练案4 第1章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

练案［４］ 第一章 　 三角函数 § ４　 ［４ ． １　 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义］ Ａ组·素养自测 一、选择题 １ ．已知点Ｐ 槡５ ５ ，－ 槡 ２ ５( )５ 是角α的终边与单位圆的交 点，则ｃｏｓ α ＝ （　 　 ） Ａ． － 槡２ ５５ Ｂ．槡 ５ ５ Ｃ． － ４５ Ｄ． － ３ ５ ２ ．已知角θ（０ ＜ θ ＜ ２π）的终边上一点Ｐ的坐标为 ｃｏｓ ２π３ ，ｓｉｎ ２π( )３ ，则角θ的值为 （　 　 ） Ａ． － π６ Ｂ． ２π ３ Ｃ． ５π３ Ｄ． １１π ６ ３ ．角α的终边经过点（３，４），则ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ αｓｉｎ α － ｃｏｓ α ＝ （　 　 ） Ａ． ３５ Ｂ． ４ ５ Ｃ． ７ Ｄ． １ ７ ４．若ｓｉｎ α ＜ ０，ｃｏｓ α ＜ ０，则α是 （　 　 ） Ａ．第一象限角 Ｂ．第二象限角 Ｃ．第三象限角 Ｄ．第四象限角 ５．已知点Ｑ（ａ，２）是角α终边上的一点，且ｓｉｎ α ＝ １２ ， 则ａ的值为 （　 　 ） 槡Ａ． ３ Ｂ． － ２ ３ 槡Ｃ． ２ ３或 槡３ Ｄ． ２ ３或 槡－ ２ ３ ６．已知角α的终边过点Ｐ（－ ３ｍ，ｍ）（ｍ≠０），则ｃｏｓ α 的值可以是 （　 　 ） Ａ．槡１０１０ Ｂ． 槡 ３ １０ １０ Ｃ． ±槡１０１０ Ｄ． ± 槡 ３ １０ １０ 二、填空题 ７．若角α的终边经过点（１，槡－ ３），则ｓｉｎ α ＝ 　 　 　 　 ． ８．若４５°角的终边上有一点（４ －ａ，ａ ＋１），则ａ ＝ 　 　 　 　 ． ９．已知角α的终边在直线ｙ ＝槡２ｘ上，则ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α的 值为　 　 　 　 ． 三、解答题 １０．已知θ终边上一点Ｐ（ｘ，３）（ｘ≠０），且ｃｏｓ θ ＝槡１０１０ ｘ， 求ｓｉｎ θ． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．已知角α的终边经过点（２ａ ＋ １，ａ － ２），且ｃｏｓ α ＝ － ３５ ，则实数ａ的值是 （　 　 ） Ａ． － ２ Ｂ． ２１１ Ｃ． － ２或２１１ Ｄ． ２ ２．已知角α的终边经过点（３ａ － ９，ａ ＋ ２），且ｓｉｎ α ＞ ０， ｃｏｓ α≤０，则实数ａ的取值范围为 （　 　 ） Ａ． － ２ ＜ ａ ＜ ３ Ｂ． － ２ ＜ ａ≤３ Ｃ． － ２≤ａ ＜ ３ Ｄ． － ３≤ａ ＜ ２ ３．（多选）在平面直角坐标系中，角α以ｘ正半轴为始 边，终边与单位圆（原点为圆心）交于点－ １２ ，( )ｎ ，则 符合条件的角α可以是 （　 　 ） Ａ． － π３ Ｂ． ２π ３ Ｃ． ４π ３ Ｄ． ７π                                                                  ３ —５９１— 二、填空题 ４．若角α的终边在直线ｙ ＝ － ２ｘ上，则ｓｉｎ α等 于　 　 　 　 ． ５．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为ｘ轴的正半轴， 若Ｐ（４，ｙ）是角θ终边上的一点，且ｓｉｎ θ ＝ － ２槡５５ ，则 ｙ ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．已知角α的终边在直线ｙ ＝ １３ ｘ上，求１０ｃｏｓ α － ３ ｓｉｎ α 的值． ７．已知 １｜ ｓｉｎ α ｜ ＝ － １ ｓｉｎ α ，且ｌｇ（ｃｏｓ α）有意义． （１）试判断角α所在的象限； （２）若角α的终边与单位圆相交于点Ｍ ３５ ，( )ｍ ，求ｍ 的值及ｓｉｎ α的值                                                                         ． —６９１— ７．设扇形的半径为ｒ，圆心角为θ，则扇形的弧长为ｌ ＝ ｒθ，根据题 意，扇形的周长２ｒ ＋ ｌ ＝ １２，解得ｌ ＝ １２ － ２ｒ，所以扇形的面积 Ｓ ＝ １２ ｌｒ ＝ １ ２ （１２ － ２ｒ）× ｒ ＝ － ｒ ２ ＋ ６ｒ ＝ －（ｒ － ３）２ ＋ ９，故当ｒ ＝３时，Ｓ取得最大值，此时ｌ ＝ １２ － ２ × ３ ＝ ６，扇形的圆心角θ ＝ ｌｒ ＝ ６ ３ ＝ ２． ８．（１）由题图①所示的方案，可得∠ＯＡＤ ＝ π６ ，Ｒ１ ＝ ２， 所以扇形的周长为Ｃ１ ＝ ２Ｒ１ ＋ π６ × Ｒ１ ＝ ２ × ２ ＋ π ３ ＝ ４ ＋ π ３ ． 由题图②所示的方案，可得∠ＭＯＮ ＝ ２π３ ，Ｒ２ ＝ １， 所以扇形的周长为Ｃ２ ＝ ２Ｒ２ ＋ ２π３ × Ｒ２ ＝ ２ × １ ＋ ２π ３ ＝ ２ ＋ ２π ３ ． 所以两种方案中扇形的周长之差的绝对值为｜ Ｃ１ － Ｃ２ ｜ ＝ ４ ＋ π( )３ － ２ ＋ ２π( )３ ＝ ２ － π３ ＝ ２ － π３ ． （２）题图①所示方案的扇形面积为Ｓ１ ＝ １２ α１Ｒ ２ １ ＝ １ ２ × π ６ × ２ ２ ＝ π３ ．题图②所示方案的扇形面积为Ｓ２ ＝ １ ２ α２Ｒ ２ ２ ＝ １ ２ × ２π ３ × １２ ＝ π３ ． 所以两种方案中的扇形面积一样大． 练案［４］ Ａ组·素养自测 １． Ｂ　 因为点Ｐ 槡５ ５ ，－ 槡 ２ ５( )５ 是角α的终边与单位圆的交点，所 以ｃｏｓ α ＝槡５５ ，故选Ｂ． ２． Ｂ　 由已知可得：角θ的终边上一点Ｐ的坐标为－ １２ ，槡 ３( )２ ， 位于第二象限，它到原点的距离为ｒ ＝ １４ ＋槡３４ ＝ １，π２ ＜ θ ＜ π，则由任意角的三角函数的定义可知ｓｉｎ θ ＝槡３２即θ ＝ ２π ３ ，故 选Ｂ． ３． Ｃ　 由角α的终边经过点（３，４），可得ｓｉｎ α ＝ ４５ ，ｃｏｓ α ＝ ３ ５ ， 则ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ αｓｉｎ α － ｃｏｓ α ＝ ４ ５ ＋ ３ ５ ４ ５ － ３ ５ ＝ ７． ４． Ｃ　 因为ｓｉｎ α ＜ ０，所以α在第三象限或第四象限，或α终边 为ｙ轴非正半轴，因为ｃｏｓ α ＜ ０，所以α在第二象限或第三象 限，或α终边为ｘ轴非正半轴，所以α是第三象限角．故选Ｃ． ５． Ｄ　 由正弦函数定义得 ２ ａ２槡＋ ４ ＝ １２ ，解得ａ 槡＝ ± ２ ２．故选Ｄ． ６． Ｄ　 由余弦函数定义知，ｃｏｓ α ＝ － ３ｍ（－ ３ｍ）２ ＋ ｍ槡 ２ ＝ － ３ｍ 槡１０ ｜ｍ ｜ ＝ ± 槡３ １０１０ ．故选Ｄ． ７． －槡３２ 　 由题意得ｘ ＝ １，ｙ 槡＝ － ３，则ｒ ＝ ２，∴ ｓｉｎ α ＝ ｙ ｒ ＝ － 槡３ ２ ． ８． ３２ 　 由题意知４ － ａ ＝ ａ ＋ １，得ａ ＝ ３ ２ ． ９． ±槡槡６ ＋ ３３ 　 在角α终边上任取一点Ｐ（ｘ，ｙ），则ｙ 槡＝ ２ｘ， 当ｘ ＞ ０时，ｒ ＝ ｘ２ ＋ ｙ槡 ２ 槡＝ ３ｘ， ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝ ｙｒ ＋ ｘ ｒ ＝ 槡 槡 ２ ３ ＋ １ 槡３ ＝槡槡６ ＋ ３３ ， 当ｘ ＜ ０时，ｒ ＝ ｘ２ ＋ ｙ槡 ２ 槡＝ － ３ｘ， ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝ ｙｒ ＋ ｘ ｒ ＝ － 槡 槡 ２ ３ － １ 槡３ ＝ －槡槡６ ＋ ３３ ． １０．方法一：由题意知ｒ ＝ ｜ＯＰ ｜ ＝ ｘ２槡＋ ９， 由三角函数定义得ｃｏｓ θ ＝ ｘｒ ＝ ｘ ｘ２槡＋ ９ ， 又因为ｃｏｓ θ ＝槡１０１０ ｘ，所以 ｘ ｘ２槡＋ ９ ＝槡１０１０ ｘ． 因为ｘ≠０，所以ｘ ＝ ± １．当ｘ ＝ １时，Ｐ（１，３）， 此时ｓｉｎ θ ＝ ３ １２ ＋ ３槡 ２ ＝ 槡３ １０１０ ， 当ｘ ＝ － １时，Ｐ（－ １，３）， 此时ｓｉｎ θ ＝ ３（－ １）２ ＋ ３槡 ２ ＝ 槡３ １０１０ ． 综上可知ｓｉｎ θ ＝ 槡３ １０１０ ． 方法二：由三角函数定义ｃｏｓ α ＝ ｘｒ ＝槡 １０ １０ ｘ，∵ ｘ≠０，∴ ｒ ＝ 槡１０，ｓｉｎ θ ＝ ３ｒ ＝ ３ 槡１０ ＝ 槡３ １０１０ ． Ｂ组·素养提升 １． Ａ　 由余弦函数的定义知， ２ａ ＋ １ （２ａ ＋ １）２ ＋（ａ － ２）槡 ２ ＝ － ３５ ， 化简整理得１１ａ２ ＋ ２０ａ － ４ ＝ ０，解得ａ ＝ － ２或ａ ＝ ２１１，又２ａ ＋ １ ＜ ０，所以ａ ＝ － ２． ２． Ｂ　 ∵ ｓｉｎ α ＞ ０，ｃｏｓ α≤０， ∴ α位于第二象限或ｙ轴正半轴上． ∴ ３ａ － ９≤０且ａ ＋ ２ ＞ ０． ∴ －２ ＜ ａ≤３． ３． ＢＣ　 当α ＝ － π３时，ｃｏｓ － π( )３ ＝ １２ ≠ － １２ ，故Ａ错误；当α ＝ ２π３时，ｃｏｓ ２π ３ ＝ － １ ２ ，故Ｂ正确；当α ＝ ４π ３ 时，ｃｏｓ ４π ３ ＝ － ｃｏｓ π３ ＝ － １ ２ ，故Ｃ 正确；当α ＝ ７π ３ 时，ｃｏｓ ７π ３ ＝ ｃｏｓ ２π ＋ π( )３ ＝ １２ ，故Ｄ错误．故选ＢＣ． ４． ± 槡２ ５５ 　 在角α的终边上任取一点Ｐ（－ １，２），则ｒ 槡                                                                       ＝ １ ＋ ４ —２５３— 槡＝ ５，所以ｓｉｎ α ＝ ｙｒ ＝ ２ 槡５ ＝ 槡２ ５５ ．或者取Ｐ′（１，－ ２），则ｒ ＝ 槡 槡１ ＋ ４ ＝ ５，所以ｓｉｎ α ＝ ｙｒ ＝ － ２ 槡５ ＝ － 槡２ ５５ ． ５． － ８　 根据题意ｓｉｎ θ ＝ － 槡２ ５５ ＜ ０及Ｐ（４，ｙ）是角θ终边上一 点，可知θ为第四象限角．再由三角函数的定义得， ｙ ４２ ＋ ｙ槡 ２ ＝ － 槡２ ５５ ，又∵ ｙ ＜ ０，∴ ｙ ＝ － ８（符合题意），ｙ ＝ ８（舍去）．综上 知ｙ ＝ － ８． ６．设角α的终边上任一点为Ｑ（３ｋ，ｋ）（ｋ≠０）， 则ｘ ＝ ３ｋ，ｙ ＝ ｋ，ｒ ＝ （３ｋ）２ ＋ ｋ槡 ２ 槡＝ １０ ｜ ｋ ｜ ． 当ｋ ＞ ０时，ｒ 槡＝ １０ｋ，α为第一象限角， ｓｉｎ α ＝ ｋ 槡１０ｋ ＝槡１０１０ ，ｃｏｓ α ＝ ３ｋ 槡１０ｋ ＝ 槡３ １０１０ ， 所以１０ｃｏｓ α － ３ｓｉｎ α 槡 槡＝ ３ １０ － ３ １０ ＝ ０． 当ｋ ＜ ０时，ｒ 槡＝ － １０ｋ，α为第三象限角， ｓｉｎ α ＝ －槡１０１０ ，ｃｏｓ α ＝ － 槡 ３ １０ １０ ， 所以１０ｃｏｓ α － ３ｓｉｎ α 槡 槡＝ － ３ １０ ＋ ３ １０ ＝ ０． 综上，１０ｃｏｓ α － ３ｓｉｎ α ＝ ０． ７．（１）由 １｜ ｓｉｎ α ｜ ＝ － １ ｓｉｎ α 可知ｓｉｎ α ＜ ０， 所以α是第三或第四象限角或ｙ轴的非正半轴上的角．由 ｌｇ（ｃｏｓ α）有意义可知ｃｏｓ α ＞ ０， 所以α是第一或第四象限或ｘ轴的非负半轴上的角．综上可 知，角α是第四象限角． （２）因为点Ｍ ３５ ，( )ｍ 在单位圆上， 所以( )３５ ２ ＋ ｍ２ ＝ １，解得ｍ ＝ ± ４５ ． 又α是第四象限角，故ｍ ＜ ０，从而ｍ ＝ － ４５ ． 根据正弦函数的定义，可知ｓｉｎ α ＝ － ４５ ． 练案［５］ Ａ组·素养自测 １． Ｃ　 函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈ － π４ ， π[ ]４ 上为单调增函数， 所以ｙｍｉｎ ＝ ｓｉｎ － π( )４ ＝ －槡２２ ，ｙｍａｘ ＝ ｓｉｎ π４ ＝槡２２ ． ２． Ｂ　 因为ｓｉｎ ｘ≥０且－ ｃｏｓ ｘ≥０， 所以ｘ∈［２ｋπ，π ＋ ２ｋπ］∩ π２ ＋ ２ｋπ， ３π ２ ＋ ２ｋ[ ]π ＝ π２ ＋ ２ｋπ，２ｋπ ＋[ ]π ，ｋ∈Ｚ．故选Ｂ． ３． Ｂ　 由于α是第四象限角，所以ｓｉｎ α ＜０，ｃｏｓ α ＞０，所以Ｐ（ｓｉｎ α， ｃｏｓ α）在第二象限． ４． Ｂ　 ∵ ｓｉｎ ２５° ＜ ｃｏｓ ６４° ＜ ｃｏｓ ２５°，ｙ ＝ ｌｏｇ １ ２ ｘ为减函数，∴ ｃ ＜ ａ ＜ ｂ． ５． Ｂ　 １和π３的终边均在第一象限，且 π ３大于１的正弦线，则ｓｉｎ １ ＜ ｓｉｎ π３ ． ６． Ｃ　 令ｓｉｎ ｘ ＝ ｔ，则ｔ∈［－ １，０）∪（０，１］， ∴ ｙ ＝ １ｔ的值域为（－ ∞，－ １］∪［１，＋ ∞）． ７．槡３２ 　 ｓｉｎ － １１ ３( )π ＝ ｓｉｎ － ４π ＋ π( )３ ＝ ｓｉｎ π３ ＝槡３２ ． ８． ｘ ｘ ＝ ｋπ ＋ π２ ，ｋ∈{ }Ｚ 　 当ｓｉｎ ｘ ＝ ± １，ｘ ＝ ｋπ ＋ π２ 时（ｋ∈ Ｚ），ｙｍｉｎ ＝ ｌｏｇ １２ １ ＝ ０． ９．［－ π，０］　 ０，π( ]６ 　 在单位圆中，当ｘ由－ π到π６时，ｕ ＝ ｃｏｓ α由－ １增大到１，再由１减小到槡３２ ．所以它的单调增区间 为［－ π，０］，单调减区间为０，π( ]６ ． １０．（１）由－ １≤ｓｉｎ ｘ≤１知，当ｘ ＝ ２ｋπ ＋ π２ ，ｋ∈Ｚ时，函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ ｘ － １取得最大值，ｙｍａｘ ＝ １； 当ｘ ＝ ２ｋπ ＋ ３π２ ，ｋ∈Ｚ时，函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ ｘ － １取得最小值，ｙｍｉｎ ＝ － ３． （２）ｙ ＝ － ｓｉｎ２ｘ 槡＋ ２ｓｉｎ ｘ ＋ ３４ ＝ － ｓｉｎ ｘ －槡 ２( )２ ２ ＋ ５４ ，因为 － １≤ｓｉｎ ｘ≤１，所以当ｓｉｎ ｘ ＝槡２２ ，即ｘ ＝ ２ｋπ ＋ π ４或ｘ ＝ ２ｋπ ＋ ３π４ （ｋ∈Ｚ）时，函数取得最大值，ｙｍａｘ ＝ ５ ４ ； 当ｓｉｎ ｘ ＝ － １，即ｘ ＝ ２ｋπ ＋ ３π２ （ｋ∈Ｚ）时，函数取得最小值， ｙｍｉｎ ＝ － １ ４ 槡－ ２． Ｂ组·素养提升 １． Ｂ　 如图易知选Ｂ． ２． ＡＣＤ 　 由正弦函数的性质易知，Ｂ正确，Ａ、Ｃ、Ｄ错误．故 选ＡＣＤ． ３． Ｂ　 可利用举例进行排除，可知Ａ、Ｃ、Ｄ均不正确． ４． Ｃ　 因为角α为第二象限角，所以ｓｉｎ α ＞ ０，ｃｏｓ α ＜ ０，所以 ｜ ｓｉｎ α ｜ ｓｉｎ α － ｃｏｓ α｜ ｃｏｓ α ｜ ＝ ｓｉｎ αｓｉｎ α － ｃｏｓ α－ ｃｏｓ α ＝ ２                                                                      ． —３５３—