精品解析：云南省曲靖市会泽县2024-2025学年高一上学期期末教学质量检测数学试题

会泽县2024-2025学年秋季学期教学质量检测 高一数学试题卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．本卷为试题卷.考生必须在答题卡上解题作答.答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 的值是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“为幂函数”的（ ）条件． A. 充要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充分不必要 5. 在古代的《扇艺奇谭》一书中有这样的描述：“有一扇面，其外弧和内弧所对圆心角依周天星辰之轨，为，外弧长为厘米，内弧长为厘米.”则此扇面的面积为（ ） A B. C. D. 6. 已知函数是定义在R上的偶函数，且，若时，，则（ ） A. 3 B. C. D. 1 7. 设，，则则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若关于x的方程有四个实根、、、，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 11. 设函数对任意的x，，都有，函数在上单调递增，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 若，则 D. 存，使得 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________． 13. 已知函数，若，则实数a的取值范围是______． 14. 已知，且，，______，对于任意正整数n．且，记，求______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 已知全集．集合，，． （1）求； （2）若，求实数m的取值范围． 16. 已知函数（且）图象过点． （1）求a的值； （2）若 （i）求的定义域并判断其奇偶性； （ii）求的单调递减区间． 17. 在一座历史悠久、文化绚烂的古城中，有一家声名远扬的传统工艺工厂，此手工艺品蕴含着丰富的文化内涵，制作工艺精细复杂，该厂近期接到一份制作传统手工艺品的重要订单.已知生产该手工艺品的固定成本为8万元.每生产x万件，额外投入成本万元，且这款手工艺品在市场上广受欢迎，出厂单价统一为15元.但由于市场需求和工艺限制，预估市场需求量最多为20万件.问题： （1）当工厂生产4万件时，求工厂的利润（利润=销售收入-总成本）. （2）要使工厂利润最大，应生产多少万件？并求出最大利润. 18 已知函数 （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）求在区间上的最值，并求出取得最值时x的值； （3）若不等式在区间上恒成立，求m的取值范围． 19. 设函数定义域在区间连续，对于内任意两数，，都有，则称为上的凹函数；若，则称为上的凸函数；若在区间上为凸函数，则对任意的，有琴生不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）． （1）证明：函数在上为凸函数； （2）设，且，求的最大值； （3）设为正实数，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 会泽县2024-2025学年秋季学期教学质量检测 高一数学试题卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．本卷为试题卷.考生必须在答题卡上解题作答.答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得，再由集合的并集运算可得. 【详解】， 故， 故选：D 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】对全称命题进行否定，先将全称量词“”改为存在量词“”，并否定结论即可. 【详解】根据全称命题的否定是特称命题可得： 命题“，”的否定是“，”. 故选：A. 3. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式进行求解. 【详解】. 故选：A. 4. “”是“为幂函数”的（ ）条件． A. 充要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充分不必要 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】当 时，为幂函数，故充分； 当为幂函数时，， 即，解得，故不必要， 故选：D 5. 在古代的《扇艺奇谭》一书中有这样的描述：“有一扇面，其外弧和内弧所对圆心角依周天星辰之轨，为，外弧长为厘米，内弧长为厘米.”则此扇面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用弧长公式和扇形面积公式即可得到答案. 【详解】作出示意图如图所示：由题意可得，， 扇形的面积是， 扇形的面积是. 则扇面（曲边四边形）的面积是. 故选：B． 6. 已知函数是定义在R上的偶函数，且，若时，，则（ ） A. 3 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的周期性，利用周期性和偶函数的性质计算即得. 【详解】由可得， 故为周期函数，且4是函数的一个周期， . 故选：D 7. 设，，则则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的值，再根据的取值可得到结果. 【详解】根据可得，， 令，因为和在上都是增函数， 所以在上单调递增， 因为，，， 所以， ，所以. 故选：A. 8. 设函数，若关于x的方程有四个实根、、、，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据分段函数的解析式画出函数图象，结合方程的根的情况找出之间的关系，再据此求取值范围. 【详解】根据分段函数可得如下图象： 因为方程有四个实根， 所以与有四个交点，交点的横坐标分别为， 此时， 由的性质可知，因为，所以， 根据对数运算法则得，即， 对于二次函数，因为，且其图象关于对称， 所以，即，其中， 根据，当且仅当即时，等号成立， 所以， 当时，此时，则，此时， 所以的取值范围为. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式性质逐项判断即可. 【详解】对于选项A：因为，则，所以，故，故选项A正确； 对于选项B：因为，所以得到，所以，故选项B正确； 对于选项C：因为，所以，所以，故选项C错误； 对于选项D：因为，所以，故，故选项D正确； 故选：ABD 10. 下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据奇偶函数的定义可得为非奇非偶函数，为奇函数，和为偶函数，在根据指数型和对数型函数的单调性判断可得. 【详解】选项A：函数的定义域为，故不是偶函数，故错误； 选项B：函数的定义域为， ，故函数为偶函数， 当时，，故在上单调递减，故B正确； 选项C：函数的定义域为， ，故函数为偶函数， 当时，单调递减，在上单调递增， 由复合函数可得在区间上单调递减，故C正确； 选项D：函数的定义域为， ， 故函数为奇函数，故D错误， 故选：BC 11. 设函数对任意的x，，都有，函数在上单调递增，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 若，则 D. 存在，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过赋值，，及可判断AB，结合函数奇偶性及单调性，可判断CD； 【详解】， 令，可得：， 所以， 令，可得：， 所以，A正确； 令，可得：， 即，偶函数，B正确； 由，可得：， 由函数是偶函数及已知单调性可得：， 易知恒成立，由，可得：；C正确； 由函数是偶函数且在上单调递增可知其最小值为，D错误； 故选：ABC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】 13. 已知函数，若，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】易得是奇函数，且在R上单调递增，将原不等式求解. 【详解】因为， 所以是奇函数，且在R上单调递增， 所以不等式化， 则，即，解得， 所以实数a的取值范围是， 故答案为： 14. 已知，且，，______，对于任意正整数n．且，记，求______． 【答案】 ①. 2 ②. 4050 【解析】 【分析】先由，得到，从而得到，进而得到，然后得到进而求解. 【详解】因为，且，， 所以，则， 所以，， 所以； 所以 ， 所以. 故答案为：2；4050. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集．集合，，． （1）求； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）解出两集合，再利用集合补集和交集的含义即可得到答案； （2）分和讨论即可. 【小问1详解】 ， ， 则或， 则. 【小问2详解】 ①当时，则，解得； ②当时，若，则或，解得. 综上所述，或. 16. 已知函数（且）的图象过点． （1）求a的值； （2）若 （i）求的定义域并判断其奇偶性； （ii）求的单调递减区间． 【答案】（1）2 （2）（i）；偶函数（ii） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入函数式即可求得； （2）（i）求出的表达式，根据真数大于零可求得定义域，根据与之间的关系得到奇偶性；（ii）复合函数根据“同增异减”原则可得到单调递减区间. 【小问1详解】 因为函数（且）的图象过点， 所以，所以； 【小问2详解】 （i）根据（1）可得， 所以，， 则， ，解得， 所以的定义域为，显然定义域关于原点对称， 又， 所以为偶函数； （ii）因，的定义域为， 令，则， 函数在定义域上单调递增，而函数在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可得的单调递减区间为. 17. 在一座历史悠久、文化绚烂的古城中，有一家声名远扬的传统工艺工厂，此手工艺品蕴含着丰富的文化内涵，制作工艺精细复杂，该厂近期接到一份制作传统手工艺品的重要订单.已知生产该手工艺品的固定成本为8万元.每生产x万件，额外投入成本万元，且这款手工艺品在市场上广受欢迎，出厂单价统一为15元.但由于市场需求和工艺限制，预估市场需求量最多为20万件.问题： （1）当工厂生产4万件时，求工厂的利润（利润=销售收入-总成本）. （2）要使工厂利润最大，应生产多少万件？并求出最大利润. 【答案】（1）36万元； （2）9万件，72万元； 【解析】 【分析】（1）将，代入求解； （2）根据利润为，分和，分别求得最大值，再取最大求解. 【小问1详解】 设利润为万元， 当工厂生产4万件时，， 则工厂利润为：万元； 【小问2详解】 当时， ， 当时， ； 当时， ， ， 当且仅当 ，即时，等号成立，， 综上：要使工厂利润最大，应生产9万件，最大利润72万元. 18. 已知函数 （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）求在区间上的最值，并求出取得最值时x的值； （3）若不等式在区间上恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1）最小正周期为； （2）答案见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦函数的性质求解周期和单调递增区间即可； （2）由函数的单调性可得函数的最值； （3）令，将不等式转化为关于的一元二次不等式，结合二次函数的性质求解即可； 【小问1详解】 最小正周期， 令，解得， 所以单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值为； 当时，取得最大值为 【小问3详解】 当时，为增函数， ， 所以， 令，则， 不等式在区间上恒成立等价于在上恒成立， 令，开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增，则，与矛盾，舍去； 当时，在上单调递减，则，与矛盾，舍去； 当时，， 综上m的取值范围是. 19. 设函数定义域在区间连续，对于内任意两数，，都有，则称为上的凹函数；若，则称为上的凸函数；若在区间上为凸函数，则对任意的，有琴生不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）． （1）证明：函数在上为凸函数； （2）设，且，求的最大值； （3）设为正实数，且，证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由凸函数的定义结合基本不等式即可证明； （2）由函数在上为凸函数，即可求解； （3）构造函数构造函数，证明其在上凸函数，进而可求证； 【小问1详解】 由，设， 则，， 因为，当且仅当时去等号， 再由在为增函数， 所以则， 即， 所以函数在上为凸函数 【小问2详解】 因为函数在上为凸函数， 则 也即， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为； 【小问3详解】 构造函数在上为凸函数， 证明如下：， 要证， 等价于； 等价于； 等价于；而此式由基本不等式可知恒成立，当且仅当取等号， 故在上凸函数， 所以， 即， 又， 所以， 即， 即； 得证. 【点睛】关键点点睛：第三问构造函数，证明其在上为凸函数； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $