练案3 第1章 3 弧度制-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

练案［３］ 第一章　 三角函数 § ３　 弧度制 Ａ组·素养自测 一、选择题 １．下列说法中，错误的是 （　 　 ） Ａ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 Ｂ． １°的角是周角的１３６０，１ ｒａｄ的角是周角的 １ ２π Ｃ． １ ｒａｄ的角比１°的角要大 Ｄ．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关 ２．在半径为１０的圆中，４π３的圆心角所对弧长为（　 　 ） Ａ． ４０π３ Ｂ． ２０π ３ Ｃ． ２００π３ Ｄ． ４００π ３ ３．若α ＝ ５ ｒａｄ，则角α的终边所在的象限为 （　 　 ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 ４．将－ １ ４８５°化成α ＋ ２ｋπ（０≤α ＜ ２π，ｋ∈Ｚ）的形式是 （　 　 ） Ａ． － π４ － ８π Ｂ． ７ ４ π － ８π Ｃ． π４ － １０π Ｄ． ７ ４ π － １０π ５．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的 取值范围是 （　 　 ） Ａ． π６ ， π( )３ Ｂ． ２π３ ， ７π( )６ Ｃ． ２π３ ， ７π[ ]６ Ｄ． ２ｋπ ＋ ２π３ ，２ｋπ ＋ ７π[ ]６ （ｋ∈Ｚ） ６．若弧度数为２的圆心角所对的弦长为２，则这个圆心 角所夹扇形的面积是 （　 　 ） Ａ． ｔａｎ １ Ｂ． １ｓｉｎ １ Ｃ． １ ｓｉｎ２１ Ｄ． １ｃｏｓ １ 二、填空题 ７．将－ １ ３６０°表示成２ｋπ ＋ α（０≤α ＜ ２π，ｋ∈Ｚ）的形式 为　 　 　 　 　 ． ８．如图，点Ａ，Ｂ，Ｃ是圆Ｏ上的点，且ＡＢ ＝ ４，∠ＡＣＢ ＝ π６ ，则劣弧 ) ＡＢ的长为 　 　 　 　 ． ９．中国折扇有着深厚的文化底蕴，这类折扇上的扇环部 分的作品构思奇巧，显出清新雅致的特点．已知某扇 形的扇环如图所示，其中外弧线的长为５０ ｃｍ，内弧 线的长为１５ ｃｍ，连接外弧与内弧的两端的线段的长均 为１４ ｃｍ，则该扇环的面积为　 　 　 　 ｃｍ２ ． 三、解答题 １０．设α ＝ ５１０°，β ＝ ４５ π． （１）将α用弧度表示出来，并指出它的终边所在的 象限； （２）将β用角度表示出来，并在－ ３６０° ～ ３６０°内找出 与它们终边相同的所有的角． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．若α３ ＝ ２ｋπ ＋ π ３ （ｋ∈Ｚ），则 α ２的终边在 （　 　 ） Ａ．第一象限 Ｂ．第四象限 Ｃ． ｘ轴上 Ｄ． ｙ轴上 ２．若角α与角ｘ ＋ π４有相同的终边，角β与角ｘ － π ４有 相同的终边，那么α与β间的关系为 （　 　 ） Ａ． α ＋ β ＝ ０ Ｂ． α － β ＝ ０ Ｃ． α ＋ β ＝ ２ｋπ（ｋ∈Ｚ） Ｄ． α －β ＝２ｋπ ＋ π２（ｋ∈Ｚ                                                                  ） —３９１— ３．（多选）圆的半径变为原来的２倍，弧长也增加到原 来的２倍，则 （　 　 ） Ａ．扇形的面积不变 Ｂ．扇形的圆心角不变 Ｃ．扇形的面积增大到原来的４倍 Ｄ．扇形的圆心角增大到原来的２倍 ４．（多选）下列转化结果正确的是 （　 　 ） Ａ． ６７°３０′化成弧度是３π８ Ｂ． － １０π３ 化成角度是－ ６００° Ｃ． － １５０°化成弧度是－ ７π６ Ｄ． π１２化成角度是１５° 二、填空题 ５．已知θ∈ α α ＝ ｋπ ＋（－ １）ｋ·π４ ，ｋ∈{ }Ｚ ，则θ的终 边所在的象限是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． ６．如图所示，已知一长为槡３ ｄｍ，宽为１ ｄｍ的长方形 木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时 被一小木板挡住，使木块底面与桌面成３０°的角， 则点Ａ走过的路程是　 　 　 　 　 　 ｄｍ，走过的弧 所对应的扇形的总面积是　 　 　 　 ｄｍ２ ． 三、解答题 ７ ．已知一个扇形的周长为１２ ｃｍ，当扇形的半径为何 值时，这个扇形的面积最大？并求出此时的圆 心角． ８ ．在一块顶角为２π３ 、腰长为２的等腰三角形钢板废 料ＯＡＢ中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案． （１）求两种方案中扇形的周长之差的绝对值； （２）比较两种方案中的扇形面积的大小                                                                        ． —４９１— 练案［３］ Ａ组·素养自测 １． Ｄ　 由角度制和弧度制的定义，知Ａ，Ｂ，Ｃ说法正确；用弧度制 度量角时，角的大小与所对圆弧长与半径的比有关，而与圆的 半径无关，故Ｄ说法错误． ２． Ａ　 由于ｒ ＝ １０，α ＝ ４π３ ，所以弧长ｌ ＝ ｒ·α ＝ ４０π ３ ． ３． Ｄ　 ∵ ３π２ ＜ ５ ＜ ２π，∴ α ＝ ５ ｒａｄ为第四象限角，其终边位于第 四象限． ４． Ｄ　 ∵ － １ ４８５° ＝ － ５ × ３６０° ＋ ３１５°， 又２π ｒａｄ ＝ ３６０°，３１５° ＝ ７４ π ｒａｄ． 故－ １ ４８５°化成α ＋ ２ｋπ（０≤α ＜ ２π，ｋ∈Ｚ）的形式是７４ π － １０π． ５． Ｄ　 阴影部分的两条边界分别是２π３和 ７π ６角的终边，所以α的 取值范围是２ｋπ ＋２π３ ，２ｋπ ＋ ７π[ ]６ （ｋ∈Ｚ）． ６． Ｃ　 如右图所示，设∠ＡＯＢ ＝ ２，ＡＢ ＝ ２． 过点Ｏ作ＯＣ⊥ＡＢ于Ｃ，延长ＯＣ交)ＡＢ 于Ｄ，则∠ＡＯＤ ＝ １２ ∠ＡＯＢ ＝ １，ＡＣ ＝ １ ２ ＡＢ ＝ １． 在Ｒｔ△ＡＯＣ中，ＯＡ ＝ ＡＣｓｉｎ∠ＡＯＣ ＝ １ ｓｉｎ １． ∴扇形的面积Ｓ ＝ １２ × ２ × １ ｓｉｎ２１ ＝ １ ｓｉｎ２１ ． ７． － ８π ＋ ４π９ 　 ∵ － １ ３６０° ＝ － ４ × ３６０° ＋ ８０°，而８０° ＝ ４π ９ ， ∴应填－ ８π ＋ ４π９ ． ８． ４π３ 　 连接ＡＯ，ＯＢ，因为∠ＡＣＢ ＝ π ６ ，所以∠ＡＯＢ ＝ π ３ ，又ＯＡ ＝ ＯＢ，所以△ＡＯＢ为等边三角形，故圆Ｏ的半径ｒ ＝ ＡＢ ＝ ４，劣弧 ) ＡＢ的长为π３ × ４ ＝ ４π ３ ． ９． ４５５　 如图，作出包含扇环ＡＢＤＣ的两个扇形ＯＡＢ和ＯＣＤ，依题意， )ＣＤ 的长为５０ ｃｍ， )ＡＢ的长为１５ ｃｍ，ＡＣ ＝ＢＤ ＝１４ ｃｍ，不妨设扇形ＯＡＢ 的半径为ｒ，则扇形ＯＣＤ的半径为ｒ ＋１４，设圆心角∠ＡＯＢ ＝ α，则 αｒ ＝１５， α（ｒ ＋１４）＝５０{ ，解得α ＝ ５ ２ ， ｒ ＝ ６ { ， 于是扇环ＡＢＤＣ 的面积为 Ｓ扇形ＯＣＤ － Ｓ扇形ＯＡＢ ＝ １ ２ α［（ｒ ＋ １４） ２ － ｒ２］＝ １２ × ５ ２ × （４００ － ３６）＝ ４５５ ｃｍ２ ．故答案为４５５． １０．（１）因为１° ＝ π１８０ｒａｄ，所以α ＝ ５１０° ＝ ５１０ × π １８０ ＝ １７ ６ π ＝ ２π ＋ ５ ６ π， 所以α的终边在第二象限． （２）β ＝ ４５ π ＝ ４π ５ × １８０( )π ° ＝ １４４°，设θ ＝ ｋ·３６０° ＋ １４４°（ｋ ∈Ｚ）， 因为－ ３６０°≤θ ＜ ３６０°，所以－ ３６０°≤ｋ·３６０° ＋ １４４° ＜ ３６０°， 所以ｋ ＝ － １或ｋ ＝ ０， 所以在－ ３６０° ～ ３６０°内与β终边相同的角是－ ２１６°，１４４°． Ｂ组·素养提升 １． Ｄ　 ∵ α３ ＝ ２ｋπ ＋ π ３ （ｋ∈Ｚ），∴ α ＝ ６ｋπ ＋ π（ｋ∈Ｚ），∴ α ２ ＝ ３ｋπ ＋ π２ （ｋ∈Ｚ）．当ｋ为奇数时， α ２的终边在ｙ轴的非正半轴 上；当ｋ为偶数时，α２的终边在ｙ轴的非负半轴上．综上， α ２终 边在ｙ轴上，故选Ｄ． ２． Ｄ　 ∵ α ＝ ｘ ＋ π４ ＋ ２ｋ１π（ｋ１∈Ｚ），β ＝ ｘ － π ４ ＋ ２ｋ２π（ｋ２∈Ｚ）， ∴ α － β ＝ π２ ＋ ２（ｋ１ － ｋ２）·π（ｋ１∈Ｚ，ｋ２∈Ｚ）． ∵ ｋ１∈Ｚ，ｋ２∈Ｚ，∴ ｋ１ － ｋ２∈Ｚ． ∴ α － β ＝ π２ ＋ ２ｋπ（ｋ∈Ｚ）． ３． ＢＣ　 α ＝ ｌｒ ＝ ２ｌ ２ｒ ＝ α，故圆心角不变，由面积公式Ｓ ＝ １ ２ ｌｒ知， 扇形的面积增大到原来的４倍，故选ＢＣ． ４． ＡＢＤ　 ６７°３０′ ＝ ６７． ５ × π１８０ ＝ ３π ８ ，Ａ正确；－ １０π ３ ＝ － １０π ３ × １８０° π ＝ － ６００°，Ｂ正确；－ １５０° ＝ － １５０ × π１８０ ＝ － ５π ６ ，Ｃ错误； π １２ ＝ π １２ × １８０° π ＝ １５°，Ｄ正确．故选ＡＢＤ． ５．第一或第二象限　 当ｋ为偶数时，α ＝ ２ｍπ ＋ π４ （ｍ∈Ｚ），当ｋ 为奇数时，α ＝（２ｍ － １）π － π４ ＝ ２ｍπ － ５π ４ （ｍ∈Ｚ）， ∴ θ的终边在第一或第二象限． ６．（ 槡９ ＋ ２ ３）π６ 　 ７π ４ 　 ＡＡ ) １所在的圆的半径是２，所对圆心角 为π２ ， Ａ１Ａ ) ２所在的圆的半径是１，所对圆心角为π２ ， Ａ２Ａ ) ３所在的圆的半径是槡３，所对圆心角是π３ ． 点Ａ走过的路程是３段圆弧长之和，即 ２ ×π ×２ ４ ＋ １ ×π ×２ ４ ＋ 槡２ × ３ ×π ６ ＝ （ 槡９ ＋２ ３）π ６ （ｄｍ）； ３段弧所对应的扇形总面积为 π·２２ ４ ＋ π·１２ ４ ＋ π·（槡３）２ ６ ＝ ７π ４ （ｄｍ ２）                                                                       ． —１５３— ７．设扇形的半径为ｒ，圆心角为θ，则扇形的弧长为ｌ ＝ ｒθ，根据题 意，扇形的周长２ｒ ＋ ｌ ＝ １２，解得ｌ ＝ １２ － ２ｒ，所以扇形的面积 Ｓ ＝ １２ ｌｒ ＝ １ ２ （１２ － ２ｒ）× ｒ ＝ － ｒ ２ ＋ ６ｒ ＝ －（ｒ － ３）２ ＋ ９，故当ｒ ＝３时，Ｓ取得最大值，此时ｌ ＝ １２ － ２ × ３ ＝ ６，扇形的圆心角θ ＝ ｌｒ ＝ ６ ３ ＝ ２． ８．（１）由题图①所示的方案，可得∠ＯＡＤ ＝ π６ ，Ｒ１ ＝ ２， 所以扇形的周长为Ｃ１ ＝ ２Ｒ１ ＋ π６ × Ｒ１ ＝ ２ × ２ ＋ π ３ ＝ ４ ＋ π ３ ． 由题图②所示的方案，可得∠ＭＯＮ ＝ ２π３ ，Ｒ２ ＝ １， 所以扇形的周长为Ｃ２ ＝ ２Ｒ２ ＋ ２π３ × Ｒ２ ＝ ２ × １ ＋ ２π ３ ＝ ２ ＋ ２π ３ ． 所以两种方案中扇形的周长之差的绝对值为｜ Ｃ１ － Ｃ２ ｜ ＝ ４ ＋ π( )３ － ２ ＋ ２π( )３ ＝ ２ － π３ ＝ ２ － π３ ． （２）题图①所示方案的扇形面积为Ｓ１ ＝ １２ α１Ｒ ２ １ ＝ １ ２ × π ６ × ２ ２ ＝ π３ ．题图②所示方案的扇形面积为Ｓ２ ＝ １ ２ α２Ｒ ２ ２ ＝ １ ２ × ２π ３ × １２ ＝ π３ ． 所以两种方案中的扇形面积一样大． 练案［４］ Ａ组·素养自测 １． Ｂ　 因为点Ｐ 槡５ ５ ，－ 槡 ２ ５( )５ 是角α的终边与单位圆的交点，所 以ｃｏｓ α ＝槡５５ ，故选Ｂ． ２． Ｂ　 由已知可得：角θ的终边上一点Ｐ的坐标为－ １２ ，槡 ３( )２ ， 位于第二象限，它到原点的距离为ｒ ＝ １４ ＋槡３４ ＝ １，π２ ＜ θ ＜ π，则由任意角的三角函数的定义可知ｓｉｎ θ ＝槡３２即θ ＝ ２π ３ ，故 选Ｂ． ３． Ｃ　 由角α的终边经过点（３，４），可得ｓｉｎ α ＝ ４５ ，ｃｏｓ α ＝ ３ ５ ， 则ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ αｓｉｎ α － ｃｏｓ α ＝ ４ ５ ＋ ３ ５ ４ ５ － ３ ５ ＝ ７． ４． Ｃ　 因为ｓｉｎ α ＜ ０，所以α在第三象限或第四象限，或α终边 为ｙ轴非正半轴，因为ｃｏｓ α ＜ ０，所以α在第二象限或第三象 限，或α终边为ｘ轴非正半轴，所以α是第三象限角．故选Ｃ． ５． Ｄ　 由正弦函数定义得 ２ ａ２槡＋ ４ ＝ １２ ，解得ａ 槡＝ ± ２ ２．故选Ｄ． ６． Ｄ　 由余弦函数定义知，ｃｏｓ α ＝ － ３ｍ（－ ３ｍ）２ ＋ ｍ槡 ２ ＝ － ３ｍ 槡１０ ｜ｍ ｜ ＝ ± 槡３ １０１０ ．故选Ｄ． ７． －槡３２ 　 由题意得ｘ ＝ １，ｙ 槡＝ － ３，则ｒ ＝ ２，∴ ｓｉｎ α ＝ ｙ ｒ ＝ － 槡３ ２ ． ８． ３２ 　 由题意知４ － ａ ＝ ａ ＋ １，得ａ ＝ ３ ２ ． ９． ±槡槡６ ＋ ３３ 　 在角α终边上任取一点Ｐ（ｘ，ｙ），则ｙ 槡＝ ２ｘ， 当ｘ ＞ ０时，ｒ ＝ ｘ２ ＋ ｙ槡 ２ 槡＝ ３ｘ， ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝ ｙｒ ＋ ｘ ｒ ＝ 槡 槡 ２ ３ ＋ １ 槡３ ＝槡槡６ ＋ ３３ ， 当ｘ ＜ ０时，ｒ ＝ ｘ２ ＋ ｙ槡 ２ 槡＝ － ３ｘ， ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝ ｙｒ ＋ ｘ ｒ ＝ － 槡 槡 ２ ３ － １ 槡３ ＝ －槡槡６ ＋ ３３ ． １０．方法一：由题意知ｒ ＝ ｜ＯＰ ｜ ＝ ｘ２槡＋ ９， 由三角函数定义得ｃｏｓ θ ＝ ｘｒ ＝ ｘ ｘ２槡＋ ９ ， 又因为ｃｏｓ θ ＝槡１０１０ ｘ，所以 ｘ ｘ２槡＋ ９ ＝槡１０１０ ｘ． 因为ｘ≠０，所以ｘ ＝ ± １．当ｘ ＝ １时，Ｐ（１，３）， 此时ｓｉｎ θ ＝ ３ １２ ＋ ３槡 ２ ＝ 槡３ １０１０ ， 当ｘ ＝ － １时，Ｐ（－ １，３）， 此时ｓｉｎ θ ＝ ３（－ １）２ ＋ ３槡 ２ ＝ 槡３ １０１０ ． 综上可知ｓｉｎ θ ＝ 槡３ １０１０ ． 方法二：由三角函数定义ｃｏｓ α ＝ ｘｒ ＝槡 １０ １０ ｘ，∵ ｘ≠０，∴ ｒ ＝ 槡１０，ｓｉｎ θ ＝ ３ｒ ＝ ３ 槡１０ ＝ 槡３ １０１０ ． Ｂ组·素养提升 １． Ａ　 由余弦函数的定义知， ２ａ ＋ １ （２ａ ＋ １）２ ＋（ａ － ２）槡 ２ ＝ － ３５ ， 化简整理得１１ａ２ ＋ ２０ａ － ４ ＝ ０，解得ａ ＝ － ２或ａ ＝ ２１１，又２ａ ＋ １ ＜ ０，所以ａ ＝ － ２． ２． Ｂ　 ∵ ｓｉｎ α ＞ ０，ｃｏｓ α≤０， ∴ α位于第二象限或ｙ轴正半轴上． ∴ ３ａ － ９≤０且ａ ＋ ２ ＞ ０． ∴ －２ ＜ ａ≤３． ３． ＢＣ　 当α ＝ － π３时，ｃｏｓ － π( )３ ＝ １２ ≠ － １２ ，故Ａ错误；当α ＝ ２π３时，ｃｏｓ ２π ３ ＝ － １ ２ ，故Ｂ正确；当α ＝ ４π ３ 时，ｃｏｓ ４π ３ ＝ － ｃｏｓ π３ ＝ － １ ２ ，故Ｃ 正确；当α ＝ ７π ３ 时，ｃｏｓ ７π ３ ＝ ｃｏｓ ２π ＋ π( )３ ＝ １２ ，故Ｄ错误．故选ＢＣ． ４． ± 槡２ ５５ 　 在角α的终边上任取一点Ｐ（－ １，２），则ｒ 槡                                                                       ＝ １ ＋ ４ —２５３—