1 平均变化率与瞬时变化率(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

练案［１３］ 第二章　 导数及其应用 § １　 ［１． １　 平均变化率　 １． ２　 瞬时变化率］ Ａ组·基础自测 一、选择题 １．函数ｙ ＝ ２ｘ在区间［ｘ０，ｘ０ ＋ Δｘ］上的平均变化 率为 （Ｄ ） Ａ． ｘ０ ＋ Δｘ　 　 　 　 　 　 　Ｂ． １ ＋ Δｘ Ｃ． ２ ＋ Δｘ Ｄ． ２ ２．函数ｆ（ｘ）＝ ｘ２ － １在区间［１，ｍ］上的平均变 化率为３，则实数ｍ的值为 （Ｂ ） Ａ． ３ Ｂ． ２ Ｃ． １ Ｄ． ４ ３．某物体做直线运动，其运动规律是ｓ ＝ ｔ２ ＋ ３ｔ （ｔ的单位是秒，ｓ的单位是米），则它在４秒末 的瞬时速度为 （Ｂ ） Ａ． １２３１６米／秒 Ｂ． １２５ １６米／秒 Ｃ． ８米／秒 Ｄ． ６７４米／秒 ４．汽车行驶的路程ｓ和时间ｔ之间的函数图象 如图，在时间段［ｔ０，ｔ１］，［ｔ１，ｔ２］，［ｔ２，ｔ３］上的 平均速度分别为ｖ１，ｖ２，ｖ３，则三者的大小关系 为 （Ｂ ） Ａ． ｖ１ ＞ ｖ２ ＞ ｖ３ Ｂ． ｖ３ ＞ ｖ２ ＞ ｖ１ Ｃ． ｖ２ ＞ ｖ１ ＞ ｖ３ Ｄ． ｖ２ ＞ ｖ３ ＞ ｖ１ ５．（多选）已知某物体的运动方程为ｓ（ｔ）＝ ７ｔ２ ＋ ８（０≤ｔ≤５），则 （Ａ ） Ａ．该物体当１≤ｔ≤３时的平均速度是２８ Ｂ．该物体在ｔ ＝ ４时的瞬时速度是５６ Ｃ．该物体位移的最大值为４３ Ｄ．该物体在ｔ ＝ ５时的瞬时速度是７０ 二、填空题 ６．由瞬时变化率的研究方法可求得，函数ｆ（ｘ） ＝ ｘ２ － ２ｘ在ｘ ＝ １处的瞬时变化率为０　 　 ． ７．设ｆ（ｘ）＝ ２ａｘ ＋ ４，若ｆ（ｘ）在（１，ｆ（１））处的瞬 时变化率为２，则ａ ＝ １　 　 ． ８．如图所示，函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在［ｘ１，ｘ２］，［ｘ２，ｘ３］， ［ｘ３，ｘ４］这几个区间内，平均变化率最大的一 个区间是［ｘ３，ｘ４］　 ． 三、解答题 ９．已知函数ｆ（ｘ）＝ ３ｘ２ ＋ ２，求函数ｆ（ｘ）在区间 ［ｘ０，ｘ０ ＋ Δｘ］上的平均变化率，并求当ｘ０ ＝ ２， Δｘ ＝ ０． １时平均变化率的值                                                                ． —１０２— １０．某厂生产某种产品ｘ件的总成本ｃ（ｘ）＝ １２０ ＋ ｘ１０ ＋ ｘ２ １００，总成本的单位是元． （１）当ｘ从２００变到２２０时，总成本ｃ关于产 量ｘ的平均变化率是多少？它代表什么实 际意义？ （２）求ｘ ＝ ２００时的瞬时变化率，并解释它代 表什么实际意义． Ｂ组·能力提升 一、选择题 １．一物体的运动方程是ｓ ＝ １２ ａｔ ２（ａ为常数），则 该物体在ｔ ＝ ｔ０时的瞬时速度是 （Ａ ） Ａ． ａｔ０ 　 　 　 　Ｂ． － ａｔ０ 　 　 　Ｃ． １ ２ ａｔ０ 　 　 　Ｄ． ２ａｔ０ ２．一质点按运动方程ｓ（ｔ）＝ １ｔ做直线运动，则 其从ｔ１ ＝ １到ｔ２ ＝ ２的平均速度为 （Ｂ ） Ａ． － １ Ｂ． － １２ Ｃ． － ２ Ｄ． ２ ３．（多选）函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － １在ｘ１ ＝ １和ｘ２ ＝ ｍ 之间的平均变化率为７，则ｍ的值为（Ａ ） Ａ． ２ Ｂ． － ３ Ｃ． ４ Ｄ． ５ 二、填空题 ４．一辆汽车在起步的前１０秒内，按ｓ ＝ ３ｔ２ ＋ １做 直线运动，则在２≤ｔ≤３这段时间内的平均速 度是１５　 　 　 　 ；在ｔ ＝ ２． ５时的瞬时速度是 １５　 　 　 　 ． ５．若某物体的运动规律是ｓ ＝ ｔ３ － ６ｔ２ ＋ ５（ｔ ＞ ０）， 则在ｔ ＝ ４　 　 时的瞬时速度为０． 三、解答题 ６．若一物体运动方程如下：（位移ｓ：ｍ，时间ｔ：ｓ） ｓ ＝ ｆ（ｔ）＝ ２９ ＋ ３（ｔ － ３） ２，０≤ｔ ＜ ３， ３ｔ２ ＋ ２，ｔ≥３{ ． 求：（１）物体在ｔ∈［３，５］内的平均速度； （２）物体的初速度ｖ０； （３）物体在ｔ ＝ １时的瞬时速度． Ｃ组·创新拓展 在气象学中，通常把某时段内降雨量的平均 变化率称为该时段内的降雨强度，它是反映 降雨大小的一个重要指标．如表为一次降雨 过程中记录的降雨量数据． 时间ｔ ／ ｍｉｎ ０ １０ ２０ ３０ ４０ ５０ ６０ 降雨量ｙ ／ ｍｍ ０ ６ １４ １８ ２０ ２３ ２４ 则下列四个时段降雨强度最小的是（Ｄ ） Ａ． ０ ｍｉｎ到１０ ｍｉｎ Ｂ． １０ ｍｉｎ到３０ ｍｉｎ Ｃ． ３０ ｍｉｎ到５０ ｍｉｎ Ｄ． ５０ ｍｉｎ到                                                                      ６０ ｍｉｎ —１０３— =2+2 31 2+-4】 放从“n=k到=k+1”,左边所要深加的项是水+一2水+2 4.春+1当n=k+1时，第+1条直线被前k条直线分成(k+ 由此猜想数列区的道项公式为8=一：号用数学归纳法 1)段，而每一段将它们所在区域一分为二，故增加了+1个 区域 证明： 当01时=一子：显然成立： 2- 因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是 假设当a=时成立即=品 (1+2+)最后一个1*2)，根据等差数列通项公 当m=k+1时，S1=2+5 1 2+( 号即 式可求得共有-，(2+山+1=2-2=2项 2 当n=k+1时，猜想地成立 2a。(neN) 6.(1)在数列a,中，4=l,41=2+a 综上所述心-号 2a1=2x1-2 9.(1)当n=1时，等式左边=2，右边=2，故等式成立. 当n=1时，a=2+42+13 (2)假设当n=k(keN”,≥1)时等式成立， 2x2 即(k+1)(k+2)·…·(k+k) 当n2时，4“2+a2+号 2d1 1 =2·1·3·5·…·(2-1). 那么当n=素+1时， 1 左边=(k+1+1)(+1+2)…(k+1+k+1) =(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)】 28= =2·1·3·5·…·(2k-1)(2k+1)·2 当3时-2 =2+1·3·5·…·(2k-1)(2k+1) 2 12 =21·1·3·5·…·[2(k+1)-1] 所以4=子=宁=子=子 这就是说当n=k+1时等式也成立. 由(1)(2)可知，对所有neN等式成立 猪测a.=n行 2 10.由已知得2b.=a.+a1.al=bb.1,a1=2,b1=4, 2 由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a,=20, (2)证明：①当n=1时，a=11+=1 64=25. 所以a1=1,所以n=1时，等式成立： 猜想a,=n(n+1),b。=(n+1) 2 用数学归纳法证明如下： ②假设当n=k时，等式成立，即a,=+ ①当n=1时，可得结论成立 2 ②假设当n=(≥1，k∈N”)时，结论成立， 2×4=2 则4-2*a2+k+ = 2 即a=(+1),b=(k+1)2, =2k+4k+2 那么当n=k+1时， 2 a1=26-a:=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)·(k+2), =(k+1)+1' 41-=6+)6+2=k+2g 所以n=k+I时，等式成立 (k+1)2 六当n=+1时，结论也成立 综合①和2可知，对于任愈的neN。=均皮立 由①②可知，a,=n(n+1),b,=(n+1)产对一切正整数n都C组·创新拓展 成立. 25(32+541)+56·32当n=k+1时，342+ B组·能力提升 5241+1=81·32+25.541=25(3+2+544)+56 ·342 1 1B1+2++…+7后 -2 2-1 =2-26 2 练案[13] 1-2 :A组·基础自测 、1>2,故成选B 1.D由题意，可得平均变化率 64 ! fo+4)-_2+A)-2=2. 2.D由fn)可知，f代n)中共有(n2-n+1)项，且n=2时，f2) =2++故选D 故选D. 2.B由已知得：-1-业=3， 3D当n=k时，等式的左边为1-方+分-音+…+2水 m-1 m-1≠0，∴.m+1=3,.m=2. 4+2+4-16- 3 2 当m=k41时，等式的左边为1-方+写+…+2水 B因为分 26+2k+12h+21 ()2+8△1+44+=+8-16+4 -34 △ 166- 所以当山趋近于0时，趋近于瓷 平均变化率为 4y-m2-)-(-=m2+m+1. 4.B= -=6a.5=h-型=65= △K m-1 4-6 2-1 则有m2+m+1=7,即m2+m-6=0 ）-=kx由图象知ka<k如<kc选B 解得m=-3或2 3-2 4.1515在2≤1≤3这段时间内，4=(3×3+1)-(3×2+ 5ABDA项该物体在1≤1≤3时的平均速度是（③）-山 3-1 =5益-号=5 71,5=28,A正确：B项，尖=4+△-4=56+74出 ·4-3(25+)2+1-3×2.3-1 2 △ △ △ 当△趋向于0时，出趋向于56，故B正确：C项，当1=5时， =15+3△1. .当△趋于0时， 0有最大值，0)=(5)=183，C错误：D项，告= 岁趋于15. 75+8-7x5-8=74+0,当山趋向于0时岩趋54设1时，瞬时速度为0 向于70，D正确 -6+4)'-6(6+4)2+5]-(G-6G+5) △t △ 60A-L+42-0,+4-2X1+4出=4，当4x趋近 △r _(4)'+(3。-6)(4)2+(36-12)△ △ 于0时，瞬时变化率趋近于0. =(4)2+(3。-6)4t+36-124 7.11+4-山.2a1+444-2a-4=2a,2a=2, △x 当4趋近于0时，3后-12。=0， ..a=l. ∴.0=0或6=4. 8.[,x】由平均变化率的定义可知，两数y=f(x)在区间 又。>0，，6=4，.1=4时的瞬时速度为0. [,],[,],[,x4】上的平均变化率分别为： i6.(1)物体在te[3,5]内的时间变化量为△=5-3=2， )-))-))-),结合图象可以发 位移变化量为△s=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32) =48, 4-x 现函数y=f代x)的平均变化率最大的一个区间是[x,,] .物体在te[3,5]内的平均速度为 9,因为f(x）=3x2+2,所以f(）=3x后+2，八+△x)= △=48=24(m/s) -2 3(0+4x)2+2=3x+6x4x+3(4x)2+2, (2)求物体的初速度。，即求物体在1=0时的瞬时速度 则fx。+△x)-f八x)=6xn△x+3(△x)2. 故f(x)在区间[o,。+△x]上的平均变化率为 :物体在t=0附近位移的平均变化率为尖0+△)-0 △t f八+△r)-f)_6x△r+3(4x)2 =6。+3△x,则当=2， 29+3f(0+4)-3]2-29-3(0-3)日 (。+△r》-x △x ⑦ △x=0.1时，平均变化率为6×2+3×0.1=12.3. =3△-18 10.(I)当x从200变到20时，总成本e从c(200)=120+2 10 + 当山趋近于0时，岁趋近于-18， 需=0（元）变到2m)=m+0+需 200 =626(元) ∴.物体在t=0处位移的瞬时变化率为-18， 即物体的初速度=-18m/s 此时总成本℃关于产量x的平均变化率为 (3)物体在1=1时的瞬时速度即为物体在t=1处位移的瞬时 c(220)-c(200)86 变化苹 220-200 =20=4.3(元/件). .物体在t=1附近位移的平均变化率为 它表示产量x从200件变到220件时平均多生产一件产品 △-1+4)-f1山 时.总成本平均增加43元 △ (2)在x=20处的平均变化*为兰 _29+31+△)-312-29-31-3-34-12. 1 1 120+020+4)+100200+4)2-120-10×200-100×200 当4趋近于0时岩趋近于-2， 即物体在t=1时的瞬时速度为-12m/s =4.1+尚当△：趋于0时趋于41元/件 C组·创新拓展 即x=200时的时变化率为4.1元/件，它指的是当产量为 D0m到10m的降南强度为品-号-子 200件时，每多生产一件产品，成本需增加4.1元 B组·能力提升 10mi血到30mm的降雨强度为，8-6.3： A点-u+-2=+, 30-10=5 30min到50mim的降雨强度为0-304 23-181 41 当△山道近于0时，兰趋近于，故选A 50mi血到60mim的降雨强度为24-23-】 60-50-10 2Bi2)0=7-17 因为<<子.所以因个时段中50m到60血的降雨 3AB根据题意，函数f(x)=x-1在，=1和名=m之间的 强度最小 -167