ４． Ｂ　 ∵ ｓｉｎ ２５° ＜ ｃｏｓ ６４° ＜ ｃｏｓ ２５°，ｙ ＝ ｌｏｇ １ ２ ｘ为减函数，∴ ｃ ＜ ａ ＜ ｂ． ５． Ｂ　 １和π３的终边均在第一象限，且 π ３大于１的正弦线，则ｓｉｎ １ ＜ ｓｉｎ π３ ． ６． Ｃ　 令ｓｉｎ ｘ ＝ ｔ，则ｔ∈［－ １，０）∪（０，１］， ∴ ｙ ＝ １ｔ的值域为（－ ∞，－ １］∪［１，＋ ∞）． ７．槡３２ 　 ｓｉｎ － １１ ３( )π ＝ ｓｉｎ － ４π ＋ π( )３ ＝ ｓｉｎ π３ ＝槡３２ ． ８． ｘ ｘ ＝ ｋπ ＋ π２ ，ｋ∈{ }Ｚ 　 当ｓｉｎ ｘ ＝ ± １，ｘ ＝ ｋπ ＋ π２ 时（ｋ∈ Ｚ），ｙｍｉｎ ＝ ｌｏｇ １２ １ ＝ ０． ９．［－ π，０］　 ０，π( ]６ 　 在单位圆中，当ｘ由－ π到π６时，ｕ ＝ ｃｏｓ α由－ １增大到１，再由１减小到槡３２ ．所以它的单调增区间 为［－ π，０］，单调减区间为０，π( ]６ ． １０．（１）由－ １≤ｓｉｎ ｘ≤１知，当ｘ ＝ ２ｋπ ＋ π２ ，ｋ∈Ｚ时，函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ ｘ － １取得最大值，ｙｍａｘ ＝ １； 当ｘ ＝ ２ｋπ ＋ ３π２ ，ｋ∈Ｚ时，函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ ｘ － １取得最小值，ｙｍｉｎ ＝ － ３． （２）ｙ ＝ － ｓｉｎ２ｘ 槡＋ ２ｓｉｎ ｘ ＋ ３４ ＝ － ｓｉｎ ｘ －槡 ２( )２ ２ ＋ ５４ ，因为 － １≤ｓｉｎ ｘ≤１，所以当ｓｉｎ ｘ ＝槡２２ ，即ｘ ＝ ２ｋπ ＋ π ４或ｘ ＝ ２ｋπ ＋ ３π４ （ｋ∈Ｚ）时，函数取得最大值，ｙｍａｘ ＝ ５ ４ ； 当ｓｉｎ ｘ ＝ － １，即ｘ ＝ ２ｋπ ＋ ３π２ （ｋ∈Ｚ）时，函数取得最小值， ｙｍｉｎ ＝ － １ ４ 槡－ ２． Ｂ组·素养提升 １． Ｂ　 如图易知选Ｂ． ２． ＡＣＤ 　 由正弦函数的性质易知，Ｂ正确，Ａ、Ｃ、Ｄ错误．故 选ＡＣＤ． ３． Ｂ　 可利用举例进行排除，可知Ａ、Ｃ、Ｄ均不正确． ４． Ｃ　 因为角α为第二象限角，所以ｓｉｎ α ＞ ０，ｃｏｓ α ＜ ０，所以 ｜ ｓｉｎ α ｜ ｓｉｎ α － ｃｏｓ α｜ ｃｏｓ α ｜ ＝ ｓｉｎ αｓｉｎ α － ｃｏｓ α－ ｃｏｓ α ＝ ２                                                                      ． —３５３— ５． １　 由条件知，ａ ＝ － π２ ＋ ２ｋπ，ｂ ＝ π ２ ＋ ２ｋπ，所以ｃｏｓ ａ ＋ ｂ ２ ＝ ｃｏｓ ２ｋπ ＝ １． ６．［２，１０］　 令ｔ ＝ ｃｏｓ ｘ， 由于ｘ∈Ｒ，故－ １≤ｔ≤１． ｙ ＝ ｔ２ － ４ｔ ＋ ５ ＝（ｔ － ２）２ ＋ １， 当ｔ ＝ － １时，即ｃｏｓ ｘ ＝ － １时函数有最大值１０； 当ｔ ＝ １，即ｃｏｓ ｘ ＝ １时函数有最小值２． 所以该函数的值域是［２，１０］． ７．因为正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ 在 － π６ ， π[ ]２ 上单调递增，在 π ２ ， ２ ３[ ]π 上单调递减，所以（ｓｉｎ ｘ）ｍａｘ ＝ １，（ｓｉｎ ｘ）ｍｉｎ ＝ － １２ ， 所以ｙｍａｘ ＝ ５２ ，ｙｍｉｎ ＝ － ２． ８．（１）因为函数ｆ（ｘ）＝ １ｓｉｎ ｘ，所以ｓｉｎ ｘ≠０， 所以ｘ≠ｋπ，ｋ∈Ｚ，故函数的定义域为｛ｘ ｜ ｘ≠ｋπ，ｋ∈Ｚ｝． 显然，ｆ（ｘ）的周期，即ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的周期，为２π． 由于满足ｆ（－ ｘ）＝ １ｓｉｎ（－ ｘ）＝ － １ ｓｉｎ ｘ ＝ － ｆ（ｘ），故ｆ（ｘ）为奇 函数． （２）因为正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ在区间０，π( )２ 上单调递增，且 ｆ（ｘ）的值域为（０，１）， 设０ ＜ ｘ１ ＜ ｘ２ ＜ π２ ，则０ ＜ ｓｉｎ ｘ１ ＜ ｓｉｎ ｘ２ ＜ １． 所以ｆ（ｘ１）＝ １ｓｉｎ ｘ１ ＞ １ ｓｉｎ ｘ２ ＝ ｆ（ｘ２）， 即ｆ（ｘ１）＞ ｆ（ｘ２），故ｙ ＝ ｆ（ｘ）在区间０，π( )２ 上单调递减． 练案［６］ Ａ组·素养自测 １． Ｂ　 ｓｉｎ ２ ０２４° ＝ ｓｉｎ（５ × ３６０° ＋ ２２４°）＝ ｓｉｎ（１８０° ＋ ４４°）＝ － ｓｉｎ ４４°．故选Ｂ． ２． Ａ　 原式＝ ｓｉｎ２３０° ＋ ｓｉｎ２４５° －２ｓｉｎ ３０° ＋ ｃｏｓ２４５° ＝ ( )１２ ２ ＋ 槡２( )２ ２ － ２ × １２ ＋ 槡２( )２ ２ ＝ １４ ． ３． Ｂ ４． Ｃ　 ∵ ｓｉｎ π４ ＋( )α ＝槡３２ ， ∴ ｓｉｎ ３π４ －( )α ＝ ｓｉｎ π － π４ ＋( )[ ]α ＝ ｓｉｎ π４ ＋( )α ＝槡３２ ． ５． Ｃ　 由角α和β的终边关于ｘ轴对称，可知β ＝ － α ＋ ２ｋπ（ｋ∈ Ｚ），故ｃｏｓ α ＝ ｃｏｓ β． ６． Ｄ　 对于Ａ，ｆ（２π － ｘ）＝ ｃｏｓ ２π － ｘ２ (＝ ｃｏｓ π － ｘ )２ ＝ － ｃｏｓ ｘ２ ≠ ｆ（ｘ），Ａ 不成立；对于Ｂ，ｆ（２π ＋ ｘ）＝ ｃｏｓ ２π ＋ ｘ２ ＝ ｃｏｓ ｘ２ ＋( )π ＝ － ｃｏｓ ｘ２ ≠ ｆ（ｘ），Ｂ不成立；对于Ｃ，ｆ（－ ｘ）＝ ｃｏｓ － ｘ２ ＝ ｃｏｓ ｘ ２ ＝ ｆ（ｘ）≠ － ｆ（ｘ），Ｃ不成立，Ｄ成立．故选Ｄ． ７．槡３２ 　 ｓｉｎ ７８０° ＝ ｓｉｎ（２ × ３６０° ＋ ６０°）＝ ｓｉｎ ６０° ＝槡 ３ ２ ． ８． １２１３ 　 由于ｃｏｓ（５０８° － α）＝ ｃｏｓ（３６０° ＋ １４８° － α）＝ ｃｏｓ（１４８° － α）＝ １２１３，所以ｃｏｓ（２１２° ＋ α）＝ ｃｏｓ（３６０° ＋ α － １４８°）＝ ｃｏｓ（α － １４８°）＝ ｃｏｓ（１４８° － α）＝ １２１３ ． ９． １　 因为ｆ（２ ０１８）＝ ａｓｉｎ（２ ０１８π ＋α）＋ ｂｃｏｓ（２ ０１８π ＋ β）＝ －１， 所以ｆ（２ ０１９）＝ ａ·ｓｉｎ（２ ０１９π ＋α）＋ ｂｃｏｓ （２ ０１９π ＋ β）＝ ａｓｉｎ ［π ＋ （２ ０１８π ＋ α）］＋ ｂｃｏｓ ［π ＋ （２ ０１８π ＋ β）］＝ －［ａｓｉｎ（２ ０１８π ＋ α）＋ ｂｃｏｓ（２ ０１８π ＋ β）］＝ １． １０． ∵ ｓｉｎ（２π － α）ｃｏｓ（π ＋ α）ｃｏｓ（π － α）ｓｉｎ（３π － α）ｓｉｎ（－ π － α） ＝ ｓｉｎ（－ α）（－ ｃｏｓ α）－ ｃｏｓ α·ｓｉｎ（π － α）·［－ ｓｉｎ（π ＋ α）］ ＝ － ｓｉｎ α·（－ ｃｏｓ α）－ ｃｏｓ α·ｓｉｎ α·ｓｉｎ α ＝ ３． ∴ ｓｉｎ α ＝ － １３ ． 又ｓｉｎ（－ α）＝ － ｓｉｎ α，∴ ｓｉｎ（－ α）＝ １３ ． Ｂ组·素养提升 １． Ｂ　 对于Ｂ，ｃｏｓ（－ α ＋ β）＝ ｃｏｓ ［－（α － β）］＝ ｃｏｓ（α － β），Ｂ 错误，由诱导公式知Ａ、Ｃ、Ｄ都正确，故选Ｂ． ２． Ｃ　 当ｋ为偶数时，Ａ ＝ ２；当ｋ为奇数时，Ａ ＝ － ２．故Ａ构成的 集合为｛－ ２，２｝． ３． ＢＣ　 Ａ． ｓｉｎ（Ａ ＋ Ｂ）＋ ｓｉｎ Ｃ ＝ ２ｓｉｎ Ｃ； Ｂ． ｃｏｓ（Ａ ＋ Ｂ）＋ ｃｏｓ Ｃ ＝ － ｃｏｓ Ｃ ＋ ｃｏｓ Ｃ ＝ ０； Ｃ． ｓｉｎ（２Ａ ＋ ２Ｂ）＋ ｓｉｎ ２Ｃ ＝ ｓｉｎ ［２（Ａ ＋ Ｂ）］＋ ｓｉｎ ２Ｃ ＝ ｓｉｎ ［２（π － Ｃ）］＋ ｓｉｎ ２Ｃ ＝ ｓｉｎ（２π － ２Ｃ）＋ ｓｉｎ ２Ｃ ＝ － ｓｉｎ ２Ｃ ＋ ｓｉｎ ２Ｃ ＝ ０； Ｄ． ｃｏｓ（２Ａ ＋ ２Ｂ）＋ ｃｏｓ ２Ｃ ＝ ｃｏｓ ［２（Ａ ＋ Ｂ）］＋ ｃｏｓ ２Ｃ ＝ ｃｏｓ ［２（π － Ｃ）］＋ ｃｏｓ ２Ｃ ＝ ｃｏｓ（２π － ２Ｃ）＋ ｃｏｓ ２Ｃ ＝ ｃｏｓ ２Ｃ ＋ ｃｏｓ ２Ｃ ＝ ２ｃｏｓ ２Ｃ． 故选ＢＣ． ４． ＢＤ　 Ａ． ｓｉｎ ｎπ ＋ ４３( )π ＝（－ １）ｎｓｉｎ ４３ π ＝（－ １）ｎ ＋ １·ｓｉｎ π３ ； Ｂ． ｃｏｓ ２ｎπ ＋ π( )６ ＝ ｃｏｓ π６ ＝ ｓｉｎ π３ ；Ｃ． ｃｏｓ （２ｎ ＋ １）π － π[ ]６ ＝ ｃｏｓ π － π( )６ ＝ － ｃｏｓ π６ ＝ － ｓｉｎ π３ ；Ｄ． ｓｉｎ （２ｎ ＋ １）π － π[ ]３ ＝ ｓｉｎ π － π( )３ ＝ ｓｉｎ π３ ，故选ＢＤ． ５． － １　 ∵ ｃｏｓ（π － θ）＝ － ｃｏｓ θ，∴ ｃｏｓ θ ＋ ｃｏｓ（π － θ）＝ ０， 即ｃｏｓ １° ＋ ｃｏｓ １７９° ＝ ｃｏｓ ２° ＋ ｃｏｓ １７８° ＝…＝ ｃｏｓ ９０° ＝ ０． ∴原式＝ ０ ＋ ０ ＋…＋ ０ ＋ ｃｏｓ １８０° ＝ － １． ６． －槡３０４ 　 ｓｉｎ（π － α）－ ｃｏｓ（π ＋ α）＝槡 ２ ４ ，则ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝槡 ２ ４ ． 两边平方，化简得ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ － ７１６ ＜ ０，由α∈（０，π），得α                                                                      ∈ —４５３—