第1章 6.3 探究A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

〉 ABCD ３ 　 　 函数ｙ ＝ ｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）ω ＞ ０，０≤φ≤π( )２ 在ｘ∈（０，７π）内只取到一个最大值和一个最小值，且当ｘ ＝ π时最大 值为１，当ｘ ＝ ６π时，最小值为－ １． （１）求此函数的解析式； （２）求此函数的单调递增区间． KLMN%OPQ １．将函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图象向左平移π４个单位长度，再向 上平移２个单位长度，得到的函数图象的解析式是 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ － π( )４ ＋ ２ Ｂ． ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ ＋ π( )４ － ２ Ｃ． ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ － π( )４ － ２ Ｄ． ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ ＋ π( )４ ＋ ２ ２．函数ｙ ＝ ｓｉｎ（－ ２ｘ），ｘ∈［０，２π］的简图是 （　 　 ） ３．将函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２π３ － ２( )ｘ 的图象向右平移π６个单位 长度，所得图象的一条对称轴方程为 （　 　 ） Ａ． ｘ ＝ π２ Ｂ． ｘ ＝ π ４ Ｃ． ｘ ＝ － π６ Ｄ． ｘ ＝ π ３ ４．已知函数ｙ ＝ ｓｉｎ １５ ｘ ＋ π( )７ ，则该函数的最小正周期、 初相分别是　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． ５．已知函数ｙ ＝ ｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）（ω ＞ ０）在一个周期内，当 ｘ ＝ π１２时有最大值１，当ｘ ＝ ７π １２时有最小值－ １，则 ω ＝ 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１０                            ］ ６． ３　 探究Ａ对ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）的图象的影响 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．了解振幅、初相、相位、频率等有关概念，会用“五点法”画出函数 ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）的图象． ２．理解并掌握函数ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）图象的平移与伸缩变换． ３．掌握Ａ、ω、φ对图象形状的影响． 通过学习Ａ对ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）的图象 的影响重点培养学生的数学抽象，逻辑 推理，数学运算素养． "$! )*+,%-.+ 知识点１　 函数ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）（Ａ ＞０，ω ＞０）的有关性质 名称 性质 定义域 Ｒ　 值域 ［－ Ａ，Ａ］ 周期性 Ｔ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 对称中心 ｋπ － φω ，( )０ （ｋ∈Ｚ） 对称轴 ｘ ＝ ｋπω ＋ π － ２φ ２ω （ｋ∈Ｚ） 奇偶性 当φ ＝ ｋπ（ｋ∈Ｚ）　 时是奇函数；当φ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 时是偶函数 单调性 由２ｋπ － π２ ≤ωｘ ＋ φ≤２ｋπ ＋ π ２ ，ｋ∈Ｚ，解得单调递增　 区间； 由２ｋπ ＋ π２ ≤ωｘ ＋ φ≤２ｋπ ＋ ３π ２ ，ｋ∈Ｚ，解得单调递减　 区间 知识点２　 函数ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）中参数的物理意义 　 　 １．本质：（１）Ａ：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅． （２）Ｔ：Ｔ ＝ ２π ω ，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为周期． （３）ｆ：ｆ ＝ １Ｔ ＝ ω ２π ，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率． （４）ωｘ ＋ φ：称为相位；φ：当ｘ ＝ ０时的相位，称为初相． ２．混淆：周期Ｔ与频率ｆ的区别和联系，明确二者之间的倒数关系． /012%345 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●678%œBšž ŸFG ｙ ＝Ａｓｉｎ（ωｘ ＋φ）<“@ １．用“五点法”作函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ ｘ － π( )３ ＋ ３的图象，并写出函数的定义域、值域、周 期、频率、初相、最值、单调区间、对称轴方程． ［归纳提升］ 归纳提升： （１） F!‘ÎI3º ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）-; .?œŸ ωｘ ＋ φ ê ë0 ０ ? ÷ ２?÷? ３ ÷ ２ ? ２ ÷?<=h+NO" ｘ -LÂ¥?º+%12 f-;. ． （２） ‘ ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）-9cÖ#'?q œ_ ｘ -¿:c0[ ¥?<=¶F­»Z û?_ ωｘ ＋ φ Z¹š ŒxŸX?‘+š Â-O" ｘ -ÄÅ ． "$# 〉 ABCD １ 　 　 作出函数ｙ 槡＝ ２ｓｉｎ ２ｘ － π( )４ 在ｘ∈ π８ ，９π[ ]８ 上的图象． ●67E% FG“@\&FG„¡j ２．如图所示的是函数ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）（Ａ ＞０，ω ＞０，｜φ ｜ ＜ π） 在一个周期内的图象，试确定Ａ，ω，φ的值，并求出函数的 解析式． 【分析】　 结合图象先求出Ａ，Ｔ，再利用待定系数法或图象变 换法求解． ［归纳提升］ 〉 ABCD ２ 　 　 函数ｙ ＝ ｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）（ｘ∈Ｒ，ω ＞ ０，０≤φ ＜ ２π）的部分图象如图，则 （　 　 ） 　 　 Ａ． ω ＝ π２ ，φ ＝ π ４ Ｂ． ω ＝ π３ ，φ ＝ π ６ Ｃ． ω ＝ π４ ，φ ＝ π ４ Ｄ． ω ＝ π４ ，φ ＝ ５π ４ 归纳提升： é;.VÁ§j9: -hMŸ'?FýÓ ‘ h M Ÿ 0 ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ），ôp7 8;.-¤Ã°]â ^¼®¯gVG Ａ， ω，φ． （１）Ａ： %]é;. °-Y¥tYZ¥ gVG ． （２）ω：»0 Ｔ ＝ ２πω，Ä ÅÅP&‘12 Ｔ g VG Æ ． ]P&˜™ ǯr ｘ ¾-;Îg VG Ｔ， 6šÈ-YÉ ÎrYÊΪ#-Ë ³0 Ｔ ２ ；šÈ-³e YÉΨÊYÊΩ ª#-˳0 Ｔ． ３̈ ©φ：z!‘ÎI3 (X-à%eÎ － φω， )０ ¨'ÌÍEΩº 0ÎÏw?…z;. -½ÐÑÒãÓà% eÎ-ÈÉ ． ¢µ‘Î1ÔIó n?Î-·[rŸm -@¿Ï¼á !à%Î3¨6;. °½'r ｘ ¾-; Ω0 ωｘ ＋ φ ＝ ０； !àèÎ3¨6;. ǯ-!¿Î3©0 ωｘ ＋ φ ＝ π２ ； !à§Î3¨6;. ¼Ð'r ｘ ¾-; Ω0 ωｘ ＋ φ ＝ π； !àÀÎ3¨6;. ǯ-!ÁÎ3©0 ωｘ ＋ φ ＝ ３π２ ； !à‘Î3¨6;. àèÙ°½'r ｘ ¾ -;Ω0 ωｘ ＋ φ ＝ ２π． pF^°IVG φ -¥'?!…(Oa ÂXl+- φ -Ä Å?Œp…‘ÄÅf -…P&12>bc d…‘ÄÅf ． ４̈ © Ａ，ω，φ§e"X ͚ φ -VGB%e ÔÎ?‚LFÍEÎ － φ ω ，( )０ ƒ?!]p ‘ÎXã³eTWÎ 123g‘h φ． "$$ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67H% FG„¡j¢£€› ３．已知函数ｙ ＝ ３ｓｉｎ １２ ｘ － π( )４ ． （１）求此函数的周期、振幅、初相； （２）求此函数的对称轴、对称中心、递增区间． ［归纳提升］ 〉 ABCD ３ 　 　 （１）函数ｙ ＝ －２ｓｉｎ ２ｘ － π( )４ ＋１的最大值为　 　 　 　 ，取得最大值时ｘ ＝ 　 　 　 　 ． （２）求函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ － ３ｘ ＋ π( )４ 的单调递减区间． 归纳提升： ‘9: ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）-9cÖ#-Þß （１） ¶Fhi/ŸÃ ｘ -¿:O[ ． （２） à ωｘ ＋ φ Õº­ »?Z¹[@9:š Â-9cÖ#X?h + ｘ -ÄÅ?gËX Ö#-žŸ ． （３） Ë9cÖ#'Œ …Ö× ｋ P Ｚ． KLMN%OPQ １．函数ｙ ＝ １２ ｓｉｎ ｘ － π( )３ 的图象的一条对称轴是（　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ｘ ＝ － π２ Ｂ． ｘ ＝ π ２ Ｃ． ｘ ＝ － π６ Ｄ． ｘ ＝ π ６ ２．要得到函数ｙ ＝ ３ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )４ 的图象，只需将函数ｙ ＝ ３ｓｉｎ ２ｘ的图象 （　 　 ） Ａ．向左平移π４个单位 Ｂ．向右平移 π ４个单位 Ｃ．向左平移π８个单位 Ｄ．向右平移 π ８个单位 ３．已知函数ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）（Ａ ＞ ０，ω ＞ ０）的振幅为 １ ２ ，周期为 ２π ３ ，初相为 π ６，则该函数的表达式为（　 　 ） Ａ． ｙ ＝ １２ ｓｉｎ ｘ ３ ＋ π( )６ Ｂ． ｙ ＝ １２ ｓｉｎ ｘ３ － π( )６ Ｃ． ｙ ＝ １２ ｓｉｎ ３ｘ ＋ π( )６ Ｄ． ｙ ＝ １２ ｓｉｎ ３ｘ － π( )６ ４．已知函数ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎ（ωｘ ＋ φ） ｘ∈Ｒ，ω ＞０，｜φ ｜ ＜ π( )２ 的 最小正周期为π且ｆ（０）＝槡３，则ｃｏｓ（ωφ）＝ 　 　 　 　 ． ５．已知函数ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ ，ｘ∈Ｒ． （１）写出函数ｆ（ｘ）的对称轴方程、对称中心的坐标及 单调区间； （２）求函数ｆ（ｘ）在区间０，π[ ]２ 上的最大值和最小值． 请同学们认真完成练案［１１                                 ］ "$% 即φ ＝ ｋπ ＋ ２π３ （ｋ∈Ｚ）， 又０ ＜ φ ＜ π，所以φ ＝ ２π３ ， 故ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ωｘ ＋ ２π３ － π( )６ ＋ １ ＝ ｃｏｓ ωｘ ＋ １， 因为函数ｆ（ｘ）图象的两相邻对称轴间的距离为π２ ， 所以Ｔ ＝ ２π ω ＝ ２ × π２ ，解得ω ＝ ２． 因此ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ２ｘ ＋ １，故ｆ π( )８ ＝ ｃｏｓ π４ ＋ １ ＝槡２２ ＋ １． （２）将ｆ（ｘ）的图象向右平移π６ 个单位长度后，得到函数 ｆ ｘ － π( )６ 的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 ４倍，纵坐标不变，得到ｆ ｘ４ － π( )６ 的图象， 所以ｇ（ｘ）＝ ｆ ｘ４ － π( )６ ＝ ｃｏｓ ｘ２ － π( )３ ＋ １， 由２ｋπ≤ ｘ２ － π ３ ≤２ｋπ ＋ π（ｋ∈Ｚ）， 解得４ｋπ ＋ ２π３ ≤ｘ≤４ｋπ ＋ ８π ３ （ｋ∈Ｚ），故函数ｇ（ｘ）的单调 递减区间是４ｋπ ＋ ２π３ ，４ｋπ ＋ ８π[ ]３ （ｋ∈Ｚ）． 对点训练２：依题意有ｈ（ｘ）＝ ｆ ｘ４ －( )φ ＝ ｃｏｓ ｘ２ －２( )φ ＋１， 因为其图象的对称轴为ｘ ＝ － ２π３ ， 所以１２·－ ２π( )３ － ２φ ＝ ｋπ，解得φ ＝ － ｋπ２ － π６ （ｋ∈Ｚ），又 因为０ ＜ φ ＜ π２ ，所以取ｋ ＝ － １得φ ＝ π ３ ． 例３：（１）列表如下： ２ｘ ＋ π６ ０ π ２ π ３π ２ ２π ｘ － π１２ π ６ ５π １２ ２π ３ １１π １２ ｆ（ｘ） ０ １ ０ － １ ０ 　 　 ｆ（ｘ）在一个周期内的图象如图所示： （２）ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )６ ，令２ｋπ － π２ ≤２ｘ ＋ π６ ≤２ｋπ ＋ π２ （ｋ∈Ｚ）， 得ｋπ － π３ ≤ｘ≤ｋπ ＋ π ６ （ｋ∈Ｚ）．因此，函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的单调 递增区间为ｋπ － π３ ，ｋπ ＋ π[ ]６ （ｋ∈Ｚ）． （３）函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ图象先向左平移π６个单位得到函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ ＋ π( )６ 图象，再将函数的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标 不变，即可得函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )６ 图象． 对点训练３：（１）由题意得１２ Ｔ ＝ ５π，所以Ｔ ＝ １０π， 所以ω ＝ ２πＴ ＝ １ ５ ，则ｙ ＝ ｓｉｎ １ ５ ｘ ＋( )φ ． 因为点（π，１）在此函数图象上，则ｓｉｎ π５ ＋( )φ ＝ １， 又因为０≤φ≤ π２ ，有φ ＝ π ２ － π ５ ＝ ３π １０， 所以ｙ ＝ ｓｉｎ １５ ｘ ＋ ３π( )１０ ． （２）当－ π２ ＋ ２ｋπ≤ １ ５ ｘ ＋ ３π １０≤ π ２ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ， 即－ ４π ＋ １０ｋπ≤ｘ≤π ＋ １０ｋπ，ｋ∈Ｚ时， 函数ｙ ＝ ｓｉｎ １５ ｘ ＋ ３π( )１０ 单调递增．所以此函数的单调递增 区间为［－ ４π ＋ １０ｋπ，π ＋ １０ｋπ］（ｋ∈Ｚ）． 课堂检测　 固双基 １． Ｄ ２． Ｄ　 ｙ ＝ ｓｉｎ（－ ２ｘ）＝ － ｓｉｎ ２ｘ，ｘ∈［０，２π］，所以它的周期是 Ｔ ＝ ２π２ ＝ π，排除Ａ，Ｂ；ｙ ＝ － ｓｉｎ ２ｘ的图象可由ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ的图 象关于ｘ轴对称得到，故选Ｄ． ３． Ｂ　 将函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２π３ － ２( )ｘ 的图象向右平移π６个单位长 度可得ｇ（ｘ）＝ ｓｉｎ（π － ２ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ； 令２ｘ ＝ π２ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ，即其对称轴方程为ｘ ＝ π ４ ＋ ｋπ ２ ，ｋ∈Ｚ， 当ｋ ＝ ０时，ｘ ＝ π４ ． Ａ、Ｃ、Ｄ均不符合要求．故选Ｂ． ４． １０π，π７ 　 由函数ｙ ＝ ｓｉｎ １ ５ ｘ ＋ π( )７ 的解析式知，最小正周期 为Ｔ ＝ ２π｜ω ｜ ＝ １０π，初相为 π ７ ． ５． ２　 由题意知Ｔ ＝ ２ × ７π１２ － π( )１２ ＝ π，所以ω ＝ ２πＴ ＝ ２． ６． ３　 探究Ａ对ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）的图象的影响 必备知识　 探新知 知识点１　 Ｒ　 ２π ω 　 ｋπ（ｋ∈Ｚ）　 ｋπ ＋ π２ （ｋ∈Ｚ）　 单调递 增　 单调递减 关键能力　 攻重难 例１：①列表： ｘ π３ ５ ６ π ４ ３ π １１ ６ π ７ ３ π ｘ － π３ ０ π ２ π ３ ２ π ２π ｙ ３ ５ ３ １ ３ 　 　 ②描点连线作出一周期的函数图象． ③把此图象左、                                                                      右扩展即得 —１０３— ｙ ＝ ２ｓｉｎ ｘ － π( )３ ＋ ３的图象． 由图象可知函数的定义域为Ｒ，值域为［１，５］， 周期为Ｔ ＝ ２π ω ＝ ２π，频率为ｆ ＝ １Ｔ ＝ １ ２π ，初相为φ ＝ － π３ ， 最大值为５，最小值为１． 令２ｋπ － π２ ≤ｘ － π ３ ≤２ｋπ ＋ π ２ （ｋ∈Ｚ）得原函数的增区间 为２ｋπ － π６ ，２ｋπ ＋ ５π[ ]６ （ｋ∈Ｚ）． 令２ｋπ ＋ π２ ≤ｘ － π ３ ≤２ｋπ ＋ ３π ２ ，（ｋ∈Ｚ）得原函数的减区间 为２ｋπ ＋ ５π６ ，２ｋπ ＋ １１π[ ]６ （ｋ∈Ｚ）． 令ｘ － π３ ＝ ｋπ ＋ π ２ （ｋ∈Ｚ）得原函数的对称轴方程为ｘ ＝ ｋπ ＋ ５６ π（ｋ∈Ｚ）． 对点训练１：令Ｘ ＝ ２ｘ － π４ ，列表如下： Ｘ ０ π２ π ３π ２ ２π ｘ π８ ３π ８ ５π ８ ７π ８ ９π ８ ｙ ０ 槡２ ０ 槡－ ２ ０ 　 　 描点连线得图象如图所示． 例２：方法一：（逐一定参法）由图象知振幅Ａ ＝ ３， ∵ Ｔ ＝ ５π６ － － π( )６ ＝ π， ∴ ω ＝ ２πＴ ＝ ２． ∵图象经过点－ π ６ ，( )０ ， ∴可令－ π６·２ ＋ φ ＝ ０， 解得φ ＝ π３ ，∴ ｙ ＝ ３ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ ． 方法二：（待定系数法）由图象知Ａ ＝ ３， ∵图象过点π３ ，( )０ 和５π６ ，( )０ ， 根据“五点法”作图原理（以上两点可判定为“五点法”中的 第三点和第五点）， 则 π ３·ω ＋ φ ＝ π， ５π ６·ω ＋ φ ＝ ２π{ ，解得ω ＝ ２，φ ＝ π３ ， ∴ ｙ ＝ ３ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ ． 方法三：（图象变换法）由Ａ ＝ ３，Ｔ ＝ π，图象经过点 － π６ ，( )０ 可知，图象可由ｙ ＝ ３ｓｉｎ ２ｘ向左平移π６个单位得到， ∴函数的解析式为ｙ ＝３ｓｉｎ ２ ｘ ＋ π( )６ ，即ｙ ＝３ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ ． 对点训练２：Ｃ　 由所给图象可知，Ｔ４ ＝ ２，∴ Ｔ ＝ ８． 又∵ Ｔ ＝ ２π ω ，∴ ω ＝ π４ ． ∵图象在ｘ ＝ １处取得最高点，∴ π４ ＋ φ ＝ π ２ ． ∴ φ ＝ π ４ ． 例３：（１）周期Ｔ ＝ ２π ω ＝ ２π１ ２ ＝ ４π，振幅Ａ ＝ ３，初相是－ π４ ． （２）由于ｙ ＝ ３ｓｉｎ １２ ｘ － π( )４ 是周期函数，通过观察图象可 知，所有与ｘ轴垂直并且通过图象的最值点的直线都是此函数 的对称轴，即令１２ ｘ － π ４ ＝ π ２ ＋ ｋπ（ｋ∈Ｚ），解得对称轴方程为ｘ ＝ ３π２ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ． 因为所有图象与ｘ轴的交点都是函数的对称中心，令１２ ｘ － π ４ ＝ ｋπ（ｋ∈Ｚ），得ｘ ＝ π ２ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ，所以对称中心为点 π ２ ＋ ２ｋπ，( )０ ，ｋ∈Ｚ； 又因为ｘ的系数为正数，所以把１２ ｘ － π ４视为一个整体，令 － π２ ＋ ２ｋπ ≤ １ ２ ｘ － π ４ ≤ π ２ ＋ ２ｋπ，解得 － π[ ２ ＋ ４ｋπ， ３π ２ ＋ ４ｋ ]π ，ｋ∈Ｚ为此函数的递增区间． 对点训练３：（１）３　 － π８ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ　 （２）见解析 【解析】　 （１）ｙｍａｘ ＝ －２ ×（－１）＋１ ＝３，令２ｘ － π４ ＝ － π ２ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ，解得ｘ ＝ － π８ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ． （２）∵ ｙ ＝ － ２ｓｉｎ ３ｘ － π( )４ ，而ｙ (＝ － ２ｓｉｎ ３ｘ － π )４ 的单调 递减区间即为ｙ ＝ ２ｓｉｎ ３ｘ － π( )４ 的单调递增区间． 由２ｋπ － π２ ≤３ｘ － π ４ ≤２ｋπ ＋ π ２ （ｋ∈Ｚ） 解得２３ ｋπ － π １２≤ｘ≤ ２ ３ ｋπ ＋ π ４ （ｋ∈Ｚ）． ∴ ｙ ＝ ２ｓｉｎ － ３ｘ ＋ π( )４ [的单调递减区间为 ２３ ｋπ － π１２， ２ ３ ｋπ ＋ π ]４ （ｋ∈Ｚ）． 课堂检测　 固双基 １． Ｃ　 由ｘ － π３ ＝ ｋπ ＋ π ２ ，ｋ∈Ｚ，解得ｘ ＝ ｋπ ＋ ５π ６ ，ｋ∈Ｚ，令ｋ ＝ － １，得ｘ ＝ － π６ ． ２． Ｃ　 由ｙ ＝ ３ｓｉｎ ２（ｘ ＋ φ）＝ ３ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )４ ，得∴ ２φ ＝ π４ ，φ ＝ π ８ ．故向左平移 π ８个单位                                                                       ． —２０３— ３． Ｃ　 易知Ａ ＝ １２ ，φ ＝ π ６ ，ω ＝ ２π ２π ３ ＝ ３． ４． － １２ 　 Ｔ ＝ ２π ω ＝ π，∴ ω ＝ ２． 又ｆ（０）＝ ２ｓｉｎ φ 槡＝ ３，ｓｉｎ φ ＝槡３２ ， 又｜φ ｜ ＜ π２ ，∴ φ ＝ π ３ ． ∴ ｃｏｓ（ωφ）＝ ｃｏｓ ２π ３ ＝ － １ ２ ． ５．（１）由２ｘ － π６ ＝ ｋπ ＋ π ２ ，ｋ∈Ｚ， 解得ｆ（ｘ）的对称轴方程是ｘ ＝ π３ ＋ ｋ ２ π，ｋ∈Ｚ；由２ｘ － π ６ ＝ ｋπ，ｋ∈Ｚ，解得对称中心是π１２ ＋ ｋ ２ π，( )０ ，ｋ∈Ｚ；由２ｋπ － π２ ≤２ｘ － π６ ≤ ２ｋπ ＋ π ２ ，ｋ ∈ Ｚ，解得单调递增区间是 － π６ ＋ ｋπ， π ３ ＋ ｋ[ ]π ，ｋ∈Ｚ； 由２ｋπ ＋ π２ ≤２ｘ － π ６ ≤２ｋπ ＋ ３ ２ π，ｋ∈Ｚ，解得单调递减区间 是π３ ＋ ｋπ， ５π ６ ＋ ｋ[ ]π ，ｋ∈Ｚ． （２）因为０≤ｘ≤ π２ ，所以－ π ６ ≤２ｘ － π ６ ≤ ５ ６ π． 所以当２ｘ － π６ ＝ － π ６ ，即ｘ ＝ ０时，ｆ（ｘ）取最小值为－ １； 当２ｘ － π６ ＝ π ２ ，即ｘ ＝ π ３时，ｆ（ｘ）取最大值为２． § ７　 正切函数 ７． １　 正切函数的定义 ７． ２　 正切函数的诱导公式 必备知识　 探新知 知识点１　 ｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ　 ｘ∈Ｒ ｘ≠ π ２ ＋ ｋπ，ｋ∈{ }Ｚ 知识点２　 ｔａｎ α　 － ｔａｎ α　 － １ｔａｎ α 关键能力　 攻重难 例１：因为ｔａｎ α ＝ ３４ ＞ ０，所以，α是第一或第三象限的角． （１）如果α是第一象限角，则由ｔａｎ α ＝ ３４知，角α终边上必 有一点Ｐ（４，３），所以ｘ ＝ ４，ｙ ＝ ３． 因为ｒ ＝ ｜ＯＰ ｜ ＝ ４２ ＋ ３槡 ２ ＝ ５，所以ｓｉｎ α ＝ ｙｒ ＝ ３ ５ ，ｃｏｓ α ＝ ｘ ｒ ＝ ４ ５ ． （２）如果α是第三象限的角，则由ｔａｎ α ＝ ３４可知，角α终边 上必有一点Ｐ（－ ４，－ ３），所以ｘ ＝ － ４，ｙ ＝ － ３． 可知ｒ ＝ ｜ＯＰ ｜ ＝ （－ ４）２ ＋（－ ３）槡 ２ ＝ ５， 所以ｓｉｎ α ＝ ｙｒ ＝ － ３ ５ ，ｃｏｓ α ＝ ｘ ｒ ＝ － ４ ５ ． 对点训练１：∵ ｘ ＝ １，ｙ ＝ － ２，∴ ｔａｎ α ＝ － ２１ ＝ － ２． ∴ ２ｔａｎ α １ － ｔａｎ２α ＝ － ４－ ３ ＝ ４ ３ ． 例２：原式＝ ｔａｎ（－ α）ｔａｎ（α ＋ ９０°）ｔａｎ α－ ｔａｎ（１８０° － α）ｔａｎ（９０° ＋ α）ｔａｎ（－ α） ＝ － ｔａｎ α·－ １ｔａｎ( )α ·ｔａｎ α ｔａｎ α·－ １ｔａｎ( )α ·（－ ｔａｎ α） ＝ １． 对点训练２：原式＝ ｔａｎ（１８０° ＋ ４５°）＋ ｔａｎ（７２０° ＋ ３０°）－ ｔａｎ ３０° ＋ ｔａｎ ４５° ＝ ｔａｎ ４５° ＋ ｔａｎ ３０° － ｔａｎ ３０° ＋ ｔａｎ ４５° ＝ １ ＋槡３３ －槡３３ ＋ １ 槡＝ ２ ＋ ３． 例３：（１）２ｓｉｎ α － ｃｏｓ αｓｉｎ α ＋ ２ｃｏｓ α ＝ ２ｔａｎ α － １ ｔａｎ α ＋ ２ ＝ ３４ ． （２）ｓｉｎ ２α ＋ ｓｉｎ αｃｏｓ α － ２ｃｏｓ２α ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ ｔａｎ ２α ＋ ｔａｎ α － ２ ｔａｎ２α ＋ １ ＝ ４５ ． 对点训练３：（１）原式＝ － ｃｏｓ θ ＋ ｓｉｎ θ－ ２ｓｉｎ θ ＋ ｃｏｓ θ ＝ － １ ＋ ｔａｎ θ － ２ｔａｎ θ ＋ １ ＝ － １ － ３４ ６ ４ ＋ １ ＝ － ７１０ ． （２）原式＝ ２ ＋ ｔａｎ θ － １ ｔａｎ２θ ＋ １ ＝ ２ ＋ － ３４ － １ ９ １６ ＋ １ ＝ ２２２５ ． 课堂检测　 固双基 １． Ａ　 ｔａｎ ２π３ ＝ ｔａｎ π － π( )３ ＝ － ｔａｎ π３ 槡＝ － ３． ２． Ｃ　 ｔａｎ（２π ＋ α）＝ ｔａｎ α ＝ － ３２ ＝ － ３ ２ ． ３． Ａ 　 由题意可知ｃｏｓ α≠ ０，分子分母同除以ｃｏｓ２α 得 ｓｉｎ αｃｏｓ α ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ ｓｉｎ α ｃｏｓ α ｓｉｎ２α ｃｏｓ２α ＋ １ ＝ ｔａｎ α １ ＋ ｔａｎ２α ＝ － １２ ，解得ｔａｎ α ＝ － １， 故ｔａｎ（π － α）＝ － ｔａｎ α ＝ １． ４． Ｃ　 由题意可得ｓｉｎ α ＝ － １３ ＝ ａ １ ＋ ａ槡 ２ ， 所以ａ ＝ －槡２４ ，则ｔａｎ α ＝ ａ ＝ －槡 ２ ４ ． ５． － ｃｏｓ α　 ｆ（α）＝ ｓｉｎ α － π( )２ ｃｏｓ ３π２ ＋( )α ｔａｎ（π －α） ｔａｎ（－α －π）ｓｉｎ（－α －π） ＝ － ｃｏｓ α·ｓｉｎ α·（－ ｔａｎ α）－ ｔａｎ α·ｓｉｎ α ＝ － ｃｏｓ α． ７． ３　 正切函数的图象与性质 必备知识　 探新知 知识点２　 π　 奇函数　 ｋπ２ ，( )０ 关键能力　 攻重难 例１：（１） ｘ ｘ≠３π８ ＋ ｋπ ２ ，ｋ∈{ }Ｚ 　 （２）（１，槡３］　 （１）因为ｙ ＝ ｔａｎ ２ｘ － π( )４ ，所以２ｘ － π４ ≠ π２ ＋ ｋπ（ｋ∈Ｚ），解得ｘ≠３π８ ＋ ｋπ ２ ，ｋ∈Ｚ，所以该函数定义域为ｘ ｘ≠ ３π ８ ＋ ｋπ ２ ，ｋ∈{ }Ｚ ． （２）                                                                       因 —３０３—