5.3.2 第1课时函数的极值(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

(2)在2>x”两边取对数,得-ln2>alnx x.-高 2 由(1)的结果知. 当xe(0,1)时$(x)s()--e 的平均值,即图中点A的纵坐标,显然有()< f(x)+f().故C不正确,D正确.故选AD. -eln2. 1.实数a的取值范围为(-en2,+). 练案[17] ### 由题图可知当-1<x<1时,/(x)单调递减,A组·基础自测 ]1.D f'(x)<0,当x<-1或x>1时f(x)单调递增f'(x)>0,则 由函数极值的有关概念知A、B、C说法都不正确,故选D 2. Df(x)有极值的充要条件是/'(x)=ax{}+2ax+1=0有两个 1-10 [t0. 解得0<x<1或x<-1, 1x-1或x1. 不相等的实根,即4a-4a 0,解得a<0或a>1.故选D .xf(x)<0的解集为(-*,-1)U(0.1). 3.C 由极小值点的定义,知极小值点左右两侧的导函数是左负 5.[-1.1]/'(x)-(x-3)(x+1) 右正,又函数f(x),xeR有唯一的极值,故当xE(-,1)时 f'(x)0;当x=(1.+)时f(x)=0 令f'(x)<0.解得-1<x<3. 4.D函数f(x)=x(x-c)的导数为f'(x)=(x-c)+2x(x- 故fx)在(-13)上递减,故(m.m+2)C(-13) c)=(x-c)(3x-c). 由/(x)在x=2处有极大值,即有f(2)=0,即(c-2)(c-6)=0. 6.(1)依题意.得f(x)=^+2ax+b. 由/'(-1)=1-2a+b=0得b=2a-1. 由(fx)在x三2处导数左负右正,取得极小值 若c =6/(x)=0,可得x=6或2. 由/x)在x=2处导数左正右负,取得极大值 故/'(x)=x}+2ax+2a-1=(x+1)(x+2a-1). 综上可得e=6. 5.Dy=3x-2a.因为函数在(0.1 .a1.-1z1-2a. # 令/'(x)=0.得x=-1或x=1-2a 内有极小值, ①当a>1时.1-2a<-1. 所以y'=3-2a=0在(0.1)内必 当:变化时)/'(x)与f(x)的变化情况如下表: 有实数解. 记/(x)=3x*-2a.如图所以 (-,1-2a) (1-2a.-1)(-1.+*) (1)=3-2a0. 2. /(x) /(x) 故选D. 过6.(-~.) ·/'(x)=x2-x+c且/(x)有极值. 由此可得,函数f(x)的单调递增区间为(-,1-2a)和(-1. +).单调递减区间为(1-2a,-1). ./(x)=0有不等的实数根. ②当a<1时.1-2a>-1.同理可得函数/(x)的单调递增区 间为(-,-1)和(1-2a,+x),单调递减区问为(-1.1- 2a). 过7.3 函数(x)-). 综上,当a>1时,函数/(x)的单调递增区间为(-x,1-2a) 和(-1.+),单调递减区间为(1-2a,-1); /(t)-3- 当a<1时,函数/(x)的单调递增区间为(-,-1)和(1- 2a.+xe),单调递减区间为(-1.1-2a). x=1是函数/(x)的一个极值点. C组·探索创新 $./'(1)=0.即3-a=0.a=3.经验证a-3符合题意.故 答案为3. rln 过8.3 f'(x)-2x(a41)-(ur}+a) 列表如下: (x+1) (o.) (1) (1.+x) 由题意得/'(1)-3--0.解得a-3.经检验,a=3符合 /(x) 4 /(x) 单调递增 单调递减 单调递减 题意. i9.(1)f(x)=2x +3x2+ax+b 所以f(x)的单调递增区间为(0.).单调递减区间为 .f'(x)-6x*+6x+a. (1)和(1+). 曲线y=f(x)在点(0/(0))处的切线方程为y=-12x+1. 所以/(0)=b=1/'(0)=a=-12. -168- ·/(x)=2x+3-12x+1 ..f(x)在(0.e)内为增函数,在(e.+)为减函数 ($)由(1)得f'(x)=6}+6x-12=6(x+2)(x- 2./(x)有极大值无极小值; 令 '(x)=0x=-2或x=1. 当a<0时f(x)在(0.e)为减函数,在(e.+)为增函数 f'(x)>0x<-2或x>1f(x)<0.-2<x l. -.f(x)有极小值无极大值; 心f(x)递增区间是(-,-2).(1,+x),递减区间 4.实数a的取值范围(-x,0). 是(-2.1). C组·探索创新 ·fx)的极大值为ff-2)=21.极小值为f1)=-6 (1)当a=-2时f(x)=(1+2x)ln(1+x)-x. 10.(1)f'(x)=(2x+3)e'+(x+3x+1)e=(x+5x+4)e’ =(x+1)(x+4)e. 因为y=2ln(1+x),y=-+x .当xE(-.-4)U(-1.+x)时f'(x)>0; 11在(-1.+×)上为增 当x=(-4.-1)时.f(x)<0./(x)的单调递增区间为 (-*,-4)和(-1.+x).单调递减区问为(-4.-1). 函数, (2)由(1)可知/(x)在x=-4处取得极大值,在x=-1处 故f'(x)在(-1.+x)上为增函数,而f'(0)=0 故当-1<x<0时f'(x)<0,当x>0时f(x)>0. 故/fx)在x=0处取极小值且极小值为f(0)=0.无极大值 (2)/'(x)=-aln(1+x)+1-a-1=-aln(1+x)- 为/(-1)--e--1 1+x (a+1)×x0. B组·素养提升 1. B '=e+m,则e+m=0必有根..m=-e'<0 1+ 2. BCD 函数f(x)=alnx+.的定义域为(0.+),求导 设s(x)--aln(1+x)(a+1)x0. 1+x (a+1) 则(x)= a(x+1)+a+1 (1+x){ 因为函数/f(x)既有极大值也有极小值,则函数f'(x)在(0. +x)上有两个变号零点,而a*0. 因此方程axr}-ba-2c=0有两个不等的正根x,. 当as-时,x(x)>0.故s(x)在(0,+x)上为增函数, 4-b+8ac0. 故s(x)>s(0)=0.即f(x)>0 所以/(x)在[0,+)上为增函数,故/(x)>f(0)=0 20. 当-<ao时,当0x-2a时(x)<0. 故s(s)在(o-2a)上为减函数,故在(0.-2)上&(x) abc<0.即bc<0.A错误.B.C.D正确.故选BCD. 3.CD f'(x)=3x-6x.令f'(x)=3x-6x>0.得x>2或x (0). 0;令f'(x)=3x-6x<0.得0<x<2..函数ffx)在区间 即在(o.-2a)上/'(x)<o即(x)为减函数, (-x,0),(2.+)上单调递增,在区间(0.2)上单调递减 当x-0和x=2时,函数f(x)分别取得极大值0和极小值 故在(0.-2a+1)上(x)<(0)-0.不合题意,舍。 -4.故选CD. 4.(3.1) )/'(x)--ax+2. 当a>0.此时s'(x)<0在(0.+)上恒成立。 舍:综上_- 同理可得在(0,+x)上/(x)</(0)=0恒成立,不合题意 .x×是/(x)=0的两个根. 由0<x<1<x.<3.结合二次函数的性质得: f'(0)=20. 练案[18] /'(3)-9-3+20. A组·基础自测 5.(o) 1. A /'(t)=6x*-12x=6x(t-2). 由题知,x>0/'(x)=lnx+1-2ax,由于函数f(x) ·fx)在(-2.0)上为增函数,在(0.2)上为减函数. 有两个极值点,则/'(x)=0有两个不等的正根,即函数y= .当x=0时f(x)=m最大. lnx+1与y=2ax的图象有两个不同的交点(x>0),则a>0; .m=3.从而/(-2)--37. 设函数y=lnx+1上任一点(x,1+lnxo)处的切线为1.则k! (2)=-5. 2.最小值为-37.:.故选A. 过2. B .f'(x)=1-2sinx=0,xe [0.吾]时,sinx-. 6./(x)-alnx-b(o), .当:e [0.吾)时/“(x)>0.)(x)是增函数. /'(x)-a(1-lnx)-be(x-1) 12} 当xe{ (吾吾]时/'(x)<0(x)是减函数, 由'(e)-0.则b-0.则/'(x)-a(1-lnx) 即x-时(x)取最大值,故选B. 当a0时f(x)在(0.e)内大于0.在(e.+x)内小于0. -169-练案［１７］ 第五章　 一元函数的导数及其应用 ５． ３　 ［５． ３． ２　 第１课时　 函数的极值］ Ａ组·基础自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．下列关于函数的极值的说法正确的是（Ｄ ） Ａ．导数值为０的点一定是函数的极值点 Ｂ．函数的极小值一定小于它的极大值 Ｃ．函数在定义域内必有一个极大值和一个极 小值 Ｄ．若ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内有极值，那么ｆ（ｘ）在（ａ， ｂ）内不是单调函数 ２．函数ｆ（ｘ）＝ １３ ａｘ ３ ＋ ａｘ２ ＋ ｘ ＋ ３有极值的充要 条件是 （Ｄ ） Ａ． ａ ＞ １或ａ≤０ Ｂ． ａ ＞ １ Ｃ． ０ ＜ ａ ＜ １ Ｄ． ａ ＞ １或ａ ＜ ０ ３．已知函数ｙ ＝ ｆ（ｘ），ｘ∈Ｒ有唯一的极值，且ｘ ＝ １是ｆ（ｘ）的极小值点，则 （Ｃ ） Ａ．当ｘ∈（－ ∞，１）时，ｆ ′（ｘ）≥０；当ｘ∈（１， ＋ ∞）时，ｆ ′（ｘ）≤０ Ｂ．当ｘ∈（－ ∞，１）时，ｆ ′（ｘ）≥０；当ｘ∈（１， ＋ ∞）时，ｆ ′（ｘ）≥０ Ｃ．当ｘ∈（－ ∞，１）时，ｆ ′（ｘ）≤０；当ｘ∈（１， ＋ ∞）时，ｆ ′（ｘ）≥０ Ｄ．当ｘ∈（－ ∞，１）时，ｆ ′（ｘ）≤０；当ｘ∈（１， ＋ ∞）时，ｆ ′（ｘ）≤０ ４．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘ（ｘ － ｃ）２，在ｘ ＝ ２处取得极 大值，则实数ｃ的值是 （Ｄ ） Ａ． ２３ Ｂ． ２ Ｃ． ２或６ Ｄ． ６ ５．函数ｙ ＝ ｘ３ － ２ａｘ ＋ ａ在（０，１）内有极小值，则 实数ａ的取值范围是 （Ｄ ） Ａ．（０，３）　 　 　 　 　 Ｂ．（－ ∞，３） Ｃ．（０，＋ ∞） (Ｄ． ０，３ )２ 二、填空题 ６．已知函数ｆ（ｘ）＝ １３ ｘ ３ － １２ ｘ ２ ＋ ｃｘ ＋ ｄ有极值， 则ｃ的取值范围为　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． ７．若ｘ ＝ １是函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ ＋ ａｘ的一个极值点， 则实数ａ ＝ ３　 　 　 ． ８．若函数ｆ（ｘ）＝ ｘ ２ ＋ ａ ｘ ＋ １在ｘ ＝ １处取得极值，则 ａ ＝ ３　 　 　 ． 三、解答题 ９．设函数ｆ（ｘ）＝ ２ｘ３ ＋ ３ｘ２ ＋ ａｘ ＋ ｂ，曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ） 在点（０，ｆ（０））处的切线方程为ｙ ＝ － １２ｘ ＋ １． （１）求ｆ（ｘ）的解析式； （２）求ｆ（ｘ）的极值                                                                ． —１１１— １０．设函数ｆ（ｘ）＝（ｘ２ ＋ ３ｘ ＋ １）ｅｘ ． （１）求函数ｆ（ｘ）的单调区间； （２）求函数ｆ（ｘ）的极值． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．若函数ｙ ＝ ｅｘ ＋ ｍｘ有极值，则实数ｍ的取值 范围是 （Ｂ ） Ａ． ｍ ＞ ０ Ｂ． ｍ ＜ ０ Ｃ． ｍ ＞ １ Ｄ． ｍ ＜ １ ２．（多选题）（２０２３·新课标全国Ⅱ卷）若函数 ｆ（ｘ）＝ ａｌｎ ｘ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ｘ２ （ａ≠０）既有极大值也有 极小值，则 （　 ） Ａ． ｂｃ ＞ ０ Ｂ． ａｂ ＞ ０ Ｃ． ｂ２ ＋ ８ａｃ ＞ ０ Ｄ． ａｃ ＜ ０ ３．（多选题）对于函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ３ｘ２，给出下列 结论中正确的是 （　 ） Ａ． ｆ（ｘ）是增函数，无极值 Ｂ． ｆ（ｘ）是减函数，无极值 Ｃ． ｆ（ｘ）的单调递增区间为（－ ∞，０），（２， ＋ ∞），单调递减区间为（０，２） Ｄ． ｆ（０）＝ ０是极大值，ｆ（２）＝ － ４是极小值 二、填空题 ４．已知ｆ（ｘ）＝ １３ ｘ ３ － ａ２ ｘ ２ ＋ ２ｘ ＋ １，ｘ１，ｘ２是ｆ（ｘ） 的两个极值点，且０ ＜ ｘ１ ＜１ ＜ ｘ２ ＜３，则实数ａ的 取值范围为　 　 　 　 　 　 　 ． ５．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘ（ｌｎ ｘ － ａｘ）有两个极值点， 则实数ａ的取值范围是　 　 　 　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．已知函数ｆ（ｘ）＝ ａｌｎ ｘ － ｂｅ ｘ ｘ （ａ，ｂ∈Ｒ且ａ≠０， ｅ为自然对数的底数）．若曲线ｆ（ｘ）在点（ｅ， ｆ（ｅ））处的切线斜率为０，且ｆ（ｘ）有极小值，求 实数ａ的取值范围． Ｃ组·探索创新 　 （２０２４·全国甲卷理）已知函数ｆ（ｘ）＝（１ － ａｘ） ｌｎ（１ ＋ ｘ）－ ｘ． （１）当ａ ＝ － ２时，求ｆ（ｘ）的极值； （２）当ｘ≥０时，ｆ（ｘ）≥０，求ａ的取值范围                                                                      ． —１１２—