课时梯级训练(15) 平均变化率与瞬时变化率（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(15)　平均变化率与瞬时变化率 1．当函数y＝f(x)的自变量x从x1变化到x2时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数(　　) A．在区间[x1，x2]上的平均变化率 B．在x1处的变化率 C．在x2处的变化率 D．在区间[x1，x2]上的变化量 A　解析：由平均变化率的定义知：当函数y＝f(x)的自变量x从x1变化到x2时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在区间[x1，x2]上的平均变化率． 2．已知函数y＝f(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 B　解析：＝＝＝－1. 3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为(　　) A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s A　解析：＝＝－4.8－2Δt，当Δt趋于0时，趋于－4.8 m/s，即－4.8 m/s为瞬时速度，故选A. 4．函数y＝f(x)＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(　　) A．k1＞k2 B．k1＜k2 C．k1＝k2 D．不能确定 A　解析：k1＝＝＝2x0＋Δx， k2＝＝＝2x0－Δx. 由题意，知Δx>0，∴k1>k2. 5．(多选)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则(　　) A．该物体在1≤t≤3时的平均速度是28 B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56 C．该物体位移的最大值为43 D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70 ABD　解析：A项，该物体在1≤t≤3时的平均速度是＝＝28，A正确； B项，＝＝56＋7Δt， 当Δt趋于0时，趋于56，B正确； C项，当t＝5时，s(t)有最大值s(t)max＝s(5)＝183，C错误； D项，＝＝7Δt＋70，当Δt趋于0时，趋于70，D正确． 6．某人服药后，其吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值： t/min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 c(t)/ (mg/mL) 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63 则服药后30 min～70 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为________． 答案：－0.002　解析：＝＝－0.002. 7．若函数f(x)＝x2在区间[0，2]上的平均变化率等于x＝m时的瞬时变化率，则m＝________. 答案：1　解析：函数f(x)＝x2在[0，2]上的平均变化率为＝2， ＝Δx＋2m，∵当Δx→0时，2m＝2，∴m＝1. 8．已知函数f(x)＝2x2＋1. (1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率； (2)求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率； (3)求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率． 解：(1)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴＝＝4x0＋2Δx. (2)由(1)可知，＝4x0＋2Δx， 当x0＝2，Δx＝0.01时，＝4×2＋2×0.01＝8.02. (3)由(1)可知f(x)在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率为＝2Δx＋8，当Δx趋于0时，趋于8. 故f(x)在x＝2处的瞬时变化率为8. 9．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min). (1)求从t＝0至t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？ (2)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？它表示什么实际意义？ 解：(1)T(10)－T(0)＝＋15－＝－16， 即从t＝0至t＝10，蜥蜴的体温下降了16 ℃. (2)蜥蜴的体温下降的平均变化率为＝－1.6(℃/min)， 它表示从t＝0到t＝10这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃. 10．如图所示，向一个圆台形的容器倒水，任意相等时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度h随时间t变化的函数为h＝f(t)，定义域为D，设t0∈D，k1，k2分别表示f(t)在区间[t0，t0＋Δt]，[t0－Δt，t0](Δt>0)上的平均变化率，则(　　) A．k1<k2 B．k1>k2 C．k1＝k2 D．无法确定 A　解析：由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小，所以f(t)在区间[t0－Δt，t0]，[t0，t0＋Δt](Δt>0)上的平均变化率由大变小，即k2>k1. 11.(多选)已知函数f(x)的图象如图，则函数f(x)在区间[1，7]上的平均变化率情况是(　　) A．在区间[1，2]上的平均变化率最小 B．在区间[2，3]上的平均变化率大于0 C．在区间[3，4]上的平均变化率比[2，3]上的大 D．在区间[4，7]上的平均变化率最大 BC　解析：函数f(x)在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间[4，7]上，<0，即函数f(x)在区间[4，7]上的平均变化率小于0；在区间[1，2]，[2，3]，[3，4]上时，>0且Δx相同，由图象可知函数在区间[3，4]上的最大，故A，D错误，B，C正确． 12．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为________. 答案：2　解析：体积的增加量ΔV＝m3－＝(m3－1)，所以＝＝， 所以m2＋m＋1＝7，所以m＝2或m＝－3(舍去). 13．若一个物体的运动规律如下(位移s的单位：m，时间t的单位：s)：s(t)＝则此物体在t＝1和t＝4时的瞬时速度分别为________． 答案：6 m/s，6 m/s　解析：∵物体在t＝1附近的平均速度为 ＝ ＝＝6＋3Δt， ∴当Δt趋于0时，趋于6， ∴物体在t＝1时的瞬时速度为6 m/s. ∵物体在t＝4附近的平均速度为＝＝3Δt＋6， ∴当Δt趋于0时，趋于6，∴物体在t＝4时的瞬时速度为6 m/s. 14．若一物体运动方程如下：(位移s的单位：m，时间t的单位：s) s＝f(t)＝ 求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度； (2)物体的初速度v0； (3)物体在t＝1时的瞬时速度． 解：(1)∵物体在t∈[3，5]上的时间变化量为Δt＝5－3＝2， 物体在t∈[3，5]上的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴＝＝24，∴物体在t∈[3，5]内的平均速度为24 m/s. (2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度． ∵＝ ＝＝3Δt－18， ∴当Δt趋于0时，趋于－18，∴物体的初速度v0＝－18 m/s. (3)∵＝＝3Δt－12， ∴当Δt趋于0时，趋于－12， ∴物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s. 15．将石子投入水中，水面产生的圆形波纹不断扩散．计算： (1)当半径r从a增加到a＋h(h>0)时，圆面积相对于r的平均变化率； (2)当半径r＝a时，圆面积相对于r的瞬时变化率． 解：(1)根据题意，得到圆的面积S(r)关于r的函数为S(r)＝πr2， 从a增加到a＋h(h>0)时，圆面积相对于半径的平均变化率为 ＝＝＝π(2a＋h). (2)由(1)知S(r)＝πr2， 当r＝a时，圆面积相对于半径的瞬时变化率为2πa， 即当r＝a时，圆面积相对于半径的瞬时变化率为2πa. 学科网（北京）股份有限公司 $$