2.2 第2课时等差数列习题课(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 6789%:;< １．在等差数列｛ａｎ｝中，已知ａ４ ＋ ａ８ ＝ １６，则该数 列前１１项的和Ｓ１１ ＝ （Ｂ ） Ａ． ５８ Ｂ． ８８ Ｃ． １４３ Ｄ． １７６ ２．设数列｛ａｎ｝是等差数列，其前ｎ项和为Ｓｎ，若 ａ６ ＝ ２且Ｓ５ ＝ ３０，则Ｓ８等于 （Ｂ ） Ａ． ３１ Ｂ． ３２ Ｃ． ３３ Ｄ． ３４ ３．设等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，若Ｓｍ －１ ＝ － ２，Ｓｍ ＝ ０，Ｓｍ ＋１ ＝ ３，则ｍ ＝ （Ｃ ） Ａ． ３ Ｂ． ４ Ｃ． ５ Ｄ． ６ ４．（２０２４·新课标Ⅱ卷）记Ｓｎ 为等差数列｛ａｎ｝ 的前ｎ项和，若ａ３ ＋ ａ４ ＝ ７，３ａ２ ＋ ａ５ ＝ ５，则Ｓ１０ ＝ 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［５             ］ 第２课时　 等差数列习题课 !"#$%&'( 学习目标 １．会利用数列的前ｎ项和Ｓｎ求数列的通项公式ａｎ． ２．会使用裂项相消法求数列的前ｎ项和． ３．掌握各项含有绝对值的等差数列前ｎ项和的计算方法． 核心素养 １．等差数列前ｎ项和公式Ｓｎ求ａｎ．培养数学运算素养． ２．借助裂项相消法求和的方法学习，培养直观想象素养． )*+,%-.+ 知Ｓｎ求ａｎ 　 　 已知数列的前ｎ项和Ｓｎ，若ａ１ 适合ａｎ，则 通项公式ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ －１　 ，若ａ１ 不适合ａｎ，则 　 　 　 　 　 ． 练一练： 若数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ｎ２ － ７ｎ，则 ｛ａｎ｝的通项公式是ａｎ ＝ ２ｎ － ８　 ． 裂项相消法求和 　 　 形如　 　 　 （ｂｎ － ａｎ ＝ ｄ，ｄ为常数）的数列适 合用裂项求和，其裂项形式为１ａｎｂｎ ＝ 　 　 　 　 ．练一练： 数列｛ａｎ｝中，ａｎ ＝ １ｎ（ｎ ＋ １），其前ｎ项和是 Ｓｎ，则Ｓ６ ＝ （Ｄ ） Ａ． １４２ Ｂ． ５ ６ Ｃ． １ ３０ Ｄ． ６                ７ /012%345 题型探究 题型一已知数列的前ｎ项和Ｓｎ求通项ａｎ １．（１）数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ｎ２ － １，则 ａ４ ＝ （Ａ ） Ａ． ７　 　 　 　 　Ｂ． ８　 　 　 　 　Ｃ． ９　 　 　 　 　Ｄ． １７ （２）数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ － ３２ ｎ ２ ＋ ｎ － １，求数列｛ａｎ｝的通项公式； （３）已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ满足ａ        １ !"( # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ＝ １２，ａｎ ＋ ２Ｓｎ·Ｓｎ －１ ＝ ０（ｎ≥２，ｎ∈Ｎ ），求数列 ｛ａｎ｝的通项公式． ［分析］　 （１）求ａ４Ｓｎ ＝ ｎ２ － １ａ４ ＝ Ｓ４ － Ｓ３ ． （２）求｛ａｎ｝的通项公式Ｓｎ ＝ － ３２ ｎ ２ ＋ ｎ － １分ｎ ＝ １与ｎ≥２检验结论． （３）当ｎ≥２时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ －１，消去式中ａｎ， 得到Ｓｎ的递推关系｛Ｓｎ｝的通项公式ａｎ． 　 　 ［尝试作答              ］ 　 　 ［规律方法］　 １．由Ｓｎ 求通项公式ａｎ 的 步骤： 第一步：令ｎ ＝ １，则ａ１ ＝ Ｓ１，求得ａ１； 第二步：令ｎ≥２，则ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ －１； 第三步：验证ａ１与ａｎ的关系； （１）若ａ１适合ａｎ，则ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ －１ ． （２）若ａ１不适合ａｎ，则ａｎ ＝ Ｓ１，ｎ ＝１， Ｓｎ － Ｓｎ －１，ｎ≥２{ ． ２． Ｓｎ与ａｎ的关系式的应用 Ｓｎ “和”变“项” “项”变“和幑 幐帯帯帯帯” ａｎ （１）“和”变“项”． 首先根据题目条件，得到新式（与条件相 邻），然后作差将“和”转化为“项”之间的关系， 最后求通项公式． （２）“项”变“和”． 首先将ａｎ转化为Ｓｎ － Ｓｎ －１，得到Ｓｎ与Ｓｎ －１ 的关系式，然后求Ｓｎ． 对点训练? （１）已知数列｛ａｎ｝的前ｎ 项和Ｓｎ ＝ ２ｎ，则ａ８ ＝ （Ｂ ） Ａ． ６４ Ｂ． １２８ Ｃ． ３２ Ｄ． ２１６ （２）正项数列｛ａｎ｝，ａ１ ＝ １，前ｎ项和Ｓｎ 满 足Ｓｎ·Ｓｎ槡－１ － Ｓｎ －１·Ｓ槡ｎ ＝ ２ Ｓｎ·Ｓｎ槡 －１（ｎ≥ ２），则ａ１０ ＝ （Ａ ） Ａ． ７２ Ｂ． ８０ Ｃ． ９０ Ｄ． ８２ （３）设数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ － ｎ２ ＋ １， 那么此数列的通项公式ａｎ ＝ 　 　 　 　 ． 题型二 裂项求和 ２．在数列｛ａｎ｝中，ａｎ ＝ １ｎ ＋ １ ＋ ２ ｎ ＋ １ ＋…＋ ｎ ｎ ＋ １．又ｂｎ ＝ ２ ａｎａｎ ＋１ ，求数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和． ［分析］　 首先化简｛ａｎ｝的通项公式，求出 ｂｎ后再利用裂项相消法求出数列｛ｂｎ｝的前ｎ 项和． 　 　 ［尝试作答          ］ 　 　 ［规律方法］　 裂项相消求和 （１）适用数列：形如 １ａｎｂ{ }ｎ （ｂｎ － ａｎ ＝ ｄ，ｄ为 常数）的数列可以用裂项求和． （２）裂项形式：１ａｎｂｎ ＝ １ ｄ １ ａｎ － １ｂ( )ｎ                                                                        ． !") ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # （３）规律发现：一是通项公式特征不明显的 要对通项公式变形，如分离常数、有理化等；二 是裂项后不是相邻项相消的，要写出前两组、后 两组观察消去项、保留项． （４）特殊裂项： ① １ ４ｎ２ － １ ＝ １（２ｎ － １）（２ｎ ＋ １） ＝ １２ １ ２ｎ － １ － １ ２ｎ( )＋ １ ． ② ｎ槡＋ １ －槡ｎ ｎ槡＋ １槡ｎ ＝ １ 槡ｎ － １ ｎ槡＋ １ ． ③ ｎ ＋ １ ｎ２（ｎ ＋ ２）２ ＝ １ ４ １ ｎ２ － １（ｎ ＋ ２）[ ]２ ． ④ （２ｎ） ２ （２ｎ －１）（２ｎ ＋１）＝１ ＋ １ ２ １ ２ｎ －１ － １ ２ｎ( )＋１ ． 对点训练? （１）已知数列｛ａｎ｝为等差 数列，且ａ２ ＝ ２，ａ６ ＝ ６，则１ａ１ａ２ ＋ １ ａ２ａ３ ＋…＋ １ａ２０ａ２１ ＝ （Ｃ ） Ａ． １８１９ Ｂ． １９ ２０ Ｃ． ２０ ２１ Ｄ． ２１ ２２ （２）已知等差数列｛ａｎ｝满足：ａ３ ＝ ７，ａ５ 与 ａ７的等差中项为１３，｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ． ①求ａｎ以及Ｓｎ； ②若ｂｎ ＝ １ａ２ｎ － １（ｎ∈Ｎ ），求数列｛ｂｎ｝的前 ｎ项和Ｔｎ． 题型三 含绝对值的数列的前ｎ项和 ３． （２０２３·全国乙卷）记Ｓｎ 为等差数列 ｛ａｎ｝的前ｎ项和，已知ａ２ ＝ １１，Ｓ１０ ＝ ４０． （１）求｛ａｎ｝的通项公式； （２）求数列｛｜ ａｎ ｜｝的前ｎ项和Ｔｎ． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 已知｛ａｎ｝为等差数列，求数列 ｛｜ａｎ ｜｝的前ｎ项和的步骤： 第一步，解不等式ａｎ≥０（或ａｎ≤０）寻找 ｛ａｎ｝的正负项分界点； 第二步，求和，①若ａｎ各项均为正数（或均 为负数），则｛｜ ａｎ ｜｝各项的和等于｛ａｎ｝的各项的 和（或其相反数）； ②若ａ１ ＞ ０，ｄ ＜ ０（或ａ１ ＜ ０，ｄ ＞ ０），这时数 列｛ａｎ｝只有前面有限项为正数（或负数）可分段 求和再相加． 对点训练? 已知Ｓｎ是数列｛ａｎ｝的前ｎ 项和，且Ｓｎ ＝ ｎ２ － １０ｎ． （１）求ａｎ； （２）求数列｛｜ ａｎ ｜｝的前ｎ项和Ｔｎ                                                                        ． !"* # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 易错警示 　 　 裂项求和要找准相加相消的规律 ４．求数列 １ｎ（ｎ ＋ ２{ }）的前ｎ项和． ［错解］　 ∵ １ｎ（ｎ ＋ ２）＝ １ ２ １ ｎ － １ ｎ( )＋ ２ ， ∴数列 １ｎ（ｎ ＋ ２{ }）的前ｎ项和Ｓｎ ＝ １ (２ １ － １ ３ ＋ １ ２ － １ ４ ＋ １ ３ － １ ５ ＋…＋ １ ｎ － １ ｎ )＋ ２ ＝ １ (２ １ ＋ １ ２ ＋ １ ｎ － １ ｎ )＋ ２ ＝ ３ ４ ＋ １ ｎ（ｎ ＋ ２）． ［误区警示］　 错误的原因在于裂项相消 时，没有搞清剩余哪些项． 　 　 ［正解                    ］ 　 　 ［点评］　 运用裂项相消法求和时，要弄清 消去的项是与它后面的哪一项相加消去的，找 出规律，然后确定首尾各剩余哪些项，切勿出现 添项或漏项、错项的错误                                        ． 6789%:;< １．数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ｎ２ ＋ ｎ ＋ １，则ａ８ ＋ ａ９ ＋ ａ１０ ＋ ａ１１ ＋ ａ１２的值为 （Ａ ） Ａ． １００ Ｂ． ９９ Ｃ． １２０ Ｄ． １３０ ２．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小 的内角为１２０°，公差为５°，那么这个多边形的 边数ｎ等于 （Ｃ ） Ａ １２ Ｂ １６ Ｃ ９ Ｄ １６或９ ３．等差数列｛ａｎ｝中，公差ｄ≠０，ａ１≠ｄ，若前２０ 项的和Ｓ２０ ＝ １０Ｍ，则Ｍ的值为 （Ｄ ） Ａ． ａ３ ＋ ａ５ Ｂ． ａ２ ＋ ２ａ１０ Ｃ． ａ２０ ＋ ｄ Ｄ． ａ１２ ＋ ａ９ ４．已知数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ２ｎ － ３０，Ｓｎ 是｛｜ ａｎ ｜｝的前ｎ项和，则Ｓ１０ ＝ １９０　 ． 请同学们认真完成练案［６                ］ ! ! 4-合2.2显然46-60- 当n≥2，ncN时，a。=S,-S,-1 所以5。-S-4=-25S-① 2,÷1a.不是等差数列 课堂检测·固双基 因为a,=2,所以$5-≠0， ①式的两边同除以S,S.得： 1.BS= 1(a+an)_11(a,+a_1×16=88. 2 2 2 2B由已知可得+51=2， S S. 2即2 15a1+10d=30, 6 所以数列日是首项为2.公差为2的等差数列。 a1=3 解得 所以 =2+2n-10-2.博：8=高 4 d=-3 六8=84，+824=32 则a.=-254=2n-n≥2， 2 3.Can=Sn-Snt=2,am1=S1-Sn=3,公差d=a1-an 因为4，=弓不清足4.=2a-n≥2)，所以数列的 =3-2=1由3=m(“,*=0,得4=-0=-2 2 通项公式为a,= 2n=1, 六am=-2+(m-1)·1=2,解得m=5. 1 4.95因为数列4。为等差数列，则由题意得 2n(n-1h≥2 对点训练1：(1)Ba,=5。-51=2”-2-=2(n≥2)， 624+45解得化；4 [a,+2d+a1+3d=7 ,则Sw=10u,+ 又S1=2=2,1=2-=1.不符 2,n=1, 10x94=10×(-4)+45x3=95. 2 a,={2-1,n≥2 %=2-=22=128. 第2课时等差数列习题课 (2)A由S·Sn--S-1·√S=2S.·S1(n≥ 必备知识·探新知 2),两边同除以√S·S。-,得√S-√S-1=2:而S,=41=1, 知识点1 .√S。=1+2(n-1)=2n-1,∴.S.=4n2-4n+1:再根据a,= S.-S1 d [S,n=1 S,-S。-4(n≥2)，得a,=8n-8(n≥2)，所以am=8×10-8 15-S-1,n≥2 =72. 练一练： 2n-8当n≥2时，a。=S。-S-1=(n2-7n)-[(m-1)月 （a02niw≥2 由题意知，当n=1时，a,=S,=0, -7(n-1)]=2m-8. 当n≥2时，S=-2+1①. 而a,=S=-6,也符合上式 Sn-1=-(m-1)2+1② 所以4.=2n-8. 所以①-②，得an=S。-S,-1=-2n+1. 知识点2 a1=0不适合a,=-2n+1. {}位) 0,n=1, ,a。= 1-2n+1,n≥2. 练一练： u(n+1) 1 D因为a,Fn(n+万产方n+ 2 例2因为a。n+1n+7*44 2 所以么.=2.2 agan=什nh 8 2 2 关键能力·攻重难 因此数列么的前a项和为3=8（十-）+8（宁-） 例1：(1)Aa,=5,-S=42-1-3+1=7. (2)n=1时a=5=-号+1-1=-是 对点训练2：(1)C设数列a.的公差为d, 当n≥2时4，=S-及=-子2+n-1 已知得，+2解得山=1，d=1, la1+5d=6. [-(a-1)产+(a-)-小-3+，因为4=-受不适 所以4，=1+(n-1)×1=n,所以，1 1 aa,1n(n+1)=元 合a,=-3n+ n+ 2=1, 所以a。= 因此L +…+=1-分+-+ .5 -3+2，≥2 11 1-20 (3)因为a.+25.·5.-1=0, 2027=1-7-2 所以an=-25,·S.-1 (2)①设等差数列1a的公差为d. 当m=1时，“=2 由0=0+2d=7, 得/0,3， 1a5+a,=2a.=2a,+10d=26.1d=2, -130 ∴a,=a,+(n-）d=2n+1,3.=m,+nn山4=m2+2n 2 3.DS=a0x20=10(4,+n. 2 ②由题意可得6，d-(a,+1a.-2+2)·2 .M=a1+a=a2+ag.放选D i4.190令a.=2n-30≥0，即n≥15，故前14项都是负数， =4n(n+4nn+ 所以Sn三-(a,+4:++aw】 .T.=b,+2+b+…+b. 。--28-10）×10=190. 2 =4(-)+4(分)+4（兮） §3 等比数列 + 3.1等比数列的概念及其通项公式 =-)4可 第1课时等比数列 例3：(1)设等差数列的公差为d, 必备知识·探新知 [o:=a+d=ll, 知识点1 由题意可得 =10,+09=0, (1)同一个常数 想一想： 即+：解得=3. 1.若存在一项为零，设这一项为，则 l2a1+9d=8. 1d=-2. (1)若a不是最后一项，它将不能与a,作比： 所以a.=13-2(n-1)=15-2n. (2)若a是最后一项，可推知公比g等于零，从而a=0,它 (2)因为3=3+)5-2m=4n-. 将不能与41作比 故等比数列的每一项均不能为零 令a,=15-2n>0,解得n<号且neN 2.不一定，当常数列各项均为零时，该常数列不是等比数 列：当常数列各项均不为零时，该常数列是等比数列 当n≤7时，则n>0.可得T。=la,l+la2l+…+|0.1=4, 练一练： +a+…+a。=Sn=14n-n2; L.(1)V(2)×(3)×(4)× 当n≥8时，则a。<0,可得T。=Ia1I+la1+…+1a.1= 2.D对于A,B,C:当g=0时不是等比数列.故A,B,C错 (a1+3++1,）-（ag+…+1。)】 误：对于D:由已知可得q≠0，且符合等比数列的定义，公比是 =S,-(Sn-5,)=25,-5,=2(14×7-72)-(14n-n2)= n2-14n+98: 上，故D正确 f14n-n.n≤7， 知识点2 综上所述：T.={-14n+98,n≥8 a。=41g- 对点训练3：(1)①当n=1时，41=S=-9: 想一想： ②当n≥2时，4，=S.-S.-1=n2-10m-(n-1)2+10m-10 4,=4·g=4·4,当9>0且9≠1时，等比数列a, =2n-11, 对n=1也成立，所以a.=2n-11(neN): 的第n项a,是指数型函数(x)=么·(xeR)在x=n时的 (2)当1≤m≤5时，a,<0,即T=|a,1+121+…+ln.l= -(a,+a2+…+an)=-S.=10n-n2. 值，即an=f八n).数列{gn{图象上的点(n,an)都在指数函数 当n≥6时，an>0,T。=-(a1+a2+…+a,)+(a+…+ f尺x)的图象上.反之指数函数f八x)=a=a·a”(a>0,a≠1) a,)=-S+S。-S=n2-10m+50, 可以构成一个首项为a,公比为a的等比数列a·a-'上. 综上.=0m-,l≤≤5aeN, 练一练： 1n2-10m+50,m≥6(n∈N*). 1,C设等比数列a,的公比为g,9>0, 2片中动 34,=2a→a·g·4·g=2(ag2)→g2=2. 例4：1 因为9>0，所以9=2，而1=2， 数到列中2的前项和8-+- 1 所以4，=-2=2 92 1 1 n++ n+2 2.-2q=%=-8,所以g=-2 41 32n+3 关键能力·攻重难 例1：(1)设公比为q,则a3=a,·g2 课堂检测·固双基 所以27=3g,所以9=±3， 1.A ds+do +ao +au+dp=Sp-S a.=3"或a.=-(-3)". =122+12+1-72-7-1=100. (2)设公比为q,由题意，得 2.Ca.=120+5(n-1)=5n+115, fa19+a9=18 ① 由a.<I80得n<13且neN, la92+a9=9 由n边形内角和定理得， (n-2)×180=n×120+n,）x5. 紧得0=分4=记 2 解得n=16或n=9, 又a12×( =1 .n<13,+n=9. 即26-=2n=6. -131