6.2 函数的极值(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

=e'(2x-x2), 令f'(x)=0,由于e>0..x1=0,=2 5[-1,1]f'(x)=-3)+1 e 用：，分割定义域D,得下表： 令f'(x)<0,解得：-1<x<3 (-.0) 0 (0,2) 2 (2,+0) 故x)在(-1,3)上递减，故(m,m+2)(-1,3) f'(x) 0 0 故/≥-1 m+2≤3解得：-1≤m≤1，故答案为[-1，. 八x) 6.(1)因为x)=x-xe"x∈R x)的单调递减区间为(-，0)和(2，+），单测递增区 所以f'(x)=1-(3x2+2x23)et 间为(0,2) 因为(x)在(11))处的切线方程为y=-x+1, 10.函数x)=-nx的定义域为(0.+x), 所以1)=-1+1=0f'(1)=-1, f'(x)=k-L-c-1 6 解得-山 x 1b=1. 当k≤0时，kx-1<0,∴f(x)<0, 所以a=-1,b=1. 则八x)在(0，+∞)上单调递减 (2)由(I)得g(x)=f'(x)=1-(32-x)e(xeR). 当k>0时，f(x)<0,即-1<0. 则g(x)=-x(x2-6r+6)e 令x2-6x+6=0,解得x=3±5，不妨设x1=3-5,x,=3+ 解得0<x<衣： 5,则0<1< ()>0,即>0.解得x> 易知el>0恒成立， 所以令g(x)<0,解得0<x<x1或x>: 当>0时x)的单调递减区间为0，) 令g'(x）>0,解得x<0或x<x<: 所以g(x)在(0,1)，(x2,+)上单调递减，在(-0,0) 单调递增区间为素，+云} (x,)上单调递增， 综上所述，当≤0时(x)的单调递减区间为(0，+)，无 即g(x)的单调递减区间为(0,3-)和(3+，+)，单调递增 单调递增区间： 区间为(-0.0)和(3-√3,3+3) 当>0时，x)的单调递诚区间为(0，），单调递增区间 C组·创新拓展 (-.-2)U(0,2)当x>0时， ='(x)-x 为合+} <0. B组·能力提升 六p(x)型在(0.+)上为减函数. L.D根据题意知'(x)=a2+2x+a,若函数(x)=3m+ 又f八2)=0，即(2)=0， x2+x+1有三个不同的单调区间，则/'(x)=x2+2x+a=0 在(0，+)上，当且仅当0<x<2时，p(x)>0, 有两个不相等的实根.4=4-4a2>0,且a*0, 此时x八x)>0.又f(x)为奇函数，.h(x）=xf(x)也为奇 解得-1<a<1,且a≠0. 函数， 故实数a的取值范围是(-1,0)U(0,1) 由数形结合知x∈(-，-2)时f八x)>0. 2.B由题意可得∫'(x)=sinx+a≥0恒成立，故a≥-sinx恒 故x2f代x)>0的解集为(-，-2)U(0,2). 成立.因为-1≤-sinx≤1，所以a≥1.枚选B 3.D构造而数)二则 练案[19] A组·基础自测 (x)-f(x)sin xf)cosx 1.B根据导数的性质可知，若函数y=(x)在这点处取得极 sin"x 值，则旷'(x)=0,即必要性成立：反之不一定成立，如函数代x) 由已知可得，当x∈(0，受）时/'"(x)n-八x)sx>0. =x在R上是增函数广'(x)=3x2,则r'(0)=0,但在x=0处 函数不是极值，即充分性不成立， 所以g(x)>0,g(x)为增函数， 故函数y=八x)在某点处的导数值为0是函数y=(x)在这 点处取得极值的必要不充分条件，故选B in 2.B f'(x)=1-2sin x.f(x)=0. 6 因为e[0,引所以x=君，当xe(后受）时 所以3叭)升】 4(-x,-1)U(0,1)由f'(x)<0,可得>0 "()<0,当xe(0,若）时f"(x)>0 UV'()<0或 )>0.由题图可知当-1<x<1时.(x)单调递减， x<0, 所以石是)在[0，]上的极大值点。 3.C函数fx)在R上可导，其导函数为f'(x),且函数f八x) f'(x)<0,当x<-1或x>1时，八x)单调递增，∫'(x)>0,则 在x=一2处取得极小值. 0<1皮91安>1.解得0<1或<-山. 当x>-2时f'(x)>0:当x=-2时，/‘(x)=0:当x<-2 时f'(x)<0. xf'(x)<0的解集为(-x,-1)U(0,1) 当x>0时，'(x)>0:当-2<x<0时，'(x)<0:当x= -173 -2或0时，f‘(x)=0:当x<-2时，f'(x)>0.因此y= 当a>0时，尺x)在x=na处取得极小值na,无极大值. f(x)的图象应为选项C. :B组·能力提升 4.D函数fx)=x(x-e)2的导数为f"(x)=(x-e)2+2x(x- 1.A了'(x)=2+a,若x)在x=1处取得极值，则'(1)=2 e)=(x-c)(3r-e), 由f八x)在x=2处有极大值，即有f'(2)=0,即(c-2)(c-6) +a=0,解得4=-2. =0. 故x)=2nx-2x/"(x)=2-2,令'(x)>0.解得0<x< 解得e=2或6，若c=2时()=0，可得x=2或号 1,令f'(x)<0,解得x>1,故f八x)在(0,1)上单调递增，在(1， 由八x)在x=2处导数左负右正，取得极小值 +∞)上单调递减，=1是极大值点，符合题意.故选A. 若c=6.f'(x)=0,可得x=6或2. 2.Af'(x）=3x2-2pw-9, 由代x)在=2处导数左正右负，取得极大值 由D0得P=2, 综上可得c=6. f1)=0, 19=-1 5.AD由xf'(x)+fx)=lnx得x>0,则xf'(x)+f八x)= f'(x)=3x2-4x+1. 即”=，设g)=),由g()=>0 ()=0得x=或x=1, 得x>1,由g(x)<0得0<x<1即g(x)=x)在(1，+x) 单调递增，在(0,1)单调递减，即当x=1时，函数g(x)= 易得x=宁时)有极大值号x=1时)有极小值Q 水)取得极小值g)=)=方，故选AD i3.Bf八x)=x+r+2,则f"(x)=3x2+a. 若八x)要存在3个零点，则八x)要存在极大值和极小值，则 6.0f'(x)=e+xe-x-1=(x+1)(e-1),当x>0或x< a<0, -1时f'(x)>0,当-1<x<0时，∫'(x)<0,所以函数代x) 在(0，+)和(-，-1)上单调递增，在(-1,0)上单满递 令f'()=3x+a=0,解得x=√写或，√写 减.所以函数)=心-子-x的极小值为八0)=0 且当x(-,√写（√写+时）>0， 7(,）f"()=-+e且)有概值. 当e(-√号√时)<0 ∴∫'(x)=0有不等的实数根， 即4=1-4e>0,解得c<4 故)的极大值为-√骨极小值为从√号) 8.3函数f爪x)=x+” √ 若八x)要存在3个零点，则 f'(x)=3x2- x2 M)<o. :x=1是函数f八x)的一个极值点， ,f'(1)=0.即3-a=0..a=3.故答案为3. 即 解得a<-3.故选B. 9.(1f'(x)=(2x+3)e+(x2+3x+1)· e=(x2+5x+4)e'=(x+1)(x+4)e 号+aV号+2<0 当xE(-x,-4)U(-1,+e)时，f'(x)>0 4.4 -11f'(x)-3x2+2ax+6 当xe(-4,-1)时，f‘(x)<0,f(x)的单调递增区间为 (-3,-4)和(-1，+)，单调递减区间为(-4，-【)， 食题意得8可 2a+b=-3. (2)由(1)可知f八x)在x=-4处取得极大值，在x=-1处取 解得=4，或=-3， 得极小值)的极大值为人-4)=5c“一号.极小值为 1b=-1116=3. 但由于当u=-3,b=3时，f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥ -1)=-e1=-L 0,故fx)在R上单调递增，不可能在x=1处取得极值，所以 10(1)由)=-1+号得f()=1-号 [=,-3不符合题意，应舍去 b=3 由函数八x)在点(1，八1))处的切线平行于x轴，得f(1)= 而当化一1，时，经检验知符合题意，放。，6的值分别为4， 1-4=0,解得a=e -1l. 2")=1-号 5(0,）由题知，x>0"()=nx+1-2加，由于函数到 有两个极值点，则f'(x)=0有两个不等的正根，即函数y ①当a≤0时"(x)>0八x)在R上单调递增/八x)无极值： lnx+1与y=2ax的图象有两个不同的交点(x>0),则a>0: ②当a>0时，令f"(x)=0.解得x=lna, 设函数y=nx+1上任一点(x。,1+n)处的切线为(，则 所以x∈(-e,lna)时，f'(x)<0.xe(na,+)时，f'(x) >0. =y=,当1过坐标原点时，+n,=1,令20= 所以函数f代x)在(-e,lna)上单调递减 1 在(lna,+e)上单调递增. →a=20<a<2 所以f八x)在x=lna处取得极小值， 6.因为fx)=xnx,x>0 且极小值为flna)=lna,无极大值。 所以f'(x)=1+nx, 上，当a≤0时，函数fx)无极值： 所以g(x)=f'(x)+r2-(a+2)x=1+lnx+ax2-(a+ -174 2)x <s(0), 所以g(x)=上+2r-(a+2) 即在(0.如。)/<0肌)为减面数 =2ar2-(a+2)x+1.(-1)(2x-1) 故在0，-24+）上/)<0)=0，不合题意，合. 令g)=0,解得x=或x=子 当a≥0，此时'(x)<0在(0，+)上恒成立， 同理可得在(0，+)上f代x)<f(0)=0恒成立，不合题意， ①当片>分即0<a<2时， 舍：综上，a≤-2 1 若g)>0,解得0<x<号或x>】函数g)单调递增，若 练案[20] ()<0,解得时<<，函数g()单调递减 A组·基础自测 1.Ay'=6x2-6x-12,由y=0曰x=-1或x=2(舍去).x= 所以)a=)1+h -(a+2)· -2时y=1:x=-1时y=12:x=1时y=-8. a ym=12,m=-8.放选A -In a-1 2ABD因为)=+2-4eR, g=(）1+h+a-(a+2)x =-ln2 所以∫'(x)=3x2+x-4, 令f'(x)=3x2+x-4=0,即(3x+4)(x-1)=0,解得x1= 4 3=1, ②当。<分即a>2时 所以当x(--音)xe山，+)时()>0，当x后 若()>0，解得0<x<日或x>分，函数g)单调递增，若 (-时)<0 g()<0,解得。<x<分，函数()单调递减 1 4 所以x)的单调递增区间为-，一子)）和(1，+x),单调 所以g=）=-na- 递减区间为-子，)，则)有两个极值点，B正确：且当x= g=（分）=-h2- 时，(x)取得极小值.A正确： ③当=宁，即a=2时g(x)≥0恒成立g()在(0，+) 所以极小值为1)=一子.C错误： 又f0)=02)=2,所以八x)在[0,2]上的最大值为2，D 上单调递增， 正确. 所以函数无极值 3.By'=e-x·e=e(1-x),令y'=0, C组·创新拓展 (1)当a=-2时代x)=(1+2x)ln(1+x)-x, sl0)04-t)e e 故=2a(1++-1=2a1+)-+ 1+x +1, .1)为最大值.故选B 因为y=2血1+)=十+1在(-1，+)上为增 4.C依题可知，”(x)=心-↓≥0在(1,2)上恒成立，显然 函数， 4>0,所以e≥a 故f'(x)在(-1，+x)上为增函数，而f'(0)=0, 设g(x)=e,x∈(1,2)，所以g'(x)=(x+1)e>0, 故当-1<x<0时.f'(x)<0,当x>0时，f'(x)>0. 所以g(x)在(1,2)上单调递增， 故(x)在x=0处取极小值且极小值为八0)=0，无极大值。 g(x)>g(1)=e,故e≥，即a≥1 =e, 2)f'(x)=-lh(1+)+g-1=-aln(1+x) 即a的最小值为e',故选C (a+1),x>0, 5.ACD对A,因为函数x)的定义域为R,而f'(x)=2(x-1) 1+x (x-4)+(x-1)2=3(x-1)(x-3), 设s(x）=-aln(1+x)-a+匹x>0, 易知当x∈(1,3)时f'(x)<0,当x∈(-，1)或x∈(3. 1+x +)时f"(x)>0 则()=+1一 -a (a+1) =-a(x+1)+a+1 = (1+x)2 (1+x)2 函数x)在(-，1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在 ax +2a+1 (3,+)上单调递增，故x=3是函数x)的极小值点，正确： (1+x) 对B.当0<x<1时，x-x2=x(1-x)>0.所以1>x>x2>0, 而由上可知，函数(x)在(0,1)上单调递增，所以八x)> 当a≤一时，(x)>0,故s(x)在(0，+0)上为增函数， x),错误： 故s(x)>s(0)=0,即f'(x)>0. 对C,当1<x<2时，1<2x-1<3,而由上可知，函数x)在 所以(x)在[0，+)上为增函数，故x)≥八0)=0. (1,3)上单阁递或。 当-士<a<0时，当0<<-20时()<0， 所以f1)>f2x-1)>f3),即-4<f2x-1)<0,正确： 对D,当-1<x<0时，2-x)-fx)=(1-x)(-2-x) 放（在0,2a上为减函数放在0,20上(） (x-1)2(x-4)=(x-1)2(2-2x)>0, 所以八2-x)>f八x）,正确： -175练案［１９］ 第二章　 导数及其应用 § ６　 ［６． ２　 函数的极值］ Ａ组·基础自测 一、选择题 １．已知函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在定义域内可导，则函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在某点处的导数值为０是函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在这点处取得极值的 （Ｂ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．非充分非必要条件 ２．函数ｆ（ｘ）＝ ｘ ＋ ２ｃｏｓ ｘ在０，π[ ]２ 上的极大值点 为 （Ｂ ） Ａ． π６ ＋槡３ Ｂ． π ６ Ｃ． π３ Ｄ． １ ＋ π ３ ３．设函数ｆ（ｘ）在Ｒ上可导，其导函数为ｆ ′（ｘ）， 且函数ｆ（ｘ）在ｘ ＝ － ２处取得极小值，则函数 ｙ ＝ ｘ·ｆ ′（ｘ）的图象可能是 （Ｃ ） ４．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘ（ｘ － ｃ）２，在ｘ ＝ ２处取得极 大值，则实数ｃ的值是 （Ｄ ） Ａ． ２３ Ｂ． ２ Ｃ． ２或６ Ｄ． ６ ５．（多选）设ｆ ′（ｘ）为函数ｆ（ｘ）的导函数，已知 ｘ２ ｆ ′（ｘ）＋ ｘｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ，ｆ（１）＝ １２，则下列结 论正确的是 （Ａ ） Ａ． ｘｆ（ｘ）在（１，＋ ∞）单调递增 Ｂ． ｘｆ（ｘ）在（１，＋ ∞）单调递减 Ｃ． ｘｆ（ｘ）在（０，＋ ∞）上有极大值１２ Ｄ． ｘｆ（ｘ）在（０，＋ ∞）上有极小值１２ 二、填空题 ６．函数ｆ（ｘ）＝ ｘｅｘ － １２ ｘ ２ － ｘ的极小值为０　 　 ． ７．已知函数ｆ（ｘ）＝ １３ ｘ ３ － １２ ｘ ２ ＋ ｃｘ ＋ ｄ有极值， 则ｃ的取值范围为　 　 　 　 ． ８．若ｘ ＝ １是函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ ＋ ａｘ的一个极值点， 则实数ａ ＝ ３　 　 ． 三、解答题 ９．设函数ｆ（ｘ）＝（ｘ２ ＋ ３ｘ ＋ １）ｅｘ ． （１）求函数ｆ（ｘ）的单调区间； （２）求函数ｆ（ｘ）的极值                                                                ． —１１４— １０．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘ － １ ＋ ａ ｅｘ ． （１）若函数ｆ（ｘ）在点（１，ｆ（１））处的切线平 行于ｘ轴，求ａ的值； （２）求函数ｆ（ｘ）的极值． Ｂ组·能力提升 一、选择题 １．已知函数ｆ（ｘ）＝ ２ｌｎ ｘ ＋ ａｘ在ｘ ＝ １处取得极 值，则实数ａ ＝ （Ａ ） Ａ． － ２ Ｂ． ２ Ｃ． ０ Ｄ． １ ２．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ｐｘ２ － ｑｘ的图象与ｘ轴切 于点（１，０），则ｆ（ｘ）的极值为 （Ａ ） Ａ．极大值为４２７，极小值为０ Ｂ．极大值为０，极小值为４２７ Ｃ．极小值为－ ４２７，极大值为０ Ｄ．极大值为－ ４２７，极小值为０ ３．（２０２３·全国乙卷）函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ ＋ ａｘ ＋ ２存 在３个零点，则ａ的取值范围是 （Ｂ ） Ａ． － ∞，( )－ ２ Ｂ． － ∞，( )－ ３ Ｃ． － ４，( )－ １ Ｄ． － ３，( )０ 二、填空题 ４．若函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ ＋ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ａ２在ｘ ＝ １处取 得极值１０，则ａ ＝ ４　 　 ，ｂ ＝ － １１　 　 ． ５．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘ（ｌｎ ｘ － ａｘ）有两个极值点， 则实数ａ的取值范围是　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘｌｎ ｘ．若函数ｇ（ｘ）＝ ｆ ′（ｘ） ＋ ａｘ２ －（ａ ＋ ２）ｘ（ａ ＞ ０），试研究函数ｇ（ｘ）的 极值情况． Ｃ组·创新拓展 （２０２４·全国甲卷理）已知函数ｆ（ｘ）＝ （１ － ａｘ）ｌｎ（１ ＋ ｘ）－ ｘ． （１）当ａ ＝ － ２时，求ｆ（ｘ）的极值； （２）当ｘ≥０时，ｆ（ｘ）≥０，求ａ的取值范围                                                                     ． —１１５—